第八章角动量I这一章的主要内容1.角动量是空间旋转变换的生成元，有其特定的代数结构2.角动量的代数结构决定了角动量的本征值和本征态3.利用自旋角动量，讨论了互文性问题4.从旋转变换的角度重新讨论轨道角动量5.向量算子，Wigner-Eckart定理1.Galileo时空变换非相对论情形下的时空变换是Galileo变换：r-→r'=Rr+a+vt(1)t-→t=t+s其中，R描述空间旋转变换，它是一个3×3的特殊正交矩阵.aER3表示空间平移向量.v是一个惯性系相对于另一个惯性系的速度.s是时间平移量.Galileo变换构成Galileo群.在量子力学中，描述微观粒子状态的量不是位置或动量，而是量子态，而观测量则要表示为厄密算子的形式，所以量子力学中讨论时空变换就不仅仅是（1）式所示的内容，而是要关注时空变换对量子态和观测量的影响对于空间的变换是空间平移和空间旋转，这将影响到量子态在位置空间中的形式，即波函数.所以，下面的讨论实际上是关于位置表象中的量子态而言的，但是，得到的结论将推广到其它情形，例如描述粒子的内属性的量子态。2.Wigner定理在时空变换下，量子态和力学量分别变为→，A→A须满足两个条件：1.本征值不变，即(2)如果α=，那么=1
第八章 角动量 I 这一章的主要内容 1. 角动量是空间旋转变换的生成元, 有其特定的代数结构. 2. 角动量的代数结构决定了角动量的本征值和本征态. 3. 利用自旋角动量, 讨论了互文性问题. 4. 从旋转变换的角度重新讨论轨道角动量. 5. 向量算子, Wigner-Eckart 定理. 1. Galileo 时空变换 非相对论情形下的时空变换是 Galileo 变换: r ! r 0 = Rr + a + vt t ! t 0 = t + s (1) 其中, R 描述空间旋转变换, 它是一个 3 3 的特殊正交矩阵. a 2 R3 表示空间平移向量. v 是一个惯性系相对于另一个 惯性系的速度. s 是时间平移量. Galileo 变换构成 Galileo 群. 在量子力学中, 描述微观粒子状态的量不是位置或动量, 而是量子态, 而观测量则要表示为厄密算子的形式, 所以量子力 学中讨论时空变换就不仅仅是 (1) 式所示的内容, 而是要关注时空变换对量子态和观测量的影响. 对于空间的变换是空间平移和空间旋转, 这将影响到量子态在位置空间中的形式, 即波函数. 所以, 下面的讨论实际上是 关于位置表象中的量子态而言的, 但是, 得到的结论将推广到其它情形, 例如描述粒子的内禀属性的量子态. 2. Wigner 定理 在时空变换下, 量子态和力学量分别变为 j i ! j 0 i; A ! A 0 : 须满足两个条件: 1. 本征值不变, 即 如果 A j˛j i = aj j˛j i, 那么 A 0 j˛ 0 j i = aj j˛ 0 j i. (2) 1
2.观测结果的几率不变，即(3) 如果=cα变为=α),那么[c=cWigner定理（参看[l)与第2个条件密切相关Wigner定理设）和[)是Hilbert空间中的两个向量,在变换U的作用下,）→=),）→=U).如果U能够保证这两个向量的内积的模不变，那么U是酉变换或者是反酉变换根据Wigner定理，时空变换反映在量子态上，要么是酉变换，要么是反酉变换酉变换是我们熟悉的，它保证两个量子态的内积在变换前后不变，下面介绍反酉变换，（反酉变换反酉变换属于反线性变换，满足如下条件的算子是反线性算子，实现反线性变换，(4)A(c[1)+22))=A[1)+A[2)反线性算子包含复共轭的操作.对于反线性算子A，Ac=c*A, CEC两个反线性算子的相乘得到一个线性算子如果·A是反线性算子，·存在逆A-1对于任意的，有=那么A是反酉算子以下过程将证明，在反酉算子变换前后，两个量子态之间的内积互为复共轭[)=A|),(")=A[)Let [) = [) + l), ) = A) = [) + [')I==(+()I) =《=()+()+()+()I 1) I2 = I1 1) I2Re ()= Re(')Let [n)= [)+i l), [n') = A(n) = A [)-iA[)Im () =-Im ("ls0*)2
2. 观测结果的几率不变, 即 如果 j i = X j cj j˛j i 变为 j 0 i = X j c 0 j j˛ 0 j i, 那么 jcj j 2 = jc 0 j j 2 , (3) Wigner 定理 (参看 [1]) 与第 2 个条件密切相关. Wigner 定理 设 j i 和 j'i 是 Hilbert 空间中的两个向量, 在变换 U 的作用下, j i ! j 0 i = U j i, j'i ! j' 0 i = U j'i. 如果 U 能够保证这两个向量的内积的模不变, 那么 U 是酉变换或者是反酉变换. 根据 Wigner 定理, 时空变换反映在量子态上, 要么是酉变换, 要么是反酉变换. 酉变换是我们熟悉的, 它保证两个量子态的内积在变换前后不变. 下面介绍反酉变换. 反酉变换 反酉变换属于反线性变换, 满足如下条件的算子是反线性算子, 实现反线性变换, A(c1 j 1i + c2 j 2i) = c 1 A j 1i + c 2 A j 2i (4) 反线性算子包含复共轭的操作. 对于反线性算子 A, Ac = c A; c 2 C 两个反线性算子的相乘得到一个线性算子. 如果 • A 是反线性算子, • 存在逆 A 1 , • 对于任意的 j i, 有 j i = A j i , 那么 A 是反酉算子. 以下过程将证明, 在反酉算子变换前后, 两个量子态之间的内积互为复共轭. j 0 i = A j i; j' 0 i = A j'i Let ji = j i + j'i; j 0 i = A ji = j 0 i + j' 0 i k ji k 2 = hji = h j i + h'j'i + h j'i + h'j i k j 0 i k 2 = h 0 j 0 i = h 0 j 0 i + h' 0 j' 0 i + h 0 j' 0 i + h' 0 j 0 i k ji k 2 = k j 0 i k 2 Re h j'i = Re h 0 j' 0 i Let ji = j i + i j'i, j 0 i = A ji = A j i iA j'i Im h j'i = Im h 0 j' 0 i 2
