第四章一元函数微分学的应用 第一节 柯西(Cauchy)中值定理与 洛必达(L'Hosp ital)法则 第二节 拉格朗日(Lagrange)中值定理 及函数的单调性 第三节 函数的极值与最值 第四节 曲率 第五节 函数图形的描绘 第六节 一元函数微分学在经济上的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则 第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性 *第四节 曲 率 第三节 函数的极值与最值 第五节 函数图形的描绘 第四章 一元函数微分学的应用 第六节 一元函数微分学在经济上的应用
第一节柯西(Cauchy)中值定理与洛必 达(L'Hospital)法则 一、柯西中值定理 二、洛必达法则 ☒☒I
一、 柯西中值定理 二、 洛必达法则 第一节 柯西（Cauchy）中值定理与洛必 达（L’Hospital）法则
柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数f(x)与F(x)满 足下列条件： (1)闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导： (3)F'(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么，在 (a,b)内至少有一点s, 使得 b)-@=f5) F(b)-F(a) F'(ξ) ✉☑I
定理 1 （柯西中值定理）如果函数 f (x)与 F(x)满 足下列条件： (1) 闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) F'(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么，在 (a,b)内至少有一点ξ， . f(b) f(a) f ( ) F(b) F(a) F ( ) − = − 使得 一、 柯西中值定理
二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 称为 型或” 型不定式（也称为 0-0 型或 型未定型 0 0 00 的极限，洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法. 定理2 (洛必达法则) 若 (1)limf(x)=0,1img(x)=0: X->X6 (2)f(x)与g(x)在x,的某邻域内（点x,可除外) 可导，且gx)≠0； ☒DI
二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 称 为 0 0型 或 型不定式(也称为 0 0型 或 型未定型) 的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法． (1) lim ( ) 0 0 = → f x x x ，lim ( ) 0 0 = → g x x x ； (2) f (x)与g(x)在 0 x 的某邻域内（点 0 x 可除外） 可导，且g'(x) 0； 定 理 2 (洛必达法则) 若
(3) lim ∫(=A(A为有限数，也可为∞或-∞)，则 g(x) lim (x) lim f'(x) A x->x0 8(x) x->Xo g(x) 证 由于我们要讨论的是函数在点x。的极限， 而极限与函数在点x,的值无关，所以我们可补充f(x) 与g(x)在x。的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响.令f(x)=g(x)=0,则f(x)与g(x)在点x。就连 续了.在x附近任取一点x,并应用柯西中值定理， 得 f(x)f(x)-f(x)f'(5) (5在x与x之间) g(x)g(x)-g(x) g'(5) ✉DII
(3) A g x f x x x = → ( ) ( ) lim 0 ( A 为有限数，也可为+ 或 − )，则 证 由于我们要讨论的是函数在点 0 x 的极限， 而极限与函数在点 0 x 的值无关，所以我们可补充f (x) 与g(x)在 0 x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响．令 f (x0 ) = g(x0 ) = 0， 则 f (x)与g(x) 在点 0 x 就 连 续了．在 0 x 附近任取一点 x，并应用柯西中值定理， 得 A g x f x g x f x x x x x = = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 g f g x g x f x f x g x f x = − − = (ξ在 x 与 0 x 之间)
由于x→x时，专→xo,所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕。 注：上述定理对x→o时的 未定型同样适用，对于 0 00 x)x,或x→o时的未定型 ，也有相应的法则. 00 ✉D☒I
由于 0 x → x 时， 0 ξ → x ，所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕． 注：上述定理对x → 时 的 0 0未定型同样适用，对于 0 x → x 或x → 时的未定型 ，也有相应的法则．
x3-3x+2 例1求1im x3-x2-x+1 解 4 x3-3x+2 3x2-3 lim 13x2-2x-1 6x 6 3 lim- x->1t x-2 4 2 例2求lim 1+cosx X→π tan x 解 1+cosx -sin x lim lim 0 X)π tan x x>元 1 cos-x ☒D☒I
例 1 求 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x ． 解 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x = 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − → x x x x = 6 2 6 lim→1 x − x x = 4 6 = 2 3． 例 2 求 x x x tan 1 cos lim π + → ． 解 x x x tan 1 cos lim π + → = x x x 2 π cos 1 sin lim − → = 0．
兀 arctan x 例3求lim 2 →+00 1 X 元 arctan x 解 lim 2 lim 1+x X→+00 1 X->+00 1 X lim *1+x2 1. 例4求m空a>0. Inx x-+0 解 lim Inx x→+00 x->too nyn-l lim- =0. ✉D☑I
例 3 求 π arctan 2 limx 1 x x →+ − ． 解 π arctan 2 limx 1 x x →+ − = 2 2 1 1 1 lim x x x − + − →+ = 2 2 1 lim x x x→+ + = 1． 例 4 求 ( 0) ln lim →+ n x x n x . 解 0 1 lim 1 lim ln lim 1 = = = →+ − →+ →+ n x n x n x nx nx x x x ．
除未定型 与”之外，还有0∞，0-∞，0°，1,0等未 CO 定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应 的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例. 伤例5求1im x->1 -1> 解这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型 1 =limD=lim x-+Inx-1 x->1 (x-1)Inx x-1 X ✉D冈I
例 5 求 − → x − x x x ln 1 1 lim 1 ． 解 这 是 − 未定型，通过“通分”将其化为 0 0未定型． x x x x x x x x x x ( 1)ln ln ( 1) lim ln 1 1 lim 1 1 − − − = − → − → x x x x x x x 1 ln ln 1 1 lim 1 − + + − = → 除未定型0 0与 之外，还有 0 0 0, − ,0 ,1 , 等未 定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应 的书籍，下面就 − 未定型再举一例．
1 lim lim X 1-1+Inx x->l 1 2 X 在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 8或 未定型，若不是未定型， 就不能使用该法则； 00 (2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) 当1i f 不存在（不包括。的情况）时，并不 g') 能断定lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限， g(x) I
在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 0 0或 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则； (2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) 当 g (x) f (x) lim 不存在(不包括 的情况)时，并不 能断定 g(x) f(x) lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限． x x x x ln 1 1 ln lim 1 − + = → 2 1 1 1 1 lim 2 1 = + = → x x x x