§2.3对偶解的经济意义 影子价格 影子价格 1、问题的提出 2、影子价格的定义 3、影子价格在经济管理中的应用 二、边际贡献
§2.3 对偶解的经济意义 -------影子价格 一、影子价格 2、影子价格的定义 3、影子价格在经济管理中的应用 1、问题的提出 二、边际贡献
上堂课的主要内容: 对称定理:对偶问题的对偶就是原问题 弱对偶性定理: 若X是原问题(P)的一个可行解,Y是其 对偶问题(D)的一个可行解,则有CX≤Yb
一、对称定理：对偶问题的对偶就是原问题 上堂课的主要内容： 二、弱对偶性定理： D CX Y b X P Y 0 0 0 0 对偶问题（ ）的一个可行解，则有 若 是原问题（ ）的一个可行解， 是其
对偶性定理: (1)(P)有最优解的充要条件是(D)有最优解 (2)若X*和Y分别是(P)和(D)的可行解, 则X*和Y分别是(P)和(D)的最优解的充 要条件是:CX*=Yb (3)若(P)存在最优解Ⅹ*,B是(P)的最优基, 则(D)一定存在最优解Y*,且Y=CnB-1 (4)若(P)(D)为对称型对偶问题,且(P) 存在最优解X*,则(D)一定存在最优解Y*, 且(-1)Y*是(P)的标准型的最优单纯形表 检验行中松弛变量的系数
三、对偶性定理： （1）（P）有最优解的充要条件是（D）有最优解 （2）若X*和Y*分别是（P）和（D）的可行解， 则X*和Y*分别是（P）和（D）的最优解的充 要条件是：CX*=Y*b （3）若（P）存在最优解X* ，B是（P）的最优基， 则（D）一定存在最优解Y*，且 * −1 Y = CB B （4）若（P） （D）为对称型对偶问题，且（P） 存在最优解X*，则（D）一定存在最优解Y*， 且（-1）Y*是（P）的标准型的最优单纯形表 检验行中松弛变量的系数
四、互补松弛定理: 设X*和Y*分别是(P)和(D)的可行解, 则X*和Y*分别是(P)和(D)的最优解的 充要条件是方程组 「Y*(b-AX*)=0 成立 (Y*A-C)X*=0 -a,Xx+)=0,i=12,…,m P,-c1)x*=0,=12 成立 一若有某个y*≠0则必有a1X*=b 2若有某个a,xX*≠b,则必有y*=0 (3若有某个x*≠0必有则y*P=c (4若有某个Y*P≠C,则必有x*=0
四、互补松弛定理： 设X*和Y*分别是（P）和（D）的可行解， 则X*和Y*分别是（P）和（D）的最优解的 充要条件是方程组 成立 − = − = ( * ) * 0 *( *) 0 Y A C X Y b AX ( ) 即 成立 yi * bi −i X * = 0,i = 1,2,,m Y P c x j n j j j ( * − ) * = 0, = 1,2, , ( ) j j j 3 若有某个x * 0,必有则Y *P = c (4)若有某个Y *Pj c j ,则必有x j * = 0 ( ) i i X bi 1 若有某个y * 0,则必有 * = (2) * , * = 0 i i i 若有某个 X b 则必有y
影子价格 1、问题的提出
1、问题的提出
资源的合理利用问题: 某厂计划在下一个生产周期内生产B 品,要消 耗A,A,,9种资源已知每供还有现金,、每种 资源的数量限制以及每件产品可子如何投资如何安 排生产计划,才能充分利用现有资 利润最大? 解:设x,表示产品B的产量 B1|B2|…/B.资源 =1,2,…,n) 资源 台 maxi=Cr, +C2x2+,,+CnN a1a12…a1 a1x1+a12x2+…+a1nxn≤b 22 n anx1+an,x,+…+anx.<b s t a,x1+ax1+…+ax.<b 单位 ≥0 利润 2 决策依据:比较第i资源增加一个单位,其余资源 不增加时利润的增加值
资源的合理利用问题： 资源 Am A A 2 1 B1 B2 Bn m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 资源 限制 m b b b 2 1 单位 利润 n c c c 1 2 n n z = c x + c x ++ c x max 1 1 2 2 + + + + + + + + + m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b st 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 . x1 , x2 , xn 0 排生产计划，才能充分利用现有资源，使获得的总利润最大？ 资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如下表，问如何安 耗 ， ， ， 种资源，已知每件产品所消费的资源数、每种 某厂计划在下一个生产周期内生产 ， ， ， 种产品，要消 m n A A A B B B 1 2 1 2 j 1,2, ,n) x j Bj （ = 解：设 表示产品 的产量 还有现金， 如何投资 决策依据：比较第i种资源增加一个单位，其余资源 不增加时利润的增加值
对 maxz=Cr,+C2x2t''+Cnx (D)min S=b,y,+b,y2+.+bm,y a1x1+a12x2+…+a1nxn≤b 11J1 +amly a21x1+a2x2+…+a2nxn≤b2 s t 1121+a2,y2+…+any≥C2 m1+a,x,+…+anx a +…+a…1 ≥0 122 0 15y2 决策依据: 设Y时(D)的最优解 在取得最优方案的前提下 则z*=Yb by1*+b2y2*+…+bnyn* 比较第i种资源增加一个单 当b→>b,+1,其余不变时 位,其余资源不增加时利 Z*=by1*+…+(b+1)y1* * 润的增加值 Zot y 设B是最优基, AZ*=Z*-Z*y,* z*是最优值 0Z* ab