《)=()*(4)式定义了反线性算子右矢的作用结果，但是没有作用于左矢的定义.此前，我们通过考虑线性泛函定义了左失.对于任意的线性算子，可以定义线性泛函.但是现在我们面临的是反线性算子.所以，我们不将反线性算子作用于左失，也不能写 At反酉变换将被用来描述在下一章讨论的时间反演变换Wigner定理的主要内容设[）和lo）是Hilbert空间中的任意两个向量.用表示|）的等价类，=()/)=c),cC,c=1)也就是说，等价类表示所有与l）仅相差一个相因子的向量的集合.实际上是投影空间(或者说rayspace)中的向量，须注意到不属于）所在的Hilbert空间.简单地，我们可以把视作密度算子=.类似地，表示[o)的等价类，简单地视作=X考虑投影空间中的变换T,#→=T$→=T对于变换T有这样的要求，(5)()=()这里（）表示投影空间中的内积（而不是Hilbert空间中的内积).但是，我们还没有定义投影空间中的内积.仍然采用简单的做法，既然==o,我们就把投影空间中的内积写作(,) =T() = /() 于是我们希望把(5)改写为(6)1()=/0)12但是，这里有个问题，变换T是作用于投影空间中的向量的，我们并不知道相应的Hilbert空间中的向量该如何变化，即)=? )=?Wigner定理的主要内容就是：对于任何一个满足条件(5)的投影空间中的变换T，总是存在Hilbert空间中的变换U，使得1.如果)属于等价类，那么）一定属于等价类2. U(I) + l))=U I) +U lo).3. U(c/)) = x(c)U l),其中 c E C, x(c) = c 或者 x(c) = c*4.令）=,=),有)=()一些解释：·上述第一个条件是对变换U的基本要求.如果变换U满足这个条件，那么就说它是与变换T相容的(compatiblewith T).·仅仅根据述条件2不能说明U是线性的.Bargmann将满足U（l）+lo））=U）+Ulo）的U称为加法性的(additive).3
) h j'i = h 0 j' 0 i (4) 式定义了反线性算子右矢的作用结果, 但是没有作用于左矢的定义. 此前, 我们通过考虑线性泛函定义了左矢. 对于 任意的线性算子, 可以定义线性泛函. 但是现在我们面临的是反线性算子. 所以, 我们不将反线性算子作用于左矢, 也不 能写 A . 反酉变换将被用来描述在下一章讨论的时间反演变换. Wigner 定理的主要内容 设 j i 和 j'i 是 Hilbert 空间中的任意两个向量. 用 表示 j i 的等价类, = ˚ j 0 i ˇ ˇ j 0 i = c j i; c 2 C; jcj = 1 也就是说, 等价类 表示所有与 j i 仅相差一个相因子的向量的集合. 实际上是投影空间 (或者说 ray space) 中的向 量, 须注意到 不属于 j i 所在的 Hilbert 空间. 简单地, 我们可以把 视作密度算子 = j ih j. 类似地, ' 表示 j'i 的等价类, 简单地视作 ' = j'ih'j. 考虑投影空间中的变换 T, ! 0 = T ; ' ! ' 0 = T' 对于变换 T 有这样的要求, ( ; ') = ( 0 ; '0 ) (5) 这里 (; ) 表示投影空间中的内积 (而不是 Hilbert 空间中的内积). 但是, 我们还没有定义投影空间中的内积. 仍然采用 简单的做法, 既然 = j ih j, ' = j'ih'j, 我们就把投影空间中的内积写作 ( ; ') = Tr( ') = jh j'ij 2 于是我们希望把 (5) 改写为 jh j'ij 2 = jh 0 j' 0 ij 2 (6) 但是, 这里有个问题, 变换 T 是作用于投影空间中的向量的, 我们并不知道相应的 Hilbert 空间中的向量该如何变化, 即 j 0 i =? j' 0 i =? Wigner 定理的主要内容就是: 对于任何一个满足条件 (5) 的投影空间中的变换 T, 总是存在 Hilbert 空间中的变换 U, 使 得 1. 如果 j i 属于等价类 , 那么 U j i 一定属于等价类 T . 2. U(j i + j'i) = U j i + U j'i. 3. U(c j i) = (c)U j i, 其中 c 2 C, (c) = c 或者 (c) = c . 4. 令 j 0 i = U j i, j' 0 i = U j'i, 有 h 0 j' 0 i = h j'i 一些解释: • 上述第一个条件是对变换 U 的基本要求. 如果变换 U 满足这个条件, 那么就说它是与变换 T 相容的 (compatible with T). • 仅仅根据述条件 2 不能说明 U 是线性的. Bargmann 将满足 U(j i + j'i) = U j i + U j'i 的 U 称为加法性的 (additive). 3
