第七讲 非欧几何与几何基础 1
《原本》：科学的《圣经》 Vol.1(Books I and Il) EUCLID >请回忆自己在中学学 THE THIRTEEN BOOKS OF THE ELEMENTS 习几何时体会 Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L Heath Second Edition Unabridged 2
爱因斯坦“邂逅” 毕达哥拉斯 “有一次雅可比叔叔向爱因斯坦讲了毕氏定 理的内容，而未讲任何证明。他的侄儿理 解所涉及的关系，并感到可基于一种理由 而推导出来。…这个小孩在三个星期中 用其全部的思维力量去证明这一定理。他 专注到三角形的相似性（从直角三角形的 一个顶点向斜边作垂线)得到了一个证明 为此，他长时间的激动！这虽然仅涉及到 个非常古老的著名定理，他却经历了发 现者首次的快乐。 99 3
Do you knov me?I'am Einstein I have proved the MOST point: 8孤a2+6公=mc8 “如果欧几里得未能激发起你少年时代的科学热情，那你 肯定不会是一个天才的科学家”-爱因斯坦 4
>自《原本》诞生那天起， “欧几里得几何' 作为数学严格性的典范，保持着神圣的地 位。人们把“欧氏几何”奉为“绝对真 理”，例如， 巴罗(Isaac Barrow)就曾列出 8点理由肯定欧氏几何，说它：概念清晰 定义明确；公理直观可靠而且普遍成立； 公设清楚可信而且易于想象；公理数目少 引出量的方式易于接受；证明顺序自然： 避免未知事物 5
> 此书有四不必，不必疑，不必揣， 不必试， 不必改。有四不可得，欲脱之不可得，欲驳 之不可得，欲减之不可得， 欲前后更置之不 可得 下学工夫，有理有事。此书为益。 能令学理 者怯其浮气，练其精心； 学事者资其定法， 发其巧思，故举世无一人不当学 一徐光启《几何原本杂议》 6
《原本》的公理化体系 第一卷：23个定义，5个公理，5个公设，48个命题 定义(definition) 1.点是没有部分的： 2.线只有长度而没有宽度 3.一线的两端是点； 4.直线是它上面的点一样放置着的线： 23.平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向 无限延长，在不论哪个方向它们都不相交。 7
公设(postulate)一关于几何的假设 1.从任一点到任一点可作直线： 2.线段可以任意延长： 3.以任一点为中心，任一距离为半径可以 作一圆； 4.所有直角皆相等 5.若一直线与两直线相交，且如果同侧所 交两内角之和小于两直角，则两直线无限 延长后必相交与该侧的一点。 8
公理(axiom)一关于量的规定 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，总量仍相等： 3.等量减等量，余量仍相等： 4.彼此重合的东西是相等的： 5.整体大于部分。 9
这些是永恒的真理吗？ “过直线外一点有且只有一条直线和已知直 线平行” “三角形的内角和等于1800”。 10
