第七章粒子在位置空间中的运动I上一章内容的补充说明在上一章中我们讨论了从有限维复空间到连续Hilbert空间的过渡，并且，以一种不甚严格的方式，将有限维空间中完备性的表示形式推广到连续情形即nZ laiXαi/ =1(1)有限维情形i=1连续情形dg lqXql =1 (identity)(2)这里，αi）是某个力学量A的本征向量，lg）是位置算子Q的本征向量需要指出的是，（2）式在数学上是严格的.在F.Riesz，B.Sz.-Nagy,FunctionalAnalysis(DoverPublications，Inc.1990）一书的120节有详细证明.该节的名称是Spectraldecompositionofaself-adjointtransformation所谓的“谱”（spectrum)，简单地说，就是算子的本征值。我们关心的是厄密算子，所以本征值是实数.当C"中的厄密算子A被表示为A= Zai αiXαili=1我们称之为本征分解形式，实际上就是数学中说的谱分解（Spectraldecomposition)如果厄密算子的谱是连续的，比如位置算子X，它的本征值xE（一o，+oo），那么问题是，X能否表示为X=x xXx|dx泛函分析给出了肯定的回答推广到三维空间空间中，位置算子R是向量算子，R=（X,Y,Z)，本征值R=（x,y,z）eR3，相应的本征向量(r)=[x,y,z),完备性被表示为d3r (rXr| =2dz x, y, zXx, y,z/ = 1另外，Ballentine书的第3章讨论了时空变换的生成元与物理量的联系，这部分内容有助于理解物理理论的基本框架.1
第七章 粒子在位置空间中的运动 I 上一章内容的补充说明 在上一章中我们讨论了从有限维复空间到连续 Hilbert 空间的过渡, 并且, 以一种不甚严格的方式, 将有限维空间 中完备性的表示形式推广到连续情形, 即 有限维情形 Xn i=1 j˛iih˛i j = 1 (1) 连续情形 Z +1 1 dq jqihqj = 1 (identity) (2) 这里, j˛ii 是某个力学量 A 的本征向量, jqi 是位置算子 Q 的本征向量. 需要指出的是, (2) 式在数学上是严格的. 在 F. Riesz, B. Sz.-Nagy, Functional Analysis (Dover Publications, Inc. 1990) 一书的 120 节有详细证明. 该节的名称是 Spectral decomposition of a self-adjoint transformation. 所谓的 ‘‘谱” (spectrum), 简单地说, 就是算子的本征值. 我们关心的是厄密算子, 所以本征值是实数. 当 Cn 中的 厄密算子 A 被表示为 A = Xn i=1 ai j˛iih˛i j 我们称之为本征分解形式, 实际上就是数学中说的谱分解 (Spectral decomposition). 如果厄密算子的谱是连续的, 比如位置算子 X, 它的本征值 x 2 (1; +1), 那么问题是, X 能否表示为 X = Z +1 1 x jxihxj dx 泛函分析给出了肯定的回答. 推广到三维空间空间中, 位置算子 R 是向量算子, R = (X; Y; Z), 本征值 R = (x; y; z) 2 R3 , 相应的本征向量 jri = jx; y; zi, 完备性被表示为 Z d 3 r jrihrj = Z +1 1 dx Z +1 1 dy Z +1 1 dz jx; y; zihx; y; zj = 1 另外, Ballentine 书的第 3 章讨论了时空变换的生成元与物理量的联系, 这部分内容有助于理解物理理论的基本 框架. 1
2位置空间Hilbert空间位置空间R3描述现象的空间。通过测量，得到粒子在经典的描述粒子的波函数的空间．量子态在位置表象中的表示现实空间（IR3）中的几率分布对于一个一般意义上的量子态|亚），从t=0时刻的亚(O)）到t时刻的演化由Schrodinger方程决定，id() = H[(0)dt如今，我们关心的是粒子在位置空间R3中的几率分布，因此需要在位置表象中考虑（t）》的表示形式dx/(t) =dydz (x,y,z|d(t)) [x, y,z)简写为dr d(r,t) (r), 亚(r,t) = (x,y,z|(t)[(t) =接着考虑系统的哈密顿量H.回顾在经典力学中得到哈密顿量的过程，在一定的条件下，哈密顿量H才能等于系统的能量E1.这里，我们讨论H=E的情形.需要注意的是，虽然在这种情形下哈密顿量可以表示为动能和势能的和，但是，在动能的表达式中，需要注意正则动量和机械动量的区别.正则动量（或者广义动量，共轭动量）和广义坐标的Poisson括号是(q，p)=1.