免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 2.3公式法 课时安排 1课时 教学内容及教法分析 公式法是解一元二次方程的通法,是配方法的延续,即它实际上是配方法的一般化和程 序化.利用它可以更为简捷地解一元二次方程. 本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程 公式法的意义在于:对于任意的一元二次方程,只要将方程化为一般形式,然后确定 b、c的值,在b2-4ac≥0的前提条件下,将a、b、c的值代入求根公式即可求出解. 因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程,而掌握推导过程的关键又是掌握配方 法,所以在教学中,首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式,然后在师生共同的讨 论中,得到求根公式,并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程 教学目标 (一)教学知识点 二次方程的求根公式的推导 2.会用求根公式解一元二次方程 (二)能力训练要求 1.通过公式推导,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力 2.会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程 (三)情感与价值观要求 1.通过运用公式法解一元二次方程的训练,提高学生的运算能力,养成良好的运算习 教学重点 元二次方程的求根公式 教学难点 求根公式的条件:b2-4ac≥0 教学方法 讲练相结合 教具准备 多媒体课件 教学过程 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2．3 公式法 课时安排 1 课时 教学内容及教法分析 公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程 序化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程． 本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程． 公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定 a、 b、c 的值，在 b 2 -4ac≥0 的前提条件下，将 a、b、c 的值代入求根公式即可求出解． 因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方 法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨 论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程． 教学目标 (一)教学知识点 1．一元二次方程的求根公式的推导 2．会用求根公式解一元二次方程 (二)能力训练要求 1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力． 2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程． (三)情感与价值观要求 1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习 惯． 教学重点 一元二次方程的求根公式． 教学难点 求根公式的条件：b 2 -4ac≥0 教学方法 讲练相结合 教具准备 多媒体课件 教学过程
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ I.巧设现实情景,引入课题 [师]前面我们学习了利用配方法解一元二次方程.下面来做一练习以巩固其解法.(出 示投影片) 1.用配方法解方程2x2-9x+8=0 [生]解:,2x2-9x+8=0 两边都除以2,得-。x+4=0 移项,得 配方,得 4 7 两边分别开平方,得 /7 [师]同学们做得很好,从以上解题过程中,我们发现:利用配方法解一元二次方程的基本步 骤是相同的.因此,如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),得到根的 一般表达式,那么再解一元二次方程时,就会方便简捷得多 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式 Ⅱ.讲授新课 [师]刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程,那你能否利用配方法的基本步 骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢? 大家可参照解方程2x2-9x+8=0的步骤进行. [生甲]因为方程的二次项系数不为1,所以首先应把方程的二次项系数变为1,即方程 两边都除以二次项系数a,得 [生乙]因为这里的二次项系数不为0,所以,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边都除以a 时,需要说明a≠0 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com Ⅰ．巧设现实情景，引入课题 [师]前面我们学习了利用配方法解一元二次方程．下面来做一练习以巩固其解法．(出 示投影片) 1．用配方法解方程 2x2 -9x+8=0 [生]解：，2x2 - 9x+8=0 两边都除以 2，得 移项，得；． 配方，得． 两边分别开平方，得 [师]同学们做得很好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步 骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程 ax 2 +bx+c＝0(a≠0)，得到根的 一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多． 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式． Ⅱ．讲授新课 [师]刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步 骤解方程 ax 2 +bx+c＝0(a≠0)呢? 大家可参照解方程 2x2 -9x+8=0 的步骤进行． [生甲]因为方程的二次项系数不为 1，所以首先应把方程的二次项系数变为 1，即方程 两边都除以二次项系数 a，得 x 2 + a c x a b + =0． [生乙]因为这里的二次项系数不为 0，所以，方程 ax 2 +bx+c＝0(a≠0)的两边都除以 a 时，需要说明 a≠0． 2 9 4. 2 x x − = − 2 2 2 9 9 9 4. 2 4 4 x x − + = − 2 9 17 . 4 16 x − = 9 17 . 4 4 x − = 9 17 . 4 4 = x 1 2 9 17 9 17 ; . 4 4 x x + − = =
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [师]对,以前我们解的方程都是数字系数,显然就可以看到:二次项系数不为0,所以无需 特殊说明,而方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边都除以a时,必须说明a≠0 好,接下来该如何呢? 「生丙]移项,得x+bx=-C 配方,得x2+b b、2b2-4ac [师]这时,可以直接开平方求解吗? [生丁]不,还需要讨论 因为a≠0,所以4a2>0.当b2-4ac≥0时,就可以开平方 [师]对,在进行开方运算时,被开方数必须是非负数,即要求42=0.因为4a3>0 恒成立,所以只需b2-4ac是非负数即可 因此,方程(x+) 的两边同时开方,得 4 2 大家来想一想,讨论讨论: b--4ac b2-4 4a2 2 [师]当b2-4ac≥0时, b,|b2-4ac,√b2-4ac 因为式子前面有双重符号“±”,所以无论a>0还是a<0,都不影响最终的结果: b2-4 所以x+b=+yb2-4c 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为 0，所以无需 特殊说明，而方程 ax 2 +bx+c＝0(a≠0)的两边都除以 a 时，必须说明 a≠0． 