刚体转动惯量的测量转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当困难的，通常要用实验的方法来测定其转动惯量。实验上测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的特定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。测定转动惯量的实验方法较多，如拉伸法、扭摆法、三线摆法等，本实验利用“刚体转动惯量实验仪”来测定刚体的转动惯量。为了便于与理论计算比较，本实验采用形状规则的圆形铝圈。【教学目的】1、加深对刚体转动惯量及其物理意义的理解：2、掌握三线摆测转动惯量的原理和方法；3、熟练长度、质量和时间测量仪器的使用方法及仪器装置的水平调整技术。【教学重点】1、培养学生在独立完成本实验任务的过程中，从查阅资料、开放预习、操作，到完成数据处理、独立撰写课程论文的多种能力。2、掌握三线摆、秒表等仪器的基本原理和调节、使用方法：学会用三线摆测不同刚体转动惯量的方法。3、在处理数据的过程中，应用实验误差理论计算不确定度和百分误差；分析误差原因，对提高测量结果的精度提出、实施改进措施。【教学难点】1、转动惯量不确定度的分析；2、改进测量方法的实施过程。【教学方法】以学生实验操作为主，适当讲授、讨论、演示相结合。【实验仪器】三线摆仪、钢卷尺、游标卡尺、秒表、气泡水平仪、待测圆环。【学时】3学时【课程讲授】提间1.什么是刚体的转动惯量？答：转动惯量是刚体转动时惯性的量度。2刚体的转动惯量由那几个因素决定？答：刚体的转动惯量取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。3.刚体的转动惯量具有哪些应用？答：刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。4、在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期有测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？答：有影响。当三线摆在扭动的同时产生晃动时，这时下圆盘的运动已不是一个简谐振动，从而运用公式测出的转动惯量将与理论值产生误差，其误差的大小是与晃动的轨迹以及幅度有关的
刚体转动惯量的测量 转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物 理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于 质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动 惯量。对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当 困难的，通常要用实验的方法来测定其转动惯量。 实验上测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的特 定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。测定转动惯量的实验方法较多， 如拉伸法、扭摆法、三线摆法等，本实验利用“刚体转动惯量实验仪”来测定刚体的转动惯 量。为了便于与理论计算比较，本实验采用形状规则的圆形铝圈。 【教学目的】 1、加深对刚体转动惯量及其物理意义的理解； 2、掌握三线摆测转动惯量的原理和方法； 3、熟练长度、质量和时间测量仪器的使用方法及仪器装置的水平调整技术。 【教学重点】 1、培养学生在独立完成本实验任务的过程中，从查阅资料、开放预习、操作，到完成 数据处理、独立撰写课程论文的多种能力。 2、掌握三线摆、秒表等仪器的基本原理和调节、使用方法；学会用三线摆测不同刚体 转动惯量的方法。 3、在处理数据的过程中，应用实验误差理论计算不确定度和百分误差；分析误差原因， 对提高测量结果的精度提出、实施改进措施。 【教学难点】 1、 转动惯量不确定度的分析； 2、 改进测量方法的实施过程。 【教学方法】 以学生实验操作为主，适当讲授、讨论、演示相结合。 【实验仪器】 三线摆仪、钢卷尺、游标卡尺、秒表、气泡水平仪、待测圆环。 【学时】 3 学时 【课程讲授】 提问 1. 什么是刚体的转动惯量? 答：转动惯量是刚体转动时惯性的量度。 2. 刚体的转动惯量由那几个因素决定? 答：刚体的转动惯量取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。 3. 刚体的转动惯量具有哪些应用? 答：刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机 械、仪表等工业领域也是一个重要参量。 4、在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期有测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？ 答：有影响。当三线摆在扭动的同时产生晃动时，这时下圆盘的运动已不是一个简谐振动， 从而运用公式测出的转动惯量将与理论值产生误差，其误差的大小是与晃动的轨迹以及幅度 有关的