·如果具有加法性的U又能满足上述条件3和4，那么就是酉的或者反酉的因此，投影空间中保持内积不变的变换（在量子力学中相当于保持几率不变的变换）体现在态空间(Hilbert空间）中的变换就是酉变换或者反酉变换还需要考虑的是U变换的唯一性.按照Bargmann文中的话说It is of course important to know to what extent U is determined by a ray mapping T which preservesinnerproducts关于这个问题，有下面的定理。定理设T是保证投影空间的向量的内积不变的变换.如果Ui和U2是Hilbert空间上的与T相容的并且具有加法性的(additive)变换，那么它们只能相差一个恒定的单位复数，即,U2=U,e,10|=1.注意这个定理并不要求Ui和Uz满足Wigner定理中的条件3或条件4，它们只要与T相容并且具有加法性就可以了因此，结合Wigner定理，有一般性的结论：保证量子态的内积的模不变的变换是酉变换或者反酉变换3.群与代数在整个这门课中，我们反复提到并使用Lie代数和Lie群之间的联系：无穷小变换Lie群Lie代数exp关于这件事，参考[2]中的第4章和第7章，并建议回顾SU(2)变换的生成元的推导过程下面抄一段该书第4章的摘要：The study of Liegroups can be greatlyfacilitated by linearizing thegroup in the neighborhood of itsidentity.This results in a structure called a Liealgebra.The Lie algebra retains most, but not quite all, ofthepropertiesoftheoriginal Liegroup.Moreover,mostoftheLiegrouppropertiescanberecoveredbythe inverse of the linearization operation, carried out by the ExPonential mapping. Since the Lie algebrais a linear vector space, it can be studied using all the standard tools available for linear vector spaces.Inparticular,wecandefineconvenientinnerproductsandmakestandardchoicesofbasisvectors.Theproperties of a Lie algebra in the neighborhood of the origin are identified with the properties of theoriginal Lie group in the neighborhood of the identity. These structures, such as inner product andvolumeelement,areextendedovertheentiregroupmanifoldusingthegroupmultiplicationoperation4.空间平移变换在讨论位置表象和动量表象的时候说过空间平移变换，这里再重复一遍，算是空间旋转变换的铺垫空间平移变换这一操作可以面向不同的对象，有三种不同的情形：4
• 如果具有加法性的 U 又能满足上述条件 3 和 4, 那么就是酉的或者反酉的. 因此, 投影空间中保持内积不变的变换 (在量子力学中相当于保持几率不变的变换) 体现在态空间 (Hilbert 空间) 中的变 换就是酉变换或者反酉变换. 还需要考虑的是 U 变换的唯一性. 按照 Bargmann 文中的话说 It is of course important to know to what extent U is determined by a ray mapping T which preserves inner products. 关于这个问题, 有下面的定理. 定理 设 T 是保证投影空间的向量的内积不变的变换. 如果 U1 和 U2 是 Hilbert 空间上的与 T 相容的并且具有加法性的 (additive) 变换, 那么它们只能相差一个恒定的单位复数, 即, U2 = U1, jj = 1. 注意这个定理并不要求 U1 和 U2 满足 Wigner 定理中的条件 3 或条件 4, 它们只要与 T 相容并且具有加法性就可以了. 因此, 结合 Wigner 定理, 有一般性的结论: 保证量子态的内积的模不变的变换是酉变换或者反酉变换. 3. 群与代数 在整个这门课中, 我们反复提到并使用 Lie 代数和 Lie 群之间的联系: Lie 群 无穷小变换 )* exp Lie 代数 关于这件事, 参考 [2] 中的第 4 章和第 7 章, 并建议回顾 SU(2) 变换的生成元的推导过程. 