n n z = c x + c x ++ c x 对max 1 1 2 2 + + + + + + + + + m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b st 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 . x1 , x2 , xn 0 决策依据： 在取得最优方案的前提下 比较第i种资源增加一个单 位，其余资源不增加时利 润的增加值 设B是最优基， Z*是最优值 m m D S = b y + b y ++ b y min 1 1 2 2 ( ) + + + + + + + + + n n mn m n m m m m a y a y a y c a y a y a y c a y a y a y c st 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 . y1 , y2 , ym 0 设Y*时（D）的最优解 则Z*=Y*b * * * 1 1 2 2 m m = b y +b y ++ b y 当bi → bi +1,其余不变时， * * ( 1) * * 1 1 i i m m Z = b y ++ b + y ++ b y * * i = Z +y Z* = Z*−Z* = yi * i b Z * = yi *
2、影子价格的定义 (P)的第个约束条件的右端常数b增加一个 单位时,所引起的目标函数最优值Z*的改变量 *称为第i个约束条件的影子价格 y*=对偶问题(D)的最犹解Y*的第个分量 0Z* ab 边际价格 Y*=(y1*,y2*,…,ym*)CB 灵敏度系数 Lagrange乘
* . * 称为第 个约束条件的影子价格 单位时，所引起的目标函数最优值 的改变量 （ ）的第 个约束条件的右端常数 增加一个 影子价格：在一对对偶问题（ ）和（ ）中， y i Z P i b P D i i i b Z = * yi * = 对偶问题（D）的最优解Y *的第i个分量 Lagrange乘 子 边际价格 灵敏度系数 2、影子价格的定义 1 * ( 1 *, 2 *, , *) − Y = y y ym =CB B
例:某厂 耗钢材 0 x000 327-672410077y 源数、每 X 23/711/75407 问如何安 消资表利 润最大? X 0 5/7 -3/750/7 X 0 0 1/7 27 200/7 解:设x表如中时里 x2表示产品乙的产量 当甲乙资源 求mxz=10x1+18x 资源 限制 2 5x1+2x,≤170 钢材 52|170 2x1+3x,≤100 煤炭 2|3|100 s t 设备台时15150 x1+5x,≤150 单位利润1018 x1,x2≥0 (万元) 最优解 X*=(507,2007) 对偶问题的最优解 最优值z*=41007 Y=(0,327,6/7
润最大？ 问如何安排生产计划，才能充分利用现有资源，使获得的总利 源数、每种资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如下表， 耗钢材、煤炭、设备台时三种资源，已知每件产品所消费的资 例：某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，要消 资源 甲 乙 资源 限制 钢材 5 2 170 煤炭 2 3 100 设备台时 1 5 150 单位利润 （万元） 10 18 1 2 求max z =10x +18x + + + , 0 5 150 2 3 100 5 2 170 . 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x st 表示产品乙的产量 解：设 表示产品甲的产量 2 1 x x x1 x2 x3 x4 x5 0 0 0 -32/7 -6/7 Z-4100/7 x3 0 0 1 -23/7 11/7 540/7 x1 1 0 0 5/7 -3/7 50/7 x2 0 1 0 -1/7 2/7 200/7 最优解 X*=(50/7，200/7) 最优值Z*=4100/7 Y*=(0，32/7,6/7) 对偶问题的最优解
(P)求maxz=10x1+18x2 5x1+2x2≤170钢材 对偶问题最优解 2x+3x2≤100煤炭 st Y=(0,3276/7 x1+5x,≤150设备台时 x,≥0 钢材的影子价格n*=0 即再增加1吨钢材,利润不会增加 煤炭的影子价格y2*=3 7 即再增加1吨煤炭,利润增加3/7万元 设备台时的影子价格y3* 7 即再增加1个台时,利润增加6/7万元
+ + + , 0 5 150 2 3 100 5 2 170 . 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x st 对偶问题最优解 Y*=(0，32/7,6/7) 1 2 (P)求max z =10x +18x 钢材 煤炭 设备台时 钢材的影子价格y1 * = 0， 7 * 32 煤炭的影子价格y2 = 7 6 设备台时的影子价格y3 * = 即再增加1吨钢材，利润不会增加 即再增加1吨煤炭，利润增加3/7万元 即再增加1个台时，利润增加6/7万元