第五章II两体量子系统优化（majorization）和偏序（partialorder）有两个几率分布，表示为几率向量的形式，nEpip= (P1, P2, ..., Pn),pi≥0.=1>q=(q1,q2,**qn),qi≥0,qi=1i=1哪一个更为混乱，哪一个更为有序？用数学中优化的语言来说，如果q优于p（pismajorizedby)，记作pq，那么几率分布q更为有序下面介绍“优化”的概念考虑两个n维的非负分量的实向量x，y，它们的分量xi≥0，yi≥0.将它们的分量以降序排列.如果它们满足下列两个条件，kk(i) >k=1,2,..,nXiyi(ii)Xi=>y那么我们说，向量y优于x（xismajorizedbyy），记作x<y如果我们所考虑的向量是几率向量，所有分量的和为1，那么上述第（i）个条件自然满足降序排列后的向量用x+表示x+<xtxt<y, y+<z+ xt<z+partialorder+<yt, yt<x+- xt=yt这个偏序结构中的最小和最大：t)=(1 . )<x*(1 0 …. 0)=)有一个容易证明的简单关系：对于pE[0,1],xt <yt and x±y+ (pxt+(1-p)x±)y*1
第五章 两体量子系统 III 优化 (majorization) 和偏序 (partial order) 有两个几率分布, 表示为几率向量的形式, p = p1; p2; ; pn ; pi > 0; Xn i=1 pi = 1 q = q1; q2; ; qn ; qi > 0; Xn i=1 qi = 1 哪一个更为混乱, 哪一个更为有序? 用数学中优化的语言来说, 如果 q 优于 p (p is majorized by q), 记作 p q, 那么几率分布 q 更为有序. 下面介 绍 ‘‘优化” 的概念. 考虑两个 n 维的非负分量的实向量 x, y, 它们的分量 xi > 0, yi > 0. 将它们的分量以降序排列. 如果它们满足 下列两个条件, (i) X k i xi 6 X k i yi ; k = 1; 2; ; n (ii) Xn i xi = Xn i yi 那么我们说, 向量 y 优于 x (x is majorized by y), 记作 x y. 如果我们所考虑的向量是几率向量, 所有分量的和为 1, 那么上述第 (ii) 个条件自然满足. 降序排列后的向量用 x # 表示. x # x # x # y # ; y# z # H) x # z # x # y # ; y# x # H) x # = y # 9 >>= >>; H) partial order 这个偏序结构中的最小和最大: x # (n) = 1 n 1 n 1 n x # 1 0 0 = x # (1) 有一个容易证明的简单关系: 对于 p 2 [0; 1], x # 1 y # and x # 2 y # H) px # 1 + (1 p)x # 2 y # 1
2几率向量之间的优越关系描述了随机分布的有序性或者混乱程度，x是最为有序的，x）是最为混乱的，下面的定理给出了x<y的充要条件Hardy,Littlewoodand Polyax<y的充要条件是，存在一个双随机矩阵（bistochasticmatrix）B，使得x=By随机矩阵（stochasticmatrix）是这样的，如果n行矩阵B=（biji）的矩阵元非负，即bij≥0，并且每一列的矩阵元的和为1,即Zi=1bij=1，那么B是随机矩阵.进一步地，如果一个n×n的随机矩阵B的每一行的矩阵元的和也为1，即"=bij=1，那么该矩阵是双随机矩阵.想象用一个n行随机矩阵B作用于某个n-分量的几率向量p，将其变换为p=Bp，变换后的几率向量的某一个分量是pi-biupjj=1可以看到，变换前后几率守恒，即变换前=1Pi=1，变换后n24:2a:Zbj = 1pi=bupj=Zbij-11,j=1=1i-对于双随机矩阵，不但保证几率守恒，而且还可以保持“最小的”x不变如果矩阵B的矩阵元bij=[uil,其中uij是某个酉矩阵的矩阵元，那么Zi=ibij=Z=bij=1,表明矩阵B是双随机矩阵，称为酉随机矩阵（unistochasticmatrix)：酉随机矩阵一定是双随机矩阵，但是双随机矩阵不一定是酉随机矩阵.密度矩阵的本征值密度矩阵的本征值可以视作观测结果的几率：Cn中的量子态的密度矩阵p="=,iiXsil，即本征值为入i，相应的本征向量为传).如果观测量X与密度矩阵p对易，[X,p]=0,那么在基(si)上它们都是对角的，即X=Z,xiiXsil,其中xi是X的本征值.测量X、得到结果xi的几率是pX = (ilpli) = 入;于是有几率向量pX,pX = = (a1, 22, ..., an)现在，我们想说明，几率向量pX是最优的设另外某个观测量A的本征值和本征向量分别是ai和αi).得到某个结果aj的几率为p4=(αjlplαj)下面的过程给出了pA和pX之间的联系.pf = (αjlplaj)Ea
2 几率向量之间的优越关系描述了随机分布的有序性或者混乱程度. x # (1) 是最为有序的, x # (n) 是最为混乱的. 下面的定理给出了 x y 的充要条件. Hardy, Littlewood and Pólya x y 的充要条件是, 存在一个双随机矩阵 (bistochastic matrix) B, 使得 x = By. 随机矩阵 (stochastic matrix) 是这样的, 如果 n 行矩阵 B = (bij ) 的矩阵元非负, 即 bij > 0, 并且每一列的矩阵 元的和为 1, 即 Pn i=1 bij = 1, 那么 B 是随机矩阵. 进一步地, 如果一个 n n 的随机矩阵 B 的每一行的矩阵元 的和也为 1, 即 Pn j =1 bij = 1, 那么该矩阵是双随机矩阵. 