第五章两体量子系统I两体量子系统是一个复合系统，由子系统A和另一个子系统B构成.可以把两个子系统形象地想象为两个微观粒子，也可以把它们视作同一个粒子的两个不同性质的自由度（freedom).这里说的自由度并不是理论力学中说的广义坐标的个数，而是不能在同一个Hilbiert空间中描述的状态.例如，在SG实验中，需要考虑银原子的磁矩和空间位置，前者和粒子的自旋角动量有关，需要在有限维的C空间中描述，后者需要在无穷维的Hilbert空间中描述于是在分析该实验的时候，可以说我们面对的是一个两体量子系统直积空间中的向量设光pA和pB分别是描述子系统A和子系统B的Hilbert空间.这里仍然考虑有限维的情形.设其维数分别是dim（A）=dA和dimeB）=dB，并且分别为它们赋予自然基向量组i）和（lu，其中i=0,1.·，d4一1μ=0,1.，dB-1,这里我们分别用拉丁字母和希腊字母表示e4和eB的基向量.所谓自然基向量li）是这样的：在它的列向量表示形式中，第i+1行的分量是1，其余各行均为0，即(100010[0) = 0[1] =2:...0光B的基向量组与此类似描述两体量子系统AB的量子态的Hilbert空间光是A和光B的直积，即光=4B，它是一个d4×dB维的复空间，自然基向量组记作(li）lu))，简写为(li)[u)),或者(liμ).这里，符号表示直积（directproduct),它的运算规则是这样的.设X是一个m×n的矩阵，Y是另一个矩阵.X的第i行第j列的矩阵元记作xij.X和Y的直积就是(X11YX12Y...XinYX21YX22Y.X2nYX&Y-:XmiYXm2Y..XmnY)简单地说，把XY看成是一个由mn个小矩阵拼成的大矩阵，每一个小矩阵是xiY.于是，光的某个基向量，比1
第五章 两体量子系统 I 两体量子系统是一个复合系统, 由子系统 A 和另一个子系统 B 构成. 可以把两个子系统形象地想象为两个微观粒 子, 也可以把它们视作同一个粒子的两个不同性质的自由度 (freedom). 这里说的自由度并不是理论力学中说的广 义坐标的个数, 而是不能在同一个 Hilbiert 空间中描述的状态. 例如, 在 SG 实验中, 需要考虑银原子的磁矩和空间 位置, 前者和粒子的自旋角动量有关, 需要在有限维的 C 2 空间中描述, 后者需要在无穷维的 Hilbert 空间中描述. 于是在分析该实验的时候, 可以说我们面对的是一个两体量子系统. 直积空间中的向量 设 H A 和 H B 分别是描述子系统 A 和子系统 B 的 Hilbert 空间. 这里仍然考虑有限维的情形. 设其维数分别是 dim(H A) = d A 和 dim(H B) = d B, 并且分别为它们赋予自然基向量组 fjiig 和 fjig, 其中 i = 0; 1 ; d A 1, = 0; 1 ; d B 1, 这里我们分别用拉丁字母和希腊字母表示 H A 和 H B 的基向量. 所谓自然基向量 jii 是这样 的: 在它的列向量表示形式中, 第 i + 1 行的分量是 1, 其余各行均为 0, 即 j0i = 0 B B B B B B B B @ 1 0 0 : : : 0 1 C C C C C C C C A ; j1i = 0 B B B B B B B B @ 0 1 0 : : : 0 1 C C C C C C C C A ; ; jd A 1i = 0 B B B B B B B B @ 0 0 0 : : : 1 1 C C C C C C C C A : H B 的基向量组 fjig 与此类似. 描述两体量子系统 AB 的量子态的 Hilbert 空间 H 是 H A 和 H B 的直积, 即 H = H A ˝ H B, 它是一个 d A d B 维的复空间, 自然基向量组记作 fjii ˝ jig, 简写为 fjii jig, 或者 fjiig. 这里, 符号 ˝ 表示直积 (direct product), 它的运算规则是这样的. 设 X 是一个 m n 的矩阵, Y 是另一个矩阵. X 的第 i 行第 j 列的矩阵元记作 xij . X 和 Y 的直积就是 X ˝ Y = 0 B B B B B @ x11Y x12Y x1nY x21Y x22Y x2nY : : : : : : : : : : : : xm1Y xm2Y xmnY 1 C C C C C A : 简单地说, 把 X ˝ Y 看成是一个由 mn 个小矩阵拼成的大矩阵, 每一个小矩阵是 xij Y . 于是, H 的某个基向量, 比 1
2如[0)[1),它的列向量形式可以表示为U[0) [1) OHilbert空间光e中任意一个态矢量/）可以在（iμ上展开，dA-1 dB-1[亚 =Zcili) l)(1)1=0μ=0其中系数ciu=《iμ|亚)，并且满足ilciul2=1.以后，在不会引起歧义的情况下，我们将略去求和的上下限.另外，我们把这样的两体系统简称为d4dB系统例如，22量子系统的纯态可以表示为C2C2中的归一化的向量，[) = Coo [00) + C01 [01) + C10 |10) + C11 [11)其中[coo/2+[co1/2+|c1o/2+[c11/2=1.虽然Hilbert空间光是ye4和yeB的直积，但是光中的量子态却并不是总能表示为e4中的量子态和eB中的量子态的直积.如果）可以表示为4B)，其中[4)4,BB,那么）被称为直积态(product state).可以选择光4或光B的其它形式的基向量，将）表示成其它形式.下面的定理给出了最简单的表示形式定理（施密特(Schmidt)分解）对于给定的某个量子态|）Eye，总能找到eA和eB的特定的基向量，记作(lei))和(fu)，使得l）在(lei)lfu》上的展开形式为d(2)[) =Ecileifi),j=0其中d=minid4,dB一1.并且每一个ci都是正的稍后证明这个结论.直积空间上的矩阵考虑d4dB维的空间上的的算符X，它可以表示为矩阵形式1,在自然基向量li)lu）上X=Exin.jvliu)(jvl(3)ijuv其中矩阵元xiujv就是Xiu,jv= (i|XIjv) = Tr(X liv) (iμl)i若非特别指明，所说的矩阵是dAdB×dAdB的方阵
