第五章I两体量子系统开放量子系统的演化系统O和仪器M的Hilbert空间分别记作e和yeM.考虑有限维情形e的维数设为n，yeM的维数应该至少为n，暂时设为n.设系统和仪器的初态均为纯态，它们分别是l）Ee?和lo)eeM,二者整体的初态是直积态/(0))=l）l）ee2eM.在t时刻的整体的量子态/(t)）是由酉变换U(t)决定的，(t))=U()(0))=U(t)(1)/))也可以用密度矩阵表示.令=)《,=l)《l,(0)=(0))((0)l,亚(t)=(t))((t)I,有d(t) = U(t)d(0)Ut(t) = U(t)( β)Ut(t)于是，系统的t时刻的量子态是(1)po(t)=Trm(t)如图1所示.p(t)山&U(t)甲(t)4图 1虽然（1）式已经能够告诉我们t时刻系统的状态，但是这个形式本身还可以继续运算下去.设eM的基向量是lμ)，μ=0,1,,n-1，它们可以是自然基向量，也可以是某个非简并力学量的本征向量。为了使计算Trm亚(t)的过程更清晰，我们把酉变换U(t）表示为U(t) =μ)(lμ,V=0注意这里的uu是eo上的nxn的矩阵，而不是矩阵元.由于U(t）是酉矩阵，uu须满足Zut=810Euut=8uu10.(2)这里19是光Q上的单位矩阵.1
第五章 两体量子系统 II 开放量子系统的演化 系统 Q 和仪器 M 的 Hilbert 空间分别记作 H Q 和 H M . 考虑有限维情形, H Q 的维数设为 n, H M 的维数应该至 少为 n, 暂时设为 n. 设系统和仪器的初态均为纯态, 它们分别是 j i 2 H Q 和 j'i 2 H M , 二者整体的初态是直积 态 jΨ(0)i = j i ˝ j'i 2 H Q ˝ H M . 在 t 时刻的整体的量子态 jΨ(t)i 是由酉变换 U(t) 决定的, jΨ(t)i = U(t)jΨ(0)i = U(t)(j i ˝ j'i) 也可以用密度矩阵表示. 令 = j ih j, ' = j'ih'j, Ψ(0) = jΨ(0)ihΨ(0)j, Ψ(t) = jΨ(t)ihΨ(t)j, 有 Ψ(t) = U(t)Ψ(0)U (t) = U(t)( ˝ ')U (t) 于是, 系统的 t 时刻的量子态是 Q(t) = TrM Ψ(t) (1) 如图 1 所示. Ut t t Q 图 1 虽然 (1) 式已经能够告诉我们 t 时刻系统的状态, 但是这个形式本身还可以继续运算下去. 设 H M 的基向量是 ji, = 0; 1; ; n 1, 它们可以是自然基向量, 也可以是某个非简并力学量的本征向量. 为了使计算 TrM Ψ(t) 的过程更清晰, 我们把酉变换 U(t) 表示为 U(t) = Xn1 ;=0 u ˝ jihj 注意这里的 u 是 H Q 上的 n n 的矩阵, 而不是矩阵元. 由于 U(t) 是酉矩阵, u 须满足 X uu 0 = ı01 Q; X u 0u = ı01 Q (2) 这里 1 Q 是 H Q 上的单位矩阵. 1
2在t时刻两体系统整体量子态的密度矩阵是(t) =U(t)( @)Ut(t)= (uutw)(lu)(vlov)(u'1)(3)uu'y在空间光eM上求迹，有Trmd(t)= (uuvyatw) (vlo) (olv)Ve关注上式中的uv(v),注意到Trm [U(1 l0)(μD] = TrME(uuw8 lμ')(v(1& o)(ul)w'vEu(vlo)=Eu (lo)&上面的最后一步只是求和指标的替换.现在令(4)Kμ=uμv (vl0) = Trm [U(1 α lo)(μD)] = (μ|U l0)上式最后一个表达式是简化的写法：U是M上的酉矩阵，而lu）和l）是M中的态量，《ulUlo）中涉及的内积仅仅是eM中向量之间的内积，结果得到yeQ上的矩阵，即K.而K的厄密共轭形式是KI =ut, (lv) = Trm [Ut(1 & lμ)(oD)] = (olUt Iμ)(5)综合以上过程以及（1),并将系统的初态写为=p2(0).有n-1p(t) =Zku(t)p(0)kt(t)(6)μ=0算符K被称为Kraus算符.可以验证，kKu=19,即tk=utw(0lv)(vl0)=128(0)(l0)=19(7)uvUUA上面的第二个等式用到了iu的条件（2)Kraus算符满足ZKKu=19,这意味着系统量子态在演化过程中的迹是不变的（即保迹演化），Tr p(t) = Tr Kμ(t)p2(0)t(t) = Tr t(t)Kμ(t)p(0) = Tr p(0uu关于系统量子态的演化以及Kraus算符，有以下说明1.我们用两种形式，（1）和（6)，描述了系统和仪器有相互作用的情况下系统量子态的演化过程.它们的共同特征是系统和仪器作为一个整体，在酉变换U(t)的作用下从初态/(O))演化到t时刻的(t)).然后从/亚(t))中抛弃与仪器有关的部分（表现为在eM上求迹)，从而得到t时刻系统的量子态.不过这两种形式也是有些区别的.在（1)式的推导过程中，虽然我们说Q和M的初态具有直积态的形式，即[）)，但是最后的结论并没有用到这个条件.而为了得到（6）式，系统和仪器的初态必须是直积态，否则不能得到Kraus算符.因此，在此强调指出，这里及以后谈到的系统和仪器的初态或者系统与环境的初态一律设为直积态！近年的研究涉及了系统和仪器的初态并非直积态的情况下系统的演化过程，这些内容超出了课程范围，故不作讨论