想象用一个 n 行随机矩阵 B 作用于某个 n-分量的几率向量 p, 将其变换为 p 0 = Bp, 变换后的几率向量的某一 个分量是 p 0 i = Xn j =1 bijpj 可以看到, 变换前后几率守恒, 即变换前 Pn i=1 pi = 1, 变换后 Xn i=1 p 0 i = Xn i;j =1 bijpj = Xn j =1 Xn i=1 bij bj = Xn j =1 bj = 1 对于双随机矩阵, 不但保证几率守恒, 而且还可以保持 ‘‘最小的” x # (n) 不变. 如果矩阵 B 的矩阵元 bij = juij j 2 , 其中 uij 是某个酉矩阵的矩阵元, 那么 Pn i=1 bij = Pn j =1 bij = 1, 表明矩阵 B 是双随机矩阵, 称为酉随机矩阵 (unistochastic matrix). 酉随机矩阵一定是双随机矩阵, 但是双随机矩阵不一定 是酉随机矩阵. 密度矩阵的本征值 密度矩阵的本征值可以视作观测结果的几率. Cn 中的量子态的密度矩阵 = Pn i=1 i jiihi j, 即本征值为 i , 相 应的本征向量为 jii. 如果观测量 X 与密度矩阵 对易, [X; ] = 0, 那么在基 fjiig 上它们都是对角的, 即 X = P i xi jiihi j, 其中 xi 是 X 的本征值. 测量 X, 得到结果 xi 的几率是 p X i = hi jjii = i 于是有几率向量 p X , p X = = (1; 2; ; n) 现在, 我们想说明, 几率向量 p X 是最优的. 设另外某个观测量 A 的本征值和本征向量分别是 ai 和 j˛ii. 得到某个结果 aj 的几率为 p A j = h˛j jj˛j i. 下面 的过程给出了 p A j 和 p X i 之间的联系. p A j = h˛j jj˛j i = X i jhi j˛j ij 2 i
3=a (1)用p4表示观测量A的测量结果的几率向量，并定义矩阵D=（di)，矩阵元dj=I《ilαj)P,因此有pA= DpX-DA显然矩阵D是酉随机矩阵，也是双随机矩阵，所以有p4<a(2)这说明几率向量入优于p4.Schur凸函数Shur凸函数（Schur-convexfunction)对于xy，如果实函数f满足f(x）≤f(y），那么称之为Schur-convex函数一个可微函数f(xi,x2,，xn）是Schur凸函数，当且仅当f满足下面两个条件，1.函数f关于(xi)是交换不变的.2.对于所有的x=(x1,X2,**,Xn),有afaf(xi x))≥(axax详细的讨论和证明参见T.Ando,Majorization，doublystochasticmatrices,andcomparisonofeigenvalues.Linear Algebra and its Applications 118, 163-248 (1989).例如，下列函数是Schur凸函数，f(x)=Exilog xi,f(x)=Ex (for k ≥1). f(x)=-IIxi, etc.如果f（x）是Schur凸函数，那么-f（x）是Schur凹函数.比如f(x）=-，xlogxi是Schur凹函数Shannon 摘和 von Neumann熵“熵”是Clausius为了讨论物理系统的热力学行为而引入的概念，在Boltzmann，Gibbs等人的工作之后，vonNeumann和Shannon又对摘理论做出了进一步贡献.他们二人的着眼点是不同的，vonNeumann的出发点在于量子力学，Shannon则是奠定了经典通讯理论是系统状态的不确定性和随机性的度量.Shannon认为，物理系统承载着的不确定性可以被视作系统携带的信息。通过适当的操作，我们可以从物理系统中获得一定量的信息，如果物理系统有着较大的不确定性，那么获得的信息也较多
3 = X i jhi j˛j ij 2 p X i (1) 用 p A 表示观测量 A 的测量结果的几率向量, 并定义矩阵 D = (dij ), 矩阵元 dij = jhi j˛j ij 2 , 因此有 p A = Dp X = D 显然矩阵 D 是酉随机矩阵, 也是双随机矩阵, 所以有 p A (2) 这说明几率向量 优于 p A. Schur 凸函数 Shur 凸函数 (Schur-convex function) 对于 x y, 如果实函数 f 满足 f (x) 6 f (y), 那么称之为 Schur-convex 函数. 一个可微函数 f (x1; x2; ; xn) 是 Schur 凸函数, 当且仅当 f 满足下面两个条件, 1. 函数 f 关于 fxi g 是交换不变的. 2. 对于所有的 x = (x1; x2; ; xn), 有 (xi xj ) @f @xi @f @xj > 0 详细的讨论和证明参见 T. Ando, Majorization, doubly stochastic matrices, and comparison of eigenvalues. Linear Algebra and its Applications 118, 163-248 (1989). 例如, 下列函数是 Schur 凸函数, f (x) = X i xi log xi ; f (x) = X i x k i (for k > 1); f (x) = Y i xi ; etc. 如果 f (x) 是 Schur 凸函数, 那么 f (x) 是 Schur 凹函数. 比如 f (x) = P i xi log xi 是 Schur 凹函数. Shannon 熵和 von Neumann 熵 ‘‘熵” 是 Clausius 为了讨论物理系统的热力学行为而引入的概念, 在 Boltzmann, Gibbs 等人的工作之后, von Neumann 和 Shannon 又对熵理论做出了进一步贡献. 他们二人的着眼点是不同的, von Neumann 的出发点在于 量子力学, Shannon 则是奠定了经典通讯理论. 熵是系统状态的不确定性和随机性的度量. Shannon 认为, 物理系统承载着的不确定性可以被视作系统携带的信 息. 通过适当的操作, 我们可以从物理系统中获得一定量的信息. 如果物理系统有着较大的不确定性, 那么获得的 信息也较多