2 如 j0i j1i, 它的列向量形式可以表示为 j0i j1i = 0 B B B B B B B B @ 1 0 0 : : : 0 1 C C C C C C C C A ˝ 0 B B B B B B B B @ 0 1 0 : : : 0 1 C C C C C C C C A = 0 B B B B B B B B B B B @ 0 1 0 : : : : : : 0 1 C C C C C C C C C C C A : Hilbert 空间 H 中任意一个态矢量 jΨi 可以在 fjiig 上展开, jΨi = d XA1 i=0 d XB 1 =0 ci jii ji (1) 其中系数 ci = hijΨi, 并且满足 P i; jcij 2 = 1. 以后, 在不会引起歧义的情况下, 我们将略去求和的上下限. 另 外, 我们把这样的两体系统简称为 d A ˝ d B 系统. 例如, 2 ˝ 2 量子系统的纯态可以表示为 C 2 ˝ C 2 中的归一化的向量, jΨi = c00 j00i + c01 j01i + c10 j10i + c11 j11i 其中 jc00j 2 + jc01j 2 + jc10j 2 + jc11j 2 = 1. 虽然 Hilbert 空间 H 是 H A 和 H B 的直积, 但是 H 中的量子态却并不是总能表示为 H A 中的量子态和 H B 中 的量子态的直积. 如果 jΨi 2 H 可以表示为 j Ai ˝ j Bi, 其中 j Ai 2 H A, j Bi 2 H B, 那么 jΨi 被称为直积态 (product state). 可以选择 H A 或 H B 的其它形式的基向量, 将 jΨi 表示成其它形式. 下面的定理给出了最简单的表示形式. 定理 (施密特 (Schmidt) 分解) 对于给定的某个量子态 jΨi 2 H , 总能找到 H A 和 H B 的特定的基向量, 记作 fjeiig 和 fjfig, 使得 j i 在 fjeii jfig 上的展开形式为 jΨi = X d j =0 cj jej i jfj i; (2) 其中 d = minfd A; d Bg 1, 并且每一个 cj 都是正的. 稍后证明这个结论. 直积空间上的矩阵 考虑 d Ad B 维的空间 H 上的的算符 X, 它可以表示为矩阵形式 1 , 在自然基向量 jii ji 上 X = X ij xi;j jii hjj (3) 其中矩阵元 xi;j 就是 xi;j = hij X jji = Tr(X jji hij): 1若非特别指明, 所说的矩阵是 d Ad B d Ad B 的方阵.
3这里，用双指标标记矩阵的行和列，对行的标记是i，对列的标记是jv.还可以把矩阵X表示为X=Exiujv li)(jl8lu)(ol(4)ijuv一般地，Hilbert空间光上任意一个矩阵不一定总能表示为光e4上的矩阵和光B上的矩阵的直积，但是总可以表示为如下分解形式X-ZMi&Ni(5)1其中M和N分别是光A和光B上的矩阵.表达式（4）体现了这一点如果X是上的厄密矩阵，即X=Xt，那么（5）式中的M和N可以是厄密的.实际上，可以在A和B上选择适当的基，将厄密矩阵表示为实系数的展开形式直积空间光上的酉矩阵U也不能总是表示为U4UB的直积形式.不具有直积形式的酉变换是整体酉变换，而UAUB描述的是局部酉变换在讨论两体问题的时候，对于某个子空间上的矩阵，比如说，A是光A上的矩阵，更严格的写法是A1B.类似地光B上的矩阵B应该理解为1B.添加的单位算符意谓着对相应的子空间中的向量不作任何操作.如果矩阵A和B分属不同的Hilbert空间，它们一定是对易的，即[A, B] = [A& 1, 1 β B] = 0在讨论两体量子系统作为一个整体随时间演化的时候，需要给出整个系统的哈密顿量，例如H = HA+HB +Hint,其中H4和HB分别是是子系统A和B的局部的定域的哈密顿量，它们分别是A和兆B上的厄米算符，Hint则表示二者间的相互作用，它是光上的厄米算符，所以，上式应该写为H=HA&1B+1A&HB+Hint(6)以后，在不致混淆的情况下，我们有时会省略表明子系统的上标，对矩阵的部分变换常见的对Hilbert空间光上的矩阵的操作有转置、厄密共轭和求迹.矩阵X的转置记作XTXT=Exiujvlv)(iulijuy也可以等价地写为=Zijujv,iuliu)《jv.厄密共轭是Xt =Zxiuj ljv) (iulju可以等价地写为Xt=Zijwxiv.iuliu)《jivl.对矩阵X在整个空间上求迹，结果是Tr(X)=-Z(i'μlX li'μ)Vr=-EExiuji ("wlu)(ivli'u)i'u'iju