2 在 t 时刻两体系统整体量子态的密度矩阵是 Ψ(t) = U(t)( ˝ ')U (t) = X 0 0 u u 0 0 ˝ jihj ' j 0 ih 0 j (3) 在空间 H M 上求迹, 有 TrM Ψ(t) = X 0 u uˆ 0 hj'i h'j 0 i 关注上式中的 P u hj'i, 注意到 TrM U(1 ˝ j'ihj) = TrM 2 4 X 0 0 (u0 0 ˝ j 0 ih 0 j)(1 ˝ j'ihj) 3 5 = X 0 u0 h 0 j'i = X u hj'i 上面的最后一步只是求和指标的替换. 现在令 K = X u hj'i = TrM U(1 ˝ j'ihj) = hjU j'i (4) 上式最后一个表达式是简化的写法: U 是 H Q ˝ H M 上的酉矩阵, 而 ji 和 j'i 是 H M 中的态矢量, hjU j'i 中 涉及的内积仅仅是 H M 中向量之间的内积, 结果得到 H Q 上的矩阵, 即 K. 而 K 的厄密共轭形式是 K = X u h'ji = TrM U (1 ˝ jih'j) = h'jU ji (5) 综合以上过程以及 (1), 并将系统的初态写为 = Q(0), 有 Q(t) = Xn1 =0 K(t) Q(0)K (t) (6) 算符 K 被称为 Kraus 算符. 可以验证 P K K = 1 Q, 即 X K K = X 0 u 0u h'j 0 i hj'i = X 0 1 Q ı0 h'j 0 i hj'i = 1 Q (7) 上面的第二个等式用到了 uˆ 的条件 (2). Kraus 算符满足 P K K = 1 Q, 这意味着系统量子态在演化过程中 的迹是不变的 (即保迹演化), Tr Q(t) = TrX K(t) Q(0)K (t) = TrX K (t)K(t) Q(0) = Tr Q(0) 关于系统量子态的演化以及 Kraus 算符, 有以下说明. 1. 我们用两种形式, (1) 和 (6), 描述了系统和仪器有相互作用的情况下系统量子态的演化过程. 它们的共同特征是, 系统和仪器作为一个整体, 在酉变换 U(t) 的作用下从初态 jΨ(0)i 演化到 t 时刻的 jΨ(t)i. 然后从 jΨ(t)i 中抛弃与 仪器有关的部分 (表现为在 H M 上求迹), 从而得到 t 时刻系统的量子态. 不过这两种形式也是有些区别的. 在 (1) 式的推导过程中, 虽然我们说 Q 和 M 的初态具有直积态的形式, 即 j i ˝ j'i, 但是最后的结论并没有用到这个条 件. 而为了得到 (6) 式, 系统和仪器的初态必须是直积态, 否则不能得到 Kraus 算符. 因此, 在此强调指出, 这里及以 后谈到的系统和仪器的初态或者系统与环境的初态一律设为直积态 1 . 1近年的研究涉及了系统和仪器的初态并非直积态的情况下系统的演化过程, 这些内容超出了课程范围, 故不作讨论.
32.上面的推导过程可以不作任何修改而适用于系统的初态是混合态的情形．而且，我们还可以把测量仪器看成是系统周围的环境，进而用类似的语言描述开放量子系统的演化。设系统的初态是P(O)，环境的初态是纯态=lo)(al.描述环境的希尔伯特空间的基向量记作Iu).系统和环境之间从t=0时刻开始发生相互作用，在t时刻整体的量子态是U(t)(p())Ut(t).就系统的状态而言，在时刻t的量子态可以表示为(8)p(t) =Kμ(t)p(0)Kt(t)H其中Kraus算符是Kμ(t) = (μ|U(t) l0),xi(t)Kμ(t) = 10还可以推广到非保迹的演化过程以及环境的初态是混合态的情形，在此不作进一步讨论了3.在（4)式中,Kraus算符Ku的具体形式依赖于整体的酉变换U(t)，仪器的初态以及仪器的Hilbert空间yeM的基向量，因此，选择不同的基向量就会得到不同形式的Kraus算符。设eM的另外一组基向量是(lα)，α0,，n-1.重复以上推导过程，得到另一组Kraus算符，记作Ja，Jα = (α[U l)注意到两组基向量之间的关系是某个酉矩阵V,矩阵元aμ=(αl)，基向量Iμ)可以用lα）表示，即[μ)=> [α代入（4)式，Ku-Zuau (alU lo)=-ZvauJ这表明两组Kraus算符之间的变换是酉变换.虽然Kraus算符的形式不是唯一的，但是系统在t时刻的量子态却是不依赖与光M的基向量的选择，下面的计算表明了这一点po(t)=Kμupe(0)tu=ZauUa'uJap(0)Jtuao'Euau aru) Jap (0)Jt>1=8ααJαp(0)Jt=Jap(0)JtRO4.式(6)或者（8)描述了较为一般的情形下量子态的演化.有两个极端情形值得一提.一是酉演化，此时所有的K等于某个作于系统的酉变换U9(t)，于是得到我们熟悉的p(t) =U (t)pe(0)((t)另一个是投影测量，此时Kraus算符就是投影算符ⅡI,=αi)(αil,这里设[αi）是系统的某个力学量A的本征向量于是，测量后系统的状态是p(t) =lip(0)Il, = (αil p(0) [αi) αi)(αi l(9)μ这是对测量后对结果不作任何选择的情况下系统的状态.可以看出，在基向量α）上p2（t）具有对角形式，非对角的相干项全都消失为零