下面抄一段该书第 4 章的摘要: The study of Lie groups can be greatly facilitated by linearizing the group in the neighborhood of its identity. This results in a structure called a Lie algebra. The Lie algebra retains most, but not quite all, of the properties of the original Lie group. Moreover, most of the Lie group properties can be recovered by the inverse of the linearization operation, carried out by the EXPonential mapping. Since the Lie algebra is a linear vector space, it can be studied using all the standard tools available for linear vector spaces. In particular, we can define convenient inner products and make standard choices of basis vectors. The properties of a Lie algebra in the neighborhood of the origin are identified with the properties of the original Lie group in the neighborhood of the identity. These structures, such as inner product and volume element, are extended over the entire group manifold using the group multiplication operation. 4. 空间平移变换 在讨论位置表象和动量表象的时候说过空间平移变换, 这里再重复一遍, 算是空间旋转变换的铺垫. 空间平移变换这一操作可以面向不同的对象, 有三种不同的情形: 4
1.对空间位置坐标进行平移,这就是r-→r=r+a，其中a是某个常矢量，表示平移量2.考虑位置坐标的函数f(r),在空间平移变换下变为另一种函数形式于"(r),这个函数形式是怎样的？3.考虑空间位置算子R，在空间平移变换下变为什么？（第1种情形）平移变换T(a)作用于向量r,得到另一个向量r=T(a)r=r+a,或者r=T-1(a)r=r-a（第2种情形）考虑简单的沿x方向的平移，平移的对象是函数f(x).形象地说，将函数f(x)的图像整体(比如说)向右平移一段距离a，于是得到另一个函数，记作(x),如图1所示，显然f(x)=f(x-a)图l:将函数f(x）向右平移a也可以在两个参考系中描述.设想有两个参考系，S和S，它们的空间位置坐标分别用x和x表示.参考系S'在S的右侧,相距a.在S中有观测者A,看到的函数是f(x).在参考系S'中,有观测者B.如果B在参考系S'中看到的函数图像(用f（x）表示）等同于A在参考系S中看到的函数图像，那么就应该有f'(x)=f(x)以图1所示的函数为例,A在参考系S的原点看到函数f(x）的最大值，B也应该在参考系S的原点看到函数f(x)的最大值如果把这个关系放在参考系s中描述，那么,x=x+a,f"(x+a)=f(x),或者f(x)= f(x-a)平移变换当然构成群，平移变换的算子是e-a最=e-iaPx/h,这是酉算子.f"(x) =e-iaPx/h f(x)这就是我们常说的，动量是平移变换的生成元，注1注意区别两件事情：①空间平移变换，②在不同的参考系中观察同一个函数图像。前者会改变量子态和力学量，而后者只是表象的变换.在空间平移变换下，需要将参考系S中的函数图像“推到”参考系S'中，并且满足了(x)=f(x)，从而有f(x)=f(x-a),或者f(x)=e-iaPx/hf(x)如果在不同的参考系中观察同一个函数，那么对于空间中的某一点，A在S系中的坐标（比如说）是xo，而B在S'系中的坐标是xo =xo-a.两个观测者A和B应该给出相同的函数值，即f(xo)=f"(xo),或者f(xo-a)=f(xo),也就是f(xo)=f(xo+a),一般地，f(x)=f(x+a), 或者 f"(x)=eiaPx/hf(x)5
1. 对空间位置坐标进行平移, 这就是 r ! r 0 = r + a, 其中 a 是某个常矢量, 表示平移量. 2. 考虑位置坐标的函数 f (r), 在空间平移变换下变为另一种函数形式 f 0 (r), 这个函数形式是怎样的? 3. 考虑空间位置算子 R, 在空间平移变换下变为什么? 第 1 种情形 平移变换 T (a) 作用于向量 r, 得到另一个向量 r 0 = T (a)r = r + a, 或者 r = T 1 (a)r 0 = r 0 a. 第 2 种情形 考虑简单的沿 x 方向的平移, 平移的对象是函数 f (x). 形象地说, 将函数 f (x) 的图像整体 (比如说) 向 右平移一段距离 a, 于是得到另一个函数, 记作 f 0 (x), 如图 1 所示, 显然 f 0 (x) = f (x a) 0 x f(x) a f ’(x)=f(x-a) 图 1: 将函数 f (x) 向右平移 a. 也可以在两个参考系中描述. 设想有两个参考系, S 和 S 0 , 它们的空间位置坐标分别用 x 和 x 0 表示. 参考系 S 0 在 S 的右 侧, 相距 a. 在 S 中有观测者 A, 看到的函数是 f (x). 在参考系 S 0 中, 有观测者 B. 