4设经典随机变量X有n个可能的取值xi，相应的概率是pi，且Zipi=1.经典情形下的Shannon摘是H(X) = -pi log pi其中，对数的底可以是2.得到bit，也可以是e,得到nat.在统计力学中，熵是微观状态数的度量，即S=kgln2，其中，kB是Boltzmann常数，Q是微观状态数。考虑Boltzmann分布，N个可区分的粒子放入k个盒子中，并且在第i个盒子中放入N；个粒子，Zk-N；=N，那么状态数是N!W(Nt, N2..., N.) = N! N?! .. N.!用概率的语言描述，粒子放入第i个盒子的概率是pi，那么对于N》1，第i个盒子中的粒子数是Ni=piN，状态数改写为N!W(P1, P2,*** Pk) =(piN)!(p2N)!...(pkNk)!利用Stirling公式InN!=NInN-N+O(lnN),可以看到- .N于是Shannon摘与统计力学中的有着紧密联系，所以有时候也把Shannon摘称为Boltzmann-Gibbs-Shannon摘.量子情形下，有量子摘，又叫vonNeumann摘von Neumann 摘量子态p的vonNeumann摘是S(p) = - Tr(p log p) = - (ai log M)其中入，是密度算子p的本征值纯态的量子熵等于0.C"上的最大混合态的量子摘等于lognvonNeumann摘和统计物理中的在一定程度上有所对应.设想两种不同的理想气体A和B，分别有Ni和N2个气体分子，热力学状态分别是（P,V1,T）和（P,V2,T)，也就是说，它们有相同的压强和温度：在相同的温度T下将它们混合，混合后的体积是V=V1+V2.混合前后摘的改变是VVAS=kBNilog+kBN21ogV2用几率P1和p2表示，Ni=PiN,N2=p2N.Vi=piV.V2=p2V而且Pi+P2=1.摘的增量改写为△S=-kBNpilogpi-kBNp2logp2
4 设经典随机变量 X 有 n 个可能的取值 xi , 相应的概率是 pi , 且 P i pi = 1. 经典情形下的 Shannon 熵是 H(X) = X i pi log pi 其中, 对数的底可以是 2, 得到 bit, 也可以是 e, 得到 nat. 在统计力学中, 熵是微观状态数的度量, 即 S = kB ln Ω, 其中, kB 是 Boltzmann 常数, Ω 是微观状态数. 考虑 Boltzmann 分布, N 个可区分的粒子放入 k 个盒子中, 并且在第 i 个盒子中放入 Ni 个粒子, Pk i=1 Ni = N, 那么 状态数是 W (N1; N2; ; Nk) = N! N1! N2! Nk! 用概率的语言描述, 粒子放入第 i 个盒子的概率是 pi , 那么对于 N 1, 第 i 个盒子中的粒子数是 Ni = piN, 状 态数改写为 W (p1; p2; ; pk) = N! (p1N)!(p2N)! (pkNk)! 利用 Stirling 公式 ln N! = N ln N N + O(ln N), 可以看到 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 N ln W (p1; p2; ; pk) H(p1; p2; ; pk) ˇ ˇ ˇ ˇ = O ln N N 于是 Shannon 熵与统计力学中的熵有着紧密联系, 所以有时候也把 Shannon 熵称为 Boltzmann-Gibbs-Shannon 熵. 量子情形下, 有量子熵, 又叫 von Neumann 熵. von Neumann 熵 量子态 的 von Neumann 熵是 S() = Tr( log ) = X i (i log i) 其中 i 是密度算子 的本征值. 纯态的量子熵等于 0. Cn 上的最大混合态的量子熵等于 log n. von Neumann 熵和统计物理中的熵在一定程度上有所对应. 设想两种不同的理想气体 A 和 B, 分别有 N1 和 N2 个气体分子, 热力学状态分别是 (P; V1; T ) 和 (P; V2; T ), 也就是说, 它们有相同的压强和温度. 在相同的温度 T 下将它们混合, 混合后的体积是 V = V1 + V2. 混合前后熵的改变是 ∆S = kBN1 log V V1 + kBN2 log V V2 用几率 p1 和 p2 表示, N1 = p1N; N2 = p2N; V1 = p1V; V2 = p2V 而且 p1 + p2 = 1. 熵的增量改写为 ∆S = kBNp1 log p1 kBNp2 log p2
5再引入一些量子力学的描述.假设混合前气体A的分子处于1，气体B的分子处于状态2，这两个状态是正交的.混合前，气体A的熵记作S(y1.PiN)，气体B的熵记作S(2,p2N).整体的焰是S(1,PiN)+S(2,P2N)混合后系统的状态是p=Pi1+p22，混合后气体的熵记作S(p,N)，S(p, N)=S(1,PiN)+ S(2,P2N)+△S(3)=S(1.PiN)+S(2,P2N)-kNpilogPi-kNp2logP2假定S正比于粒子数，S(1, Ni)= NiS(1), S(2, N2) = N2S(2),S(p, N) = NS(p)在（3）式的两端同除以N，S(p)=P1S()+p2S(2)-kBPilogP1-kBP2logP2而和都是纯态，所以它们的焰应该等于零，S(1）=S(2）=0,进而有S(p)=kBPi log P1-k P2 log P2令Boltzmann常数kB=1，得到vonNeumann摘的表达式1.vonNeumann摘是“最优的”密度矩阵p的本征值构成几率向量a=(, .,a某个观测量A的测量结果的几率构成另一个几率向量pA = (pA..**, Ph)(2）式表明，入优于p4.注意到Shannon熵函数是Schur凹函数，所以有S(p) = H(a) ≤ H(pA)vonNuemann摘是所有观测量测量结果的Shannon摘中的最小值混合态的纯化如果两体（以至于多体）量子系统处于某个纯态亚=）（，那么某个子系统的局部量子态是用约化密度矩阵描述的，子系统的量子态是混合态1气体混合前后摘的改变，这个话题涉及Gibbs伴谜，考虑到量子情形下全同粒子不可区分，Gibbs伴谌这个古老的问题仍然有很多不清楚的地方，参看S. Saunders, The Gibbs Paradox. Entropy 20, 552 (2018)
