免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 2.2用配方法求解一元二次方程 、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:初二上学期,学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方 公式,在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程,这些为本节 课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。 学生活动经验基础:上一课时,学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程 已经体会到其中转化的思想方法,这些都成为完成本课任务的活动经验基础。 、教学任务分析 在课程安排上这节课的具体学习任务:用配方法解二次项系数不为1的一元二次方 程以及利用一元二次方程解决实际问题。这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学 学习领域,因而务必服务于方程教学的远期目标:“让学生经历由具体问题抽象出方程 的过程,体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,并在解一元二次方程的 过程中体会转化的数学思想”,为此,本节课的教学目标是 ①经历配方法解一元二次方程的过程,获得解二元一次方程的基本技能 ②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想 ③能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果 的合理性,进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力 教学过程分析 本节课设计了五个教学环节:第一环节:复习回顾:第二环节:情境引入;第三环 节:讲授新课:第四环节:练习提高:第五环节:课堂小结;第六环节:布置作业。 第一环节复习回顾 活动内容:回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。 活动目的:回顾配方法的基本步骤,为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法 打下基础。 实际效果:教学中为了便于学生回顾,可以通过举例的形式,帮助学生回顾并整理步骤 例如,x2-6x-40=0 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2.2 用配方法求解一元二次方程 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方 公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程，这些为本节 课学习解二次项系数不为 1 的方程打下较好的基础。 学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为 1 的方程的解的过程， 已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。 二、教学任务分析 在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方 程以及利用一元二次方程解决实际问题。这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学 学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方 程 的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的 过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是： ①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能； ②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想； ③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果 的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力. 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环 节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。 第一环节 复习回顾 活动内容：回顾配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的基本步骤。 活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为 1 的二次方程的解法 打下基础。 实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮 助学生回顾并整理步骤， 例如，x 2 -6x-40=0
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 移项,得 2-6x=40 方程两边都加上32(一次项系数一半的平方),得 x2-6x+32=40+32 (x-3)2=49 开平方,得x-3=±7 即 x-3=7或x-3=-7 所以 X1=10,x2=-4 学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤: 通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路,掌握了每一步的理论依 据,增强了解题的信心,达到预期的目的 配方法的两节课连贯性强,作为一种新的方法,学生在新授期间应多接触,熟练掌握基 本的步骤,掌握每一步的原理,这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力。一般的 元二次方程配方解法的步骤(移项,配方,开平方,求解)及注意事项。移项的目的是 将二次项和一次项调整到等号的左边,常数项调整到右边:配方是将方程的两边添加一 个常数项(一次项系数一半的平方)原理是根据公式a2+2ab+b2=(a+b)2进行的; 开平方的原理是平方根的定义,需要注意一个正数有两个平方根,它们是互为相反数 求解的过程是解两个一元一次方程,要注意符号的变化 第二环节:情境引入 活动内容:1.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式口头回答 1.x2+2x+ 2.x2-4x+ 3.x2 +36=(x+ 4.x2+10x+ 5.x2-x+ 2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别 1.x2+6x+8=0 2.3x2+18x+24=0 探讨方程2的应如何去解呢? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 移项，得 x 2 -6x= 40 方程两边都加上 32(一次项系数一半的平方），得 x 2 -6x+32 =40+32 即 （x-3） 2 =49 开平方，得 x-3 =±7 即 x-3=7 或 x-3=-7 所以 x1=10,x2=-4 学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤： 通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依 据，增强了解题的信心，达到预期的目的。 