§9-5图乘法位移计算举例 MM,直杆M,M,BC ds→ E El ⊥M E M是直线 B B Mi xtgadx g a mdx EⅠA El dx E/0 △=∑ MM x=∑ M,yo El EI M-xtga yo x 注:④Σ表示对各杆和各杆段分别图乘再相加 ②图乘法的应用条件:a)E常数;b)直杆;c)两个弯矩图 至少有一个是直线。 自竖标y取在直线图形中,对应另一图形的形心处 ④面积o与竖标y在杆的同侧,oy取正号,否则取负号
§9-5 图乘法 位移计算举例 i k ds EI M M = i k EI C M M dx EI 1 D = P = EI y dx EI MM w 0 = y EI 0 1 = tg × x w EI 0 1 a w = B A tg xMkdx EI 1 a B A k M M xtg dx EI i 1 a 是直线 i k dx EI 直杆 M M α Mi Mi=xtgα y x Mk dx x y0 x0 ω 注： y0=x0 tgα ①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 ②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 ③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ω y0 取正号，否则取负号
⑤几种常见图形的面积和形心的位置: a b h 2项点 lh2 (a+)3(b+/3 二次抛物线02h3顶点 oh/2 顶点 3l4 l44 58 318 二次抛物线o=hl/3 二次抛物线o=2h/3 顶点 4l5 顶点 5 (a+)(n+2)l(a+2 三次抛物线o=hl/4 n次抛物线o=h∥(n+1)
⑤几种常见图形的面积和形心的位置： (a+l)/3 (b+l)/3 ω=hl/2 l a b h l/2 l/2 h 二次抛物线ω=2hl/3 h 3l/4 l/4 5l/8 3l/8 二次抛物线ω=hl/3 二次抛物线ω=2hl/3 4l/5 l/5 h h 三次抛物线ω=hl/4 (n+1)l/(n+2) l/(n+2) h n次抛物线ω=hl/(n+1) 顶点 顶点 顶点 顶点 顶点
例:求梁B点转角位移。 例:求梁B点竖向线位移。 P22 P A EI B ↓山 A 2 Pl/ 4 2 1l3/4 12 1 1Pl1 Pl E/2 42 16El el 3 2 4 8El ⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法: a)曲械或E=EI(x)时,只能用积分法求位移; b)当E分段为常数或M、M均非直线时,应分段图乘再叠加
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； b）当EI 分段为常数或 P l/2 l/2 A EI B m=1 1/2 Pl/4 EI Pl l Pl EI B 2 16 1 2 4 1 1 2 =− • =− ql2 /2 M MP MP P=1 l M ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ l q A B EI ql l l ql EI B 4 8 3 3 2 1 1 2 4 D = • = 例：求梁B点转角位移。 例：求梁B点竖向线位移。 3l/4 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加
例:求图示梁中点的挠度。 P P 13a △ 3a×Pa 24 P △ 1「Pa×a、2a、,% a a 2+ -×2×Pa E/232 22 P=1 23Pa a/2 a/2 24EI 3a/4 例:求图示梁C点的挠度。 P Pl 2 5Pl/ C E 2 6 2FI △=21=(111)P2 12 E222丿6 P=1 1/2 5 Pl 106 48 EI
P P a a a 例：求图示梁中点的挠度。 Pa Pa MP P=1 3a/4 M EI Pa Pa Pa a a a EI a a 24 23 2 2 2 2 3 2 2 2 1 3 4 3 2 = + + D= a/2 a/2 a Pa a EI D= 3 4 3 2 1 1 P l/2 l/2 C 例：求图示梁C点的挠度。 MP Pl C P=1 l/2 M l/6 l 6 EI Pl 12 3 = Pl EI C 2 1 2 D = EI Pl 48 5 3 = Pl 6 5 × l l EI y C 2 2 2 0 1 D = = × × w 5Pl/6 ？ ？
⑦非标准图形乘直线形 a)直线形乘直线形 ∫MMx=on+an a O 2 1/3 1/3 l(2 C d),b1/c,2d) 2、33)2、33丿 2ac+2bd+ad+bc 各种直线形乘直线形,都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正, 否则取负 1) S=9/6×(2×6×2+2×4×3 +6×3+4×2)=111
⑦非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形 a b d c l/3 l/3 l/3 ω1 ω2 y1 y2 ( ac bd ad bc) l = 2 +2 + + 6 c d + 3 2 3 bl + 2 c d + 3 3 al 2 = 2 MiMkdx=w1y1+w2 y2 Mi Mk 各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正， 否则取负。 S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3 +6 ×3+4×2）=111 （1） 3 2 6 4 9
S=9/6×(2×6×2-2×4×3+6×3-4×2)=15 (3) 4 S=9/6×(2×6×2+2×4×3-6×3-4×2)=33 S=9/6×(-2×6×2+2×0×3 +6×3-0×2) 6