3 2. 上面的推导过程可以不作任何修改而适用于系统的初态是混合态的情形. 而且, 我们还可以把测量仪器看 成是系统周围的环境, 进而用类似的语言描述开放量子系统的演化. 设系统的初态是 ˆ(0), 环境的初态是纯态 ' = j'ih'j. 描述环境的希尔伯特空间的基向量记作 ji. 系统和环境之间从 t = 0 时刻开始发生相互作用, 在 t 时 刻整体的量子态是 U(t) (0) ˝ ' U (t). 就系统的状态而言, 在时刻 t 的量子态可以表示为 (t) = X K(t)(0)K (t) (8) 其中 Kraus 算符是 K(t) = hjU(t)j'i; X K (t)K(t) = 1 Q 还可以推广到非保迹的演化过程以及环境的初态是混合态的情形, 在此不作进一步讨论了. 3. 在 (4) 式中, Kraus 算符 K 的具体形式依赖于整体的酉变换 U(t), 仪器的初态以及仪器的 Hilbert 空间 H M 的基向量, 因此, 选择不同的基向量就会得到不同形式的 Kraus 算符. 设 H M 的另外一组基向量是 fj˛ig, ˛ = 0; ; n 1. 重复以上推导过程, 得到另一组 Kraus 算符, 记作 J˛, J˛ = h˛jU j'i 注意到两组基向量之间的关系是某个酉矩阵 V , 矩阵元 v˛ = h˛ji, 基向量 ji 可以用 j˛i 表示, 即 ji = X ˛ v˛ j˛i 代入 (4) 式, K = X ˛ v ˛ h˛jU j'i = X ˛ v ˛J˛ 这表明两组 Kraus 算符之间的变换是酉变换. 虽然 Kraus 算符的形式不是唯一的, 但是系统在 t 时刻的量子态却是 不依赖与 H M 的基向量的选择, 下面的计算表明了这一点. Q(t) = X K Q(0)K = X ˛˛0 v ˛v˛0J˛ Q(0)J ˛0 = X ˛˛0 X v ˛v˛0 ! J˛ Q(0)J ˛0 = X ˛˛0 ı˛˛0J˛ Q(0)J ˛0 = X ˛ J˛ Q(0)J ˛ 4. 式 (6) 或者 (8) 描述了较为一般的情形下量子态的演化. 有两个极端情形值得一提. 一是酉演化, 此时所有的 K 等于某个作于系统的酉变换 U Q(t), 于是得到我们熟悉的 Q(t) = U Q(t) Q(0) U Q(t) 另一个是投影测量, 此时 Kraus 算符就是投影算符 Πi = j˛iih˛i j, 这里设 j˛ii 是系统的某个力学量 A 的本征向量. 于是, 测量后系统的状态是 Q(t) = X i Πi Q(0)Πi = X h˛i j Q(0)j˛ii j˛iih˛i j (9) 这是对测量后对结果不作任何选择的情况下系统的状态. 可以看出, 在基向量 j˛ii 上 Q(t) 具有对角形式, 非对角 的相干项全都消失为零.
4几个典型的量子演化过程有必要先介绍一下等距变换（isometry).酉变换U作用系统和仪器的初态，使得))()))设仪器的初态1）是固定不变的，仅仅关注系统量子态的改变，有(10))()())这是一个从空间eQ到空间光e=QeM的变换，记作V.设系统的希尔伯特空间的基向量是li)，变换V的作用效果是[i) [2) = U(li) 8 [0) 3e(11)变换V保证了变换前后量子态的正交归一性，即(illi)=8→(2;1/2,) =8,可以写出变换V的矩阵形式V=E((12)这是一个dQM×d的矩阵，这里dQM和d?分别是光QM和e2的维数容易验证vtv=10(13)19是e2上的单位矩阵，故V是等距变换(isometry).需注意到VV≠1M,这里1M是eM上的单位矩阵.引入等距变换之后，系统量子态的演化被简写为=t(14)接着还需要对亚在光eM上求迹，eM的基向量依旧记作lu)→=t→=t)A定义Kraus算符Ku= (μ|V=Z(μlli)(il这里，ul2i）涉及eM上的内积，其结果是2上的右矢.容易验证ZKK=1.另外，还应该注意到，虽然（14)式说的是系统的纯态在等距变换后的结果，但是同样适用于混合态，pe→p= Vpevt当系统和仪器的整体的酉变换难以表述或者不需要有明确表示的时候，可以利用等距变换很方便地写出Kraus算符
4 几个典型的量子演化过程 有必要先介绍一下等距变换 (isometry). 酉变换 U 作用系统和仪器的初态, 使得 j i ˝ j i ! U(j i ˝ j i) 设仪器的初态 j i 是固定不变的, 仅仅关注系统量子态的改变, 有 j i ! U(j i ˝ j i) (10) 这是一个从空间 H Q 到空间 H = H Q ˝ H M 的变换, 记作 V . 设系统的希尔伯特空间的基向量是 jii, 变换 V 的 作用效果是 jii V ! jΩii U(jii ˝ j i) 2 H (11) 变换 V 保证了变换前后量子态的正交归一性, 即 hij jj i = ıij V ! hΩi j jΩj i = ıij 可以写出变换 V 的矩阵形式 V = X i jΩiihij (12) 这是一个 d QM d Q 的矩阵, 这里 d QM 和 d Q 分别是 H QM 和 H Q 的维数. 容易验证 V V = 1 Q (13) 1 Q 是 H Q 上的单位矩阵, 故 V 是等距变换 (isometry). 需注意到 V V ¤ 1 M , 这里 1 M 是 H M 上的单位矩阵. 引入等距变换之后, 系统量子态的演化被简写为 ! Ψ = V V (14) 接着还需要对 Ψ 在 H M 上求迹, H M 的基向量依旧记作 ji, ! Ψ = V V ! = X hj V V ji 定义 Kraus 算符 K = hj V = X i hj jΩii hij 这里, hj jΩii 涉及 H M 上的内积, 其结果是 H Q 上的右矢. 容易验证 P K K = 1 Q. 另外, 还应该注意到, 虽 然 (14) 式说的是系统的纯态在等距变换后的结果, 但是同样适用于混合态, Q ! = VQV 当系统和仪器的整体的酉变换难以表述或者不需要有明确表示的时候, 可以利用等距变换很方便地写出 Kraus 算 符.