正则动量可以不等于机械动量，典型的例子是电磁场中的带电粒子，质量m带电量q的粒子的机械动量是mv，它和正则动量p之间的关系是mv=p-qA，其中A是电磁场的矢量势在这种情况下，带电粒子的动能是T= (P-qA)22m在量子力学中，出现在对易子[X,Px]=i中的动量是正则动量而不是机械动量，在位置表象中的形式是i最目前我们讨论正则动量等于机械动量的情形.在位置表象中，动量P被表示为P→-itv.或者aaaPy-→-ihPx→-ih-P.-ihaxdy'a动能算子被表示为p2V2T =2m2m其中-品品品.在位置表象中，位置算子R的形式很简单R=(X,Y,Z)→r= (x,y,z)因而势能算子V(rt)被表示为简单的函数形式V(r,t).1 Herbert Goldstein, Charles Poole, and John Safko, Classical Mechanics (3nd ed.), (Addison-Wesley)第 8 章
2 位置空间 位置空间 R3 描述现象的空间. 通过测量, 得到粒子在经典的 现实空间 (R3 ) 中的几率分布. Hilbert 空间 描述粒子的波函数的空间. 量子态在位置表象 中的表示. 对于一个一般意义上的量子态 jΨi, 从 t = 0 时刻的 jΨ(0)i 到 t 时刻的演化由 Schrödinger 方程决定, i„ d jΨ(t)i dt = H jΨ(t)i 如今, 我们关心的是粒子在位置空间 R3 中的几率分布, 因此需要在位置表象中考虑 jΨ(t)i 的表示形式, jΨ(t)i = Z +1 1 dx Z +1 1 dy Z +1 1 dz hx; y; zjΨ(t)i jx; y; zi 简写为 jΨ(t)i = Z d 3 r Ψ(r; t)jri; Ψ(r; t) = hx; y; zjΨ(t)i 接着考虑系统的哈密顿量 H. 回顾在经典力学中得到哈密顿量的过程, 在一定的条件下, 哈密顿量 H 才能等于 系统的能量 E 1 . 这里, 我们讨论 H = E 的情形. 需要注意的是, 虽然在这种情形下哈密顿量可以表示为动能和 势能的和, 但是, 在动能的表达式中, 需要注意正则动量和机械动量的区别. 正则动量 (或者广义动量, 共轭动量) 和广义坐标的 Poisson 括号是 fq; pg = 1. 正则动量可以不等于机械动量, 典型的例子是电磁场中的带电粒子, 质 量 m 带电量 q 的粒子的机械动量是 mv, 它和正则动量 p 之间的关系是 mv = p qA, 其中 A 是电磁场的矢量 势. 在这种情况下, 带电粒子的动能是 T = (p qA) 2 2m 在量子力学中, 出现在对易子 [X; Px] = i„ 中的动量是正则动量而不是机械动量, 在位置表象中的形式是 i„ @ @x . 目前我们讨论正则动量等于机械动量的情形. 在位置表象中, 动量 P 被表示为 P ! i„r: 或者 Px ! i„ @ @x ; Py ! i„ @ @y ; Pz ! i„ @ @z : 动能算子被表示为 T = P 2 2m ! „ 2 2m r 2 其中 r 2 = @ 2 @x2 + @ 2 @y2 + @ 2 @z2 . 在位置表象中, 位置算子 R 的形式很简单, R = (X; Y; Z) ! r = (x; y; z) 因而势能算子 V (r; t) 被表示为简单的函数形式 V (r; t). 1 Herbert Goldstein, Charles Poole, and John Safko, Classical Mechanics (3nd ed.), (Addison-Wesley) 第 8 章
3于是Schrodinger方程在位置表象中的形式是2(r,1)+V(r,1)(r,1).a(r,t)ih一=一2mat当势能V(r,t)不显含时间的时候，V(r,t)=V(r)，可以进行变量分离.令(r,t) = (r)T(t)变量分离后，可以得到这样形式的方程空间部分的方程=时间部分的方程=E这里E是常数容易解出时间部分的方程T(t) = e-iEt/h空间部分的方程实际上就是粒子的Hamilton量的本征方程，(3)H(r) = E(r).在位置表象中，方程（3）是关于空间位置坐标的二阶偏微分方程．同时还要注意的是，能量本征值E是未知的也是需要求解的假设我们求出了(r)，那么就可以写出(r,t)，(r, t) =(r)e-iEt/h(4)通过求解（3）式得到的(r）只是H的本征函数，而（4）式也只是一个定态，它不足以反映量子系统从某个初态开始的随时间演化的过程一一除非系统的初态是哈密顿量的某个本征态如果系统的初态/(t)》不是哈密顿量的本征态，那么应该在哈密顿量的本征态上展开.