S = 9/6×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2）= －9 S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15 S = 9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33 2 3 6 （ 4 3） 9 （2） 3 2 6 4 9 （4） 2 3 6 9
b)用非标准抛物线乘直线形 a a 6× Jd s=4Q2ac+2bd+ad+be )2hl ctd 32 例:预应力钢筋混凝土墙板单 q=625N/m 小小小小小 点起吊过程中的计算简图。 已知:板宽1m,厚2.5cm,混凝土个 C 2.2m 0.8m 容重为25000N/m3,求C点的挠度。 解:q=25000×1×0.025=625N/m E=3.3×1010N/m2=1/12×100×2.53cm1=1.3×106m4 折减抗弯刚度0.85EF0.85×1.30×106×33×100 3.6465×104Nm2
＝ l a b d c h a b+ h 3 2 2hl c + d (2 2 ) 6 ac bd ad bc l S = + + + + b)非标准抛物线乘直线形 E=3.3 ×1010 N/ m2 I=1/12 ×100×2.53cm4=1.3 ×10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 ×1.30×10-6×3.3×1010 = 3.6465 ×104 N m2 例： 预应力钢筋混凝土墙板单 点起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土 容重为25000N/m3，求C点的挠度。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q=625 N/m 2.2m 0.8m A B C 解：q=25000×1×0.025＝625 N/ m
折减抗弯刚度 q=625N/m 0.85E/3.6465×104Nm2 小小小小↓↓↓ A B 200·2.2=220 2.2m 器0.8m 2 0.8=0.533 378 023 378·2.2=555 (2 0.8=-0.4 2 0.8 200.0.8=53.3 0.8=0.6 DC 0.85EI (O1y1+02y2+03y3) (220533550.4+5330.6)=-2×103m=-0.2cm 3.6465
折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 ×104Nm2 200 378 P=1 0.8 MP M ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q=625N/m 2.2m 0.8m A B C ω1 y1 ω3 (220 0.533 555 0.4 53.3 0.6) 2 10 m 0.2cm 3.6465 1 3 = − + =− =− − y3 ω2 y2 200 2.2 220 2 1 w1 = = 0.8 0.533 3 2 y1 = = ( ) 0.85 1 1 1 2 2 3 3 y y y EI DC = w +w +w 378 2.2 555 3 2 w2 = = 0.8 0.4 2 1 y2 = − = − 200 0.8 53.3 3 1 w3 = = 0.8 0.6 4 3 y3 = =
12/2 N=0 ○ gl2 w= 02 q178 l l= q 1 38 12 ∑ NNDl EA 2 EA 2 EA △ 2y2+0)3y I y1+a2y q22l+122/+1 EⅠ(4343122丿8EⅠ q4 4/ 4 h △ 2EA/8E13Al23b1291 l10 900
P=1 1 1 l y1 y2 y3 M 2 3 = l y 3 2 1 2 y = l = y 3 8 12 2 2 3 3 = = ql l ql w 2 2 4 1 2 2 3 1 = = = ql l ql w w 8 3 3 12 2 2 3 4 2 4 1 2 2 2 4 = = + + EI ql l ql l ql l ql EI ( ) 1 1 1 2 2 3 3 D = + + M y y y EI w w w N =1 ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ N =0 q l l ql2 /2 ql2 /8 ql ql/2 ql/2 MP ω1 ω2 ω2 B NP=0 900 1 3 9 4 3 4 8 3 2 10 2 1 2 2 12 2 2 4 3 = = = = = D D = l h bh M N l h Al bhl I EI ql EA ql 2 1 2 2 D = = × × = P N EA ql EA ql l EA N N l
求AB两点的相对水平位移 A P=1 E常数 6kN B 2KN/m 36 6m △ 6(26+2×189-363+180)2693+6 E/(6 2 18×32 756 36×6×-×6+ ×二×3 (<) EⅠ(3 4 23 El
求AB两点的相对水平位移。 36 18 9 MP P=1 P=1 6 3 M ) = (→ ) EI -756 × × × + 3 3 2 2 18 3 + − × × × × EI 6 4 3 36 6 3 1 1 + − × × × 2 3 6 6 9 3 2 ( D = − × × + × × − × + × EI 2 36 6 2 18 3 36 3 18 6 6 1 6 ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 6kN 6m 3m 3m A B EI=常数 9 9 9