5 再引入一些量子力学的描述. 假设混合前气体 A 的分子处于 1, 气体 B 的分子处于状态 2, 这两个状态是正交 的. 混合前, 气体 A 的熵记作 S( 1; p1N), 气体 B 的熵记作 S( 2; p2N). 整体的熵是 S( 1; p1N) + S( 2; p2N) 混合后系统的状态是 = p1 1 + p2 2, 混合后气体的熵记作 S(; N), S(; N) = S( 1; p1N) + S( 2; p2N) + ∆S = S( 1; p1N) + S( 2; p2N) kBNp1 log p1 kBNp2 log p2 (3) 假定熵 S 正比于粒子数, S( 1; N1) = N1S( 1); S( 2; N2) = N2S( 2); S(; N) = NS() 在 (3) 式的两端同除以 N, S() = p1S( 1) + p2S( 2) kBp1 log p1 kBp2 log p2 而 1 和 2 都是纯态, 所以它们的熵应该等于零, S( 1) = S( 2) = 0, 进而有 S() = kBp1 log p1 kBp2 log p2 令 Boltzmann 常数 kB = 1, 得到 von Neumann 熵的表达式 1 . von Neumann 熵是 ‘‘最优的” 密度矩阵 的本征值构成几率向量 = 1; ; n) 某个观测量 A 的测量结果的几率构成另一个几率向量 p A = p A 1 ; ; pA n (2) 式表明, 优于 p A. 注意到 Shannon 熵函数是 Schur 凹函数, 所以有 S() = H() 6 H(p A ) von Nuemann 熵是所有观测量测量结果的 Shannon 熵中的最小值. 混合态的纯化 如果两体 (以至于多体) 量子系统处于某个纯态 Ψ = jΨi hΨj, 那么某个子系统的局部量子态是用约化密度矩阵描 述的, 子系统的量子态是混合态. 1 气体混合前后熵的改变, 这个话题涉及 Gibbs 佯谬. 考虑到量子情形下全同粒子不可区分, Gibbs 佯谬这个古老的问题仍然有很多不清楚的地方, 参看 S. Saunders, The Gibbs Paradox. Entropy 20, 552 (2018)
6现在考虑相反的过程，设某个量子系统Q处于混合态po，我们可以认为β是处于纯态的两体量子系统的关于某个子系统的约化密度矩阵引入一个辅助量子系统（通常称作ancilla)，记作A.系统Q和辅助系统A构成两体量子系统.描述Q和A的Hilbert空间分别是eo和yeA描述两体系统的Hilbert空间是光e=eQeA构造一个纯态[)e，使得po=TrA亚，亚=[)(从e上的pe到e中的）就是混合量子态的纯化（purification)标准纯化形式首先写出po的本征分解形式p=EA [5i) (5i]=1这里假设e的维数是n,且po是满秩的.是pe的本征值，>0,=,=1将eA的维数选定为n，即dime=dimeA=n.将e4的基向量选择为（lo.构造）如下，=)[0)(4)1=1容易验证TrA亚=pe考虑一下非标准的纯化设想p是系综（pi，ii=1m的平均量子态，这里是纯态li）的密度矩阵，不同的lui）不一定正交，且m也未必等于Hilbert空间Q的维数.系统Q的密度矩阵是m=i=1引入辅助系统A,dim(4）=m，loi）4,且《gilj)=8j，我们可以把pe的纯化形式表示为[=)i=1分析一下eQ和A维数相同情况下的纯化，dim（eQ）=dim（yeA）=n.标准的纯化形式由（4）给出.现在考虑在4的另一组基向量上表示亚）[1i]] →(In)]其中V是酉矩阵，它的矩阵元是vij=《gilni）在新的表象中，亚）写为，[) =) ) ()j=E(ZV/ 15)) α m)(5)
6 现在考虑相反的过程, 设某个量子系统 Q 处于混合态 Q, 我们可以认为 是处于纯态的两体量子系统的关于某 个子系统的约化密度矩阵. 引入一个辅助量子系统 (通常称作 ancilla), 记作 A. 系统 Q 和辅助系统 A 构成两体量子系统. 描述 Q 和 A 的 Hilbert 空间分别是 H Q 和 H A. 描述两体系统的 Hilbert 空间是 H = H Q ˝ H A. 构造一个纯态 jΨi 2 H , 使得 Q = TrA Ψ; Ψ = jΨi hΨj 从 H Q 上的 Q 到 H 中的 jΨi 就是混合量子态的纯化 (purification). 标准纯化形式 首先写出 Q 的本征分解形式 Q = Xn i=1 i jii hi j 这里假设 H Q 的维数是 n, 且 Q 是满秩的. i 是 Q 的本征值, i > 0, Pn i=1 i = 1. 将 H A 的维数选定为 n, 即 dim H Q = dim H A = n. 将 H A 的基向量选择为 fj'iig. 构造 jΨi 如下, jΨi = Xn i=1 p i jii ˝ j'ii (4) 容易验证 TrA Ψ = Q 考虑一下非标准的纯化. 设想 Q 是系综 fpi ; i gi=1; ;m 的平均量子态, 这里 i 是纯态 j ii 的密度矩阵, 不同的 j ii 不一定正交, 且 m 也未必等于 Hilbert 空间 H Q 的维数. 系统 Q 的密度矩阵是 Q = Xm i=1 pi i ; i = j ii h i j 引入辅助系统 A, dim(H A) = m, j'ii 2 H A, 且 h'i j'j i = ıij , 我们可以把 Q 的纯化形式表示为 jΨi = Xm i=1 p pi j ii ˝ j'ii 分析一下 H Q 和 H A 维数相同情况下的纯化, dim(H Q) = dim(H A) = n. 标准的纯化形式由 (4) 给出. 现在考 虑在 H A 的另一组基向量上表示 jΨi, ˚ j'ii V ! ˚ jii 其中 V 是酉矩阵, 它的矩阵元是 vij = h'i jj i. 在新的表象中, jΨi 写为, jΨi = X i p i jii ˝ X j jj i hj j 'ii = X j X i p iv ij jii ˝ ˇ ˇj ˛ (5)
