第十一章 位移法 2021/2/21
2021/2/21 1 第十一章 位 移 法
§11-1位移法的基本概念 荷载效应包括 内力效应:M、Q、N; 位移效应:0A B 附加 刚臂 0, 附加刚臂限制结 施加力偶使结点产 点位移,荷载作 生的角位移,以实 zB用下附加刚臂上 zB现结点位移状态的 产生附加力矩 一致性。 2021/2/21 2
2021/2/21 2 §11-1 位移法的基本概念 A B C P θA θA 荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N； 位移效应：θA A B C P θA θA 附加 刚臂 附加刚臂限制结 点位移，荷载作 用下附加刚臂上 产生附加力矩 施加力偶使结点产 生的角位移，以实 现结点位移状态的 一致性。 A B C
实现位移状态可 分两步完成: 1)在可动结点上附加约束 限制其位移,在荷载作用下 附加约束上产生附加约束力; 2B 2)在附加约束上施加外力, 使结构发生与原结构一致的结 点位移。 分析 1)叠加两步作用效应,约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致,则其内力状态也完全相等; 2)结点位移计算方法:对比两结构可发现,附加约束上 的附加内力应等于0,按此可列出基本方程。 2021/2/21
2021/2/21 3 A B C P θA θA 实现位移状态可 分两步完成： 分析： 1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等； 2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上 的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。 1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力； 2）在附加约束上施加外力， 使结构发生与原结构一致的结 点位移
B A、 u,=sina B B B B B B′ P N 变形条件 EA EA sin a N N= EA △sinC N P EA 选择‖物理条件 基本l1=4sima1 未知 几何条件 P 量△ ∑ N. sin a,=P EA sin2r1·A=P ∑ EA sin a 平衡条件 2021/2/21
2021/2/21 4 P 1 2 3 4 5 i B B B B i uNi i i i A ,l A B B i B i i u = sin 选择 基本 未知量 i i i i u l EA N = i i u = sin i i i i sin l EA N = Ni sin i = P sin P l EA i 2 i i = i 2 i i sin l EA P = P sin l EA sin l EA N i 2 i i i i i i = 物理条件 几何条件 平衡条件 变形条件
位移法基本作法小结: (1)基本未知量是结点位移 (2)基本方程的实质含义是静力平衡条件; (3)建立基本方程分两步单元分析(拆分)求得单元刚度方程,整体 分析(组合)建立位移法基本方程,解方程求出基本未知量 (4)由杆件的刚度方程求出杆件内力,画弯矩图 关于刚架的结点未知量 P 41 AB A A AB B B 2021/2/21 5
2021/2/21 5 位移法基本作法小结: （1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的实质含义是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体 分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量; （4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。 A A A B MAB A B C q P AB A M C P A 关于刚架的结点未知量
§11-2等截面杆件的刚度方程 由杆端位移求杆端弯矩ˇ杄端力和杆端位移的正负规定 B ①杆端转角6A、6g,弦转角 EI B=4/都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正 BA (1)由杆端弯矩M1和M引起的O和OB AB 利用单位荷载法可求得 BA 2 MAB×1×-MBA×l M Er(2 M eI(3 AB AB El MML 设 6 M AB M mTII 同理可得8=--M AB Ba 2021/221 6
2021/2/21 6 1 MAB MBA §11-2 等截面杆件的刚度方程 一、由杆端位移求杆端弯矩 （1）由杆端弯矩 MAB和MBA引起的 A和 B A B MAB l MBA A B MAB MBA 利用单位荷载法可求得 = − = − A B B A A A B B A M M EI l M l M l EI 6 1 3 1 3 1 3 2 2 1 1 设 i l EI = A AB MBA i M i 6 1 3 1 = − 同理可得 B AB MBA i M i 3 1 6 1 = − + 1 杆端力和杆端位移的正负规定 ①杆端转角θA、θB ，弦转角 β＝Δ/l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。 E I
M AB BA AB E M AB Ba MB(2)由于相对线位移人引起的和n e4=61 AB 以上两过程的叠加 M BA Mp=-Mn+ 3i 6i Mnt AB M+ BA M=4104+2i0,-61 A B B 我们的任务是要由杆端位移求 BA=2i04+4i6B-6 杆端力,变换上面的式子可得: 6 12i 2021/2/21 AB ELBA 6+n24…(2)
2021/2/21 7 A B E I MAB MBA l A B MAB MBA A AB MBA i M i 6 1 3 1 = − B AB MBA i M i 3 1 6 1 = − + A B （2）由于相对线位移引起的A和B l A B = = 以上两过程的叠加 l M i M i A AB BA = − + 6 1 3 1 l M i M i B AB BA = − + + 3 1 6 1 我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得： (2) 6 6 12 = = − − + 2 l i l i l i QAB QBA A B (1) 2 4 6 4 2 6 = + − = + − l M i i i l M i i i BA A B AB A B
用力法求解单跨超静定梁 1X1+62X2+△c=B4 621X1+62Xx2+△2c=6B o11.E233E/022 X=1 El 236EI C △ 2C X,=1 X X,+=6 M2 BEl 6El X1+X,+==6n X1=4161+2i06i △ 6El BEI El 2021/2/21 令 X2=261+406i 一△ 8
2021/2/21 8 θA Δ θB 用力法求解单跨超静定梁 X1 X2 Δ 1 / l 1 / l X2=1 1 M2 M1 X1=1 1 C B C A X X X X + + = + + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 11 22 3 3 2 2 1 = = = EI l l EI 12 21 3 6 1 2 1 = − = = EI l l EI C C l 1 = 2 = B A l X EI l X EI l l X EI l X EI l = − + + = − + 1 2 1 2 6 3 3 6 令 l EI i = = + − = + − l i X i i l i X i i A B A B 6 2 4 6 4 2 2 1
可以将上式写成矩阵飛式 AB 6i0 2i bl BA 2 4i B 6i12 2021/2/21
2021/2/21 9 可以将上式写成矩阵形式 − − − − = B A AB BA AB l i l i l i l i i i l i i i Q M M 2 6 6 12 6 2 4 6 4 2 1 2 3 4
几种不同远端支座的刚度方程 MA=4i04+2i0a-6i (1)远端为固定支座 AB M,=240,+4i0-6i △ BA 因0g=0,代入(1)式可得 E 6 M 4i6 △ (2)远端为固定铰支座 M M 2ie △ AB △ 因MBA=0,代入(1)式可得 3i E mn=3i △ 6 12i (3)远端为定向支座 OB=Q BA A 0a+,△.(2) M AB △ 代入(2)式可得 6 El BA 2021/2/21 M AB=16 BA一T6A
2021/2/21 10 A MAB 几种不同远端支座的刚度方程 （1）远端为固定支座 A MAB MBA 因B = 0，代入(1)式可得 = − = − l i M i l i M i BA A AB A 6 2 6 4 （2）远端为固定铰支座 因MBA = 0，代入(1)式可得 = − l i M i AB A 3 3 (1) 2 4 6 4 2 6 = + − = + − l M i i i l M i i i BA A B AB A B A MAB MBA （3）远端为定向支座 因 B = 0,QAB = QBA = 0 代入（2）式可得 A l 2 1 = AB A BA A M = i M = −i (2) 6 6 12 = = − − + 2 l i l i l i QAB QBA A B l EI l EI l EI