配方法的两节课连贯性强，作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触，熟练掌握基 本的步骤，掌握每一步的原理 ，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力。一般的一 元二次方程配方解法的步骤（移项，配方，开平方，求解）及注意事项。移项的目的是 将二次项和一次项调整到等号的左边，常数项调整到右边；配方是将方程的两边添加一 个常数项（一次项系数一半的平方）原理是根据公式 a 2 ＋2ab＋b 2 ＝（a＋b） 2 进行的； 开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们是互为相反数； 求解的过程是解两个一元一次方程，要注意符号的变化。 第二环节：情境引入 活动内容：1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答. 1.x2 +2x+________=(x+______)2 2.x2 -4x+________=(x-______)2 3.x2 +________+36=(x+______)2 4.x2 +10x+________=(x+______)2 5. x2 -x+________=(x-______)2 2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别 1.x2 +6x+8=0 2.3x2 +18x+24=0 探讨方程 2 的应如何去解呢？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 活动目的:通过对第一部分的五个口答练习题的训练,熟悉完全平方式的三项与平方形 式的联系,第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3,不符合上节课 解题的基本形式,联系是当方程两边同时除以3以后,这两个方程式同解方程。学生们 作了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路 实际效果:学生对第一部分五个口答题的积极抢答,调动了各自的思维,进入了积极学 习的状态;比较第二部分中两个方程系数之间的区别与联系,学生们发现二次项系数为 1仅是方程中的一小部分,怎样将其它类型的方程转化成这类方程非常关键,这个比较 也点明了转化的方向和思路,为后续解这个方程做好了充分的铺垫,学生解决它已是轻 车熟路的事情 第三环节:讲授新课 活动内容1:讲解例题 例2解方程3x2+8x-3=0 解:方程两边都除以3,得 移项,得x2+8x=1 配方,得 8 x-+-x 3 活动目的:通过对例2的讲解,继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充 分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,关键是将方程转化成 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com x+-=± 33
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形 式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程 2 的二次项系数为 3，不符合上节课 解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以 3 以后，这两个方程式同解方程。学生们 作了方程的变形以后，对二次项系数不为 1 的方程的解法有了初步的感受和思路。 实际效果：学生对第一部分五个口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学 习的状态；比较第二部分中两个方程系数之间的区别与联系，学生们发现二次项系数为 1 仅是方程中的一小部分，怎样将其它类型的方程转化成这类方程非常关键，这个比较 也点明了转化的方向和思路，为后续解这个方程做好了充分的铺垫，学生解决它已是轻 车熟路的事情。 第三环节：讲授新课 活动内容 1：讲解例题 例 2 解方程 3x2 +8x-3=0 解：方程两边都除以 3，得 移项，得 配方，得 活动目的：通过对例 2 的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充 分 理 解 掌 握 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 的 基 本 思 路 , 关 键 是 将 方程转化成 1 0 3 2 8 x + x − = 2 2 2 3 4 1 3 4 3 8 = + x + x + 9 25 3 4 2 = x + , 3 3 1 , 3 5 3 4 x + = x1 = x2 = − 1 3 2 8 x + x = 3 5 3 4 x + =
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (x+m)=川(n≥0)形式,特别强调当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一 次项系数一半的平方,理解这样做的原理,树立解题的信心。另外,得到 后 在移项得到x=±二-一要注意符号问题,这一步在计算过程中容易出错。 实际效果:经过这一环节,学生对配方法的特点有了深入的了解,通过例题的处理,进 步把握了配方法的基本思路,熟悉了其步骤。 活动内容2:应用提高: 做一做:一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(S)满 足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度? 解:根据题意得 15t-5t2=10 方程两边都除以-5,得 配方,得 3t 31 t1=2,12 活动目的:在前边学习的基础上,通过例3进一步提高学生分析问题,解决问题的能力 帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用,也为后续学习做好铺垫。 实际效果:大部分学生通过独立思考,根据题意很快列出了方程,解方程的过程比较顺 畅,最终得到两个时间t的值分别为1和2,根据实际情景怎样理解这两个时间呢?这 就是很好的数学应用,体现数学的价值,很多学生能想象出当时间为1秒时,小球上升 到离出发点10米的地方,当时间为2秒钟时,小球是处于下降状态,离出发点也是10 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ( ) ( 0) 2 x + m = n n 形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一 次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心。另外，得到 后， 在移项得到 3 4 3 5 x = − 要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错。 实际效果：经过这一环节，学生对配方法的特点有了深入的了解，通过例题的处理，进 一步 把握了配方法的基本思路，熟悉了其步骤。 