5相位阻尼（phasedamping)相位阻尼过程指的是，演化过程中量子系统和环境的相互作用使得量子态的相干性逐渐消失，但是没有带来系统的能量的损失.描述环境的希尔伯特空间兆E的维数是相当大的，但是在这个简单的模型中，我们只需要用到环境的无激发的状态（可以视作基态，记作J0E））和仅有一个激发的状态（可以视作第一激发态，记作[1E））.并且假设初始时刻环境处于基态[0E).双值系统的基态和第一激发态分别记作109)和[19).系统和环境之间相互作用的唯象的效果是[09) [0E) →[20) =[09) [0F)(15)[19) [0F) →[21) = V1-p[19) [0F) + /P[19) /1E)(16)这里pe[0,1].可以看到，系统和仪器之间没有能量交换.再者，上面两个方程不足以给出整体酉变换的具体形式，于是考虑等距变换VV = [20)(09 +[21)(19]Kraus算符0Ko=(0F|V=J0°)(09+ V1- p/19)(19]=V1-pKi = (1FV= VPl19)(19|=0p设系统的初态是p=(1+r·),这里1是2×2单位阵，r是Bloch向量，r=(rsincos，rsinsin，rcosの)相位阻尼对p的影响是(1 +r.)p-→p = KopK +KipK= 计算结果是r=rV1-psingcosr,=r-psinosingr=rcoso可以看到，当P从0增大到1的过程中，布洛赫向量在xy平面内的分量逐渐减小为零，最后只剩下始终不变的z方向上的分量.当p=1时，p具有对角形式，相干性完全消失振幅阻尼（amplitudedamping）在振幅阻尼过程中，系统和环境之间的相互作用表现为如下唯象过程[09] [0F) →[20] = [09] [0F)(17)[19) [0F)→[21) = V1-p[12)10F) + /P[09) [1E)(18)上面的第二个方程表明系统和环境之间有能量交换.等距变换V=[2o)(09|+|21)(19,由此得到Kraus算符0DKoK1VI-P
5 相位阻尼 (phase damping) 相位阻尼过程指的是, 演化过程中量子系统和环境的相互作用使得量子态的相干性逐渐消失, 但是没有带来系统 的能量的损失. 描述环境的希尔伯特空间 H E 的维数是相当大的, 但是在这个简单的模型中, 我们只需要用到环 境的无激发的状态 (可以视作基态, 记作 j0 E i) 和仅有一个激发的状态 (可以视作第一激发态, 记作 j1 E i). 并且假 设初始时刻环境处于基态 j0 E i. 双值系统的基态和第一激发态分别记作 j0 Qi 和 j1 Qi. 系统和环境之间相互作用的 唯象的效果是 j0 Qi j0 E i ! jΩ0i = j0 Qi j0 E i (15) j1 Qi j0 E i ! jΩ1i = p 1 p j1 Qi j0 E i + p p j1 Qi j1 E i (16) 这里 p 2 [0; 1]. 可以看到, 系统和仪器之间没有能量交换. 再者, 上面两个方程不足以给出整体酉变换的具体形式, 于是考虑等距变换 V , V = jΩ0ih0 Qj + jΩ1ih1 Qj Kraus 算符 K0 = h0 E j V = j0 Qih0 Qj + p 1 p j1 Qih1 Qj = 0 @ 1 0 0 p 1 p 1 A K1 = h1 E j V = p p j1 Qih1 Qj = 0 @ 0 0 0 pp 1 A 设系统的初态是 = 1 2 (1 + r σ), 这里 1 是 22 单位阵, r 是 Bloch 向量, r = (r sin cos '; r sin sin '; r cos ). 相位阻尼对 的影响是 ! 0 = K0K 0 + K1K 1 = 1 2 (1 + r 0 σ) 计算结果是 r 0 x = r p 1 p sin cos ' r 0 y = r p 1 p sin sin ' r 0 z = r cos 可以看到, 当 p 从 0 增大到 1 的过程中, 布洛赫向量在 xy 平面内的分量逐渐减小为零, 最后只剩下始终不变的 z 方向上的分量. 当 p = 1 时, 0 具有对角形式, 相干性完全消失. 振幅阻尼 (amplitude damping) 在振幅阻尼过程中, 系统和环境之间的相互作用表现为如下唯象过程 j0 Qi j0 E i ! jΩ0i = j0 Qi j0 E i (17) j1 Qi j0 E i ! jΩ1i = p 1 p j1 Qi j0 E i + p p j0 Qi j1 E i (18) 上面的第二个方程表明系统和环境之间有能量交换. 等距变换 V = jΩ0ih0 Qj + jΩ1ih1 Qj, 由此得到 Kraus 算符 K0 = 0 @ 1 0 0 p 1 p 1 A K1 = 0 @ 0 pp 0 0 1 A