7如果令=，，那么有)=/=1其中）既不归一，也不彼此正交，（5)式是非标准的纯化形式.这表明，当dim(eの）=dim(e4）时，标准纯化形式和非标准纯化形式的差别仅仅是对辅助系统的局部酉变换，实际上，这个说法含有模糊不清的地方，详细的讨论可参看L.P.Hughston,R.Jozsa,W.K.Wootters,Acompleteclassificationofquantumensembleshavinga given density matrix. Physics Letters A 183, 14-18 (1993).Mach-Zehnder干涉仪Which way图1是Mach-Zehnder干涉仪的示意图我们将分束器BS（BeamSplitter）的作用视作一个Hadamard变换，HHadamard变换(10) +[1),(10) [1)[0] -[1] -1/2反射镜的变换是UmirrorD1eMirroUDDoBS2[1)10)[0) @/v)XBS1Mirror图 1已经知道，探测器D。和D，记录到粒子的几率分别是[1+Re(e-ix(|U1))]po=2Pi=[1-Re(e- ()]
7 如果令 ˇ ˇ ˜ j ˛ = P i p iv ij jii, 那么有 jΨi = Xn j =1 ˇ ˇ ˜ j ˛ ˝ ˇ ˇj ˛ 其中 ˇ ˇ ˜ j ˛ 既不归一, 也不彼此正交, (5) 式是非标准的纯化形式. 这表明, 当 dim(H Q) = dim(H A) 时, 标准纯化 形式和非标准纯化形式的差别仅仅是对辅助系统的局部酉变换. 实际上, 这个说法含有模糊不清的地方, 详细的 讨论可参看 L. P. Hughston, R. Jozsa, W. K. Wootters, A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix. Physics Letters A 183, 14-18 (1993). Mach-Zehnder 干涉仪 Which way 图 1 是 Mach-Zehnder 干涉仪的示意图. 我们将分束器 BS (Beam Splitter) 的作用视作一个 Hadamard 变换, H = 1 p 2 0 @ 1 1 1 1 1 A ; Hadamard 变换 j0i ! 1 p 2 (j0i + j1i); j1i ! 1 p 2 (j0i j1i): 反射镜的变换是 Umirror = x = 0 @ 0 1 1 0 1 A : |0ñ| Ä yñ c BS1 BS2 Mirror Mirror D0 D1 |0ñ |1ñ U 图 1 已经知道, 探测器 D0 和 D1 记录到粒子的几率分别是 p0 = 1 2 1 + Re e i h jU j i ; p1 = 1 2 1 Re e i h jU j i
8对于单粒子源，经常询问这样的问题：粒子通过了哪一条路径？如果上下两条路径上没有任何变换，即X=0，U=1，那么有Po=1,P1=0.只有探测器D。有响应，而D，不会记录到任何粒子.对此，我们可能会说：“粒子通过了两条路径”DD,MirroDOBS211)[0)[0) /)BS1另一方面，如果没有分束器BS2.那么从单粒子源出发的一个粒子经过了MZ干涉仪之后，探测器Do或D，有响应的几率均为1/2.如同讨论多次的SG实验结果D,DMirrD[1)[0)[0) @/)MirrorBS1此时，我们可能会说：“粒子通过了上面或者下面的路径”JohnArchibaldWheelerQuantumTheoryandMeasurement,edited by John A.Wheeler and Wojciech H.Zurek.With thefinal half-silvered mirror in place the photodetector Do goes click-click as the successive photonsarrive but the adjacent counter (i.e., Di) registers nothing. This is evidence of interference betweenthe upper and the lower beams; or, in photon language, evidence that each arriving light quantum has
8 对于单粒子源, 经常询问这样的问题: 粒子通过了哪一条路径? 如果上下两条路径上没有任何变换, 即 = 0, U = 1, 那么有 p0 = 1; p1 = 0: 只有探测器 D0 有响应, 而 D1 不会记录到任何粒子. 对此, 我们可能会说: ‘‘粒子通过了两条路径.” BS1 BS2 Mirror Mirror D0 D1 另一方面, 如果没有分束器 BS2, 那么从单粒子源出发的一个粒子经过了 MZ 干涉仪之后, 探测器 D0 或 D1 有 响应的几率均为 1/2. 如同讨论多次的 SG 实验结果. BS1 Mirror Mirror D0 D1 此时, 我们可能会说: ‘‘粒子通过了上面或者下面的路径.” John Archibald Wheeler Quantum Theory and Measurement, edited by John A. Wheeler and Wojciech H. Zurek With the final half-silvered mirror in place the photodetector D0 goes click-click as the successive photons arrive but the adjacent counter (i.e., D1) registers nothing. This is evidence of interference between the upper and the lower beams; or, in photon language, evidence that each arriving light quantum has
