《高等流体力学》例题第三章

1.液体在两头开口的等横截面U′形管中振荡,液柱长L,液面上方为大 气压强P,忽略粘性摩擦力和表面张力,求液柱运动规律 解:液体是不可压缩的,故液体在同一瞬时的速度=v(1)处处相等,只 是时间的函数,且等于 5是液面至平衡位置的距离 2 沿液柱从1到2选S为流线长 度,在1至2的一根流线上速 度势为, ∫nd=∫vd=d d(M)=(M)+∫:d

1. 液体在两头开口的等横截面 U 形管中振荡，液柱长 L ，液面上方为大 气压强 pa ，忽略粘性摩擦力和表面张力，求液柱运动规律。 液体是不可压缩的，故液体在同一瞬时的速度 处处相等，只 是时间的函数，且等于 v = v(t) dt d v  = − 是液面至平衡位置的距离。 沿液柱从1到2选 为流线长 度，在1至2的一根流线上速 度势为，  s 解： 0 s  = vds   1 z  2 z h v v 1 2 0 0 ( ) ( ) L L L M M u dl dl d M M u dl      =   = = +     

势流伯努利方程 ao P at,2 V++g2 at 因为1=h+5 h-2 285=(00 p vas= at a 2g dt L 2g S=CcOS t I+c,sin g L 由初始条件1=05=445=0 S=AcOS g L 振动周期2z/ 速度d5 g SIn g v2g dt

势流伯努利方程 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 gz p v t gz p v t a a  + + +         + + + =            因为 1 2 z1 = h + z2 = h − v = v L dt d vds t t t g s s 2 2 2 1 2 2 1     = −    =         −        =  0 2 2 2 +  =  L g dt d         +         = t L g t c L g c 2 sin 2 cos  1 2 t = 0  = A 0 d dt  =  c1 = A 0 c2 = 2 cos g A t L    =       g L 2 2         = − t L g L g dt d 2 sin  2 由初始条件 振动周期 ，速度

2.在原静止的理想无界均质不可压缩流体中有一半径为a的气球,初 始时刻气球内部压强为po,气球表面的速度为零,若不考虑质量力和 表面张力的作用,无穷远处的压强为零,试在等温条件下确定气球半径 随时间的变化规律。 解:取球坐标,坐标原点在球心,流体只有径向运动,所有物理量 只是r和t的函数, 4ru,=c(t) 气球半径为R(t),气球表面法向速度为R 4xr2l.=4丌R2R RR aO RR 伯努利方程, 0⊥+P=0

2. 在原静止的理想无界均质不可压缩流体中有一半径为 a 的气球，初 始时刻气球内部压强为p0，气球表面的速度为零，若不考虑质量力和 表面张力的作用，无穷远处的压强为零，试在等温条件下确定气球半径 随时间的变化规律。 解： 2 2 2 ( ) 4 0 2 r r r r t r u c t R R r u R R R R u r r R R r u u p t        = =  = =  = −   + + =  2 2 2 取球坐标，坐标原点在球心，流体只有径向运动，所有物理量 只是 和 的函数， 4 气球半径为 (t)，气球表面法向速度为 4 伯努利方程

(2RRR+RR),u.us RR2 代入伯努利方程, (2R2+R2)+ I RR +2=0 令r=R,得到气球运动方程, rr+2R2=Pb P是气球表面压强。考虑到气球运动过程是等温的, R rr+=R2 R 两边同乘2R2R,并加以整理, RR 2pa' r R

4 2 2 4 4 2 2 2 4 2 3 3 0 3 2 0 3 2 3 3 2 0 1 (2 ), 1 1 (2 ) 0 2 3 2 3 2 2 , 2 ( ) b b b R R RRR R R u u t r r R R p RR R R r r r = R p RR R p p R p a p a RR R R R R d R p a R R dt R       − = +  =  − + + + = + = = + = = 代入伯努利方程， 令 ，得到气球运动方程， 是气球表面压强。考虑到气球运动过程是等温的， 两边同乘 并加以整理

de(r r2)-2poR R 积分一次,并考虑到R=a时R=0,得 r'R2-2poa'R 再积分一次, Radr 2 poaa R

3 3 2 0 3 3 2 0 3 2 3 0 2 ( ) 0 2 ln 1 2 ln R a d R p a R R dt R R a R p a R R R a R dR t p a R a    = = = = =  积分一次，并考虑到 时 ，得 再积分一次

3.证明在有势外力场作用下,理想不可压缩均质流体,在下两种运动中 涡量Ω满足方程, DQ (1).平面流动时有 (2)轴对称流动时有2(9)=0,其中r是空间点到对称轴的距离 Dt 证明:动量方程,考虑到流体是均质不可压缩的及位势场 Du Vp-VG Dt 两边取旋度 Do 2=(92.V+92(V.)VxV()-VxVG

3. 证明在有势外力场作用下,理想不可压缩均质流体,在下两种运动中 涡量 满足方程, (1).平面流动时有 ; (2). 轴对称流动时有 D ( ) 0 ,其中 r 是空间点到对称轴的距离 Dt r  =  0 D Dt  = 证明: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Du p G Dt D p u u G Dt D u Dt   = −  −   =  +    −   −    =  动量方程，考虑到流体是均质不可压缩的及位势场， 两边取旋度

(1)当流体做平面流动时 )k=_k ay az a (Q2. V)u=Q2-(ui +v=0 az 0 Dt (2)当流体作轴对称流动时 取圆柱坐标系,Z沿对称轴 0

(1). = ( ) ( ) ( ) 0 0 (2). , Z 0, 0 z z z i j k v u k = k x y z x y u v 0 u ui vj z D Dt u        = −          =  + =   =  = =  当流体做平面流动时 当流体作轴对称流动时 取圆柱坐标系 沿对称轴

u rlar a0 az az a ee=Gee 0 任一点的涡量都垂直于过该点和对称轴的平面(子午面) (2vn90=2n(u4+g人?分 DQ (+l1++11)(22en) Dt r06 ue r06 06 Do Q Dt U)=0

1 ( ) 0 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 r z r z r z r z r r r z z r r r e re e u u e e r r z z r u u D D u u u e e Dt t r r z Dt u e u u e u e u u e r r r r D u e Dt r D                            = = − =             = + + +  =             = = + = =      − = 任一点的涡量都垂直于过该点和对称轴的平面（子午面）, ( ) 0 Dt r  =