活动内容 2：应用提高： 做一做：一小球以 15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m)与时间 t(S)满 足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到 10 米的高度？ 解：根据题意得 15t-5t2=10 方程两边都除以-5，得 t2-3t=-2 配方，得 活动目的：在前边学习的基础上，通过例 3 进一步提高学生分析问题,解决问题的能力， 帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。 实际效果：大部分学生通过独立思考，根据题意很快列出了方程，解方程的过程比较顺 畅，最终得到两个时间 t 的值分别为 1 和 2，根据实际情景怎样理解这两个时间呢？这 就是很好的数学应用，体现数学的价值，很多学生能想象出当时间为 1 秒时，小球上升 到离出发点 10 米的地方，当时间为 2 秒钟时，小球是处于下降状态，离出发点也是 10 2 2 2 2 3 2 2 3 3 = − + t − t + 4 1 2 3 2 = t − 2 1 2 3 t − = t 1 = 2,t 2 =1
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 米,激发了学生学习数学的热情 第四环节:练习与提高 活动内容:课本习题2.4问题解决2. 印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方, 蹦蹦跳跳树林里:其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮。告我总数有多少,两队猴子在一起? 大意是说:一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是 2,那么猴子的总数是多少?请同学们解决这个问题。 解:可设猴子的总数是x,由题意可得 (8x)2+12=x 解得x1=16x2=48 答:这群猴子可能是16只,也可能是48只。 活动目的:对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力、数 学建模能力 实际效果:这个题中的等量关系不易发现,课堂上,我给学生们适当的空间,培养学生 独立思考的习惯,然后鼓励思维敏捷的同学展示自己的思路,用学生的语言带动学生们 学习。 第五环节:课堂小结 活动内容:1.学生总结解一元二次方程的基本步骤 2.利用一元二次方程解决实际问题的思路,对于结果的理解。 动目的:鼓励学生结合本节课的学习,谈自己的收获与感想 实际效果:学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获,掌握了配方法的基本思路和 过程。 第六环节:布置作业 (1)课本42页习题2.4第1题 (2)一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说,正常的收缩压p(毫米汞柱)与年 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 米，激发了学生学习数学的热情。 第四环节：练习与提高 活动内容：课本习题 2.4 问题解决 2. 印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方， 蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？ 大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是 12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。 解：可设猴子的总数是 x，由题意可得 ( 8 1 x)2+12=x 解得 x1=16 x2=48 答：这群猴子可能是 16 只，也可能是 48 只。 活动目的：对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力、数 学建模能力。 实际效果：这个题中的等量关系不易发现，课堂上，我给学生们适当的空间，培养学生 独立思考的习惯，然后鼓励思维敏捷的同学展示自己的思路，用学生的语言带动学生们 学习。 第五环节：课堂小结 活动内容：1.学生总结解一元二次方程的基本步骤； 2.利用一元二次方程解决实际问题的思路，对于结果的理解。 活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想。 实际效果：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了配 方法的基本思路和 过程。 第六环节：布置作业 ⑴课本 42 页习题 2.4 第 1 题； ⑵一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压 p（毫米汞柱）与年
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 龄x(岁)大致满足关系:p=0.01x2+0.05x+107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱, 那么她的年龄大概是多少? (3)有能力的同学请课余时间用配方法交流探究方程:ax2+bx+c=0(a不为0)的解法. 四、教学反思 1、创造性的使用了教材 这节课作为配方的第二节主要是以习题训练为重点,所以我依照书上的例题为重点 展示了解方程的基本步骤,另外,添加了辅助性的3个习题;将书上的做一做转化成一 个例题,让学生体会利用一元二次方程解决问题的感受;另在作业中配套了一道血压方 面的数学问题,学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关 2、注意改进的方面 基础较好的学生对于基础性的计算比较快,与此同时,班级中的有7—8名学生对 于数据计算有懒惰的思想,速度慢,时间长,如果不能及时解决,这部分学生将落队, 或者整节课堂冗长无味,因此如何调控教学进度成为教学中的一个难点。我的办法是老 师准备好几个不同层次的习题,当大部分学生做完后,可以为他们提供更高层次的习题, 继续引领他们的思维前进,而加强对基础薄弱的同学动手动脑的监督 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 龄 x（岁）大致满足关系：p=0.01x2+0.05x+107.如果一个女性的收缩压为 120 毫米汞柱， 那么她的年龄大概是多少？ ⑶有能力的同学请课余时间用配方法交流探究方程： ax 2 +bx+c=0 (a 不为 0)的解法. 四、教学反思 1、创造性的使用了教材： 这节课作为配方的第二节主要是以习题训练为重点，所以我依照书上的例题为重点 展示了解方程的基本步骤，另外，添加了辅助性的 3 个习题；将书上的做一做转化成一 个例题，让学生体会利用一元二次方程解决问题的感受；另在作业中配套了一道血压方 面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关。 2、注意改进的方面 基础较好的学生对于基础性的计算比较快，与此同时，班级中的有 7—8 名学生对 于数据计算有懒惰的思想，速度慢，时间长，如果不能及时解决，这部分学生将落队， 或者整节课堂冗长无味，因此如何调控教学进度成为教学中的一个难点。我的办法是老 师准备好几个不同层次的习题，当大部分学生做完后，可以为他们提供更高层次的习题， 继续引领他们的思维前进，而加强对基础薄弱的同学动手动脑的监督