一、实验原理1．三线摆几何参数的关系设悬线长度AB=1，上、下圆盘半径分别为r和R，上下圆盘间垂直距离为H，如图2所示。摆动前有(1)H? =1-(R-r)2当摆角振幅为6时，下圆盘悬点A移至位置A，圆盘中心上升高度为h(BC)-(BC)2h=BC-BC, =(2)BC + BC,而此时(BC)° =(A,B) -(AC)=/2-(R? +r2-2Rrcos))(3)(4)BC+BC,= 2H-h将（1）、（3）、（4）代入（2）式，整理得2Rr(/-cose)_2Rr-2sinr %2h=2H-h2H-h因为L远远大于h，所以2H-h~2H；摆角e,很小时，有sir%~(9)=%，由此得224Rro,h:(5)2HrH0R图1三线摆图2三线摆原理图2.三线摆测刚体转动惯量原理三线摆由上、下两个均质圆盘用三条等长线连接而成，每个圆盘的三个悬点分别组成等边三角形，如图1所示。上盘固定，下盘可绕两圆盘的中心轴线OO作扭转摆动。扭转的过程也是下圆盘动能与势能的转化过程。扭转周期由下圆盘（包括至于其上面的待测物体）转动惯量决定。根据摆动周期和有关几何参数即可以测定下圆盘（或其上物体）的转动惯量
一、实验原理 1．三线摆几何参数的关系 设悬线长度 AB = l ，上、下圆盘半径分别为 r 和 R ，上下圆盘间垂直距离为 H ，如图 2 所示。摆动前有 2 2 2 H = l − (R − r) （1） 当摆角振幅为 0 时，下圆盘悬点 A 移至位置 A1 ，圆盘中心上升高度为 h 1 2 1 2 1 BC BC BC BC h BC BC + − = − = ( ) ( ) （2） 而此时 2 1 1 2 1 2 (BC1 ) = (A B) − (A C ) ( ) 0 2 2 2 = l − R + r − 2Rrcos （3） BC + BC1 = 2H − h （4） 将（1）、（3）、（4）代入（2）式，整理得 2H h 2 2Rr 2sin 2H h 2Rr 1 cos h 2 0 0 − = − − = ( ) 因为 L 远远大于 h，所以 2H − h 2H ；摆角 0 很小时，有 2 2 4 sin 2 2 0 0 2 0 ( ) = ，由此得 2H Rr h 2 0 = （5） 2．三线摆测刚体转动惯量原理 三线摆由上、下两个均质圆盘用三条等长线连接而成，每个圆盘的三个悬点分别组成等 边三角形，如图 1 所示。上盘固定，下盘可绕两圆盘的中心轴线 OO 作扭转摆动。扭转的过 程也是下圆盘动能与势能的转化过程。扭转周期由下圆盘（包括至于其上面的待测物体）转 动惯量决定。根据摆动周期和有关几何参数即可以测定下圆盘（或其上物体）的转动惯量。 R r O O 图 1 三线摆 O O1 O A H A1 h B C C R r 图 2 三线摆原理图 0
设下圆盘的质量为m，圆盘在平衡位置时的势能为零。当一小角度摆动时，则由于圆盘上升而增加的势能为Ep=mogh当圆盘回到平衡位置时，E，=0，而其转动动能为1E"?100式中，1是下圆盘对OO'轴的转动惯量，の是下圆盘转回平衡位置时刻的瞬时角速度。若不计运动过程中的阻力，根据机械能守恒定律可得1(6)mogh=jloo.下圆盘的小角度扭转摆动可看作简谐振动，则下圆盘的最大角速度为2元0(7)0=T.式中，T是下圆盘的转动周期。将（5）、（7）式代入（6）式得gmRr.(8)Io =4元H上式是下圆盘对OO'轴的转动惯量的计算式。只要测得m。、r、R、H及T。，即可算出I。。若将质量为m，的圆环放在下盘上，则新的振子质量为m。+m，，转动惯量为1=(m +m)Rr2(9)4元2H式中，工为放置圆环后新振动系统的转动周期。根据转动惯量的可叠加性，待测圆环的转动惯量1,为l,=1,-1,=-gR(10)[(mg+m,)T-mT]4元H3.平行轴定理理论分析证明，若质量为m的物体绕质心轴的转动惯量为1c，当转轴平行移动距离d时，则此物体对新轴的转动惯量变为I'= Ic +md?(11)利用三线摆可以验证平行轴定理。实验时，将两个质量均为M且形状完全相同的圆柱体对称地放在下盘中心的两侧。按上法可测出两圆柱绕中心轴的转动惯量I。如果测得的I值与由（10）式右边计算的理论值比较时的相对误差在测量误差允许的范围内，则平行轴定理得到验证。