告构力学 第十分法
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第十章力矩分配法 §10-1引言 §10-2力矩分配法的基本原理 §10-3用力矩分配法计算连续梁
2 第十章 力矩分配法 §10—1 引 言 §10—2 力矩分配法的基本原理 §10—3 用力矩分配法计算连续梁
§10—1引 计算超静定结构,不论采用力法或位移法,均要组成 和解算典型方程,当未知量较多时,其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法,自本世纪三十年代以来,又陆 续出现了各种渐进法,力矩分配法就是其一 渐进法的共同特点是,避免了组成和解算典型方程, 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩,其结果的精度随计 算轮次的増加而提高,最后收敛于精确解。 这些方法的概念生动形象,每轮计算的程序均相同, 易于掌握,适合手算,并可不经过计算结点位移而直接求 得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用 返回
3 §10—1 引 言 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成 和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆 续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程， 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计 算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。 这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同， 易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求 得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。 返 回
§10-2力矩分配法的基本原理 力矩分配法为克罗斯( Cross于1930年提出,这一方法对连 续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。 1劲度系数、传递系数 (1)劲度系数(转动刚度)S 定义如下:当杆件AB的A端转 AB =4i SAD=MAD=4i MB 动单位角时,A端(又称近端)的弯矩 M EI 表尔。它标志着该杆端抵抗转动能1 力的大小,故又称为转动刚度。 3i SABMAB=3i 情况有关,由转角位移方程知点 B 远端固定时:S=4i 远端铰支时: M AB 31 BA EI B 远端滑动支撑时:SAB-i 远端自由时:SAB=0 =0 SABMAB=O 返回
4 §10—2 力矩分配法的基本原理 力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连 续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。 1.劲度系数、传递系数 ⑴劲度系数(转动刚度)Sij 定义如下：当杆件AB的A端转 动单位角时，A端(又称近端)的弯矩 MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB 表示。它标志着该杆端抵抗转动能 力的大小，故又称为转动刚度。 则劲度系数与杆件的远端支承 情况有关，由转角位移方程知 远端固定时： A EI B L 1 MAB =4i MBA A EI B 1 MAB =3i SAB=MAB=4i 远端铰支时： SAB=MAB=3i SAB=3i A B 1 远端滑动支撑时： EI MAB =i MBA SAB=MAB=i SAB=i 远端自由时： A B 1 MAB =o EI SAB=MAB=0 SAB=0 SAB=4i 返 回
2)传递系数C 当近端A转动时,另一端B远端)(4 EI B 也产生一定的弯矩,这好比是近端=4 BA =2i 的弯矩按一定比例传到远端一样, 故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由 A端向B端的传递系数,用CAB表示。=3i SABTMAB=3i 即 M C.= BA AB 或MBA= CADM EI AB 由表右图或表(101)可得 M BA 远端固定时:CAB=0.5 EI B 远端铰支时:CAB=0 远端滑动支撑:CAB=-1 返回
5 (2) 传递系数Cij A EI B L 1 MAB =4i A EI B 1 MAB =3i SAB=MAB=4i SAB=MAB=3i A B 1 EI MAB =i MBA =-i SAB=MAB=i A B 1 MAB EI SAB=MAB=0 当近端A转动时，另一端B(远端) 也产生一定的弯矩，这好比是近端 的弯矩按一定比例传到远端一样， 故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由 A端向B端的传递系数，用CAB表示。 即 或 MBA=CABMAB 远端固定时： CAB=0.5 远端铰支时： CAB=0 远端滑动支撑： CAB =－1 由表右图或表(10—1)可得 MBA =2i 返 回
2.力矩分配法的基本原理 现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。 P M IP 计+4B R IP 14 M (b) 图(a所示刚架用位移法计算时,只有一个未知量即结点转角 Z1,其典型方程为 I1Z1+R1p=0 绘出M图(图b)可求得自由项为 Rp=M2+M+M4=∑M R1p是结点固定时附加刚臂上的反力矩,可称为刚臂反力矩,它等 打结点1的杆端固端弯矩的代数和xM,即各固端弯矩所的 差值,称为结点上的不平衡力矩
6 2. 力矩分配法的基本原理 现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。 2 1 3 4 q P (a) 2 1 3 4 (b) MP图 F M21 F M12 F M14 F M41 图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角 Z1，其典型方程为 r11Z1+R1P=0 绘出MP图（图b), 可求得自由项为 R1P = R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等 于结点1的杆端固端弯矩的代数和 ，即各固端弯矩所不平衡的 差值，称为结点上的不平衡力矩。 1 F M12 F M13 F M14 返 回
绘出结构的M1图(见图c,计算系数为: 4i12+313+14 =S1+S、S1 4112. ZI=1 式中∑S1代表汇交于结点1的各 4 杆端劲度系数的总和。 2 12 JI 13 4 解典型方程得 图 Z1=-RP==M1 (c 1∑S 然后可按叠加法M=M2+MZ1计算各杆端的最后弯 弯矩。 返回
7 r11 = 式中∑S1j代表汇交于结点1的各 杆端劲度系数的总和。 1 2 3 4 (c) M1 图 Z1 =1 2i12 4i12 3i13 i14 绘出结构的 图（见图c)，计算系数为： 解典型方程得 Z1 = 然后可按叠加法 M= 计算各杆端的最后弯 弯矩。 4i12+3i13+i14 = S12+S13+S14 = ∑S1j 返 回
结点1的各近端弯矩为: M12=4hS9(+M)=M12+12(∑M1) 2S, M=M:+52(M)=M;+Hn(M) M=M×、S(2M)=M2+H1,(∑M2) ∑S 以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩,即固端弯矩。 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩,这相当于把不 平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端, 因此称为分配弯矩,μ12、13、μ4等称为分配系数, 其计算公式为 1i 山∑Sy (10-1) 返回
8 M12= M13= M14= 以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不 平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端， 因此称为分配弯矩，12 、13 、 14等称为分配系数， 其计算公式为 1j = (10—1) 结点1的各近端弯矩为： 返 回
S μlj ∑S (10-1) 1j 显然,同一结点各杆端的分配系数之和应等于1,即 ∑H1=1。 各远端弯矩如下 M21=M2+￥22(-∑M)=M2+C12H1ΣM) M31=M1+C1[μ13(-M) M M+O 411141 14(EM) 各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1 角所产生的弯矩,它好比是将各近端的分配弯矩以传递系 数的比例传到各远端一样,故称为传递弯矩。 返回
9 1j = (10—1) 显然，同 一结点各杆 端的分配系数之和应等于1，即 ∑ 1j =1 。 各远端弯矩如下 M21= M31= M41= 各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1 角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系 数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。 返 回
得出上述规律后,便可不必绘MP、M图,也不必列出典 和求解型方程,而直接按以上结论计算各杆端 弯矩。,其过程分为两步: (1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩,而结点上有 不平衡力矩,它暂时由刚臂承担。 (2)放松结点 即取消刚臂,让结点转动。这相当于在结点上又加 入一个反号的不平衡力矩,于是不平衡力矩被消除而结 点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的 比例分配给各近端,于是各近端得到分配弯矩,同时各 自向其远端进行传递,各远端弯矩等于固端弯矩加上 返回 递弯矩
10 得出上述规律后，便可不必绘 MP 、 图，也不必列出典 和求解 型方程，而直接按以上结论计算各杆端 弯矩。 ，其过程分为两步： (1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有 不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。 (2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加 入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结 点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的 比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各 自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传 递弯矩。 返 回