好，接下来该如何呢? [生丙]移项，得 x 2 + a c x a b = − 配方，得 x 2 + 2 2 ) 2 ) ( 2 ( a b a c a b x a b + = − + , (x+ 2 2 2 4 4 ) 2 a b ac a b − = . [师]这时，可以直接开平方求解吗? [生丁]不，还需要讨论． 因为 a≠0，所以 4a2 >0．当 b 2 -4ac≥0 时，就可以开平方． [师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求 2 2 4 4 a b − ac ≥0．因为 4a2 >0 恒成立，所以只需 b 2 -4ac 是非负数即可． 因此，方程(x+ a b 2 ) 2＝ 2 2 4 4 a b − ac 的两边同时开方，得 x+ a b 2 =± 2 2 4 4 a b − ac . 大家来想一想，讨论讨论： ± 2 2 4 4 a b − ac =± a b ac 2 4 2 − 吗? …… [师]当 b 2 -4ac≥0 时， x+ a b 2 =± 2 2 4 4 a b − ac =± 2 | | 4 2 a b − ac 因为式子前面有双重符号“±”，所以无论 a>0 还是 a< 0，都不影响最终的结果： ± a b ac 2 4 2 − 所以 x+ a b 2 =± a b ac 2 4 2 − , x=- a b 2 ± a b ac 2 4 2 −
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ b±√b2-4a 般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是 b± 4ac [师]由此我们可以看到:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a c确定的.因此,在解一元二次方程时,先将方程化为一般形式,然后在b-4ac≥0的前提 条件下,把各项系数a、b、c的值代入,就可以求得方程的根.用求根公式解一元二次方 程的方法称为公式法 注:(1)在运用求根公式求解时,应先计算b-4ac的值;当b-4ac>0时,可以用公式求 出两个不相等的实数解:当b2-4ac=0时,可以求出方程有两个相等的实数根,当b2-4ac0 -b±√b2-4ac 2×2 师]好,我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤 [师生共析]其一般步骤是: 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com = a b b ac 2 4 2 − − 一般地，对于一元二次方程 ax 2 +bx+c＝0(a≠0)，当 b 2 -4ac≥0 时，它的根是 x= a b b ac 2 4 2 − − [师]由此我们可以看到：一元二次方程 ax 2 +bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数 a、b、 c 确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在 b 2 -4ac≥0 的前提 条件下，把各项系数 a、b、c 的值代入，就可以求得方程的根．用求根公式解一元二次方 程的方法称为公式法。 注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算 b 2 -4ac 的值；当 b 2 -4ac>0 时，可以用公式求 出两个不相等的实数解；当 b 2 -4ac=0 时，可以求出方程有两个相等的实数根，当 b 2 -4ac＜0 时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了． (2)把方程化为一般形式后，在确定 a、b、c 时，需注意符号． 接下来，我们来看一例题．(出示投影片) [例题]解方程 2x2 -9x+8=0 分析：要求方程 2x2 -9x+8=0 的解，需先确定 a、b、c 的值．注意 a、b、c 带有符号． 解：这里 a＝2， b＝-9，c＝8． ∵b 2 -4ac=(-9)2 -4×2×8 ＝ 17＞0， 即 [师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤． [师生共析]其一般步骤是： ( ) 2 4 2 9 17 2 2 9 17 . 4 b b ac x a − − = − − = = 1 2 9 17 9 17 ; . 4 4 x x + − = =
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (1)把方程化为一般形式,进而确定a、b,c的值.(注意符号) (2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根) 3)在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的直代入求根公式,求出 b±√b2-4ac 最后写出方程的根. [师]接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法 Ⅲ.课堂练习 (一)课本P5随堂练习1、2 1.用公式法解下列方程: (1)x2-7x+18=0 解:这里a=1,b=-7,c=-18. ∵b2-ac=(-7)2-4×1×(-18) =121>0, 7±√1217±11 2×1 即x1=9,x2=-2 (2)x2+3=23x 解:原方程可化为:x2-23x+3=0 这里a=1,b=-23,c3 b2-4ac=(-23)2-4×1×3=0 2√3±√02√3 即:x1=x2=3 (3)(x-2)(1-3x)=6 解:去括号:x-2-3x2+6x=6 化简为一般式:3x2-7x+8=0 这里a=3,b=-7,c=8 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (1)把方程化为一般形式，进而确定 a、b，c 的值．(注意符号) (2)求出 b 2 -4ac 的值．(先判别方程是否有根) (3)在 b 2 -4ac≥0 的前提下，把 a、b、c 的直代入求根公式，求出 a b b ac 2 4 2 − − 的值， 最后写出方程的根． [师]接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法． Ⅲ．课堂练习 (一)课本 P57 随堂练习 1、2 1．用公式法解下列方程： (1) x2 -7x+18＝0； 解：这里 a＝1，b＝-7，c＝-18． ∵b 2 -4ac=(-7)2 -4×1×(-18) ＝121＞0， ∴x= 2 7 11 2 1 7 121 = , 即 x1＝9，x2＝-2． (2) 解：原方程可化为： 这里 a=1,b= ,c=3 (3)（x-2)(1-3x)=6 解：去括号：x-2-3x2 +6x=6 化简为一般式：3x2 -7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8. x +3 = 2 3x 2 x − 2 3x +3 = 0 2
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-470等条件在推导过程中的应用,也要弄清其中的道理 (2)应用求根公式解一元二次方程,通常应把方程写成一般形式,并写出a、b、c的数值以 及计算b2-4ac的值,当熟练掌握求根公式后,可以简化求解过程 (3)由b2-4ac可知一元二次方程的解有三种情况。 V.课后作业 (一)课本P习题2.61、2 (二)1.预习内容;P59~P6 2.预习提纲 (1)如何利用因式分解法解一元二次方程 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∵b 2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 470 等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理． (2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出 a、b、c 的数值以 及计算 b 2 -4ac 的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程． （3）由 b 2 -4ac 可知一元二次方程的解有三种情况。 Ⅴ．课后作业 (一)课本 P58 习题 2．6 1、2 (二)1．预习内容；P59～P61 2．预习提纲 (1)如何利用因式分解法解一元二次方程