3 这里, 用双指标标记矩阵的行和列, 对行的标记是 i, 对列的标记是 j. 还可以把矩阵 X 表示为 X = X ij xi;j jiihj j ˝ jihj (4) 一般地, Hilbert 空间 H 上任意一个矩阵不一定总能表示为 H A 上的矩阵和 H B 上的矩阵的直积, 但是总可以表 示为如下分解形式 X = X i Mi ˝ Ni (5) 其中 Mi 和 Ni 分别是 H A 和 H B 上的矩阵. 表达式 (4) 体现了这一点. 如果 X 是 H 上的厄密矩阵, 即 X = X , 那么 (5) 式中的 Mi 和 Ni 可以是厄密的. 实际上, 可以在 H A 和 H B 上 选择适当的基, 将厄密矩阵表示为实系数的展开形式. 直积空间 H 上的酉矩阵 U 也不能总是表示为 U A ˝ U B 的直积形式. 不具有直积形式的酉变换是整体酉变换, 而 U A ˝ U B 描述的是局部酉变换. 在讨论两体问题的时候, 对于某个子空间上的矩阵, 比如说, A 是 H A 上的矩阵, 更严格的写法是 A ˝ 1 B. 类似地, H B 上的矩阵 B 应该理解为 1 ˝ B. 添加的单位算符意谓着对相应的子空间中的向量不作任何操作. 如果矩阵 A 和 B 分属不同的 Hilbert 空间, 它们一定是对易的, 即 [A; B] = [A ˝ 1; 1 ˝ B] = 0 在讨论两体量子系统作为一个整体随时间演化的时候, 需要给出整个系统的哈密顿量, 例如 H = HA + HB + Hint ; 其中 HA 和 HB 分别是是子系统 A 和 B 的局部的定域的哈密顿量, 它们分别是 H A 和 H B 上的厄米算符, Hint 则表示二者间的相互作用, 它是 H 上的厄米算符, 所以, 上式应该写为 H = HA ˝ 1 B + 1 A ˝ HB + Hint : (6) 以后, 在不致混淆的情况下, 我们有时会省略表明子系统的上标. 对矩阵的部分变换 常见的对 Hilbert 空间 H 上的矩阵的操作有转置、厄密共轭和求迹. 矩阵 X 的转置记作 XT , X T = X ij xi;j jji hij 也可以等价地写为 XT = P ij xj ;i jii hjj. 厄密共轭是 X = X ij x i;j jji hij 可以等价地写为 X = P ij x j ;i jii hjj. 对矩阵 X 在整个空间上求迹, 结果是 Tr(X) = X i 00 hi 0 0 j X ji 0 0 i = X i 00 X ij xi;j hi 0 0 jii hjji 0 0 i
4Exiuiuiu除了上述常见的操作以外，还有一些仅仅涉及子空间eA或eB的操作，即部分转置（partialtranspose)和部分迹(partial trace).定义（部分转置）Hilbert空间光=ye4eB上的矩阵X表示为（3)式，在4空间中的转置记作XTa，其形式是xTA=xiu,jvljn) (iv]=xiu,jvli(il& lμ)(ul.(7)ijuvijuv在yeB空间中的转置记作XTB，其形式是xTB=Exinjvliv)(jul=Exiujvli)jlv)ul.(8)ijuvijuv定义（部分迹）对形如（3）式的矩阵X在空间B中求迹，得到一个A上的矩阵，记作X4X4 = TrB(X)=xin,ju li)(jl.(9)ju类似地，对X在空间光PA中求迹，得到一个B上的矩阵，记作XBXB = Tra(X) =xiu,ivlμ)(ul.(10)iuvX4和XB分别称为X在eA和yeB上的约化矩阵例如，对于C2C2上的矩阵X，下面两个图描述了部分转置和部分迹*********1*************米*******3TA+X图1：将图中用虚线连接的矩阵元对调，得到关于矩阵X的部分转置
4 = X i xi;i 除了上述常见的操作以外, 还有一些仅仅涉及子空间 H A 或 H B 的操作, 即部分转置 (partial transpose) 和部分迹 (partial trace). 定义 (部分转置) Hilbert 空间 H = H A ˝ H B 上的矩阵 X 表示为 (3) 式, 在 H A 空间中的转置记作 XTA , 其形式 是 X TA = X ij xi;j jji hij = X ij xi;j jj ihij ˝ jihj : (7) 在 H B 空间中的转置记作 XTB , 其形式是 X TB = X ij xi;j jii hjj = X ij xi;j jiihj j ˝ jihj : (8) 定义 (部分迹) 对形如 (3) 式的矩阵 X 在空间 H B 中求迹, 得到一个 H A 上的矩阵, 记作 X A, X A = TrB(X) = X ij xi;j jiihj j : (9) 类似地, 对 X 在空间 H A 中求迹, 得到一个 H B 上的矩阵, 记作 XB, X B = TrA(X) = X i xi;i jihj : (10) X A 和 XB 分别称为 X 在 H A 和 H B 上的约化矩阵. 例如, 对于 C 2 ˝ C 2 上的矩阵 X, 下面两个图描述了部分转置和部分迹. X TA X TB 图 1: 将图中用虚线连接的矩阵元对调, 得到关于矩阵 X 的部分转置