6经过振幅阻尼的作用之后，系统量子态的布洛赫向量是r=V1-psincosgr,=rV1-psingsingr= p+r(1 -p)cos 当p=1时，系统的状态是一个纯态[0)(0I退极化(depolarization)顾名思义，退极化过程导致量子态的布洛赫向量的长度逐渐减小，直至为零，最终变为最大混合态1/2.设系统的初态是p，演化过程是1→p=+(1-p)p上式的意思很明确：系统的状态以几率p变为最大混合态，以几率1－p保持不变.注意到对于C2上的任意的量子态p,有1-(p+0xpox+0ypoy+0zpo2)2-49退极化过程的结果可以改写为p+(xpox+ypoy+02po2)=由此可以得到Kraus算符1.Ki=xx，K2=。Kg=Ko=(19)2042虽然量子态的演化可以用Kraus算符表示，但是这并不是一个随时间变化的微分方程在随时间作酉演化的情形下，密度矩阵满足的微分方程是Schrodinger方程。对于非酉演化，也应该有相应的微分方程描述密度矩阵随时间的变化.这需要对量子系统和环境进行更详尽的讨论，而本节的内容只是初步的简述广义量子测量让我们从量子系统演化的角度来看量子测量.系统的初态暂设为纯态=）《l用一组Kraus算符（K表示量子态的保迹的演化，→p=u,I=1(20)uu一方面，可以说系统的状态从到p是一个演化过程，另一方面，也可以说这是一个操作过程，下面阐述其中的操作意义操作算符和效果算符让我们换一个视角回顾Kraus算符K的推导过程。注意到亚(t）是t时刻系统和仪器的整体量子态的密度矩阵，设想在这个时刻我们测量仪器的力学量M，而且M的本征值和本征向量分别设为mu和Iu)，即M
6 经过振幅阻尼的作用之后, 系统量子态的布洛赫向量是 r 0 x = r p 1 p sin cos ' r 0 y = r p 1 p sin sin ' r 0 z = p + r(1 p) cos 当 p = 1 时, 系统的状态是一个纯态 j0ih0j. 退极化 (depolarization) 顾名思义, 退极化过程导致量子态的布洛赫向量的长度逐渐减小, 直至为零, 最终变为最大混合态 1/2. 设系统的 初态是 , 演化过程是 ! 0 = p 1 2 + (1 p) 上式的意思很明确: 系统的状态以几率 p 变为最大混合态, 以几率 1 p 保持不变. 注意到对于 C 2 上的任意的量 子态 , 有 1 2 = 1 4 ( + xx + yy + zz) 退极化过程的结果可以改写为 0 = 1 3p 4 + p 4 (xx + yy + zz) 由此可以得到 Kraus 算符 K0 = r 1 3p 4 1; K1 = pp 2 x; K2 = pp 2 y; K3 = pp 2 z (19) 虽然量子态的演化可以用 Kraus 算符表示, 但是这并不是一个随时间变化的微分方程. 在随时间作酉演化的情形 下, 密度矩阵满足的微分方程是 Schrödinger 方程. 对于非酉演化, 也应该有相应的微分方程描述密度矩阵随时间 的变化. 这需要对量子系统和环境进行更详尽的讨论, 而本节的内容只是初步的简述. 广义量子测量 让我们从量子系统演化的角度来看量子测量. 系统的初态暂设为纯态 = j ih j. 用一组 Kraus 算符 fKg 表示 量子态的保迹的演化, ! = X K K ; X K K = 1 (20) 一方面, 可以说系统的状态从 到 是一个演化过程, 另一方面, 也可以说这是一个操作过程. 下面阐述其中的操 作意义. 操作算符和效果算符 让我们换一个视角回顾 Kraus 算符 K 的推导过程. 注意到 Ψ(t) 是 t 时刻系统和仪器的整体量子态的密度矩 阵, 设想在这个时刻我们测量仪器的力学量 M, 而且 M 的本征值和本征向量分别设为 m 和 ji, 即 M =
7Zmμl)《ul当我们得到结果m的时候，仪器的量子态是Iu).这就是用投影算符IM=lu)(μl作用于仪器的结果.从整体上来看，就要用19IⅡIM作用于亚(t)，于是我们有(t) →(1°IM)d(t)(10IM)=(uuuw)(vlgv")lu)ulVUA(21)=(KyK)μ)(ul其中最后一步用到了（4)式.在仪器上得到结果mμ的几率是Pu= Tr[(1 IM)(t)(1M))= Tr(KK)) = Tr(Ku)(22)令KuVK,(23)Pu=Pμ显然，Pu满足密度算符的定义和性质，它描述了系统的量子态。示意图2描述了上述过程。于是，我们这样描述(21)式：当系统和仪器建立了特定的相互作用并演化为亚(t)之后，测量仪器的力学量M,以几率pu得到结果mμ，此时仪器的状态是Iu)，系统的状态是Pu.考虑所有的测量结果，可以说，对仪器的测量导致了系统的状态从初态变成了一个系综（pu，Pu),该系综的平均量子态是p-pupu-Kut(24)YA这也就是本小节开始的（20）式，但是在这里，同样形式的方程具有了操作上的涵义.Kraus算符不仅被用来描述一般情形下系统量子态的演化，而且还体现了在间接测量的过程中对仪器的操作（即测量）所导致的对系统的影响正是在这个意义上，我们把Kraus算符K称为操作算符Pu=KuKI/p山U(t)f(t)?得到测量结果 m,4图2:广义量子测量虽然在上面的讨论中，我们借助测量仪器来描述Kraus算符的操作意义，但是也可以削弱仪器的作用而直接说：对处于初态的系统进行某种操作，操作过程和结果由一组Kraus算符（Ku）决定，每一个算符K对应于一个特定的结果mu，结果mu出现的几率是pu=Tr(KuK）=Tr(Ku)，与结果mμ对应的量子态是KμK/pu考虑所有的结果,有(24)式注意几率pu的表达式(22)式,结果mu出现的几率是由KK决定的.令Eu=KlKu，算符Eμ是（半）正定的即Eμ≥0.在保迹情形下，ZEu=12.我们把Eu称为效果算符，它是Bom规则在较为一般的情形下的体现，即Tr(Eu）等于对量子态进行操作的过程中出现结果mμ的几率.如果对系统的操作是投影测量，那么一方面
