上海交通大学通识教育核心课程 S]TU core curriculum for general education 第一讲) 从记数法则到数系理论 ▣引言 ▣1.古代文明的记数法 ▣2.数系的扩张 目3.哈密尔顿与四元数 ▣尾声：数字的生命 1
第一讲 从记数法则到数系理论 o引言 o1. 古代文明的记数法 o2. 数系的扩张 o3. 哈密尔顿与四元数 o尾声：数字的生命 上海交通大学通识教育核心课程 SJTU core curriculum for general education 1
引子：从前有个数… ▣数系的逻辑发展： 自然数>正有理数>负数>无理数>实数>复数 口人类认识数字的历史过程 自然数>负数>有理数>无理数>复数>实数 口哪个古代文明最早认识了负数？ ▣无理数是没有道理”的数吗？ “复数”之后还能再“扩张”吗？ ▣“数”在人类文明历史进程中扮演了怎样的 角色？ 2
引子：从前有个数…… o 数系的逻辑发展： 自然数>正有理数>负数>无理数>实数>复数 o 人类认识数字的历史过程 自然数>负数>有理数>无理数>复数>实数 o 哪个古代文明最早认识了负数？ o 无理数是“没有道理”的数吗？ o “复数”之后还能再“扩张”吗？ o “数”在人类文明历史进程中扮演了怎样的 角色？ 2
数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重 要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学 的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用， 以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的 水平。今天，我们所应用的数系，己经构造的如此 完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切 领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。 在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时， 是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的 智慧所经历的曲折和艰辛呢？ 3
数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重 要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学 的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用， 以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的 水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的如此 完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切 领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。 在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时， 是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的 智慧所经历的曲折和艰辛呢？ 3
数：把心智引向真理 ▣苏格拉底：一切算术和计算都必须跟数有关 吗？ ▣格罗孔：是的。 ▣苏格拉底：它们看来能把心智引向真理吗？ ▣格罗孔：是的，以一种非凡的方式。 4
数：把心智引向真理 o 苏格拉底：一切算术和计算都必须跟数有关 吗？ o 格罗孔：是的。 o 苏格拉底：它们看来能把心智引向真理吗？ o 格罗孔：是的，以一种非凡的方式。 4
1.古代文明的记数法 ▣人类在进化的蒙味时期，就具有了一种“识 数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉” perception of number) 口动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为 人类所独有 ▣人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记 数方法。 5
1.古代文明的记数法 o 人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识 数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉” （perception of number）。 o 动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为 人类所独有。 o 人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记 数方法。 5
乌鸦的 “数觉” 目 有个农场主主决心要打死一只在他庄园的望楼里筑 巢的乌鸦。他试了疗多次，始终没有成功：因为人 走近，乌鸦就离开了巢，飞开了。它栖在远远的 树上守着，等到人离开了望楼，才肯飞回巢去。有 一天，这位农场主定下了一个计策：两个人走进望 楼，一个留着，三二个走开了。但是乌鸦并不上当： 它老等着，直到留在望楼里的人也走了田来才罢 这个试验一连做了几天：两个人， 三个人，四个人， 都没有成功。未了，用了五个人：也像以前一样 先都进了望楼，留一个在里面，其他四人走出来， 离开了。这次乌鸦却数不清了：它不能辨别四与五， 马上就飞回巢里去了。 6
乌鸦的“数觉” o 有个农场主主决心要打死一只在他庄园的望楼里筑 巢的乌鸦。他试了好多次，始终没有成功：因为人 一走近，乌鸦就离开了巢，飞开了。它栖在远远的 树上守着，等到人离开了望楼，才肯飞回巢去。有 一天，这位农场主定下了一个计策：两个人走进望 楼，一个留着，一个走开了。但是乌鸦并不上当： 它老等着，直到留在望楼里的人也走了出来才罢。 这个试验一连做了几天：两个人，三个人，四个人， 都没有成功。末了，用了五个人：也像以前一样， 先都进了望楼，留一个在里面，其他四人走出来， 离开了。这次乌鸦却数不清了：它不能辨别四与五， 马上就飞回巢里去了。 6
口狼骨上的刻痕记数。1937年在捷克Moravia出土， 上图所示为同一根狼骨的不同侧面，上面共刻有55 道刻痕，按5个一组排列。据考古学家考证，这根 狼骨的年代大约在公元前3万到2.5万年之间。 7
o 狼骨上的刻痕记数。1937年在捷克Moravia出土， 上图所示为同一根狼骨的不同侧面,上面共刻有55 道刻痕，按5个一组排列。据考古学家考证，这根 狼骨的年代大约在公元前3万到2.5万年之间。 7
埃及象形数字 ▣2015年7月摄于卢浮宫 8
埃及象形数字 o 2015年7月摄于卢浮宫 8
10 100 1,000 10,000100,0001,000,000 9
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Here are some examples of Egyptian numbers converted to the standard form: =7 =9 =10+5=15 0 n =3x10+8 =30+8=38 hiiieo =10,000+3x1000+ +100+2x10+4 = 10,000+3000+100 +20+4 =13124 ▣10进位（分群）数系（非位值制 10
o 10进位（分群）数系（非位值制） 10