5(1, 1)(1, 2)(1, 2)(11*米米十**1*1(2,1)(2,2)(2, 1)(2, 2)BA图2：将图中用虚线圈起来的矩阵元相加，再将相加的结果放在2×2矩阵的相应的位置，得到关于矩阵X的部分迹一般地，X≠X4XB.还可以看到，在整个空间e上求迹等于先在e4(B）上求迹，然后继续在B(4)上求迹，Tr(X) = TrA[TrB(X)] = Tr[TrA(X)]其它一些性质：·设AEC(PA),CEC(PAJB)Tr(A TrB C) = Tr (A 1)C)(11)将C表示为C=ulu)(lμ,v其中6u是光4上的矩阵（不是C的矩阵元）.容易看出TrBC-EuA计算（11）式的左端，这是在光A中的求迹(11)式左端=TrAuu再看（11）式的右端，先求TrB有TrB(A1)C)= TrB [(A 1)(%u /μ)(ul)]u,v=TrB[ASu[μ)(u]]L,v=EA%u4再计算TrA，得到（11)式的左端
5 (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) X A X B 图 2: 将图中用虚线圈起来的矩阵元相加, 再将相加的结果放在 2 2 矩阵的相应的位置, 得到关于矩阵 X 的部分 迹. 一般地, X ¤ X A ˝ XB. 还可以看到, 在整个空间 H 上求迹等于先在 H A(B) 上求迹, 然后继续在 H B(A) 上求迹, Tr(X) = TrA TrB(X) = TrB TrA(X) 其它一些性质: 设 A 2 L(H A), C 2 L(H A ˝ H B), Tr(A TrB C) = Tr (A ˝ 1)C (11) 将 C 表示为 C = X ; C ˝ jihj 其中 C 是 H A 上的矩阵 (不是 C 的矩阵元). 容易看出 TrB C = X C 计算 (11) 式的左端, 这是在 H A 中的求迹, (11) 式左端 = Tr A X C 再看 (11) 式的右端, 先求 TrB, 有 TrB (A ˝ 1)C = X ; TrB A ˝ 1 C ˝ jihj = X ; TrB AC ˝ jihj = X AC 再计算 TrA, 得到 (11) 式的左端.
6.设V）lP）EA,那么有CEC(AB)(ICl0) e C(geB)(Cl) = Tra (l)(/ 1)C)计算过程如下[=[)，=)iJC= Z Cmu,nv[m)(nl&lu)(ulm,un,(/Cl0)=Z mcmu,nen lu)(l(12)m,u,n,vTrA ((lo)(| 1)C)Tra[(gjvili)(il1)(cmu,v/m)(nl[u)(uD)]i.jm,μ,n,vjicmu,《kl)(im)(nk)/)(lk,i,jm,μ,n,考虑基向量的正交归一性之后，得到（12)式约化密度矩阵空间光=AB中的任意一个混合态的密度矩阵p可以在自然基上表示为=pijl)(=pijvi)l((13)ijuvijuv当然，矩阵元piu,jv须满足密度矩阵的要求我们先来考虑力学量在混合态p中的期望值.设X是两体系统整体的力学量，那么它的期望值是(X)e=Tr(Xp)=(iμlpljv)(jvlXjiμ)(14)ijuv如果我们仅仅考虑属于子系统A的某个力学量A,那么应该如何求得它在p上的期望值呢？考虑两体系统的时候，子系统的力学量A应该写为A1.因此A的期望值就是(A), = Tr[(A 1B)plTr(A1B)pijvli)jl)(lijuv(15)-Epiu,jvTr[Ajijllμ)(v]ijuv
6 设 j i; j'i 2 H A, 那么有 C 2 L(H A ˝ H B), h jCj'i 2 L(H B ) h jCj'i = TrA (j'ih j ˝ 1)C 计算过程如下. j i = X i i jii; j'i = X j 'j jj i C = X m;;n; cm;n jmihnj ˝ jihj h jCj'i = X m;;n; mcm;n'n jihj (12) TrA (j'ih j ˝ 1)C = X i;j;m;;n; TrA 'j i jj ihij ˝ 1 cm;n jmihnj ˝ jihj = X k;i;j;m;;n; 'j i cm;n hkjj i hijmi hnjki jihj 考虑基向量的正交归一性之后, 得到 (12) 式 约化密度矩阵 空间 H = H A ˝ H B 中的任意一个混合态的密度矩阵 可以在自然基上表示为 = X ij i;j jii hjj = X ij i;j jiihj j ˝ jihj (13) 当然, 矩阵元 i;j 须满足密度矩阵的要求. 我们先来考虑力学量在混合态 中的期望值. 设 X 是两体系统整体的力学量, 那么它的期望值是 hXi = Tr(X) = X ij hij jji hjj X jii (14) 如果我们仅仅考虑属于子系统 A 的某个力学量 A, 那么应该如何求得它在 上的期望值呢? 考虑两体系统的时候, 子系统的力学量 A 应该写为 A ˝ 1. 因此 A 的期望值就是 hAi = Tr (A ˝ 1 B ) = Tr 2 4(A ˝ 1 B ) X ij i;j jiihj j ˝ jihj 3 5 = X ij i;j Tr[A jiihj j ˝ jihj] (15)
7上述求迹是对整个空间光而言的，等价于先后在两个子空间上求迹，即Tr=TrATrB=TrBTrA.对（15)式求TrB，导致μ=V,求和指标中不再出现V,接着还要计算TrA，即(A)= TrAApiu.juli)(jl= TrA[ApA](16)iju这里，p4是p在4上的约化密度矩阵，即p4 = TrB(p)=piu,ju li)(jl(17)ju需要检验p4是否满足密度矩阵的三个性质.容易看出Tr(e4）=1以及p4=（p4)t以下过程可以说明它的正定性对于任意的Ix）E光A，有(xlp^ Ix) = TrA(pA Ix)(xl) =Tr[p(Ix)(xl1B)](18)=Tr(Ix)(xlE(a)(μl)=ETr[e(Ix) /u)(xl(μ)]=Z(xl (μl)p(Ix) lμ))≥0H其中(18)式的第二个等式可以通过（13)得到，也是以前提到过的关于部分迹的一个性质这里不带下标的求迹运算Tr是在整个空间e上进行的.上式的结果表明，对于任意的Ix),《xlp4Ix)0,即p4是正定的.于是p4满足密度矩阵的要求，描述了子系统A的局部的定域的量子态.同理，约化密度矩阵pB=TrA(p)描述了子系统B的局部的量子态。一般情况下，p≠p4pB，即整体的量子态不一定具有局部量子态的直积形式如果整体量子态是直积形式，即）=）[)，那么局部量子态分别是是）和1)如果整体量子态不是直积形式，即处于纠缠态，那么局部量子态是混合态。从整体上的纯态到局部上的混合态，反映了这样的事实：当子系统之间存在关联的时候，如果孤立地看到某个子系统，那么不能明确地描述这个子系统的状态.约化密度矩阵来自整体密度矩阵的部分迹，在某种程度上，数学上的求迹运算意味着物理上的测量过程，或者退相干过程，所以，简单而直接地谈论约化密度矩阵或局部量子态缺乏物理上的支持尽管如此，约化密度矩阵的数学形式可以很好地描述局部测量的结果的几率分布.考虑4和pB上的投影算符（不一定是一维的)I和IB把它们视作测量算符，对应的观测结果记作α和b，那么得到结果α和b的几率分别是Ⅱ4和IⅡB的期望值，p(a) = Tr[e(I 1B)] = Tra[o^]P(b) = Tr[e(14 IB)] = TrB[oBB)这意味着局部测量结果的几率分布取决于相应的约化密度算符．另一方面，联合测量结果（a，b）的几率等于p(a,b)=Tr[p(II4IIB)],我们可以从联合测量结果的几率分布得到边缘几率分布，p(a) =Zp(a,b), p(b) =p(a,b)ba
7 上述求迹是对整个空间 H 而言的, 等价于先后在两个子空间上求迹, 即 Tr = TrA TrB = TrB TrA. 对 (15) 式求 TrB, 导致 = , 求和指标中不再出现 , 接着还要计算 TrA, 即 hAi = TrA 2 4A X ij i;j jiihj j 3 5 = TrA AA (16) 这里, A 是 在 H A 上的约化密度矩阵, 即 A = TrB() = X ij i;j jiihj j (17) 需要检验 A 是否满足密度矩阵的三个性质. 容易看出 Tr A = 1 以及 A = ( A) . 以下过程可以说明它的正定 性. 对于任意的 j i 2 H A, 有 h j A j i = TrA( A j ih j) = Tr (j ih j ˝ 1 B ) (18) = Tr " j ih j ˝X jihj # = X Tr (j i ˝ ji)(h j ˝ hj) = X (h j ˝ hj)(j i ˝ ji) > 0 其中 (18) 式的第二个等式可以通过 (13) 得到, 也是以前提到过的关于部分迹的一个性质. 这里不带下标的求迹运算 Tr 是在整个空间 H 上进行的. 上式的结果表明, 对于任意的 j i, h j A j i > 0, 即 A 是 正定的. 于是 A 满足密度矩阵的要求, 描述了子系统 A 的局部的定域的量子态. 同理, 约化密度矩阵 B = TrA() 描述了子系统 B 的局部的量子态. 一般情况下, ¤ A ˝ B, 即整体的量子态不一定具有局部量子态的直积形式. 如果整体量子态是直积形式, 即 jΨi = j i ˝ j'i, 那么局部量子态分别是是 j i 和 j'i. 如果整体量子态不是直积形式, 即处于纠缠态, 那么局部量子态是混合态. 从整体上的纯态到局部上的混合态, 反 映了这样的事实: 当子系统之间存在关联的时候, 如果孤立地看到某个子系统, 那么不能明确地描述这个子系统的 状态. 约化密度矩阵来自整体密度矩阵的部分迹, 在某种程度上, 数学上的求迹运算意味着物理上的测量过程, 或者退相 干过程, 所以, 简单而直接地谈论约化密度矩阵或局部量子态缺乏物理上的支持. 尽管如此, 约化密度矩阵的数学 形式可以很好地描述局部测量的结果的几率分布. 考虑 H A 和 H B 上的投影算符 (不一定是一维的) ΠA a 和 ΠB b , 把它们视作测量算符, 对应的观测结果记作 a 和 b, 那么得到结果 a 和 b 的几率分别是 ΠA 和 ΠB 的期望值, p(a) = Tr (ΠA a ˝ 1 B ) = TrA[ AΠ A a ] p(b) = Tr (1 A ˝ Π B b ) = TrB[ BΠ B b ] 这意味着局部测量结果的几率分布取决于相应的约化密度算符. 另一方面, 联合测量结果 (a; b) 的几率等于 p(a; b) = Tr (ΠA ˝ ΠB) , 我们可以从联合测量结果的几率分布得到边缘几率分布, p(a) = X b p(a; b); p(b) = X a p(a; b)
8而且，几率p(α）并不依赖于子系统B的观测对象的选择，就是说，如果对子系统B测量另一个力学量B'，测量结果结果记作b，那么同样有p(a)=Ep(a,b)br只要对B的测量是完全的（complete）而不是选择的（selective)，就总有上述关系.一般地，对子系统B的保迹变换不会影响对子系统A的测量结果的几率分布，这是定域性的体现虽然我们可以从联合分布得到边缘分布，但是，在一般情形下，p(a,b）≠p(a)p(b).即便在经典几率中，这也是很自然的事情，表明二者之间有关联联合测量联合测量设两体系统AB的整体的量子态是/.再设想X是AB的整体力学量，即X是光上的厄密算符，本征值和相应的本征向量分别用x和）表示,i=0,1,,dim-1,即X）=xi).在[)中测量X得到结果xi的几率是p(x）=1《/业）2.这种对于两体系统整体的测量被称为联合测量.不过，在很多时候（尤其是讨论子系统之间的关联行为的时候),同时测量两个子系统的局部的(local)力学量也被看成是联合测量.设A和B分别是子系统A和子系统B的力学量，它们的本征方程分别是A=aiαi)(αil和B=,bilβ)《βil,i=0,1,..,dime4-1j=0,1,.，dimeB-1.测量A得到结果ai，同时测量B得到结果b,的几率是p(ai,b)=(αi/(B,)/)2有时候，我们也把上述几率写为p(ai,bjlA,B)，在竖线右边标明了每个子系统的被测力学量，它们的观测结果写在竖线的左边，这个形式看起来像是条件几率，我们也确实可以把竖线右边的内容视作条件，定义投影算符=αi)αil和=B)βl,几率p(ai,b,)又可以写为p(ai)=(())=[(((19)这是观测到结果a和b，这两个事件同时出现的几率，是联合几率，对此有以下两点需要说明1.可以从联合几率得到边缘(marginal)几率.若联合几率p(ai,bj）是已知的，那么可以有p(ai) =p(ai,b,), p(b,)=p(ai,b,)Tp(ai)和p(bi)就是边缘几率，它们分别是在|亚）中仅仅测量A并得到结果ai和仅仅测量B并得到结果b,的几率.这种从整体到部分，从联合到边缘的过渡是经典概率论的内容，但也符合Born规则给出的结论，注意到与结果a;对应的投影算符是I4，根据Born规则，有(a)=((AB))上式的意思是，对B系统不作任何操作，所以有1B.而且，利用性质（11)，可以将上式表示为p(a)=Tr[ATrB()]、=)(这里的TrB(亚）就是稍后要讨论的约化密度算子
8 而且, 几率 p(a) 并不依赖于子系统 B 的观测对象的选择, 就是说, 如果对子系统 B 测量另一个力学量 B 0 , 测量结 果结果记作 b 0 , 那么同样有 p(a) = X b 0 p(a; b0 ) 只要对 B 的测量是完全的 (complete) 而不是选择的 (selective), 就总有上述关系. 一般地, 对子系统 B 的保迹变换 不会影响对子系统 A 的测量结果的几率分布, 这是定域性的体现. 虽然我们可以从联合分布得到边缘分布, 但是, 在一般情形下, p(a; b) ¤ p(a)p(b). 即便在经典几率中, 这也是很 自然的事情, 表明二者之间有关联. 联合测量 联合测量 设两体系统 AB 的整体的量子态是 jΨi. 再设想 X 是 AB 的整体力学量, 即 X 是 H 上的厄密算符, 本征值和相应 的本征向量分别用 xi 和 jii 表示, i = 0; 1; ; dim H 1, 即 X jii = xi jii. 在 jΨi 中测量 X 得到结果 xi 的几率 是 p(xi) = j hi jΨi j2 . 这种对于两体系统整体的测量被称为联合测量. 不过, 在很多时候 (尤其是讨论子系统之间 的关联行为的时候), 同时测量两个子系统的局部的 (local) 力学量也被看成是联合测量. 设 A 和 B 分别是子系统 A 和子系统 B 的力学量, 它们的本征方程分别是 A = P i ai j˛iih˛i j 和 B = P j bi jˇj ihˇj j, i = 0; 1; ; dim H A 1, j = 0; 1; ; dim H B 1. 测量 A 得到结果 ai , 同时测量 B 得到结果 bj 的几率是 p(ai ; bj ) = ˇ ˇ(h˛i j ˝ hˇj j)jΨi ˇ ˇ 2 有时候, 我们也把上述几率写为 p(ai ; bj jA; B), 在竖线右边标明了每个子系统的被测力学量, 它们的观测结果 写在竖线的左边. 这个形式看起来像是条件几率, 我们也确实可以把竖线右边的内容视作条件. 定义投影算符 ΠA i = j˛iih˛i j 和 ΠB j = jˇj ihˇj j, 几率 p(ai ; bj ) 又可以写为 p(ai ; bj ) = hΨj(ΠA i ˝ Π B j )jΨi = Tr (ΠA i ˝ Π B j )(jΨihΨj) (19) 这是观测到结果 ai 和 bj 这两个事件同时出现的几率, 是联合几率. 对此有以下两点需要说明. 1. 可以从联合几率得到边缘 (marginal) 几率. 若联合几率 p(ai ; bj ) 是已知的, 那么可以有 p(ai) = X j p(ai ; bj ); p(bj ) = X i p(ai ; bj ) p(ai) 和 p(bj ) 就是边缘几率, 它们分别是在 jΨi 中仅仅测量 A 并得到结果 ai 和仅仅测量 B 并得到结果 bj 的几 率. 这种从整体到部分, 从联合到边缘的过渡是经典概率论的内容, 但也符合 Born 规则给出的结论. 注意到与结果 ai 对应的投影算符是 ΠA i , 根据 Born 规则, 有 p(ai) = hΨj(ΠA i ˝ 1 B )jΨi 上式的意思是, 对 B 系统不作任何操作, 所以有 1 B. 而且, 利用性质 (11), 可以将上式表示为 p(ai) = Tr Π A i TrB(Ψ) ; Ψ = jΨihΨj 这里的 TrB(Ψ) 就是稍后要讨论的约化密度算子.
9将1B表示为,B,几率p(ai)可以继续写为p(a)=((AIB))=p(ai,b))ij类似地可以得到p(b,)=;p(ai,b,)2.这里说的同时并不一定必须是严格的时间上的同步，实际上可以分两步进行.例如，我们可以先测量B，以一定的几率p(bi)得到结果bj,在此基础上再测量A,以条件几率p(ailb;)得到结果ai，于是联合几率p(ai,b))=p(ailb))p(b).这种叙述同样也是经典概率论的内容，而在量子力学中也有同样的结论选择yeB的基向量为(Iβ,》,总可以将|)表示为)=))j这里1）未归一，彼此也不一定正交。从这个表达式可以看出，测量B得到结果b，的几率就是《l）计算过程是p(b）=（14）=((m/(Bml)(14)(1m）1Bm））=（mlm）（βmBm）=（）m.m将）归一化，令114))Vp(b))结果b，出现之后，两体系统的状态是li)Iβi).继续测量A,得到结果ai的几率就是条件几率p(ailb,)，(a:b))=((i(B)(IIA1B)(i)IB))=(/A))如果根据p(ai,bi)=p(ailbj)p(b,)计算联合几率，那么结果是p(aj,b)=(a)p(b)=(/)p(b)=(/)如果直接计算投影算符在)的期望值，那么有p(ai,b))=(())=((m/(Bml)(IA)(/m)/Bm)m,m=(A)所以，两种看法给出了相同的结果系统Q和仪器M考虑理想的量子测量.设系统的初态是)=ci (αi)
9 将 1 B 表示为 P j ΠB j , 几率 p(ai) 可以继续写为 p(ai) = X j hΨj(ΠA i ˝ Π B j )jΨi = X j p(ai ; bj ) 类似地可以得到 p(bj ) = P i p(ai ; bj ). 2. 这里说的同时并不一定必须是严格的时间上的同步, 实际上可以分两步进行. 例如, 我们可以先测量 B, 以一 定的几率 p(bj ) 得到结果 bj , 在此基础上再测量 A, 以条件几率 p(ai jbj ) 得到结果 ai , 于是联合几率 p(ai ; bj ) = p(ai jbj )p(bj ). 这种叙述同样也是经典概率论的内容, 而在量子力学中也有同样的结论. 选择 H B 的基向量为 fjˇj ig, 总可以将 jΨi 表示为 jΨi = X j j ˜ j i ˝ jˇj i 这里 j ˜ j i 未归一, 彼此也不一定正交. 从这个表达式可以看出, 测量 B 得到结果 bj 的几率就是 h ˜ j j ˜ j i. 计算过 程是 p(bj ) = hΨj1 A ˝ Π B j jΨi = X m h ˜mj ˝ hˇmj 1 A ˝ Π B j X m0 j ˜m0i ˝ jˇm0i = X m;m0 h ˜mj ˜m0i hˇmjΠ B j jˇm0i = h ˜ j j ˜ j i 将 j ˜ j i 归一化, 令 j j i = 1 p p(bj ) j ˜ j i 结果 bj 出现之后, 两体系统的状态是 j j i ˝ jˇj i. 继续测量 A, 得到结果 ai 的几率就是条件几率 p(ai jbj ), p(ai jbj ) = (h i j ˝ hˇj j)(ΠA i ˝ 1 B )(j ii ˝ jˇj i) = h j j Π A i j j i 如果根据 p(ai ; bj ) = p(ai jbj )p(bj ) 计算联合几率, 那么结果是 p(ai ; bj ) = p(ai jbj )p(bj ) = h j j Π A i j j i p(bj ) = h ˜ j j Π A i j ˜ j i 如果直接计算投影算符 ΠA i ˝ ΠB j 在 jΨi 的期望值, 那么有 p(ai ; bj ) = hΨj(ΠA i ˝ Π B j )jΨi = X m;m0 (h ˜mj ˝ hˇmj)(ΠA i ˝ Π B j )(j ˜m0i ˝ jˇm0i) = h ˜ j j Π A i j ˜ j i 所以, 两种看法给出了相同的结果. 系统 Q 和仪器 M 考虑理想的量子测量. 设系统的初态是 j i = X i ci j˛ii
10仪器的初态是lo).Pre-measurement过程得到的两体量子态是[) [) →[) =ci [αi) [i)其中的《oiloi）=8ij.这是测量仪器的量子性的一面.然后，仪器的量子态1）表现出经典现象，从而有系统和仪器的末态ZIci' [α;)(α;l@ [mi]i这是仪器的经典性的一面，上式也只是示意性的表示仪器的状态从loi）到[mi],这个过程不甚清楚.但是有一个简单的可以类比的描述：用投影算子ⅡM=loi)《pil作用于仪器，[)—→(M))= α)i)这是一个未归一的量子态.在仪器上看到现象m，的几率就是Icil2也可以用密度矩阵表示.先将Z,ciαi)loi）表示为密度矩阵的形式，=[)(=cic, lai)(αil [oi)()i.j用投影算子ⅡM作用于上述量子态，(1)cicj li)(ail lo)(l(1)=eiP ai)(ail i)(il从中可以看出几率Icil,这个几率也就是前面讲过的局部测量得到的几率，即Jcl2=Tr[(1IIM)]，其中亚=/)(虹.利用以前推导过的公式Tr(A TrB C) = Tr ((A @ 1)C)将|c;12表示为ciP = Tr [(1 &IM)] = Tr(IM Tro ) = Tr(M pM)现在看到：。Born规则所说的几率[ci?=|《αil）?如今体现在测量仪器上·几率Ic:12有两种不同的表示，一种是针对相互作用前系统的状态而言的，即1(α;lu）1,另一种是针对相互作用后仪器的状态而言的,即Tr(IMpM)上述类比只是一种示意性的描述，希望说明的是：·演化过程1)1)pre-measurementstate[)尚不是测量过程，在/亚）中没有体现出现象·测量仪器需要再经历一个从微观到宏观的过程，使量子态[i）与现象mi形成对应，并最终展现出明确的可以严格区分的现象。在上述类比中，借助对仪器的进一步观测来实现从lsi）到现象m；的过渡，这只是权宜之计.这种做法的不恰当之处在于，还需要一个测量仪器M'与原有的仪器M发生相互作用，于是将导致vonNeumann说的“测量链
10 仪器的初态是 j'i. Pre-measurement 过程得到的两体量子态是 j i ˝ j'i ! jΨi = X i ci j˛ii ˝ j'ii 其中的 h'i j'j i = ıij . 这是测量仪器的量子性的一面. 然后, 仪器的量子态 j'ii 表现出经典现象, 从而有系统和仪器的末态 X i jci j 2 j˛iih˛i j ˝ [mi ] 这是仪器的经典性的一面, 上式也只是示意性的表示. 仪器的状态从 j'ii 到 [mi ], 这个过程不甚清楚. 但是有一个简单的可以类比的描述: 用投影算子 ΠM i = j'iih'i j 作 用于仪器, jΨi ! (1 ˝ Π M i )jΨi = ci j˛ii ˝ j'ii 这是一个未归一的量子态. 在仪器上看到现象 mi 的几率就是 jci j 2 . 也可以用密度矩阵表示. 先将 P i ci j˛ii ˝ j'ii 表示为密度矩阵的形式, Ψ = jΨihΨj = X i;j ci c j j˛iih˛j j ˝ j'iih'j j 用投影算子 ΠM i 作用于上述量子态, 1 ˝ Π M i X i;j ci c j j˛iih˛j j ˝ j'iih'j j 1 ˝ Π M i = jci j 2 j˛iih˛i j ˝ j'iih'i j 从中可以看出几率 jci j 2 , 这个几率也就是前面讲过的局部测量得到的几率, 即 jci j 2 = Tr Ψ(1 ˝ ΠM i ) , 其中 Ψ = jΨihΨj. 利用以前推导过的公式 Tr(A TrB C) = Tr (A ˝ 1)C 将 jci j 2 表示为 jci j 2 = Tr Ψ(1 ˝ Π M i ) = Tr Π M i TrQ Ψ = Tr Π M i M 现在看到: Born 规则所说的几率 jci j 2 = j h˛i j i j2 如今体现在测量仪器上. 几率 jci j 2 有两种不同的表示, 一种是针对相互作用前系统的状态而言的, 即 j h˛i j i j2 , 另一种是针对相互作 用后仪器的状态而言的, 即 Tr ΠM i M . 上述类比只是一种示意性的描述, 希望说明的是: 演化过程 j i ˝ j'i unitary evolution ! pre-measurement state jΨi 尚不是测量过程, 在 jΨi 中没有体现出现象. 测量仪器需要再经历一个从微观到宏观的过程, 使量子态 j'ii 与现象 mi 形成对应, 并最终展现出明确的可 以严格区分的现象. 在上述类比中, 借助对仪器的进一步观测来实现从 j'ii 到现象 mi 的过渡, 这只是权宜之计. 这种做法的不恰 当之处在于, 还需要一个测量仪器 M0 与原有的仪器 M 发生相互作用, 于是将导致 von Neumann 说的 ‘‘测 量链”.