二、实验内容与步骤1、调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）：调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪位于下圆盘中心）。2、等待三线摆仪静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原位，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用秒表测出50次完全振动的时间t0，重复测量5次求平均值to，计算出下盘空载时的振动周期To。3、将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用秒表测出50次完全振动的时间1，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。4、测出圆环质量（m）、内外直径（d、D）及仪器有关参量（mo、R、r和H等）
设下圆盘的质量为 m0 ，圆盘在平衡位置时的势能为零。当一小角度摆动时，则由于圆 盘上升而增加的势能为 EP = m0 gh 当圆盘回到平衡位置时， EP = 0 ，而其转动动能为 2 k 0 0 I 2 1 E = 式中， 0 I 是下圆盘对 OO 轴的转动惯量， 0 是下圆盘转回平衡位置时刻的瞬时角速度。 若不计运动过程中的阻力，根据机械能守恒定律可得 2 0 0 0 I 2 1 m gh = （6） 下圆盘的小角度扭转摆动可看作简谐振动，则下圆盘的最大角速度为 0 0 0 T 2 = （7） 式中， T0 是下圆盘的转动周期。将（5）、（7）式代入（6）式得 2 0 0 0 2 T H m Rr 4 g I = （8） 上式是下圆盘对 OO 轴的转动惯量的计算式。只要测得 m0 、r 、R 、H 及 T0 ，即可算出 0 I 。 若将质量为 m1 的圆环放在下盘上，则新的振子质量为 m +m 0 ，转动惯量为 0 2 1 1 2 ( ) 4 g m +m Rr I T H = （9） 式中， T1 为放置圆环后新振动系统的转动周期。根据转动惯量的可叠加性，待测圆环的转动 惯量 2 I 为 [( ) ] 2 0 0 2 2 1 0 2 m0 m1 T1 m T 4 H gRr I = I − I = + − （10） 3．平行轴定理 理论分析证明，若质量为 m 的物体绕质心轴的转动惯量为 C I ，当转轴平行移动距离 d 时，则此物体对新轴的转动惯量变为 2 I = IC + md （11） 利用三线摆可以验证平行轴定理。实验时，将两个质量均为 M 且形状完全相同的圆柱 体对称地放在下盘中心的两侧。按上法可测出两圆柱绕中心轴的转动惯量 I 。如果测得的 I 值与由（10）式右边计算的理论值比较时的相对误差在测量误差允许的范围内，则平行轴定 理得到验证。 二、实验内容与步骤 1、调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm 左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水 平状态（水平仪位于下圆盘中心）。 2、等待三线摆仪静止后，用手轻轻扭转上盘 5°左右随即退回原位，使下盘绕仪器中心 轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用秒表测出 50 次完全振动的时间 t0，重复测量 5 次求平均值 t0，计算出下盘空载时的振动周期 T0。 3、将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用秒表测出 50 次完全振动的时间 t，重复测量 5 次求平均值，算出此时的振动周期 T。 4、测出圆环质量（m）、内外直径（d、D）及仪器有关参量（m0、R、r 和 H 等）
因下盘对称悬挂，使三悬点正好连成一个等边三角形（见图3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于L/。同理，上盘的有效半径r也可测得。5、将实验数据填入表1。先由式（9）推出1的相对不确定度公式，算出1的相对不确定度、绝对不确定度，并写出的测量结果。再由式（11）算出圆环对中心轴的转动惯量「并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。L图3下盘悬点示意三、数据记录及处理把实验结果记录在表1中。表1实验数据表格下盘质量mo=圆环质量m=g,.g待测物测量次数平均待测量体值23541上盘有效半径(mm)有效半径R(mm)下盘周期To=to/50(s)上、下盘垂直距离H(cm)内径d(mm)圆环外径D(mm)下盘加圆周期T=t/50(s)环根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达如下。