9arrived by both routes. In such experiments, Einstein originally argued, it is unreasonable for a singlephoton to travel simultaneously two routes.. Remove the half-silvered mirror, and one will find that the one counter goes off, or the other. Thus thephoton hastraveled only oneroute.. It travels only one route, but it travels both routes; it travels both routes, but it travels only one route.What nonsense! How obvious it is that quantum theory is inconsistent!. In our own day we have learned to state the point even more sharply by way of a so-called delayed-choiceexperiment. There we make the decision whether to put the final half-silvered mirror in place or to takeit out at the very last picosecond, after the photon has already accomplished its travel..The dependence of what is observed upon the choice of experimental arrangement made Einstein unhappy.It conflicts with the view that the universe exists “out there" independent of all acts of observation.IncontrastBohrstressedthatweconfronthereaninescapablenewfeatureofnature,tobewelcomedbecause of the understanding it gives us. In struggling to make clear to Einstein the central point as hesaw it, Bohr found himself forced to introduce the word“phenomenon."In today's words Bohr'spointand the central point of quantum theorycan beput into asingle, simple sentence. "No elementary phenomenon is a phenomenon until it is a registered(observed)phenomenon.".It is wrong to speak of the “route" of the photon in the experiment of the beam splitter. It is wrong toattributea tangibility to thephoton in all its travel from thepoint of entryto its last instant of flight.Aphenomenonisnotyetaphenomenonuntilithasbeenbroughttoaclosebyanirreversibleactofamplification such as the blackening of a grain of silver bromide emulsion or the triggering of a photodetector..How can one contemplate indeterminism, complementarity and “phenomenon" without being reminded ofthe words of Gertrude Stern about modern art?"It looks strange and it looks strange and it looks very strange; and then suddenly it doesn't lookstrange at all and you can't understand what made it look strange in the first place.Zeilinger, A., Weihs, G., Jennewein, T. and Aspelmeyer, M.Happy centenary, photon,Nature433,230-238 (2005). When analysing quantum interference we can fall into all kinds of traps. The general conceptual problemis that we tend to reify-to take too realistically--conceptslikewaveandparticle.Indeedifweconsider the quantum state representing the wave simply as a calculational tool, problems do not arise.·In this case, we should not talk about a wave propagating through the double-slit setup or through a Mach-Zehnder interferometer; the quantum state is simply a tool to calculate probabilities