7 P m jihj. 当我们得到结果 m 的时候, 仪器的量子态是 ji. 这就是用投影算符 ΠM = jihj 作用于仪 器的结果. 从整体上来看, 就要用 1 Q ˝ ΠM 作用于 Ψ(t), 于是我们有 Ψ(t) !(1 Q ˝ Π M )Ψ(t)(1 Q ˝ Π M ) = X 0 u u 0 ˝ hj j 0 i jihj = K K ˝ jihj (21) 其中最后一步用到了 (4) 式. 在仪器上得到结果 m 的几率是 p = Tr1 Q ˝ Π M )Ψ(t)(1 Q ˝ Π M ) = Tr K K = Tr K K (22) 令 = 1 p K K (23) 显然, 满足密度算符的定义和性质, 它描述了系统的量子态. 示意图 2 描述了上述过程. 于是, 我们这样描述 (21) 式: 当系统和仪器建立了特定的相互作用并演化为 Ψ(t) 之后, 测量仪器的力学量 M, 以几率 p 得到结果 m, 此时仪器的状态是 ji, 系统的状态是 . 考虑所有的测量结果, 可以说, 对仪器的测量导致了系统的状态从初态 变成了一个系综 fp; g, 该系综的平均量子态是 = X p = X K K (24) 这也就是本小节开始的 (20) 式, 但是在这里, 同样形式的方程具有了操作上的涵义. Kraus 算符不仅被用来描述一 般情形下系统量子态的演化, 而且还体现了在间接测量的过程中对仪器的操作 (即测量) 所导致的对系统的影响. 正是在这个意义上, 我们把 Kraus 算符 K 称为操作算符. Ut t 得到测量结果 =KK † p m 图 2: 广义量子测量 虽然在上面的讨论中, 我们借助测量仪器来描述 Kraus 算符的操作意义, 但是也可以削弱仪器的作用而直接说: 对 处于初态 的系统进行某种操作, 操作过程和结果由一组 Kraus 算符 fKg 决定, 每一个算符 K 对应于一个特定 的结果 m, 结果 m 出现的几率是 p = Tr K K = Tr K K , 与结果 m 对应的量子态是 K K /p, 考虑所有的结果, 有 (24) 式. 注意几率 p 的表达式 (22) 式, 结果 m 出现的几率是由 K K 决定的. 令 E = K K, 算符 E 是 (半) 正定的, 即 E > 0. 在保迹情形下, P E = 1 Q. 我们把 E 称为效果算符, 它是 Born 规则在较为一般的情形下的体现, 即 Tr(E ) 等于对量子态 进行操作的过程中出现结果 m 的几率. 如果对系统的操作是投影测量, 那么一方面
8投影算符Ⅱ，是操作算符，另一方面效果算符E=Ⅱ,Ⅱ，=Ⅱ，这时操作算符和效果算符是相同的.但是，在非理想的情形下，操作算符和效果算符则显然是不同的.实际上，当效果算符给定的时候，有无穷多种不同的操作算符与之对应。对于给定的效果算符Eu，与之对应的操作算符可以是Ku=E/2,也可以是K=WuEl/2,这里的Wu是任意的酉算符。显然，Eu=E/E/?=E/WIWuE/2两组不同的操作算符(Ku)和(K)给出了不同的演化过程→=ZE/E2(25)H→p=WuE/2E1/2Wt(26)u一般地，p≠p.在(25)式中，与结果m对应的未归一的量子态是El/2El/2.在(26)式中，与结果m对应的未归一的量子态是WuEl/2E/2wi，二者相差一个酉变换Wu.虽然演化过程并不相同，但是从效果上看，与操作算符对应的结果出现的几率是相同的，均为Tr(Eμ)广义测量定义（广义测量）广义量子测量用一组效果算符(Eu)来描述.Eμ是半正定的，即Eμ≥0,且ZμEu=1,这里1是系统的量子态p所在的Hilbert空间上的单位算符.与效果算符Eu对应的测量结果记作mu，得到该结果的几率等于Tr(EμP)在上述定义中，对效果算符的要求只有两个：一个是半正定性，另一个是效果算符的和等于单位算符.而对效果算符的个数并无限制.效果算符的集合(Eu)构成了单位算符1的正值算符分解，故也被称为正值算符测度（positiveoperatorvaluedmeasure)，简称POVM.以下，我们通过两个简单的例子来说明广义测量22测量模型作为第一个例子，考虑最简单的测量模型.设两个自旋1/2粒子（系统Q和仪器M）的初态是/(0)）=)(x+)=(co10)+c1/1))x+),整体的随时间演化的酉变换是U(t)=eig(a:80),在1时刻整体的量子态/↓)(t)=U(t)I(0).在t时刻测量仪器的力学量αM,可能得到的结果是+1和-1,仪器的相应的量子态分别是I0)和1).根据（4)式，可以得到Kraus算符K。和K10cos(晋-gt)Ko = Tr[U(1 & |x+)(0)] =0sin(-gt))0cos( + gt)Ki = Tr[U(1 & [x+)(1)] =0sin( +gt))如果gt不等于的奇数倍，那么K。和K1的秩为2，不可能是投影测量算符，而是广义测量算符，此时系统的量子态的演化是Coctcos2gtIco/2→pe=Koyt+Kiy=[c;/2cocicos2gt
8 投影算符 Πi 是操作算符, 另一方面效果算符 Ei = Π i Πi = Πi , 这时操作算符和效果算符是相同的. 但是, 在非理 想的情形下, 操作算符和效果算符则显然是不同的. 实际上, 当效果算符给定的时候, 有无穷多种不同的操作算符 与之对应. 对于给定的效果算符 E, 与之对应的操作算符可以是 K = E 1/2 , 也可以是 K0 = WE 1/2 , 这里的 W 是任意的酉算符. 显然, E = E 1/2 E 1/2 = E 1/2 W WE 1/2 . 两组不同的操作算符 fKg 和 fK0 g 给出了不同的演 化过程 ! = X E 1/2 E1/2 (25) ! 0 = X WE 1/2 E1/2 W (26) 一般地, ¤ 0 . 在 (25) 式中, 与结果 m 对应的未归一的量子态是 E 1/2 E1/2 . 