下盘：I=-_gcm21=]。±N=(±g·cm?gcm2,Jg cm?圆环：7=g"cm2 I=(l,±7。)=(gcm,=四、误差分析1、圆盘没有完全水平：2、上下圆盘中心点连线不在一条直线上；3、秒表测量时，起点和终点均目测不够精确；4、圆盘在扭动运动中同时有摆动；5、下圆盘上三条钢丝与圆盘交点并不构成等边三角形，将导致上下圆盘中心点连线不在一条直线上。五、注意事项1、转动三线摆仪上盘时角度应小于5°，且不可使圆盘晃动。2、连续测量摆动50次所需时间共5次，每次之值相差应小于1s。3、放置圆环时，应使环心与下盘中心复合。六、思考题1、若被测物体质心不在00'轴线上，将产生什么现象？
因下盘对称悬挂，使三悬点正好连成一个等边三角形（见图 3）。若测得两悬点间的距 离为 L，则圆盘的有效半径 R（圆心到悬点的距离）等于 L/ 3 。同理，上盘的有效半径 r 也可测得。 5、将实验数据填入表 1。先由式（9）推出I0的相对不确定度公式，算出I0的相对不确定 度、绝对不确定度，并写出 I0 的测量结果。再由式（11）算出圆环对中心轴的转动惯量 I 并与 理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出 I 的测量结果。 三、数据记录及处理 把实验结果记录在表 1 中。 表 1 实验数据表格 下盘质量 m0= g， 圆环质量 m= g 待 测 物 体 待 测 量 测 量 次 数 平 均 1 2 3 4 5 值 上盘 有效半径 r(mm) 下盘 有效半径 R(mm) 周期 T0＝t0/50(s) 上、下盘 垂直距离 H(cm) 圆环 内径 d(mm) 外径 D(mm) 下盘加圆 环 周期 T＝t/50(s) 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达如下。 下盘： 0 I = g·cm2，Δ 0 I = g·cm2 I I I 0 0 0 = Δ =( ± )g·cm2 圆环： I = g·cm2，ΔI = g·cm2 I I I 0 0 0 =( Δ ) =( ± )g·cm2 四、误差分析 1、圆盘没有完全水平； 2、上下圆盘中心点连线不在一条直线上； 3、秒表测量时，起点和终点均目测,不够精确； 4、圆盘在扭动运动中同时有摆动； 5、下圆盘上三条钢丝与圆盘交点并不构成等边三角形，将导致上下圆盘中心点连线不在一 条直线上。 五、注意事项 1、转动三线摆仪上盘时角度应小于 5°，且不可使圆盘晃动。 2、连续测量摆动 50 次所需时间共 5 次，每次之值相差应小于 1s。 3、放置圆环时，应使环心与下盘中心复合。 六、思考题 1、若被测物体质心不在 OO'轴线上，将产生什么现象？
答：三线摆在扭摆时同时将产生晃动时，这时下圆盘的运动已不是一个简谐振动，从而运用公式测出的转动惯量将与理论值产生误差。2、在实验中忽略了哪些次要影响因素？理由是什么？答：忽略的次要影响因素有摩擦力，3、怎么判断刚体作匀减速或加速运动？答：认真观察，可在刚体上选一个的点，做好标记，记录在两个相等的时间段内，该点转过的圈数，圈数增大即为加速，反之就是减速，4、用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？答：扭摆的运动可近似看作简谐运动，以便公式推导，利用根据能量守恒定律和刚体转动定律均可导出物体绕中心轴的转动惯量公式。七、实验中出现的问题和解决办法1、加待测物体时盘有晃动。解决办法：加待测物体时轻放轻取，在扭摆前用手致使下盘稳定静止。2、上圆盘与下圆盘一起摆动。解决办法：尽量把扭摆幅度减小，保持上盘稳定
答：三线摆在扭摆时同时将产生晃动时，这时下圆盘的运动已不是一个简谐振动，从而运用 公式测出的转动惯量将与理论值产生误差。 2、在实验中忽略了哪些次要影响因素？理由是什么？ 答：忽略的次要影响因素有摩擦力， 3、怎么判断刚体作匀减速或加速运动？ 答：认真观察，可在刚体上选一个的点，做好标记，记录在两个相等的时间段内，该点转过 的圈数，圈数增大即为加速，反之就是减速。 4、用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？ 答：扭摆的运动可近似看作简谐运动，以便公式推导，利用根据能量守恒定律和刚体转动定 律均可导出物体绕中心轴的转动惯量公式。 七、实验中出现的问题和解决办法 1、加待测物体时盘有晃动。 解决办法：加待测物体时轻放轻取，在扭摆前用手致使下盘稳定静止。 2、上圆盘与下圆盘一起摆动。 解决办法：尽量把扭摆幅度减小，保持上盘稳定