9 arrived by both routes. In such experiments, Einstein originally argued, it is unreasonable for a single photon to travel simultaneously two routes. Remove the half-silvered mirror, and one will find that the one counter goes off, or the other. Thus the photon has traveled only one route. It travels only one route, but it travels both routes; it travels both routes, but it travels only one route. What nonsense! How obvious it is that quantum theory is inconsistent! In our own day we have learned to state the point even more sharply by way of a so-called delayed-choice experiment. There we make the decision whether to put the final half-silvered mirror in place or to take it out at the very last picosecond, after the photon has already accomplished its travel. The dependence of what is observed upon the choice of experimental arrangement made Einstein unhappy. It conflicts with the view that the universe exists “out there” independent of all acts of observation. In contrast Bohr stressed that we confront here an inescapable new feature of nature, to be welcomed because of the understanding it gives us. In struggling to make clear to Einstein the central point as he saw it, Bohr found himself forced to introduce the word “phenomenon.” In today’s words Bohr’s point —— and the central point of quantum theory —— can be put into a single, simple sentence. “No elementary phenomenon is a phenomenon until it is a registered (observed) phenomenon.” It is wrong to speak of the “route” of the photon in the experiment of the beam splitter. It is wrong to attribute a tangibility to the photon in all its travel from the point of entry to its last instant of flight. A phenomenon is not yet a phenomenon until it has been brought to a close by an irreversible act of amplification such as the blackening of a grain of silver bromide emulsion or the triggering of a photodetector. How can one contemplate indeterminism, complementarity and “phenomenon” without being reminded of the words of Gertrude Stern about modern art? “It looks strange and it looks strange and it looks very strange; and then suddenly it doesn’t look strange at all and you can’t understand what made it look strange in the