在 (26) 式中, 与结果 m 对应的未 归一的量子态是 WE 1/2 E1/2 W , 二者相差一个酉变换 W. 虽然演化过程并不相同, 但是从效果上看, 与操作算 符对应的结果出现的几率是相同的, 均为 Tr(E ). 广义测量 定义 (广义测量) 广义量子测量用一组效果算符 fEg 来描述. E 是半正定的, 即 E > 0, 且 P E = 1, 这里 1 是系统的量子态 所在的 Hilbert 空间上的单位算符. 与效果算符 E 对应的测量结果记作 m, 得到该结果的几 率等于 Tr(E). 在上述定义中, 对效果算符的要求只有两个: 一个是半正定性, 另一个是效果算符的和等于单位算符. 而对效果算 符的个数并无限制. 效果算符的集合 fEg 构成了单位算符 1 的正值算符分解, 故也被称为正值算符测度 (positive operator valued measure), 简称 POVM. 以下, 我们通过两个简单的例子来说明广义测量. 2 ˝ 2 测量模型 作为第一个例子, 考虑最简单的测量模型. 设两个自旋 1/2 粒子 (系统 Q 和仪器 M) 的初态是 jΨ(0)i = j i ˝ jx+i = (c0 j0i+c1 j1i)˝jx+i, 整体的随时间演化的酉变换是 U(t) = e igt(z˝y ) . 在 t 时刻整体的量子态 jΨi(t) = U(t)jΨ(0)i. 在 t 时刻测量仪器的力学量 M z , 可能得到的结果是 +1 和 1, 仪器的相应的量子态分别是 j0i 和 j1i. 根据 (4) 式, 可以得到 Kraus 算符 K0 和 K1. K0 = TrM [U(1 ˝ jx+ih0j)] = 0 @ cos 4 gt 0 0 sin 4 gt 1 A K1 = TrM [U(1 ˝ jx+ih1j)] = 0 @ cos 4 + gt 0 0 sin 4 + gt 1 A 如果 gt 不等于 4 的奇数倍, 那么 K0 和 K1 的秩为 2, 不可能是投影测量算符, 而是广义测量算符, 此时系统的量 子态的演化是 ! Q = K0 K 0 + K1 K 1 = 0 @ jc0j 2 c0c 1 cos 2gt c 0 c1 cos 2gt jc1j 2 1 A
9两个效果算符是Eo=K,K。和Ei=K,K1，于是得到结果±1的几率分别是P(+1) = Tr(Eo) =[1 + (lco/2- [ci/°) sin 2gt)[1 - (Ico/2 - ci1°) sin 2gt]p(-1) = Tr(E1↓) = 当gt等于恶的偶数倍的时候，两个Kraus算子均为单位阵，系统Q的量子态没有变化，因为系统和仪器处于平庸的直积态。相位阻尼和振幅阻尼在相位阻尼和振幅阻尼过程中，看看效果算子是怎样的.已经知道它们的操作算符分别是(1(。 00KPDKPDV1-p0VP0PRADKADV-00U上标PD表示相位阻尼，AD表示振幅阻尼.计算相应的效果算符，发现EAD = (KAD)tKAD =(KPD)KPD=EPDEAD=(KAD)*KAD=(KPD)KPD=EPD表明这两个不同的演化过程有着相同的效果算符非正交量子态的区分作为广义测量的一个应用，我们来讨论非正交量子态的区分.这样的制备过程：以几率P1制备一个量子态11)，以几率p2制备量子态lv2)，且P1+P2=1.对于这样的制备结果，需要用混合系综（pi，i)(i=1,2)来描述.而且，如果11）和2）不是正交的，那么即便我们知道11）和2）的具体形式，也不能严格区分这两个量子态2.换句话说，我们只能以一定的几率成功地区分它们，但也有失败的可能以自旋1/2粒子的量子态为例继续讨论不失一般性地，设63(27)[1) = [z+) = [0) , [2) = cos 210)+sing11)2相应的几率依旧记作P1和p2.如果=元，则I2）=[1)，这两个量子态是正交的，只要让粒子穿过SG装置SG(z)，观察出射粒子的偏转方向即可断定粒子的状态.而现在1）和2）并不正交，如果用SG(z）装置来检测粒子的状态，那么观察到向+z方向偏转的出射粒子并不表明粒子原先处于|41）态，因为处于[2）的粒子会有几率cos2号偏向十z方向.同样地，如果用SG(の）装置（即非均匀磁场的方向在xz平面内且与z轴的夹角是9.将该方向记作n）进行检测，那么根据“偏向+n方向”这一观测结果不能断定入射粒子处于12).非正交量子态之间的重叠/《11142)/阻碍了我们对它们进行严格区分2如果能为我们提供无穷多的处于相同状态的量子系统，那么可以严格确定系统的量子态.但这是不切实际的，而且，量子态是不能克隆的
9 两个效果算符是 E0 = K 0K0 和 E1 = K 1K1, 于是得到结果 ˙1 的几率分别是 p(+1) = Tr(E0 ) = 1 2 [1 + (jc0j 2 jc1j 2 )sin 2gt] p(1) = Tr(E1 ) = 1 2 [1 (jc0j 2 jc1j 2 )sin 2gt] 当 gt 等于 4 的偶数倍的时候, 两个 Kraus 算子均为单位阵, 系统 Q 的量子态没有变化, 因为系统和仪器处于平庸 的直积态. 相位阻尼和振幅阻尼 在相位阻尼和振幅阻尼过程中, 看看效果算子是怎样的. 已经知道它们的操作算符分别是 K PD 0 = 0 @ 1 0 0 p 1 p 1 A K PD 1 = 0 @ 0 0 0 pp 1 A KˆAD 0 = 0 @ 1 0 0 p 1 p 1 A KˆAD 1 = 0 @ 0 pp 0 0 1 A 上标 PD 表示相位阻尼, AD 表示振幅阻尼. 