假设哈密顿量不含时，且能级是离散的，记作En，相应的本征态为n），那么有[(0)=cn(0) /n)n在t时刻，系统的量子态是[(t) =e-iH/h [(O)=cn(0)e-iEn /h [on)n在位置表象中，d(r, t) = cn(0)e-iEn /hpn(r,t)n其中m(r）是本征态lm）在位置表象中的波函数，即m(r）=(rlon）Schrodinger方程的形式很像波动方程，而且，业(r，t）也被称为波函数，所以，很容易有这样的看法：(r，t）就像是在三维空间中传播的波，或者说，用波场描述一个粒子，或者说，粒子就像是一个波包：但是，这样的一些看法是不恰当的.我们看一个例子。设想一维空间中的势能V（x）是一个势垒.一束粒子从左侧入射（如下图所示）.有反射束和透射束，分别用两个探测器D，和D，检测反射粒子和透射粒子
3 于是 Schrödinger 方程在位置表象中的形式是 i„ @Ψ(r; t) @t = „ 2 2m r 2Ψ(r; t) + V (r; t)Ψ(r; t): 当势能 V (r; t) 不显含时间的时候, V (r; t) = V (r), 可以进行变量分离. 令 Ψ(r; t) = (r)T (t): 变量分离后, 可以得到这样形式的方程 空间部分的方程 = 时间部分的方程 = E: 这里 E 是常数. 容易解出时间部分的方程, T (t) = e iE t/„ : 空间部分的方程实际上就是粒子的 Hamilton 量的本征方程, H (r) = E (r): (3) 在位置表象中, 方程 (3) 是关于空间位置坐标的二阶偏微分方程. 同时还要注意的是, 能量本征值 E 是未知的, 也是需要求解的. 假设我们求出了 (r), 那么就可以写出 Ψ(r; t), Ψ(r; t) = (r)e iE t/„ (4) 通过求解 (3) 式得到的 (r) 只是 H 的本征函数, 而 (4) 式也只是一个定态, 它不足以反映量子系统从某个初态 开始的随时间演化的过程 —— 除非系统的初态是哈密顿量的某个本征态. 如果系统的初态 jΨ(t)i 不是哈密顿量的本征态, 那么应该在哈密顿量的本征态上展开. 假设哈密顿量不含时, 且 能级是离散的, 记作 En, 相应的本征态为 j'ni, 那么有 jΨ(0)i = X n cn(0)j'ni 在 t 时刻, 系统的量子态是 jΨ(t)i = e iH t/„ jΨ(0)i = X n cn(0)e iEnt/„ j'ni 在位置表象中, Ψ(r; t) = X n cn(0)e iEnt/„'n(r; t) 其中 'n(r) 是本征态 j'ni 在位置表象中的波函数, 即 'n(r) = hrj'ni. Schrödinger 方程的形式很像波动方程, 而且, Ψ(r; t) 也被称为波函数, 所以, 很容易有这样的看法: Ψ(r; t) 就像 是在三维空间中传播的波, 或者说, 用波场描述一个粒子, 或者说, 粒子就像是一个波包. 但是, 这样的一些看法 是不恰当的. 我们看一个例子. 设想一维空间中的势能 V (x) 是一个势垒. 一束粒子从左侧入射 (如下图所示). 有反射束和透射束, 分别用两个 探测器 Dr 和 Dt 检测反射粒子和透射粒子
4D，反射透射入射假设粒子的反射几率和透射几率都是1/2，即pr=pt=，那么，两个探测器同时有响应的几率是多少？先讨论一维谐振子，目的是为第六章的内容提供一个具体的例证一维谐振子谐振子是一个非常重要的模型，表现在固体物理、对环境的模拟、量子光学和量子场论等多个领域中，下面叙述解决谐振子问题的两种途径，它们分别来自Lie代数方法和求解数理方程一维谐振子的哈密顿量是p21+=mo*x2H:2m2我们要求解H的本征值和本征态计算如下对易子[X2,p2]=2in(XP+PX),[X2,XP+PX=4ihX2,[P?,XP+PX]=-4ihp2表明三个厄密算子X2，P2和XP+PX构成封闭的代数结构.谐振子哈密顿量的这个特性是代数解法的基础为了是运算过程更为简洁，作无量纲化处理，令X-X哈密顿量重新写为H=ho(x+p/2).并且[X"P=i1.以下省略撒号，讨论如下形式的哈密顿量H=h(X2+p2)，[X, P] = i12定义如下两个算子at -(X +iP),(X -iP)(5)a:2V2
4 入射 反射 透射 Dr Dt 假设粒子的反射几率和透射几率都是 1/2, 即 pr = pt = 1 2 , 那么, 两个探测器同时有响应的几率是多少? 先讨论一维谐振子, 目的是为第六章的内容提供一个具体的例证. 一维谐振子 谐振子是一个非常重要的模型, 表现在固体物理、对环境的模拟、量子光学和量子场论等多个领域中. 下面叙述 解决谐振子问题的两种途径, 它们分别来自 Lie 代数方法和求解数理方程. 一维谐振子的哈密顿量是 H = P 2 2m + 1 2 m!2X 2 我们要求解 H 的本征值和本征态. 计算如下对易子 [X 2 ; P2 ] = 2i„(XP + PX); [X 2 ; XP + PX] = 4i„X 2 ; [P 2 ; XP + PX] = 4i„P 2 表明三个厄密算子 X2 , P 2 和 XP + PX 构成封闭的代数结构. 谐振子哈密顿量的这个特性是代数解法的基础. 为了是运算过程更为简洁, 作无量纲化处理, 令 X 0 = m! „ 1/2 X; P0 = 1 „m! 1/2 P 哈密顿量重新写为 H = 1 2 „!(X 02 + P 02 ) 并且 [X0 ; P0 ] = i1. 以下省略撇号, 讨论如下形式的哈密顿量 H = 1 2 „!(X 2 + P 2 ); [X; P] = i1 定义如下两个算子 a = 1 p 2 (X + iP); a = 1 p 2 (X iP) (5)
5二者的对易子[a,at] = 1(6)哈密顿量表示为ho(aat+ata) = ho(ata +H=令N=ataN是厄密算子，而且(N的本征值+）H的本征值=hの（于是关注算子N[N,a] =-a,[N,at] =at(7)设N的本征值是n，相应的的本征态记作n），即N (n) = n [n)利用对易关系(7)，有N(a [n)) = (aN -a) [n) = a(N -1) [n) = (n -1)(a [n))这表明αn）是N的本征态（未归一)，相应的本征值是n一1.算子α对N的本征态的作用效果是，使其对应的本征值减少1.所以我们称α为降算子类似地，N(a' (n) = (atN +at) (n) =at(N + 1) (n) = (n +1)(at n)at对N的本征态的作用效果是，使其对应的本征值增大1，故称之为升算子现在来证明N的本征值n是非负整数.首先，由于N=aa是半正定的，所以它的本征值满足n≥0.再注意到an）对应的本征值是n-1.用[n－1)表示与本征值n-1对应的本征态.αn）与[n1)只是相差一个归一化常数，即a[n) α[n-1)考虑ak作用于In)，得到的ak[n)，它正比于[n－k)，而且，ak[n）对应的本征值应该是n-k.而我们又知道，N的本征值只能是非负的，n一k≥0,所以k应该有一个上限，使得n-k非负.k的上限与开始的时候给定的n有关，设为Kn，这意谓着n-Kn≥0,n-Kn-1<0这同时也意谓着α|n- Kn) = 0这是因为，如果anKn）不等于零向量，那么就只能正比于[n一Kn一1)，但是与[n-Kn1)对应的本征值是负的，这违反了N的正定性.于是，a作为降算子，不能使n一Kn）降到本征值更低的本征态.接下去就有，一方面N|n-Kn)=(nK)In-Kn),另一方面N(n-Kn)=aa|n-Kn)=0
5 二者的对易子 [a; a ] = 1 (6) 哈密顿量表示为 H = 1 2 „!(aa + a a) = „! a a + 1 2 令 N = a a N 是厄密算子, 而且 H 的本征值 = „! N 的本征值 + 1 2 于是关注算子 N. [N; a] = a; [N; a ] = a (7) 设 N 的本征值是 n, 相应的的本征态记作 jni, 即 N jni = n jni 利用对易关系 (7), 有 N(a jni) = (aN a)jni = a(N 1)jni = (n 1)(a jni) 这表明 a jni 是 N 的本征态 (未归一), 相应的本征值是 n 1. 算子 a 对 N 的本征态的作用效果是, 使其对应的 本征值减少 1. 所以我们称 a 为降算子. 类似地, N(a jni) = (a N + a )jni = a (N + 1)jni = (n + 1)(a jni) a 对 N 的本征态的作用效果是, 使其对应的本征值增大 1, 故称之为升算子. 现在来证明 N 的本征值 n 是非负整数. 首先, 由于 N = a a 是半正定的, 所以它的本征值满足 n > 0. 再注意到 a jni 对应的本征值是 n 1. 用 jn 1i 表示与本征值 n 1 对应的本征态. a jni 与 jn 1i 只是相差一个归一化常数, 即 a jni / jn 1i 考虑 a k 作用于 jni, 得到的 a k jni, 它正比于 jn ki, 而且, a k jni 对应的本征值应该是 n k. 而我们又知道, N 的本征值只能是非负的, n k > 0, 所以 k 应该有一个上限, 使得 n k 非负. k 的上限与开始的时候给定的 n 有 关, 设为 Kn, 这意谓着 n Kn > 0; n Kn 1 < 0 这同时也意谓着 a jn Kni = 0 这是因为, 如果 a jn Kni 不等于零向量, 那么就只能正比于 jn Kn 1i, 但是与 jn Kn 1i 对应的本征值是 负的, 这违反了 N 的正定性. 于是, a 作为降算子, 不能使 jn Kni 降到本征值更低的本征态. 接下去就有, 一方 面 N jn Kni = (n Kn)jn Kni, 另一方面 N jn Kni = a a jn Kni = 0
6所以n= KnK是非负的整数，所以N的本征值n是非负整数，n=0,1,2.，没有上限，N[n)= nn),n = 0,1,2,...H (n) = ho (nH或N的本征态|n）构成了一组无穷多个可列的基向量.H或N在这组基上可以表示为无穷维的对角矩阵这个表象就是谐振子的能量表象，在第五章中提到过关于Hilbert空间的一个定理：L空间存在一组无穷多个可列基向量.谐振子的能量表象就是一个典型的例子升降算子作用于H的本征态的效果是an)α[n-1),a (n)α[n+1)将a|n）和at|n）归一化(nlata|n)= n, (n|aa'|n) = n + 1所以an)=n[n-1),at(n)=Vn+i|n+1)H的最小本征值是h，对应于n=0,相应的本征态[0)是谐振子的基态.用升算子作用于0)，得到[n) = (n!)-1/2(at)" [0)这样就得到了谐振子哈密顿量的所有本征态，基态[O满足方程a[0) = 0,1(X'+iP") :a=V22131令β=(ma.在位置表象中，10)表示为波函数o(x)，满足如下方程1d1(8x+)0(1) =0V20容易解出yo(x) α e-B2x2确定了归一化常数之后，有B1/2一4B3x2yo(x) =元1/4稍后我们将看到，o(x）是满足最小不确定关系的量子态的波函数处于基态的谐振子的能量并不等于零，这是量子现象谐振子的能级是En = ho(n +n=0.1,2
6 所以 n = Kn Kn 是非负的整数, 所以 N 的本征值 n 是非负整数, n = 0; 1; 2; , 没有上限. N jni = n jni; n = 0; 1; 2; H jni = „! n + 1 2 jni H 或 N 的本征态 jni 构成了一组无穷多个可列的基向量. H 或 N 在这组基上可以表示为无穷维的对角矩阵, 这个表象就是谐振子的能量表象. 在第五章中提到过关于 Hilbert 空间的一个定理: L2 空间存在一组无穷多个可 列基向量. 谐振子的能量表象就是一个典型的例子. 升降算子作用于 H 的本征态的效果是 a jni / jn 1i; a jni / jn + 1i 将 a jni 和 a jni 归一化. hnja ajni = n; hnjaa jni = n + 1 所以 a jni = p n jn 1i; a jni = p n + 1 jn + 1i H 的最小本征值是 1 2 „!, 对应于 n = 0, 相应的本征态 j0i 是谐振子的基态. 用升算子作用于 j0i, 得到 jni = (n!)1/2(a ) n j0i 这样就得到了谐振子哈密顿量的所有本征态. 基态 j0i 满足方程 a j0i = 0; a = 1 p 2 (X 0 + iP0 ) = 1 p 2 " m! „ 1/2 X + i 1 „m! 1/2 P # 令 ˇ = m! „ 1/2 . 在位置表象中, j0i 表示为波函数 0(x), 满足如下方程 1 p 2 ˇx + 1 ˇ d dx 0(x) = 0 容易解出 0(x) / e 1 2 ˇ 2x 2 确定了归一化常数之后, 有 0(x) = ˇ 1/2 1/4 e 1 2 ˇ 2x 2 稍后我们将看到, 0(x) 是满足最小不确定关系的量子态的波函数. 处于基态的谐振子的能量并不等于零, 这是量子现象. 谐振子的能级是 En = „! n + 1 2 ; n = 0; 1; 2;
7相邻能级之间的间距是相等的，均为の.可以写出a和at的矩阵元，(nJat|n)=Vn+18n/,n+1(n[a|n) = n8n',n-1,进而可以将a和at表示为无穷维的矩阵(o0000..00100..V20at =000V300.0:·：:::α的矩阵形式是上面无穷维矩阵的转置，用α和αt表示X和P，于是，在能量表象中，位置算子和动量算子也就具有了矩阵形式，当然它们都是无限维的.力学量在H的本征态上的期望值用升降算子表示位置X和P，有(X) = (P) = 0(X2) = (n[X2[n)九=2ma (al(a +a t(a+at)m)h- (nla? +at? + aat +atan)2m@(+)元同理有(|P2/n)=(n+)rmo于是X的方差与P的方差的乘积是(≤X)(AP)P-(n+) t或者AXAP = ((n+当n=0,即对于谐振子的基态，不确定关系达到最小值小结：·谐振子的哈密顿量的本征向量构成无限多个可列的基向量。·谐振子处于基态10)时，能量并不为零，而是具有零点能hの.而经典谐振子的最低能量是零。谐振子的相邻能级的能量差是固定的，hの·能级有下限但没有上限