first place.” Zeilinger, A., Weihs, G., Jennewein, T. and Aspelmeyer, M. Happy centenary, photon, Nature 433, 230-238 (2005) When analysing quantum interference we can fall into all kinds of traps. The general conceptual problem is that we tend to reify —— to take too realistically —— concepts like wave and particle. Indeed if we consider the quantum state representing the wave simply as a calculational tool, problems do not arise. In this case, we should not talk about a wave propagating through the double-slit setup or through a Mach– Zehnder interferometer; the quantum state is simply a tool to calculate probabilities
10Probabilities of thephoton being somewhere? No,we should be even more cautious and only talk aboutprobabilities of a photon detector firing if it is placed somewhere.. One might be tempted, as was Einstein, to consider the photon as being localized at some place with usjust notknowing that place.But, whenever we talk about aparticle, or more specifically a photon, weshould only mean that which a"click in the detector"refers to.波粒二相性在上一小节的MZ干涉仪中，令U=1，但保留关于相位×的变换粒子的空间自由度，即路径，记作系统S.粒子的内自由度，即自旋，记作系统Q设S的初态是S.0)Ds=(s1,S2,s3）是Φ的Bloch向量。Q的初态为.两体系统SQ经历的酉变换是(6)(H @1)(ox @1)U(x)(H @ 1).其中U(x)变换（6）使得中在探测器Do观测到粒子的几率是Po = Tr[ (10) (0[ 1)] = ,(1 - 82 sin x + s3 cos x)(7)几率po的最大值和最小值是pomax/min1+/+于是可见度V等于V=/s+s3当S的初态为纯态，并且Bloch向量s位于yz平面内的时候，得到最大可见度1.如果Bloch向量s位于x轴则可见度为零，注意到以上过程中没有对Q的操作，因此在形式上可以简化为以下过程eix0H H.C.0→0=Hox0其中H.C.表示左侧的酉变换的厄米共轭对@进行，测量，得到结果+1的几率是Po = (01 ' l0)
10 Probabilities of the photon being somewhere? No, we should be even more cautious and only talk about probabilities of a photon detector firing if it is placed somewhere. One might be tempted, as was Einstein, to consider the photon as being localized at some place with us just not knowing that place. But, whenever we talk about a particle, or more specifically a photon, we should only mean that which a “click in the detector” refers to. 波粒二相性 在上一小节的 MZ 干涉仪中, 令 U = 1, 但保留关于相位 的变换. 粒子的空间自由度, 即路径, 记作系统 S. 粒子的内禀自由度, 即自旋, 记作系统 Q. 设 S 的初态是 ' = 1 2 (1 + s ): s = (s1; s2; s3) 是 ' 的 Bloch 向量. Q 的初态为 . 两体系统 SQ 经历的酉变换是 (H ˝ 1)(x ˝ 1)U( )(H ˝ 1): (6) 其中 U( ) = 0 @ e i 1 0 0 1 1 A : 变换 (6) 使得 ' ˝ ! Ψ: 在探测器 D0 观测到粒子的几率是 p0 = Tr[Ψ (j0i h0j ˝ 1)] = 1 2 (1 s2 sin + s3 cos ): (7) 几率 p0 的最大值和最小值是 p max / min 0 = 1 2 1 ˙ q s 2 2 + s 2 3 : 于是可见度 V 等于 V = q s 2 2 + s 2 3 : 当 S 的初态为纯态, 并且 Bloch 向量 s 位于 yz 平面内的时候, 得到最大可见度 1. 如果 Bloch 向量 s 位于 x 轴, 则可见度为零. 注意到以上过程中没有对 Q 的操作, 因此在形式上可以简化为以下过程. ' ! ' 0 = H x 0 @ e i 0 0 1 1 A H ' H:C: 其中 H:C: 表示 ' 左侧的酉变换的厄米共轭. 对 ' 0 进行 z 测量, 得到结果 +1 的几率是 p0 = h0j ' 0 j0i: