第二章量子态力学量 Ⅱ量子力学的测量假设Hilbert空间的维数n等于在一次观测过程中可以严格区分的状态数：例如，在小球-盒子模型或者自旋1/2的SG实验中，观测结果有两个，那么描述小球或者自旋1/2粒子的状态的Hilbert空间的维数等于2，即C2.量子力学的测量假设.Born-Liders规则观测量A被表示为描述量子系统的Hilbert上的厄密算子A.A的本征分解（eigen-decomposition）形式是A=aala)(al，《alas)=i（非简并情形)1=1系统的量子态在基向量αi）上的展开为[) =c[), G= (a;)i=1观测结果是其本征值，得到某个结果ai的几率等于p=c=/)12如果得到结果ai，测量后系统处于状态Qi)各个现象出现的几率的总和为1，所以1=pi=2i也就是说，量子态表示为Hilbert空间中归一化的向量需要注意的是，我们观测到的不是观测量的本征值，而是宏观层面上的现象，是表现在测量仪器上真实而客观的读数或响应.经过多轮次的实验观测，发现仪器的读数不是确定的，而是随机的.进一步地可以得到某个读数（记作mi）出现的概率.1
第二章 量子态 力学量 II 量子力学的测量假设 Hilbert 空间的维数 𝑛 等于在一次观测过程中可以严格区分的状态数. 例如, 在小球-盒子模型或者 自旋 1/2 的 SG 实验中, 观测结果有两个, 那么描述小球或者自旋 1/2 粒子的状态的 Hilbert 空间 的维数等于 2, 即 C 2 . 量子力学的测量假设, Born-Lüders 规则. 观测量 A 被表示为描述量子系统的 Hilbert 上的厄密算子 𝐴. 𝐴 的本征分解 (eigen-decomposition) 形式是 𝐴 = ∑︁𝑛 𝑖=1 𝑎𝑖 |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 | , ⟨𝛼𝑖 |𝛼𝑗 ⟩ = 𝛿𝑖𝑗 (非简并情形) 系统的量子态在基向量 |𝛼𝑖⟩ 上的展开为 |𝜓⟩ = ∑︁𝑛 𝑖=1 𝑐𝑖 |𝛼𝑖⟩, 𝑐𝑖 = ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ 观测结果是其本征值, 得到某个结果 𝑎𝑖 的几率等于 𝑝𝑖 = |𝑐𝑖 | 2 = | ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ |2 如果得到结果 𝑎𝑖 , 测量后系统处于状态 |𝛼𝑖⟩. 各个现象出现的几率的总和为 1, 所以 1 = ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 = ∑︁ 𝑖 |𝜓𝑖 | 2 也就是说, 量子态表示为 Hilbert 空间中归一化的向量. 需要注意的是, 我们观测到的不是观测量的本征值, 而是宏观层面上的现象, 是表现在测量仪器上 真实而客观的读数或响应. 经过多轮次的实验观测, 发现仪器的读数不是确定的, 而是随机的. 进一 步地可以得到某个读数 (记作 𝑚𝑖) 出现的概率. 1
至于仪器的读数mi和被测力学量A的本征值ai之间的关系，量子测量理论描述了一个理想的情形：mi和a,之间存在一一对应的函数关系，即ai=f(mi)，通过读数mi，就可以推知本征值ai，通过mi出现的几率，就可以得知力学量A在量子态l）取值ai的几率.不过，在很多情况下，为了叙述上的简明，我们经常说“测量力学量A，得到它的某个本征值a”之类的话.可以看到，通过量子测量假设，量子态和力学量这两个量子理论形式系统中的概念与实际观测结果建立了联系，更确切的说，与实际观测结果的几率分布建立了联系.特别地，如果系统的初态[）就是力学量A的某个本征态，比如说[）=|αs)，那么，测量结果一定是k，换句话说，得到结果ak的几率是1，而得到其它结果的几率一律为0.只有在这种情况下，我们才能看到确定的结果：这就是我们以前说过的，在不变的表象中可以看到受限制的经典现象设量子系统处于A的本征态αk)，我们希望知道的却是另一个力学量B的测量结果的几率分布，那么[ak)= (B;lk) [βB;)IpP = /<β;lαk) /如果[A,B]≠0，那么一般情况下IB不会是A的本征态1.对B的测量结果不是确定的，体现了不确定关系，从数学形式上说，在非简并情形下，可以定义一组一维投影算符IⅡI，=Qi)《αil，这些一维投影算符具有如下性质FEZ; = 1=,=o，i=1Z"=Ⅱ;=1实际上就是空间的完备性的体现.对于自然基向量lei)，容易验证Z;lei)(e|=1.对于基{lai)],可以有酉变换V将自然基向量le)变换为|ai)，即V[ei)=[ai)，于是ZI = lai)(ai/ = v(Zle)(el)vt = t = 1用Ⅱ，作用于[)，有)=[g) (l)=g)于是几率pi可以表示为(1)=c;/2=()=[ (]1可能有这样的情况，虽然A和B不对易，但是存在某个[)，满足A)=B)=0.2
至于仪器的读数 𝑚𝑖 和被测力学量 𝐴 的本征值 𝑎𝑖 之间的关系, 量子测量理论描述了一个理想的情 形: 𝑚𝑖 和 𝑎𝑖 之间存在一一对应的函数关系, 即 𝑎𝑖 = 𝑓(𝑚𝑖), 通过读数 𝑚𝑖 , 就可以推知本征值 𝑎𝑖 , 通 过 𝑚𝑖 出现的几率, 就可以得知力学量 𝐴 在量子态 |𝜓⟩ 取值 𝑎𝑖 的几率. 不过, 在很多情况下, 为了叙述上的简明, 我们经常说 “测量力学量 𝐴, 得到它的某个本征值 𝑎𝑖” 之 类的话. 可以看到, 通过量子测量假设, 量子态和力学量这两个量子理论形式系统中的概念与实际观测结果 建立了联系, 更确切的说, 与实际观测结果的几率分布建立了联系. 特别地, 如果系统的初态 |𝜓⟩ 就是力学量 𝐴 的某个本征态, 比如说 |𝜓⟩ = |𝛼𝑘⟩, 那么, 测量结果一定 是 𝑎𝑘, 换句话说, 得到结果 𝑎𝑘 的几率是 1, 而得到其它结果的几率一律为 0. 只有在这种情况下, 我 们才能看到确定的结果. 这就是我们以前说过的, 在不变的表象中可以看到受限制的经典现象. 设量子系统处于𝐴 的本征态 |𝛼𝑘⟩, 我们希望知道的却是另一个力学量 𝐵 的测量结果的几率分布, 那 么 |𝛼𝑘⟩ = ∑︁ 𝑖 ⟨𝛽𝑖 |𝛼𝑘⟩ |𝛽𝑖⟩ 𝑝 𝐵 𝑖 = | ⟨𝛽𝑖 |𝛼𝑘⟩ |2 如果 [𝐴, 𝐵] ̸= 0, 那么一般情况下 |𝛽𝑖⟩ 不会是 𝐴 的本征态 1 . 对 𝐵 的测量结果不是确定的, 体现了 不确定关系. 从数学形式上说, 在非简并情形下, 可以定义一组一维投影算符 Π𝑖 = |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 |, 这些一维投影算符具 有如下性质, Π𝑖 = Π† 𝑖 , Π𝑖Π𝑗 = Π𝑖𝛿𝑖𝑗 , ∑︁𝑛 𝑖=1 Π𝑖 = ✶ ∑︀𝑛 𝑖=1 Π𝑖 = ✶ 实际上就是空间的完备性的体现. 对于自然基向量 |𝑒𝑖⟩, 容易验证 ∑︀ 𝑖 |𝑒𝑖⟩⟨𝑒𝑖 | = ✶. 对 于基 {|𝛼𝑖⟩}, 可以有酉变换 𝑉 将自然基向量 |𝑒𝑖⟩ 变换为 |𝛼𝑖⟩, 即 𝑉 |𝑒𝑖⟩ = |𝛼𝑖⟩, 于是 ∑︁ 𝑖 Π𝑖 = ∑︁ 𝑖 |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 | = 𝑉 (︁∑︁ 𝑖 |𝑒𝑖⟩⟨𝑒𝑖 | )︁ 𝑉 † = 𝑉 𝑉 † = ✶ 用 Π𝑗 作用于 |𝜓⟩, 有 Π𝑗 |𝜓⟩ = |𝛼𝑗 ⟩ ⟨𝛼𝑗 |𝜓⟩ = 𝑐𝑗 |𝛼𝑗 ⟩. 于是几率 𝑝𝑗 可以表示为 𝑝𝑗 = |𝑐𝑗 | 2 = ⟨𝜓| Π𝑗 |𝜓⟩ = Tr [︀ Π𝑗 (|𝜓⟩⟨𝜓|) ]︀ (1) 1可能有这样的情况, 虽然 𝐴 和 𝐵 不对易, 但是存在某个 |𝜓⟩, 满足 𝐴 |𝜓⟩ = 𝐵 |𝜓⟩ = 0. 2
即投影算符Ⅱ，在[）中的期望值.还要注意到Zp=1ZI,=1关于量子力学的测量假设，我们有如下评述。用投影算子Il，=αi）(ai作用于山，结果是cii)：这并不是量子测量的完整过程.与本征值ai对应的ciai）是一个未归一化的态量，仍然属于Hilbert空间，尚没有表现出经典层面上的现象以及相应的儿率，需注意c是儿率幅，而几率是c2.对几率幅求模方的过程是量子力学的测量假设规定的，·测量结果是要体现在仪器上的．测量仪器一方面要能够与被测的量子系统产生相互作用，另一方面还要能够展现经典层面上的客观现象。·当某个结果（用a；标记）被观测到的时候，被测量子系统从测量前的状态[）变化为测量后的状态αi)，这个过程通常被简单地称为“塌缩”。听起来这似乎是瞬间完成的．但是，任何物理过程都需要一定的时间以后将对量子测量理论进行初步讨论投影算子Ⅱ,=αi)(αil的性质：·投影算子是厄米算子,ⅡI=I.·彼此正交，II,I,=oij·?=IⅡ，本征值为1和0.·完备，,Ⅱ=1还可以定义某个子空间上的投影算子.设Cn中的一个子空间S的基向量是lαi,)，j=1，，m，这个子空间上的投影算子是IS =loi,(ai,lj正交子空间上的投影算子也是彼此正交的如果两个力学量对易，那么它们可以有相同的本征向量A[a)=;ai),B[B,)=b,[B,),[A,B] =00 = [A, B] [αi) = (AB -BA) [αi)A(B[i) = BA|αi) = ai(B[i))暂不考虑简并情形B[ai) α [αi)3
即投影算符 Π𝑗 在 |𝜓⟩ 中的期望值. 还要注意到 ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 = 1 ⇐⇒ ∑︁ 𝑖 Π𝑖 = ✶ 关于量子力学的测量假设, 我们有如下评述. ❼ 用投影算子 Π𝑖 = |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 | 作用于 |𝜓⟩, 结果是 𝑐𝑖 |𝛼𝑖⟩. 这并不是量子测量的完整过程. 与本征 值 𝑎𝑖 对应的 𝑐𝑖 |𝛼𝑖⟩ 是一个未归一化的态矢量, 仍然属于 Hilbert 空间, 尚没有表现出经典层 面上的现象以及相应的几率. 需注意 𝑐𝑖 是几率幅, 而几率是 |𝑐𝑖 | 2 . 对几率幅求模方的过程是量 子力学的测量假设规定的. ❼ 测量结果是要体现在仪器上的. 测量仪器一方面要能够与被测的量子系统产生相互作用, 另 一方面还要能够展现经典层面上的客观现象. ❼ 当某个结果 (用 𝑎𝑖 标记) 被观测到的时候, 被测量子系统从测量前的状态 |𝜓⟩ 变化为测量后 的状态 |𝛼𝑖⟩, 这个过程通常被简单地称为 “塌缩”. 听起来这似乎是瞬间完成的. 但是, 任何物 理过程都需要一定的时间. 以后将对量子测量理论进行初步讨论. 投影算子 Π𝑖 = |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 | 的性质: ❼ 投影算子是厄米算子, Π𝑖 = Π† 1 . ❼ 彼此正交, Π𝑖Π𝑗 = 𝛿𝑖,𝑗 . ❼ Π2 𝑖 = Π𝑖 , 本征值为 1 和 0. ❼ 完备, ∑︀ 𝑖 Π𝑖 = ✶. 还可以定义某个子空间上的投影算子. 设 C 𝑛 中的一个子空间 𝒮 的基向量是 |𝛼𝑖𝑗 ⟩, 𝑗 = 1, · · · , 𝑚, 这 个子空间上的投影算子是 Π 𝒮 = ∑︁𝑚 𝑗=1 |𝛼𝑖𝑗 ⟩⟨𝛼𝑖𝑗 | 正交子空间上的投影算子也是彼此正交的. 如果两个力学量对易, 那么它们可以有相同的本征向量. 𝐴 |𝛼𝑖⟩ = 𝑎𝑖 |𝛼𝑖⟩, 𝐵 |𝛽𝑗 ⟩ = 𝑏𝑗 |𝛽𝑗 ⟩, [𝐴, 𝐵] = 0 0 = [𝐴, 𝐵] |𝛼𝑖⟩ = (𝐴𝐵 − 𝐵𝐴)|𝛼𝑖⟩ 𝐴(𝐵 |𝛼𝑖⟩) = 𝐵𝐴 |𝛼𝑖⟩ = 𝑎𝑖(𝐵 |𝛼𝑖⟩) 暂不考虑简并情形 𝐵 |𝛼𝑖⟩ ∝ |𝛼𝑖⟩ 3
lai）是B的本征态因此，当[A,B]=0时，可以在同一个表象中描述这两个力学量，可以在相同的实验环境中测量它们，这两个力学量是相容的，观测量的期望值观测量获得本征值ai的几率是pi=I<αild)2，期望值是(A)μ=aipi1=ail (i) 2i=a; (l) (ai)i=(blai)a (al)=(A)= Tr(A [)(l)力学量的本征值对应于测量结果，期望值对应于测量结果的加权平量，它们都是需要借助测量才能体现.不能轻易地说力学量具有先验的不变的值测量后量子系统的状态测量前，系统的状态处于叠加态[) = [)强调：这是几率幅的叠加，而不是几率的混合，如果作选择，比如选择Q1)，从操作上说，当仪器的端口1上出现响应的时候，将该端口上的出射粒子保存起来（假设测量过程是非破坏的），那么这些粒子的状态就是α1）：做成这件事的概率是P1=|c1/2.这可以看作是量子态的制备过程，如果想选择端口1或端口2上的出射粒子，那么还是要在观测到端口1或端口2有响应的时候设简保存出射粒子，选择成功的几率是Psuccess = P1 + p2 = [ci/2 + [c2/2 = / (a1b) 12 + / <α2/4) [24
⃦ ⃦ ⇓ |𝛼𝑖⟩ 是 𝐵 的本征态 因此, 当 [𝐴, 𝐵] = 0 时, 可以在同一个表象中描述这两个力学量, 可以在相同的实验环境中测量它 们, 这两个力学量是相容的. 观测量的期望值 观测量获得本征值 𝑎𝑖 的几率是 𝑝𝑖 = | ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ |2 , 期望值是 ⟨𝐴⟩𝜓 = ∑︁ 𝑖 𝑎𝑖𝑝𝑖 = ∑︁ 𝑖 𝑎𝑖 | ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ |2 = ∑︁ 𝑖 𝑎𝑖 ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ ⟨𝜓|𝛼𝑖⟩ = ∑︁ 𝑖 ⟨𝜓|𝛼𝑖⟩ 𝑎𝑖 ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ = ⟨𝜓|𝐴|𝜓⟩ = Tr(𝐴 |𝜓⟩⟨𝜓|) 力学量的本征值对应于测量结果, 期望值对应于测量结果的加权平均, 它们都是需要借助测量才能 体现. 不能轻易地说力学量具有先验的不变的值. 测量后量子系统的状态 测量前, 系统的状态处于叠加态 |𝜓⟩ = ∑︁ 𝑖 𝑐𝑖 |𝛼𝑖⟩ 强调: 这是几率幅的叠加, 而不是几率的混合. 如果作选择, 比如选择 |𝛼1⟩, 从操作上说, 当仪器的端口 1 上出现响应的时候, 将该端口上的出射 粒子保存起来 (假设测量过程是非破坏的), 那么这些粒子的状态就是 |𝛼1⟩. 做成这件事的概率是 𝑝1 = |𝑐1| 2 . 这可以看作是量子态的制备过程. 如果想选择端口 1 或端口 2 上的出射粒子, 那么还是要在观测到端口 1 或端口 2 有响应的时候设 法保存出射粒子. 选择成功的几率是 𝑝success = 𝑝1 + 𝑝2 = |𝑐1| 2 + |𝑐2| 2 = | ⟨𝛼1|𝜓⟩ |2 + | ⟨𝛼2|𝜓⟩ |2 4
成功选择后，所获得的量子系统的状态是[α1）和α2）的混合（而不是叠加)，量子态|α1）出现的几率是一，量子态1a2）出现的几率是可能有这样的想法：用两维子空间上的投影算子[α1)《α1|+[Q2)(α2|作用于|)(la1)(a1/ + /2)(α2D) /)=Ci [a1)+C2 /2)得到的是两维子空间中的一个向量，归一化，给出几率P1,2 = c/2 + [c2/2归一化的量子态是(2)[1,2] =(c1 [Q1) + C2 [2)VP1,2虽然几率P1.2等于上面的Psuccess，但是，以这种方式得到的41.2）不是[α1）和[Q2)以不同几率的混合，而是α1）和[α2）以几率幅形式的叠加，二者有本质上的区别以两维投影算子[α1)(αi/+[α2)(α2|作用于[）并得到(2）的过它实际上是在简并情形下进行选择性量子测量的结果，设想观测量A的两个本征向量α1)和α2）对应于同一个本征值a1，那么，当得到观测结果a1的时候，系统的测量后的状态就是由（2)式给出的[41,2)非选择的测量过它完成后，系统的每一个测量后（post-meas于rement）的状态[αi）以一定的几率一一对应于可以严格区分的宏观现象mi，这时，系统的状态不能写为Epta)我们要表示的不是以几率幅的叠加，而是以几率的混合.暂且把这种混合状态记作&={pi，Qi)，[) 非选择测量, = [p; ai],(3)其中i=1,，n，Pi=c/=I<αild)2.它的意思是，系统以几率pi处于被测力学量A的某一个本征态lai）.这是混合态（mixedstate）混合态前面讨论了测量后系统的状态，一般情况下，测量后的状态不能表示为若干个右失的线性叠加，因此需要有一个数学形式描述测量后的量子态.这涉及混合态的概念，5
成功选择后, 所获得的量子系统的状态是 |𝛼1⟩ 和 |𝛼2⟩ 的混合 (而不是叠加), 量子态 |𝛼1⟩ 出现的几 率是 𝑝1 𝑝1+𝑝1 , 量子态 |𝛼2⟩ 出现的几率是 𝑝2 𝑝1+𝑝1 . 可能有这样的想法: 用两维子空间上的投影算子 |𝛼1⟩⟨𝛼1| + |𝛼2⟩⟨𝛼2| 作用于 |𝜓⟩, (|𝛼1⟩⟨𝛼1| + |𝛼2⟩⟨𝛼2|)|𝜓⟩ = 𝑐1 |𝛼1⟩ + 𝑐2 |𝜓2⟩ 得到的是两维子空间中的一个向量, 归一化, 给出几率 𝑝1,2 = |𝑐1| 2 + |𝑐2| 2 归一化的量子态是 |𝜓1,2⟩ = 1 √𝑝1,2 (𝑐1 |𝛼1⟩ + 𝑐2 |𝜓2⟩) (2) 虽然几率 𝑝1,2 等于上面的 𝑝success, 但是, 以这种方式得到的 |𝜓1,2⟩ 不是 |𝛼1⟩ 和 |𝛼2⟩ 以不同几率的混合, 而是 |𝛼1⟩ 和 |𝛼2⟩ 以几率幅形式的叠加, 二者有本质上的区别. 以两维投影算子 |𝛼1⟩⟨𝛼1| + |𝛼2⟩⟨𝛼2| 作用于 |𝜓⟩ 并得到 (2) 的过程实际上是在简并 情形下进行选择性量子测量的结果. 设想观测量 𝐴 的两个本征向量 |𝛼1⟩ 和 |𝛼2⟩ 对应于同一个本征值 𝑎1, 那么, 当得到 观测结果 𝑎1 的时候, 系统的测量后的状态就是由 (2) 式给出的 |𝜓1,2⟩. 非选择的测量过程完成后, 系统的每一个测量后 (post-measurement) 的状态 |𝛼𝑖⟩ 以一定的几率一 一对应于可以严格区分的宏观现象 𝑚𝑖 , 这时, 系统的状态不能写为 ✟ ❍ ✟ ❍ ✟✟✟ ❍❍❍ ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 |𝛼𝑖⟩ 我们要表示的不是以几率幅的叠加, 而是以几率的混合. 暂且把这种混合状态记作 ℰ = {𝑝𝑖 , 𝛼𝑖}, |𝜓⟩ 非选择测量 −−−−−−−→ ℰ = {𝑝𝑖 , 𝛼𝑖}, (3) 其中 𝑖 = 1, · · · , 𝑛, 𝑝𝑖 = |𝑐𝑖 | 2 = | ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ |2 . 它的意思是, 系统以几率 𝑝𝑖 处于被测力学量 𝐴 的某一个 本征态 |𝛼𝑖⟩. 这是混合态 (mixed state). 混合态 前面讨论了测量后系统的状态, 一般情况下, 测量后的状态不能表示为若干个右矢的线性叠加, 因 此需要有一个数学形式描述测量后的量子态. 这涉及混合态的概念. 5
系综为了介绍混合态，我们首先需要叙述系综的概念：系综易一个想象中的假想的概念，为了说假想的东西，先得说与此相关的真实的事情.以自旋1/2粒子的SG实验为例，设想我们制备了100个任于状态[0)=[↑）的自旋1/2的粒子.接着，让这100个粒子通过SG(x)装置.值据量子力学的预言，即Born规则，每一个粒子偏向+r方向统或偏向一方向的几率都易1/2.但易，在实际的实验结果中，我们未必能看到50个粒子偏向+方向或一方向.说不定只有45个粒子偏向+方向，55个偏向一方向.甚至还可能值本没有任何粒子偏向十方向，所有的100个粒子都偏向了一C方向：当然，这件事情发生的可能性很保：实际上，当讨入SG（x）的粒子数N越来越多，以至于N→的时候，事件“偏向十统一方向的粒子数接近各占一半”发生的可能性变得越来越大，以至于在极限情形下体现概率1/2.这时，我们才可以说偏向土方向的几率各为1/2，才能说量子理论的预言有了操作意义上的对应，但易，极限情形下已经易假想中的描述了，我们没有无穷多个样本，也不可能对无穷多个粒子讨1测量.于易，在想象中，我们拥有无穷多个任于O）的粒子，这些粒子经过了SG(x）之后的结果对应于由玻恩规则给出的理论预言.这想象中的无穷多个任于相同状态的粒子就组成了所谓的如态系综，引入系综的概念易为了叙述几率，因为我们需要无穷多的样本、无穷多个事件才能使频度趋近于几率，想象中的系综还有一个有别于实际情况的特点：系综并不对应于多体量子系统.在施特恩-格拉赫实验中，为了描述100个自旋1/2的入射粒子，需要的空间易100个C2的直积，即=C??C??..·?C2如果粒子数更多，则的维数更大.对于N个粒子，我们需要2V维的复空间.而对于系综则不然构成系综的量子系统易想象中的，不易真实的.不需要利用更多更大的复空间描述这些想象中的系统.我们用系综描述自旋1/2粒子的量子态，所在空间仍然易二维的，系综易基于真实的多体系统的抽象的想象的概念，反过来，真实的多体系统可以为我们提供关于系综的形象的具有操作意义的理解。而且，在具体的实验中，比如对量子系统的操控，需要从系统的特定的初态开始，对之讨1一些列的操作，这实际上就易量子态的制备过程还易以自旋1/2粒子为例.如果希望得到自旋角动量Sz的取值为+h/2的量子态，或者说Pauli投阵αz取值+1的本征态，即[z+）态，或者记作J0)，I个).可以让粒子通过SG(z)装置，并在出射粒子中选择向十方向偏转的那一部分，在理想情形下，这些被选择的粒子都任于10）态可以让它们继续通过第二个SG(z）装置，其结果易，所有的出射粒子都偏向十之方向.于易，通过对某个测量结果的选择，可以制备出若干个以至大量的任于相同量子态的粒子。一方面，从具体的实际的角度说6
系综 为了介绍混合态, 我们首先需要叙述系综的概念. 系综是一个想象中的假想的概念, 为了说假想的 东西, 先得说与此相关的真实的事情. 以自旋 1/2 粒子的 SG 实验为例. 设想我们制备了 100 个处于状态 |0⟩ = |↑⟩ 的自旋 1/2 的粒子. 接着, 让这 100 个粒子通过 SG(x) 装置. 根据量子力学的预言, 即 Born 规则, 每一个粒子偏向 +𝑥 方向和或偏向 −𝑥 方向的几率都是 1/2. 但是, 在实际的实验结果中, 我们未必能看到 50 个粒子偏向 +𝑥 方向或 −𝑥 方向. 说不定只有 45 个粒子偏向 +𝑥 方向, 55 个偏向 −𝑥 方向. 甚至还可能根本没有任何粒子偏向 +𝑥 方向, 所有的 100 个粒子都偏向了 −𝑥 方向. 当然, 这件事情发生的可能性很小. 实际上, 当进入 SG(x) 的粒子数 𝑁 越来越多, 以至于 𝑁 → ∞ 的时候, 事件 “偏向 +𝑥 和 −𝑥 方向的粒子数接近各占一半” 发生的可能 性变得越来越大, 以至于在极限情形下体现概率 1/2. 这时, 我们才可以说偏向 ±𝑥 方向的几率各为 1/2, 才能说量子理论的预言有了操作意义上的对应. 但是, 极限情形下已经是假想中的描述了, 我们没有无穷多个样本, 也不可能对无穷多个粒子进行 测量. 于是, 在想象中, 我们拥有无穷多个处于 |0⟩ 的粒子, 这些粒子经过了 SG(x) 之后的结果对应 于由玻恩规则给出的理论预言. 这想象中的无穷多个处于相同状态的粒子就组成了所谓的纯态系综. 引入系综的概念是为了叙述 几率, 因为我们需要无穷多的样本、无穷多个事件才能使频度趋近于几率. 想象中的系综还有一个有别于实际情况的特点: 系综并不对应于多体量子系统. 在施特恩-格拉赫实 验中, 为了描述 100 个自旋 1/2 的入射粒子, 需要的空间是 100 个 C 2 的直积, 即 H = C 2 ⊗ C 2 ⊗ · · · ⊗ C 2 . 如果粒子数更多, 则 H 的维数更大. 对于 𝑁 个粒子, 我们需要 2 𝑁 维的复空间. 而对于系综则不 然. 构成系综的量子系统是想象中的, 不是真实的. 不需要利用更多更大的复空间描述这些想象中 的系统. 我们用系综描述自旋 1/2 粒子的量子态, 所在空间仍然是二维的. 系综是基于真实的多体系统的抽象的想象的概念, 反过来, 真实的多体系统可以为我们提供关于系 综的形象的具有操作意义的理解. 而且, 在具体的实验中, 比如对量子系统的操控, 需要从系统的特 定的初态开始, 对之进行一些列的操作, 这实际上就是量子态的制备过程. 还是以自旋 1/2 粒子为例. 如果希望得到自旋角动量 𝑆𝑧 的取值为 +~/2 的量子态, 或者说 Pauli 矩 阵 𝜎𝑧 取值 +1 的本征态, 即 |𝑧+⟩ 态, 或者记作 |0⟩, |↑⟩. 可以让粒子通过 SG(z) 装置, 并在出射粒 子中选择向 +𝑧 方向偏转的那一部分. 在理想情形下, 这些被选择的粒子都处于 |0⟩ 态. 可以让它们 继续通过第二个 SG(z) 装置, 其结果是, 所有的出射粒子都偏向 +𝑧 方向. 于是, 通过对某个测量结 果的选择, 可以制备出若干个以至大量的处于相同量子态的粒子. 一方面, 从具体的实际的角度说, 6
制备过程得到的结果易由处u相同状态的子系统构成的多体量子系统：某一方面，从抽象的想象的征度说，我格建立了系态如综的概念：在想象塌的构成系综的无穷多个系统具有相同的量子态，比如），我格称之为纯态，系综的状态可以用）描述，易为纯态系综.此前，我格接触的量子态基本量都易纯态.纯态[）的特性易，在原则量存在具有确定结果的测量方式，即，测量处u量子态[)的量子系统的然个特定的力学量，得到的结果易确定的而不易随机的现在考虑量子态制备的某一种方式及结果.设想有两个SG实当装置，它格都易SG(z).通过第一个SG(z)制备了N+个处u[z+)态的才子，通过第二个SG(z)制备了N_个处u[z-)态的才子，然后，将它格混合在一起，构成总数为N=N++N_的多体系统.为了描述这个多体系统的状态，让这N个才子通过第理个SG(z）装置.显然，出射才子塌将会有N+个偏向+z方向，有N_个偏向一之方向换成几率的语言性描述，设想然人通过以下过程制备量子态：首先，制备大量处uz+）态（以下记作0)）的才子，把它格储存在然个容器塌；再制备大量处u[z一）态（以下记作{1)）的才子，响把它格储存在某一个容器塌：然后，制备者根据一个经典随机变量X的值决定从哪一个容器塌选取才子随机变量X有两个值，=0统=1，它格出现的几率分别易Po统P1：当=0时，选择处u[0）的才子；当=1时，选择处u/1的才子.这就有了混合如综的概念：系综ε塌每一个想象塌的系统以几率po处u[0)态，以几率pi处u|1)态；或者说，系综ε易两个纯态系综&o统&1分别以几率Po统P1混合的结果，这里&易以[O)描述的系综，&1易以[1)描述的系综.可以把这个说法形式地表示为(4)&=Po&o+Pi&1.更一般地，可以让若干个纯态系综&以相应的几率P混合，得到混合系综&&-p&,i0,i=1(5)其塌的求统没有设定量限，原则量可以用任意多个纯态系综处行混合.而且，描述&，的量子态bi）响未必易彼此正交的.例如，我格可以使用两个不同的SG实当装置，一个易SG(z)，某一个易SG(x).通过SG(z）制备出处u[z+）的才子：通过SG(x）制备出处ua+）的才子，然后将它格混合在一起.用几率统系综的语言性说，得到了混合系综Pz+&z++Pr+&+：描述其塌的两个纯态系综的态矢量不易正交的，即《z+[+)=我格用5）式示意性地表示了通过特定的制备过程得到的混合系综8，或者，可以把8写为(6)E=pi,wi].需要注意的易，混合系综&描述的易不同的量子态）以几率P混合，而不易以几率幅叠加.对此需要稍加说明，以（4)式表示的系综为例.再重复说一遍它的意思：自旋1/2才子以几率po处u[0)态，以几率p1处u{1)态.如果让处u该状态的才子通过SG(z)装置，那么观测结果将体现这样的几率分布.7
制备过程得到的结果是由处于相同状态的子系统构成的多体量子系统; 另一方面, 从抽象的想象的 角度说, 我们建立了纯态系综的概念: 在想象中的构成系综的无穷多个系统具有相同的量子态, 比 如 |𝜓⟩, 我们称之为纯态, 系综的状态可以用 |𝜓⟩ 描述, 是为纯态系综. 此前, 我们接触的量子态基本 上都是纯态. 纯态 |𝜓⟩ 的特性是, 在原则上存在具有确定结果的测量方式, 即, 测量处于量子态 |𝜓⟩ 的量子系统的某个特定的力学量, 得到的结果是确定的而不是随机的. 现在考虑量子态制备的另一种方式及结果. 设想有两个 SG 实验装置, 它们都是 SG(z). 通过第一个 SG(z) 制备了 𝑁+ 个处于 |𝑧+⟩ 态的粒子, 通过第二个 SG(z) 制备了 𝑁− 个处于 |𝑧−⟩ 态的粒子, 然 后, 将它们混合在一起, 构成总数为 𝑁 = 𝑁+ + 𝑁− 的多体系统. 为了描述这个多体系统的状态, 让 这 𝑁 个粒子通过第三个 SG(z) 装置. 显然, 出射粒子中将会有 𝑁+ 个偏向 +𝑧 方向, 有 𝑁− 个偏向 −𝑧 方向. 换成几率的语言来描述. 设想某人通过以下过程制备量子态: 首先, 制备大量处于 |𝑧+⟩ 态 (以下记 作 |0⟩) 的粒子, 把它们储存在某个容器中; 再制备大量处于 |𝑧−⟩ 态 (以下记作 |1⟩) 的粒子, 也把它 们储存在另一个容器中. 然后, 制备者根据一个经典随机变量 𝑋 的值决定从哪一个容器中选取粒 子. 随机变量 𝑋 有两个值, 𝑥 = 0 和 𝑥 = 1, 它们出现的几率分别是 𝑝0 和 𝑝1. 当 𝑥 = 0 时, 选择处于 |0⟩ 的粒子; 当 𝑥 = 1 时, 选择处于 |1⟩ 的粒子. 这就有了混合系综的概念: 系综 ℰ 中每一个想象中 的系统以几率 𝑝0 处于 |0⟩ 态, 以几率 𝑝1 处于 |1⟩ 态; 或者说, 系综 ℰ 是两个纯态系综 ℰ0 和 ℰ1 分别 以几率 𝑝0 和 𝑝1 混合的结果, 这里 ℰ0 是以 |0⟩ 描述的系综, ℰ1 是以 |1⟩ 描述的系综. 可以把这个说 法形式地表示为 ℰ = 𝑝0ℰ0 + 𝑝1ℰ1. (4) 更一般地, 可以让若干个纯态系综 ℰ𝑖 以相应的几率 𝑝𝑖 混合, 得到混合系综 ℰ, ℰ = ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖ℰ𝑖 , 𝑝𝑖 > 0, ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 = 1 (5) 其中的求和没有设定上限, 原则上可以用任意多个纯态系综进行混合. 而且, 描述 ℰ𝑖 的量子态 |𝜓𝑖⟩ 也未必是彼此正交的. 例如, 我们可以使用两个不同的 SG 实验装置, 一个是 SG(z), 另一个是 SG(x). 通过 SG(z) 制备出处于 |𝑧+⟩ 的粒子; 通过 SG(x) 制备出处于 |𝑥+⟩ 的粒子, 然后将它们混 合在一起. 用几率和系综的语言来说, 得到了混合系综 𝑝𝑧+ℰ𝑧+ + 𝑝𝑥+ ℰ𝑥+. 描述其中的两个纯态系综 的态矢量不是正交的, 即 ⟨𝑧 + |𝑥+⟩ = √ 1 2 . 我们用 (5) 式示意性地表示了通过特定的制备过程得到的混合系综 ℰ, 或者, 可以把 ℰ 写为 ℰ = {𝑝𝑖 , 𝜓𝑖}. (6) 需要注意的是, 混合系综 ℰ 描述的是不同的量子态 |𝜓𝑖⟩ 以几率 𝑝𝑖 混合, 而不是以几率幅叠加. 对 此需要稍加说明. 以 (4) 式表示的系综为例. 再重复说一遍它的意思: 自旋 1/2 粒子以几率 𝑝0 处于 |0⟩ 态, 以几率 𝑝1 处于 |1⟩ 态. 如果让处于该状态的粒子通过 SG(z) 装置, 那么观测结果将体现这样的几率分布. 7
现在，构造如下形式的量子态(7)[)=po[0) +VPiei [1)让处于状态）的自旋1/2粒子通过SG(z)装置，Born规则给出的预言是，出射粒子偏向+z方向的几率是Po，偏向一方向的几率是P1在这种情况下，（7）式描述的量子纯态与（4）式描述的混合系综在SG(z）测量过程中给出同样的几率分布.但这只是一个偶，的结果，只要换一种观测方式，我们就能看到它们的不同。让（4）式描述的粒子通过SG(x).不论粒子处于|0)态或是1)态，穿过SG(x)切后偏向土方向的几率都是1/2.因此，不论po统pi取怎样的值，最终的实验结果都是，出射粒子等几率地偏向土r方向.，而，联于（7)式描述的自旋1/2粒子，通过SG(x）切后偏向土方向的几率分别是p()=[(±b)P=lV±Vpep.简单地，令8=0,将上式简化为p(土a)=(1±2VPoPi).显，，一般情况下纯态系综[d）的实验结果是不同于混合系综的实验结果的总切，混合系综&={pi，]的数学形式不可能表示为Hilbert空间的态中量密度算子混合态的数学表示是密度算子，在有限维空间的情形下，可以说密度矩阵，下面通过力学量的期望值引入密度矩阵联于纯态系综，可以用态中量|）描述，力学量A在[）上的期望值记值《A)：它的意思是：力学量 A的观测结果E(ai)量子系统处于[)观测到某个结果ai的几率pi=/<ail)12(A)=pia=()a; (a)= (A)可以继续计算下去，设空间的基向量是lpi)，有《A)=A)Z(bi)《i/A)(ilA)(i)8
现在, 构造如下形式的量子态 |𝜓⟩ = √ 𝑝0 |0⟩ + √ 𝑝1𝑒 𝑖𝛿 |1⟩. (7) 让处于状态 |𝜓⟩ 的自旋 1/2 粒子通过 SG(z) 装置, Born 规则给出的预言是, 出射粒子偏向 +𝑧 方向 的几率是 𝑝0, 偏向 −𝑧 方向的几率是 𝑝1. 在这种情况下, (7) 式描述的量子纯态与 (4) 式描述的混合系综在 SG(z) 测量过程中给出同样的几 率分布. 但这只是一个偶然的结果, 只要换一种观测方式, 我们就能看到它们的不同. 让 (4) 式描述的粒子通 过 SG(x). 不论粒子处于 |0⟩ 态或是 |1⟩ 态, 穿过 SG(x) 之后偏向 ±𝑥 方向的几率都是 1/2. 因此, 不论 𝑝0 和 𝑝1 取怎样的值, 最终的实验结果都是, 出射粒子等几率地偏向 ±𝑥 方向. 然而, 对于 (7) 式描述的自旋 1/2 粒子, 通过 SG(x) 之后偏向 ±𝑥 方向的几率分别是 𝑝(±𝑥) = | ⟨𝑥±|𝜓⟩ |2 = 1 2 ⃒ ⃒ √ 𝑝0 ± √ 𝑝1𝑒 𝑖𝛿⃒ ⃒ 2 . 简单地, 令 𝛿 = 0, 将上式简化为 𝑝(±𝑥) = 1 2 (1 ± 2 √𝑝0𝑝1). 显然, 一般情况下纯态系综 |𝜓⟩ 的实验结 果是不同于混合系综的实验结果的. 总之, 混合系综 ℰ = {𝑝𝑖 , 𝜓𝑖} 的数学形式不可能表示为 Hilbert 空间的态矢量. 密度算子 混合态的数学表示是密度算子, 在有限维空间的情形下, 可以说密度矩阵. 下面通过力学量的期望 值引入密度矩阵. 对于纯态系综, 可以用态矢量 |𝜓⟩ 描述. 力学量 𝐴 在 |𝜓⟩ 上的期望值记作 ⟨𝐴⟩𝜓. 它的意思是: 力学量 𝐴 的观测结果 ∈ {𝑎𝑖} 量子系统处于 |𝜓⟩ 观测到某个结果 𝑎𝑖 的几率 𝑝𝑖 = | ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ |2 ⟨𝐴⟩𝜓 = ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖𝑎𝑖 = ∑︁ 𝑖 ⟨𝜓|𝛼𝑖⟩ 𝑎𝑖 ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ = ⟨𝜓|𝐴|𝜓⟩ 可以继续计算下去, 设空间的基向量是 |𝜙𝑖⟩, 有 ⟨𝐴⟩𝜓 = ⟨𝜓| 𝐴 |𝜓⟩ = ∑︁ 𝑖 ⟨𝜓|𝜙𝑖⟩ ⟨𝜙𝑖 | 𝐴 |𝜓⟩ = ∑︁ 𝑖 ⟨𝜙𝑖 | 𝐴 |𝜓⟩ ⟨𝜓|𝜙𝑖⟩ 8
=Tr ()(A)= Tr (A)这里=).对于我合系综ε=pi，]，力学量A的期望值是它在每一个li）上的期望值的加权经均，权重即是Pi，(8)(A)e=p(/Ab)=pTr(bA)=Tr(piA)这里bi=bi)《il是关于lbi）的投影算符.上式最后的形式表明，可以把我合系综(pi，b}表示为8 = (pi, pil)(il 这种形式就是密度算符（DensityOperator），在有限维空间中也称为密投矩阵对于给定的我合系综，其密投算符有如下定义，定义密度算符）对于混合系综&=(piil，用p表示它的密度算符，其数学形式是(9)pi= 1p=paa)(il，pi≥0,密投矩阵表示了系综的经均量子态，密投算符有如下性质，性质 1密投算符的迹为1,即Tr(p)=1性质2密投算符是厄米的，P=pt性质3密投算符是半正定的2,即对于任意的向量l)E光，总有《lpl0.根据密投算符的定义，上述性质容易证明。设Hilbert空间e的是有限维的，抽向量为{lpiTr(p)=Z<pilplpi)i=Epk(i)(li)i,k=p:)121Zpk = 1.K这里用到了1k）的归一化条件，《ik）2=1.这是性质第2有些时候，为了叙述上的省事，我们会简单地说β是正定的9
= Tr (︀ |𝜓⟩⟨𝜓| 𝐴 )︀ = Tr (︀ 𝜓𝐴)︀ . 这里 𝜓 = |𝜓⟩⟨𝜓|. 对于混合系综 ℰ = {𝑝𝑖 , 𝜓𝑖}, 力学量 𝐴 的期望值是它在每一个 |𝜓𝑖⟩ 上的期望值的加权平均, 权重即 是 𝑝𝑖 , ⟨𝐴⟩ℰ = ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 ⟨𝜓𝑖 | 𝐴 |𝜓𝑖⟩ = ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 Tr (︀ 𝜓𝑖𝐴 )︀ = Tr (︁∑︁ 𝑖 𝑝𝑖𝜓𝑖 𝐴 )︁ . (8) 这里 𝜓𝑖 = |𝜓𝑖⟩⟨𝜓𝑖 | 是关于 |𝜓𝑖⟩ 的投影算符. 上式最后的形式表明, 可以把混合系综 {𝑝𝑖 , 𝜓𝑖} 表示为 ℰ = {𝑝𝑖 , 𝜓𝑖} −→ ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 |𝜓𝑖⟩⟨𝜓𝑖 | . 这种形式就是密度算符 (Density Operator), 在有限维空间中也称为密度矩阵. 对于给定的混合系综, 其密度算符有如下定义. 定义 (密度算符) 对于混合系综 ℰ = {𝑝𝑖 , 𝜓𝑖}, 用 𝜌 表示它的密度算符, 其数学形式是 𝜌 = ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 |𝜓𝑖⟩⟨𝜓𝑖 | , 𝑝𝑖 > 0, ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 = 1. (9) 密度矩阵表示了系综的平均量子态. 密度算符有如下性质. 性质 1 密度算符的迹为 1, 即 Tr(𝜌) = 1. 性质 2 密度算符是厄米的, 𝜌 = 𝜌 † . 性质 3 密度算符是半正定的2 , 即对于任意的向量 |𝜑⟩ ∈ H , 总有 ⟨𝜑| 𝜌 |𝜑⟩ > 0. 根据密度算符的定义, 上述性质容易证明. 设 Hilbert 空间 H 的是有限维的, 基向量为 {|𝜙𝑖⟩}. Tr(𝜌) = ∑︁ 𝑖 ⟨𝜙𝑖 | 𝜌 |𝜙𝑖⟩ = ∑︁ 𝑖,𝑘 𝑝𝑘 ⟨𝜙𝑖 |𝜓𝑘⟩ ⟨𝜓𝑘|𝜙𝑖⟩ = ∑︁ 𝑘 𝑝𝑘 ∑︁ 𝑖 | ⟨𝜙𝑖 |𝜓𝑘⟩ |2 = ∑︁ 𝑘 𝑝𝑘 = 1. 这里用到了 |𝜓𝑘⟩ 的归一化条件, ∑︀ 𝑖 | ⟨𝜙𝑖 |𝜓𝑘⟩ |2 = 1. 这是性质 1. 2有些时候, 为了叙述上的省事, 我们会简单地说 𝜌 是正定的. 9
因为（及式的求和表达式中的每置项都是厄米的，故β是厄米的.这是性质2.对于进意的lp)E光，有(lpl)=pk(lk)=pkl (l)≥0即性质在从性质在可知，密度算符的所有的本征值是非负的；从性质行和性质在可知，密度算符的本征值属于示间[0,1]，且所有本征值的和为1.系态|)的密度投阵=|)《|的本征值是唯置置个1和若干个0.凸集合不论是经典力学般是量子力学，系统的状态都构成“凸（conv）集西”简单形说，凸结构是这样置种集西，可以将其中的进意两个点“混西”为该集西中的另置个点从几何的观点来说，两个态对应于态空间中的两个点，两个态的混西对应于连接这两个点的线述上的某个点.换句话说，如果有两个点属于凸结构的集西，那么连接这两点的线述也属于这个凸结构给定两个系态[31）和[2)，它们的密度投阵分别是=[1)(i]和2=[b2)(2l，它们的凸和(convsu间）是Pid+p22，p1,p2>0,Pi+p2=1凸和的结果仍然是置个量子态，是混西态，置般形，进意个量子态的凸和也是置个量子态.设Pi是Cn上的密度投阵，有p=Epipi,Zpi=1p是Cn上的密度投阵反过来，上述形式也可以视作混西态p的置种解构，piPi)关于密度算符的理解，有两点需要说明行重申密度算符的数学形式中的求和涉及到的是儿率，量子力学的叠加原理也表现为求和的形式但涉及到是几率幅，二者有本质上的不同.与几率有关的相加不会带来干涉效应，而与几率幅有关的相加则射致干涉效应故可将密度算符视为量子态的非相干叠加，而叠加原理描述的是量子态的相干叠加2.密度算符提供的是关于量子系综的数学形式上的描述，但是不能说明系综的具体的构成。系综的具体形式，即ε={pi，}，来自量子态的制备过程.如果混西系综ε的制备者并不把具体的制备过程告知随后的观测者，那么观测者面对的只能是用密度算符β表示的量子态而对于给定的e，却有很多的甚至是无穷多的系综与此对应.以自旋1/2粒子的系综(,10)<0];,/1)<1]}为例。从制备0
因为 (9) 式的求和表达式中的每一项都是厄米的, 故 𝜌 是厄米的. 这是性质 2. 对于任意的 |𝜙⟩ ∈ H , 有 ⟨𝜙| 𝜌 |𝜙⟩ = ∑︁ 𝑘 𝑝𝑘 ⟨𝜙|𝜓𝑘⟩ = ∑︁ 𝑘 𝑝𝑘| ⟨𝜙|𝜓𝑘⟩ |2 > 0. 即性质 3. 从性质 3 可知, 密度算符的所有的本征值是非负的; 从性质 1 和性质 3 可知, 密度算符的本征值属 于区间 [0, 1], 且所有本征值的和为 1. 纯态 |𝜓⟩ 的密度矩阵 𝜓 = |𝜓⟩⟨𝜓| 的本征值是唯一一个 1 和 若干个 0. 凸集合 不论是经典力学还是量子力学, 系统的状态都构成 “凸 (convex) 集合”. 简单地说, 凸结构 是这样一种集合, 可以将其中的任意两个点 “混合” 为该集合中的另一个点. 从几何的观点来说, 两个态对应于态空间中的两个点, 两个态的混合对应于连接这两个点的线段上 的某个点. 换句话说, 如果有两个点属于凸结构的集合, 那么连接这两点的线段也属于这个凸结构. 给定两个纯态 |𝜓1⟩ 和 |𝜓2⟩, 它们的密度矩阵分别是 𝜓1 = |𝜓1⟩⟨𝜓1| 和 𝜓2 = |𝜓2⟩⟨𝜓2|, 它们的凸和 (convex sum) 是 𝑝1𝜓1 + 𝑝2𝜓2, 𝑝1, 𝑝2 > 0, 𝑝1 + 𝑝2 = 1 凸和的结果仍然是一个量子态, 是混合态. 一般地, 任意个量子态的凸和也是一个量子态. 设 𝜌𝑖 是 C 𝑛 上的密度矩阵, 有 𝜌 = ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖𝜌𝑖 , ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 = 1 𝜌 是 C 𝑛 上的密度矩阵. 反过来, 上述形式也可以视作混合态 𝜌 的一种解构, {𝑝𝑖 , 𝜌𝑖}. 关于密度算符的理解, 有两点需要说明. 1. 重申密度算符的数学形式中的求和涉及到的是几率, 量子力学的叠加原理也表现为求和的形式, 但涉及到是几率幅, 二者有本质上的不同. 与几率有关的相加不会带来干涉效应, 而与几率幅有关 的相加则导致干涉效应. 故可将密度算符视为量子态的非相干叠加, 而叠加原理描述的是量子态的 相干叠加. 2. 密度算符提供的是关于量子系综的数学形式上的描述, 但是不能说明系综的具体的构成. 系综的 具体形式, 即 ℰ = {𝑝𝑖 , 𝜓𝑖}, 来自量子态的制备过程. 如果混合系综 ℰ 的制备者并不把具体的制备过 程告知随后的观测者, 那么观测者面对的只能是用密度算符 𝜌 表示的量子态. 而对于给定的 𝜌, 却 有很多的甚至是无穷多的系综与此对应. 以自旋 1/2 粒子的系综 {︀1 2 , |0⟩⟨0| ; 1 2 , |1⟩⟨1| }︀ 为例. 从制备 10