如果 B 在参考系 S 0 中看到的函数图像 (用 f 0 (x 0 ) 表示) 等同于 A 在参考系 S 中看到的函数图像, 那么就应该有 f 0 (x 0 ) = f (x) 以图 1 所示的函数为例, A 在参考系 S 的原点看到函数 f (x) 的最大值, B 也应该在参考系 S 0 的原点看到函数 f 0 (x 0 ) 的 最大值. 如果把这个关系放在参考系 S 中描述, 那么, x 0 = x + a, f 0 (x + a) = f (x), 或者 f 0 (x) = f (x a) 平移变换当然构成群, 平移变换的算子是 e a @ @x = e iaPx/„ , 这是酉算子. f 0 (x) = e iaPx/„ f (x) 这就是我们常说的, 动量是平移变换的生成元. 注 1 注意区别两件事情: ① 空间平移变换, ② 在不同的参考系中观察同一个函数图像. 前者会改变量子态和力学量, 而 后者只是表象的变换. 在空间平移变换下, 需要将参考系 S 中的函数图像 “推到” 参考系 S 0 中, 并且满足 f 0 (x 0 ) = f (x), 从而有 f 0 (x) = f (x a), 或者 f 0 (x) = e iaPx/„f (x). 如果在不同的参考系中观察同一个函数, 那么对于空间中的某一点, A 在 S 系中的坐标 (比如说) 是 x0, 而 B 在 S 0 系中 的坐标是 x 0 0 = x0 a. 两个观测者 A 和 B 应该给出相同的函数值, 即 f (x0) = f 0 (x 0 0 ), 或者 f 0 (x0 a) = f (x0), 也就是 f 0 (x0) = f (x0 + a), 一般地, f 0 (x) = f (x + a); 或者 f 0 (x) = e iaPx/„f (x) 5
注2一般地，对空间位置坐标作变换，r'=Tr其中T泛指一般意义上的空间变换，可以是平移，也可以是将要讨论的空间旋转变换。于是空间位置的函数，f=f(r).空间位置变换体现在函数f上，表示为f工、f"=Tf,其效果是，f(r') = f(r)由于r=Tr,所以f'(Tr) = f(r)或者表示为f'(r) = f(T-1r)(7)-类似地，在空间平移变换下，波函数(x)变为(8)'(x)=(x-a)注意到(x)=(x)，'(x)=(x)，(x-a)=(x-a)于是空间平移变换可以表示为(9)()→()=(-)上式有两种阅读方式：如果认为(）一→(x)，那么是主动观点，量子态从）变为);如果认为(）一→(x-a)那么是被动观点,左形式的基向量从(x|变为(x-al可以证明，在被动观点中，(xle-iaPx/h = (x - al(10)证明（10）(xl是位置算子X的左矢形式的本征态，(x|X=x(xl.[X,e-iaPx/h] = ae-iaPx/h(x[X,e-iaPx/h] =a (xle-iaP /h(x/ xe-iaPx/h_ (xle-iaPx /hX =a (xle-iaPx/h((xle-iaPx/h)X = (x-a)((x|e-iaPx/h)表明(xle-iaPx/是x的本征态，对应的的本征值是x-a,不考虑相因子的差异，认为(x|e-iaPx/h = (x - al用右矢形式表示，elaPx/h [x) = [x -a)6
注 2 一般地, 对空间位置坐标作变换, r T ! r 0 = Tr 其中 T 泛指一般意义上的空间变换, 可以是平移, 也可以是将要讨论的空间旋转变换. f 是空间位置的函数, f = f (r). 空间位置变换体现在函数 f 上, 表示为 f T ! f 0 = T f , 其效果是, f 0 (r 0 ) = f (r) 由于 r 0 = Tr, 所以 f 0 (Tr) = f (r) 或者表示为 f 0 (r) = f (T 1 r) (7) 类似地, 在空间平移变换下, 波函数 (x) 变为 0 (x) = (x a) (8) 注意到 (x) = hxj i; 0 (x) = hxj 0 i; (x a) = hx aj i 于是空间平移变换可以表示为 hxj i ! hxj 0 i = hx aj i (9) 上式有两种阅读方式: 如果认为 hxj i ! hxj 0 i, 那么是主动观点, 量子态从 j i 变为 j 0 i; 如果认为 hxj i ! hx aj i 那么是被动观点, 左矢形式的基向量从 hxj 变为 hx aj. 可以证明, 在被动观点中, hxj e iaPx/„ = hx aj (10) 证明 (10) hxj 是位置算子 X 的左矢形式的本征态, hxj X = x hxj. X; eiaPx/„ = aeiaPx/„ hxj X; eiaPx/„ = a hxj e iaPx/„ hxj xeiaPx/„ hxj e iaPx/„X = a hxj e iaPx/„ hxj e iaPx/„ X = (x a) hxj e iaPx/„ 表明 hxj e iaPx/„ 是 X 的本征态, 对应的的本征值是 x a, 不考虑相因子的差异, 认为 hxj e iaPx/„ = hx aj 用右矢形式表示, e iaPx/„ jxi = jx ai 6