7 相邻能级之间的间距是相等的, 均为 „!. 可以写出 a 和 a 的矩阵元, hn 0 jajni = p nın0 ;n1; hn 0 ja jni = p n + 1ın0 ;n+1 进而可以将 a 和 a 表示为无穷维的矩阵. a = 0 B B B B B B B B @ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 p 2 0 0 0 0 p 3 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 C C C C C C C C A a 的矩阵形式是上面无穷维矩阵的转置. 用 a 和 a 表示 X 和 P, 于是, 在能量表象中, 位置算子和动量算子也就具有了矩阵形式, 当然它们都是无限维 的. 力学量在 H 的本征态上的期望值. 用升降算子表示位置 X 和 P, 有 hXi = hPi = 0 hX 2 i = hnjX 2 jni = „ 2m! hnj(a + a )(a + a )jni = „ 2m! hnja 2 + a 2 + aa + a ajni = n + 1 2 „ m! 同理有 hnjP 2 jni = n + 1 2 „m! 于是 X 的方差与 P 的方差的乘积是 (∆X) 2 (∆P) 2 = n + 1 2 2 „ 2 或者 ∆X∆P = n + 1 2 „ 当 n = 0, 即对于谐振子的基态, 不确定关系达到最小值 „ 2 . 小结: 谐振子的哈密顿量的本征向量构成无限多个可列的基向量. 谐振子处于基态 j0i 时, 能量并不为零, 而是具有零点能 1 2 „!. 而经典谐振子的最低能量是零. 谐振子的相邻能级的能量差是固定的, „!. 能级有下限但没有上限
8如果希望进一步了解能量本征态在位置表象中的波函数形式，那么可以在位置表象中求解方程αO)=0得到基态波函数，然后使用升算子αt得到任意的n）在位置表象中的波函数，谐振子的本征函数求解空间部分的Schrodinger方程，哈密顿量的本征方程是H ()= E (0)这里暂且不知道能量本征值E是否为分立的，但是能够确定E≥0，因为谐振子的哈密顿量是正定的在位置表象中，2 dp(x) + 1+^m0*= E0(),2mdx2进行无量纲化，令2E入 :(8)ho把波函数(x)改写为u(g)du(q)+(a-q)u(q) = 0dq?分析lgl很大的时候u(q）的渐近行为2d?u-q2u= 0,(9)Iql→80,dq?u的渐近解的形式是u～e+q.解释如下先考虑e-q，对q的二阶导数是de-sq?= (q2 - 1)e-g)dq?可以把这个结果直接代入方程（9)，得到(q?-1)e-g2-ge-1=-e-1gllα>(也可以认为，在（q2-1)e-q中，当q?很大的时候，q?1q2,所以(q?-1)e-q-qe-qqe-q-e-q=0这说明e-q满足渐近方程(9)再来看e+q，对q的二阶导数是desg2dg =(q°+1)es~ q~e10容易看出，它同样满足渐近方程(9)再考虑对波函数的要求：在无穷远出应该趋于零，所以舍去e我们只能选择u～e-设u(q) = H(q)e-q22不可能有真实的x可以很大的谐振子，这里只是数学上的分析
8 如果希望进一步了解能量本征态在位置表象中的波函数形式, 那么可以在位置表象中求解方程 a j0i = 0 得 到基态波函数, 然后使用升算子 a 得到任意的 jni 在位置表象中的波函数. 谐振子的本征函数 求解空间部分的 Schrödinger 方程, 哈密顿量的本征方程是 H j'i = E j'i 这里暂且不知道能量本征值 E 是否为分立的, 但是能够确定 E > 0, 因为谐振子的哈密顿量是正定的. 在位置表象中, „ 2 2m d 2'(x) dx 2 + 1 2 m!2 x 2 = E'(x): 进行无量纲化, 令 q = m! „ 1/2 x; = 2E „! : (8) 把波函数 '(x) 改写为 u(q), d 2u(q) dq 2 + ( q 2 )u(q) = 0: 分析 jqj 很大的时候 u(q) 的渐近行为 2 . jqj ! 1; d 2u dq 2 q 2u = 0; (9) u 的渐近解的形式是 u e ˙ 1 2 q 2 . 解释如下. 先考虑 e 1 2 q 2 , 对 q 的二阶导数是 d 2 e 1 2 q 2 dq 2 = (q 2 1)e 1 2 q 2 可以把这个结果直接代入方程 (9), 得到 (q 2 1)e 1 2 q 2 q 2 e 1 2 q 2 = e 1 2 q 2 jqj!1 ! 0 也可以认为, 在 (q 2 1)e 1 2 q 2 中, 当 q 2 很大的时候, q 2 1 ' q 2 , 所以 (q 2 1)e 1 2 q 2 q 2 e 1 2 q 2 ' q 2 e 1 2 q 2 q 2 e 1 2 q 2 = 0 这说明 e 1 2 q 2 满足渐近方程 (9). 再来看 e + 1 2 q 2 , 对 q 的二阶导数是 de 1 2 q 2 dq 2 = (q 2 + 1)e 1 2 q 2 ' q 2 e 1 2 q 2 容易看出, 它同样满足渐近方程 (9). 再考虑对波函数的要求: 在无穷远出应该趋于零, 所以舍去 e 1 2 q 2 . 我们只能选择 u e 1 2 q 2 . 设 u(q) = H(q)e 1 2 q 2 : 2不可能有真实的 x 可以很大的谐振子, 这里只是数学上的分析
9其中H(q）是q的多项式，满足方程d?HdH+ (a - 1)H = 0.29ddq?将H(q)展开为H(q) =Eanq"n=0可以得到如下递推关系2n +1-^(10)(n ≥ 0).an+2(n + 2)(n + 1)an,如果对n求和不中断，不在有限项上终止，那么有2an+2nan这种渐近行为如同函数keg2的渐近行为，这里k>0.这将导致H(q)e-1q*9-e1g2这是不能接受的发散的结果.所以，H(q）只能是有限项的多项式.设H(g）的项数是n+1,即，第n+2项为零，那么有an+2=0入=2n+1n≥0.这时，H(q）是一个n阶多项式.由(8)式，有(11)E=En=(n+)ho,n=0,1,2,...这就是谐振子的能量本征值.相应的本征函数是71/28Hn(Bx)e-1B3x2Pn(x) =(12)元1/22nn！其中β=m.Hn(z)是Hermite多项式,Hn(2)nexp(- s2 + 2sz) =Zn!n=0至于Hermite函数的性质，查看数学手册或有关数理方程的教科书，·波函数n(x）是以前在Lie代数解法中得到的[n）在位置表象中的表示，它们构成无穷维Hilbert空间的一组基.0m(x)on(x)dx = 8mn·在Lie代数解法中，考虑降算子的下限得到了能级的分立在这里叙述的数理方法中，级数的中止给出了能级的分立·对于不同的n，作图lon(x)2.分析经典谐振子出现在某个位置上的几率密度，考察在n很大的时候量子几率分布与经典几率分布之间的对应
9 其中 H(q) 是 q 的多项式, 满足方程, d 2H dq 2 2q dH dq + ( 1)H = 0: 将 H(q) 展开为 H(q) = X1 n=0 anq n : 可以得到如下递推关系, an+2 = 2n + 1 (n + 2)(n + 1)an; (n > 0): (10) 如果对 n 求和不中断, 不在有限项上终止, 那么有 an+2 an ! 2 n : 这种渐近行为如同函数 q k e q 2 的渐近行为, 这里 k > 0. 这将导致 H(q)e 1 2 q 2 q!1 ! e 1 2 q 2 : 这是不能接受的发散的结果. 所以, H(q) 只能是有限项的多项式. 设 H(q) 的项数是 n + 1, 即, 第 n + 2 项为零, 那么有 an+2 = 0 H) = 2n + 1; n > 0: 这时, H(q) 是一个 n 阶多项式. 由 (8) 式, 有 E = En = n + 1 2 „!; n = 0; 1; 2; : (11) 这就是谐振子的能量本征值. 相应的本征函数是 'n(x) = ˇ 1/22 nn! 1/2 Hn(ˇx) e 1 2 ˇ 2x 2 ; (12) 其中 ˇ = pm! „ . Hn(z) 是 Hermite 多项式, exp s 2 + 2sz = X1 n=0 Hn(z) n! s n : 至于 Hermite 函数的性质, 查看数学手册或有关数理方程的教科书. 波函数 'n(x) 是以前在 Lie 代数解法中得到的 jni 在位置表象中的表示, 它们构成无穷维 Hilbert 空间的一 组基. Z +1 1 ' m(x)'n(x) dx = ımn: 在 Lie 代数解法中, 考虑降算子的下限得到了能级的分立. 在这里叙述的数理方法中, 级数的中止给出了能 级的分立. 对于不同的 n, 作图 j'n(x)j 2 . 分析经典谐振子出现在某个位置上的几率密度, 考察在 n 很大的时候量子几 率分布与经典几率分布之间的对应.
10谐振子的基态，最小不确定关系谐振子的基态10）满足位置-动量不确定的下限，即nAXAP2这里的△X和△P分别是位置算子和动量算子在基态上的标准方差现在，我们从一般的角度出发推导不确定关系，然后考虑位置-动量不确定关系，并寻找满足其下限的量子态设A和B是某个量子系统的力学量，I）是描述该系统的量子态(A)= (|A),《B)= ([B[)(A2)= (|A),(B2)= (|B2)(△A)?= (I(A-(A))"),(△B)?= (((B-(B)")令[91) =(A- (A)I), [92) =(B -(B)) [)二者均未归一(A)2 = (1101),(△B)2 = (p2l0210292)由Schwarz不等式，有(AA)2(AB)2 = (1101) (02102) ≥ / (1/02) 12(13)再令A=A-(A)1,B=B-(B)1A和B的相乘可以写为(14)AB=(A,B)[A, B]其中(A,B)=AB+BA是反对易子，是厄密的.而[A,B)=AB-BA是对易子，是反厄密的.容易看到如下关系(△A)2(△B)2≥ 1(112)121(42) (B2)I(AB) /2所以有(42)(32) ≥1 (AB) /2利用（14)，并注意到(A,B)的期望值是实数，而[A,B)的期望值是纯虚数(A2)(B2) ≥ [(AB) 12/ (A, B) P + / ([A, BI) P|(A -(A),B-(B)I°+/ [A-(AIA),B-(B) 2(15)下一步略去此项
10 谐振子的基态, 最小不确定关系 谐振子的基态 j0i 满足位置-动量不确定的下限 „ 2 , 即 ∆X ∆P = „ 2 这里的 ∆X 和 ∆P 分别是位置算子和动量算子在基态上的标准方差. 现在, 我们从一般的角度出发推导不确定关系, 然后考虑位置-动量不确定关系, 并寻找满足其下限的量子态. 设 A 和 B 是某个量子系统的力学量, j i 是描述该系统的量子态. hAi = h jAj i; hBi = h jBj i ˝ A 2 ˛ = h jA 2 j i; ˝ B 2 ˛ = h jB 2 j i (∆A) 2 = h j(A hAi) 2 j i; (∆B) 2 = h j(B hBi) 2 j i 令 j'1i = (A hAi)j i; j'2i = (B hBi)j i 二者均未归一. (∆A) 2 = h'1j'1i; (∆B) 2 = h'2j'2j'2j'2i 由 Schwarz 不等式, 有 (∆A) 2 (∆B) 2 = h'1j'1i h'2j'2i > jh'1j'2ij 2 (13) 再令 A = A hAi 1; B = B hBi 1 A 和 B 的相乘可以写为 AB = 1 2 fA; Bg + 1 2 [A; B] (14) 其中 fA; Bg = AB + BA 是反对易子, 是厄密的. 而 [A; B] = AB BA 是对易子, 是反厄密的. 容易看到如下关系 (∆A) 2 (∆B) 2 > jh'1j'2ij 2 k k ˝ A2 ˛ ˝B 2 ˛ jhABij 2 所以有 ˝ A 2 ˛ ˝B 2 ˛ > j hABij 2 利用 (14), 并注意到 fA; Bg 的期望值是实数, 而 [A; B] 的期望值是纯虚数. ˝ A 2 ˛ ˝B 2 ˛ > jhABij 2 = 1 4 ˇ ˇhfA; Bgi ˇ ˇ 2 + 1 4 ˇ ˇh[A; B]i ˇ ˇ 2 = 1 4 ˇ ˇhfA hAi; B hBigi ˇ ˇ 2 „ ƒ‚ . 下一步略去此项 + 1 4 ˇ ˇh[A hAjAi; B hBi]i ˇ ˇ 2 (15)