计算相应的效果算符, 发现 E AD 0 = (K AD 0 ) K AD 0 = (K PD 0 ) K PD 0 = E PD 0 E AD 1 = (K AD 1 ) K AD 1 = (K PD 1 ) K PD 1 = E PD 1 表明这两个不同的演化过程有着相同的效果算符. 非正交量子态的区分 作为广义测量的一个应用, 我们来讨论非正交量子态的区分. 这样的制备过程: 以几率 p1 制备一个量子态 j 1i, 以 几率 p2 制备量子态 j 2i, 且 p1 + p2 = 1. 对于这样的制备结果, 需要用混合系综 fpi ; i g (i = 1; 2) 来描述. 而且, 如果 j 1i 和 j 2i 不是正交的, 那么即便我们知道 j 1i 和 j 2i 的具体形式, 也不能严格区分这两个量子态 2 . 换句 话说, 我们只能以一定的几率成功地区分它们, 但也有失败的可能. 以自旋 1/2 粒子的量子态为例继续讨论. 不失一般性地, 设 j 1i = jz+i = j0i; j 2i = cos 2 j0i + sin 2 j1i (27) 相应的几率依旧记作 p1 和 p2. 如果 = , 则 j 2i = j1i, 这两个量子态是正交的, 只要让粒子穿过 SG 装置 SG(z), 观察出射粒子的偏转方向即可断定粒子的状态. 而现在 j 1i 和 j 2i 并不正交, 如果用 SG(z) 装置来检测 粒子的状态, 那么观察到向 +z 方向偏转的出射粒子并不表明粒子原先处于 j 1i 态, 因为处于 j 2i 的粒子会有几 率 cos2 2 偏向 +z 方向. 同样地, 如果用 SG() 装置 (即非均匀磁场的方向在 xz 平面内且与 z 轴的夹角是 , 将该 方向记作 n) 进行检测, 那么根据 ‘‘偏向 +n 方向” 这一观测结果不能断定入射粒子处于 j 2i. 非正交量子态之间 的重叠 j h 1j j 2i j 阻碍了我们对它们进行严格区分. 2如果能为我们提供无穷多的处于相同状态的量子系统, 那么可以严格确定系统的量子态. 但这是不切实际的, 而且, 量子态是不能克隆的
10虽然如此，仍有一定的几率可以成功地区分它们.当我们在SG(z）实验中看到偏向一z方向的粒子的时候，可以断定入射粒子处于[2).这是因为，如果入射粒子处于|1)，那么经过SG(z）之后只能偏向十z方向而不会看到偏向-z方向的粒子.同样地，当我们在SG(0）实验中看到偏向-n的粒子，那么将断定入射粒子处于I1).根据这样的考虑，定义下面三个效果算符E=c E=c E=-E-E2(28)这里>0是一个尚未确定的因子，)和)分别是与）和2）正交的量子态6)=[1)，)=sin10)+cos11)2引入c的目的是为了保持效果算符的正定性，虽然E和E2是正定的，但是还需要检验E3的正定性.E3的本征值是1-c±ccos号,因此考虑到E的正定性，对c的限制是1001=0该形式对于任意两体量子系统的纯态都是成立的，但是对于三体及三体以上的系统则不适用，对于混合态也不适用.下面我们给出22情形下的证明，证明过程可以推广到高维情形任意的22的量子纯态可以在自然基向量[00).101),[10),[11)上展开为Z IciuP° = 1.[)=Coo [00)+Co1 [01)+C10 [10)+C11 |11),i,μ=o纯态|）的密度矩阵记作p=/)(虹,粒子A的约化密度算符记作p4=TrB(p).设p4的两个正交归一的本征态为eo)和[ei),相应的本征值为po和p1,且po,Pi>0,po+Pi=1.考虑对A粒子作酉变换[0) →[eo) ,[1) →[e1)
10 虽然如此, 仍有一定的几率可以成功地区分它们. 当我们在 SG(z) 实验中看到偏向 z 方向的粒子的时候, 可以断 定入射粒子处于 j 2i. 这是因为, 如果入射粒子处于 j 1i, 那么经过 SG(z) 之后只能偏向 +z 方向而不会看到偏向 z 方向的粒子. 同样地, 当我们在 SG() 实验中看到偏向 n 的粒子, 那么将断定入射粒子处于 j 1i. 根据这样 的考虑, 定义下面三个效果算符 E1 = c j ? 2 ih ? 2 j ; E2 = c j ? 1 ih ? 1 j ; E3 = 1 E1 E2 (28) 这里 c > 0 是一个尚未确定的因子, j ? 1 i 和 j ? 2 i 分别是与 j 1i 和 j 2i 正交的量子态. j ? 1 i = j1i; j ? 2 i = sin 2 j0i + cos 2 j1i 引入 c 的目的是为了保持效果算符的正定性, 虽然 E1 和 E2 是正定的, 但是还需要检验 E3 的正定性. E3 的本征 值是 1 c ˙ c cos 2 , 因此考虑到 E3 的正定性, 对 c 的限制是 0 0 该形式对于任意两体量子系统的纯态都是成立的, 但是对于三体及三体以上的系统则不适用, 对于混合态也不适 用. 下面我们给出 2 ˝ 2 情形下的证明, 证明过程可以推广到高维情形. 任意的 2 ˝ 2 的量子纯态可以在自然基向量 j00i, j01i, j10i, j11i 上展开为 jΨi = c00 j00i + c01 j01i + c10 j10i + c11 j11i; X 1 i;=0 jcij 2 = 1: 纯态 jΨi 的密度矩阵记作 = jΨihΨj, 粒子 A 的约化密度算符记作 A = TrB(). 设 A 的两个正交归一的本征态 为 je0i 和 je1i, 相应的本征值为 p0 和 p1, 且 p0; p1 > 0, p0 + p1 = 1. 考虑对 A 粒子作酉变换 j0i ! je0i; j1i ! je1i