回来看(9),有(xy") = (x -al)= (x[e-iaPx/h)(11)这就是说，在主动观点中，I")=e-iaPx/h[)(12) 这本是以前说过空间平移变换对量子态的作用，这里又说了一遍，其间的过程是：1.空间平移变换将函数f(x)变为f(x)=f(x=a),对于波函数也是如此,即(8)式.2.引入位置表象的基向量x),得到(9)，继而(10),这相当于用被动观点描述3.被动观点和主动观点可以统一地体现在（11)中，最后（12)式给出空间平移变换作用于量子态的抽象形式（第3种情形）空间平移变换作用于位置算子X，将其变为X.为了考虑X的形式，需要用到时空变换应满足的条件(2).在参考系S中，观测者A有观测量X，即位置算子.本征值和本征态分别是x和x)：作空间平移变换，在参考系S'中，观测者B有观测量X，本征值和本征态分别是x和|x).现在，Xx和Ix）的形式都不清楚条件（2）要求x=x，听起来有些奇怪，需要稍作分析.假设粒子的状态是位置算子X的本征函数，即8函数，(x)=8(x一xo).在此状态中观测者A测量位置算子X,得到的结果是本征值xo.空间平移变换之后，在参考系S中，观测者B面临的粒子的状态是（x）.在B看来，这也是一个8函数，而且也是在与原点距离为xo的地方有一个无穷大的峰值.B测量位置算子X，得到的结果也一定是xo，不可能是xo+a.观测者B必须把探测器放在参考系S'中位置x=xo的地方，才能观测到响应，放在其它地方则一无所获.因此，本征值是算子（这里是X）数学意义上固有的性质，把算子移动到另一个参考系中，本征值不改变现在有下面两个本征方程，X (x) = xx), X'(x) = x [x)基向量x）和x）之间的关系仍不清楚，再去关注(x）=(x)，即(x)= (x)因为)=e-iaPx/)，所以(x/y)= (x'le-iaPx/h)这意味着(x| = (x'e-iaPx /h也就是[x') = e-iaPx/ [x) = [x + a)把这个关系代入Xx）=xx)，X'e-iaPx/h [x) = xe-iaPx/h [x)eiaPx/hX'e-iaPx/h [x) = x [x)表明eiaPx/hX'e-iaPx/h=X，于是有X'=e-iaPx/h XeiaPx/h=X-al其中用到了Baker-Hausdorff公式7
回来看 (9), 有 hxj 0 i = hx aj i = hxje iaPx/„ j i (11) 这就是说, 在主动观点中, j 0 i = e iaPx/„ j i (12) 这本是以前说过空间平移变换对量子态的作用, 这里又说了一遍, 其间的过程是: 1. 空间平移变换将函数 f (x) 变为 f 0 (x) = f (x a), 对于波函数也是如此, 即 (8) 式. 2. 引入位置表象的基向量 jxi, 得到 (9), 继而 (10), 这相当于用被动观点描述. 3. 被动观点和主动观点可以统一地体现在 (11) 中, 最后 (12) 式给出空间平移变换作用于量子态的抽象形式. 第 3 种情形 空间平移变换作用于位置算子 X, 将其变为 X0 . 为了考虑 X 的形式, 需要用到时空变换应满足的条件 (2). 在参考系 S 中, 观测者 A 有观测量 X, 即位置算子. 本征值和本征态分别是 x 和 jxi. 作空间平移变换, 在参考系 S 0 中, 观 测者 B 有观测量 X0 , 本征值和本征态分别是 x 0 和 jx 0 i. 现在, X0 , x 0 和 jx 0 i 的形式都不清楚. 条件 (2) 要求 x = x 0 , 听起来有些奇怪, 需要稍作分析. 假设粒子的状态是位置算子 X 的本征函数, 即 ı 函数, (x) = ı(x x0). 在此状态中观测者 A 测量位置算子 X, 得到的结果是本征值 x0. 空间平移变换之后, 在参考系 S 0 中, 观测者 B 面临的粒子的状态是 0 (x 0 ). 在 B 看来, 这也是一个 ı 函数, 而且也是在与原点距离为 x0 的地方有一个无穷大 的峰值. B 测量位置算子 X0 , 得到的结果也一定是 x0, 不可能是 x0 + a. 观测者 B 必须把探测器放在参考系 S 0 中位置 x 0 = x0 的地方, 才能观测到响应, 放在其它地方则一无所获. 因此, 本征值是算子 (这里是 X) 数学意义上固有的性质, 把 算子移动到另一个参考系中, 本征值不改变. 现在有下面两个本征方程, X jxi = x jxi; X0 jx 0 i = x jx 0 i 基向量 jxi 和 jx 0 i 之间的关系仍不清楚, 再去关注 0 (x 0 ) = (x), 即 hxj i = hx 0 j 0 i 因为 j 0 i = e iaPx/„ j i, 所以 hxj i = hx 0 je iaPx/„ j i 这意味着 hxj = hx 0 j e iaPx/„ 也就是 jx 0 i = e iaPx/„ jxi = jx + ai 把这个关系代入 X0 jx 0 i = x jx 0 i, X 0 e iaPx/„ jxi = xeiaPx/„ jxi e iaPx/„X 0 e iaPx/„ jxi = x jxi 表明 e iaPx/„X0 e iaPx/„ = X, 于是有 X 0 = e iaPx/„XeiaPx/„ = X a1 其中用到了 Baker-Hausdorff 公式. 7
或者，不使用Baker-Hausdorff公式，考虑X'x"）=x[x)，也就是X'x + a) = x [x +a)可以直接看出(X-al)(x+a)=(x+a)lx+a)-a|x+a)=x[x+a)所以X'= X-al.推广到三维情形，平移量为a的空间平移变换是酉变换e-iaP/h,将量子态1)变为e-ia-P/h)，将位置表象的基向量(r)变为e-ia:P/h(r)=r+a),将位置算子R变为e-ia-P/hReja-P/h = R - al5.空间旋转变换我们将沿两种途径分析空间旋转变换途径一仿照空间平移变换的讨论，考虑以下几种情形1.对三维实空间中的向量r进行旋转变换，2.对函数(r）或者波函数（r）进行旋转变换，得到生成元的具体形式，并称之为角动量3.根据时空变换应满足的条件（2)，以及角动量的具体形式和相关的对易子，分析旋转变换对位置以及其它力学量的改变.（途径二1.直接认为角动量是空间旋转变换的生成元，但是不清楚它的具体形式，也不知道角动量与位置算子或动量算子的对易关系2.分析无穷小旋转变换，依据条件(2)，推导与角动量相关的对易子3.尽量避免指明角动量的具体形式，因而不得不借助经典力学的素材进行类比和推广，途径一的过程是在位置表象中展开的，因而其结论似乎局限于轨道角动量.途径二的主要过程也是在位置表象中进行的，但是没有用到轨道角动量的具体形式，因而可以认为在某种程度上讨论了一般意义的角动量.也正是因为缺少了角动量的具体表示，使得在推导过程中需要参考一些已有知识进行类比，5.1.途径一考虑简单的情形，绕z轴旋转角度Φ，向量rER3变为0cosS-sing0r→r'=R(z,Φ)r =singcosd10018
或者, 不使用 Baker-Hausdorff 公式, 考虑 X0 jx 0 i = x jx 0 i, 也就是 X 0 jx + ai = x jx + ai 可以直接看出 (X a1)jx + ai = (x + a)jx + ai a jx + ai = x jx + ai 所以 X 0 = X a1: 推广到三维情形, 平移量为 a 的空间平移变换是酉变换 e iaP/„ , 将量子态 j i 变为 e iaP/„ j i, 将位置表象的基向量 jri 变为 e iaP/„ jri = jr + ai, 将位置算子 R 变为 e iaP/„Re iaP/„ = R a1 5. 空间旋转变换 我们将沿两种途径分析空间旋转变换. 途径一 仿照空间平移变换的讨论, 考虑以下几种情形: 1. 对三维实空间中的向量 r 进行旋转变换. 2. 对函数 f (r) 或者波函数 (r) 进行旋转变换, 得到生成元的具体形式, 并称之为角动量. 3. 根据时空变换应满足的条件 (2), 以及角动量的具体形式和相关的对易子, 分析旋转变换对位置以及其它力学量的 改变. 途径二 1. 直接认为角动量是空间旋转变换的生成元, 但是不清楚它的具体形式, 也不知道角动量与位置算子或动量算子的 对易关系. 2. 分析无穷小旋转变换, 依据条件 (2), 推导与角动量相关的对易子. 3. 尽量避免指明角动量的具体形式, 因而不得不借助经典力学的素材进行类比和推广. 途径一的过程是在位置表象中展开的, 因而其结论似乎局限于轨道角动量. 途径二的主要过程也是在位置表象中进行 的, 但是没有用到轨道角动量的具体形式, 因而可以认为在某种程度上讨论了一般意义的角动量. 也正是因为缺少了角 动量的具体表示, 使得在推导过程中需要参考一些已有知识进行类比. 5.1. 途径一 考虑简单的情形, 绕 ´ 轴旋转角度 , 向量 r 2 R3 变为 r ! r 0 = R(´; )r = 0 B B @ cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 1 C C A r 8
也就是x'=xcos-ysing(13)y'=xsinp+ycosp'=z接着讨论对函数的旋转变换，我们直接说波函数（r）的变化.需要注意的是，要讨论的是波函数的旋转，而不是在另一个旋转了的参考系中描述同一个波函数相对于参考系S,参考系S'有一个绕z轴Φ角度的旋转.两个参考系的空间位置坐标分别是（x,y,z)和（x.yz)，它们之间的联系是X= R(z.Φ)'2将波函数(r)旋转到参考系s中，在S系中看来，波函数的形式是(r),并且'(r)=()由此得到(14)(r)=(R-(z)r)=(xcos+ysin-xsin+ycos,z)考虑无穷小变换，Φ→8，将（xcosΦ+ysind，-xsind+ycosΦ，z）展开到8Φ的一级项，得到生成元aa*%+元反过来，用Exp形式表示有限大小的旋转变换，d*%+最)((x, y,z)'(x, y,z) = exp令Lz=-ityaxdr将L，称为角动量的z分量在位置表象中的表示.旋转变换表示为y'(x, y,z)=e-igLz/hy(x, y,z)(15)类似地，考虑绕x轴和y轴的旋转变换，得到角动量的x分量和y分量在位置表象中的表示，a0(景-是)Lx=-ih(y,Ly=-in(zazay注3这里并不是通过L=R×P引入角动量的，而是考虑了旋转变换以及无穷小旋转变换，将其生成元视作角动量，由此得到的 Lx,J,z与L=R×P是一致的.-得到了角动量的具体形式之后，自然有相关的对易关系，[Lx,Ly] =ihLz.[Lz,X] =ihY,[Lz,Y] =-ihX, [Lz,Z] = 0, [Lz,Px]=ihPy,[Lz,P,] =-ihPx,[Lz,P,] =0,9
也就是 x 0 = x cos y sin y 0 = x sin + y cos ´ 0 = ´ ƒ (13) 接着讨论对函数的旋转变换, 我们直接说波函数 (r) 的变化. 需要注意的是, 要讨论的是波函数的旋转, 而不是在另一 个旋转了的参考系中描述同一个波函数. 相对于参考系 S, 参考系 S 0 有一个绕 ´ 轴 角度的旋转. 两个参考系的空间位置坐标分别是 (x; y; ´) 和 (x 0 ; y0 ; ´0 ), 它们 之间的联系是 0 B B @ x 0 y 0 ´ 0 1 C C A = R(´; ) 0 B B @ x y ´ 1 C C A 将波函数 (r) 旋转到参考系 S 0 中, 在 S 0 系中看来, 波函数的形式是 0 (r 0 ), 并且 0 (r 0 ) = (r) 由此得到 0 (r) = R 1 (´; )r = x cos + y sin ; x sin + y cos ; ´ (14) 考虑无穷小变换, ! ı , 将 x cos + y sin ; x sin + y cos ; ´ 展开到 ı 的一级项, 得到生成元 x @ @y + y @ @x 反过来, 用 Exp 形式表示有限大小的旋转变换, 0 (x; y; ´) = exp x @ @y + y @ @x (x; y; ´) 令 L´ = i„ x @ @y y @ @x 将 L´ 称为角动量的 ´ 分量在位置表象中的表示. 旋转变换表示为 0 (x; y; ´) = e i L´/„ (x; y; ´) (15) 类似地, 考虑绕 x 轴和 y 轴的旋转变换, 得到角动量的 x 分量和 y 分量在位置表象中的表示, Lx = i„ y @ @´ ´ @ @y ; Ly = i„ ´ @ @x x @ @´ 注 3 这里并不是通过 L = R P 引入角动量的, 而是考虑了旋转变换以及无穷小旋转变换, 将其生成元视作角动量, 由 此得到的 Lx;y;´ 与 L = R P 是一致的. 得到了角动量的具体形式之后, 自然有相关的对易关系, [Lx; Ly] = i„L´; [L´; X] = i„Y; [L´; Y ] = i„X; [L´; Z] = 0; [L´; Px] = i„Py; [L´; Py] = i„Px; [L´; P´] = 0; 9
现在引入位置表象的基向量r）=x，y,z)，将波函数经历的旋转变换表示为(y,z)→ (,,)(cins)=(xcosp+ysinp,-x sin+ycospzly)如果用被动观点阅读上式，就有基向量的变换(x.y.z)-→(xcosp+ysinp.-xsin+ycos,z)可以证明，(x.y,zle-isLz/h=(rcosg+y sing.-x sing+ycos.zl(16)证明（16)这里不得不借助Baker-Hausdorff公式，e-isLz/hxeisLz/h=XcosΦ+Y singe-igLz/hyeioLz/h=-X sing+Ycose-ioLz/hZeioLz/h=Z利用上面第一个等式，(x,y,zle-ioL/tx =(x,y,zl(X cos+Ysing)e-iLz/h= (xr cos+y sing)(x,y.zle-ioLz/h这表明(x,y,zle-idLz/h是X的本征态，对应的本征值是xcosΦ+ysinp.类似地，利用第二个和第三个等式，分别有(x,y,zle-idLz/h是Y 的本征态,对应的本征值是-x sin中+ ycos中.(r,y,zle-i冲Lz/h 是 z 的本征态，对应的本征值是z.因此,把 (x,y,zle-iΦLz/h 表示为 (x cosΦ + y sin g,-x sinΦ + y cos ,zl, 即 (16) 式.波函数经历的旋转变换重写为(x,y,z) → (x, y,zle-ioL/h)进而写出对量子态)的旋转变换，)→ [")=-iz/h)这里的L，脱离了的位置表象，具有抽象意义继续分析旋转变换对位置算子的改变，经过了旋转变换后，位置算子R变为R，本征态由Ir）=Ix,J,z)变为(r")）=[xy",z)，但是本征值没有改变，R'(r')=r(r")10
现在引入位置表象的基向量 jri = jx; y; ´i, 将波函数经历的旋转变换表示为 hx; y; ´j i ! hx; y; ´j 0 i Using (14) HHHHHHHHH x cos + y sin ; x sin + y cos ; ´ = hx cos + y sin ; x sin + y cos ; ´j i 如果用被动观点阅读上式, 就有基向量的变换, hx; y; ´j ! hx cos + y sin ; x sin + y cos ; ´j 可以证明, hx; y; ´j e i L´/„ = hx cos + y sin ; x sin + y cos ; ´j (16) 证明 (16) 这里不得不借助 Baker-Hausdorff 公式, e i L´/„Xei L´/„ = X cos + Y sin e i L´/„Yei L´/„ = X sin + Y cos e i L´/„Zei L´/„ = Z 利用上面第一个等式, hx; y; ´j e i L´/„X = hx; y; ´j(X cos + Y sin )e i L´/„ = (x cos + y sin )hx; y; ´j e i L´/„ 这表明 hx; y; ´j e i L´/„ 是 X 的本征态, 对应的本征值是 x cos + y sin . 类似地, 利用第二个和第三个等式, 分别有 hx; y; ´j e i L´/„ 是 Y 的本征态, 对应的本征值是 x sin + y cos . hx; y; ´j e i L´/„ 是 Z 的本征态, 对应的本征值是 ´. 因此, 把 hx; y; ´j e i L´/„ 表示为 hx cos + y sin ; x sin + y cos ; ´j, 即 (16) 式. 波函数经历的旋转变换重写为 hx; y; ´j i ! hx; y; ´je i L´/„ j i 进而写出对量子态 j i 的旋转变换, j i ! j 0 i = e i L´/„ j i 这里的 L´ 脱离了的位置表象, 具有抽象意义. 继续分析旋转变换对位置算子的改变. 经过了旋转变换后, 位置算子 R 变为 R0 , 本征态由 jri = jx; y; ´i 变为 jr 0 i = jx 0 ; y0 ; ´0 i, 但是本征值没有改变, R 0 jr 0 i = r jr 0 i 10