第二章量子态力学量I主要内容1.量子系统是现象的载体2.量子态，pre-probability，几率的载体。3.观测量，或者力学量，是在特定的观测过程中我们所关心的系统的某些性质4.数学表示，5. Born-Liders 规则此前已经说过，量子系统就是我们在经典世界中看到的非经典现象的承载体量子系统对应于某一类特定的（非经典）现象.例如，在Stern-Gerlach（SG）实验中，我们（通过接收屏上的落点）看到了银原子穿过非均匀磁场后分为两束.通过与经典物理的类比，就设想银原子具有磁矩一一不是经典意义上的磁矩.于是，形象地说，与实验现象对应的量子系统就像是一个个小磁针在SG实验中，我们关心的是这些小磁针，而不是整个银原子，当然，说“小磁针”仅仅是一个比喻，而不是经典电磁学中说的小磁针.量子力学的任务就是描述并预言在特定的实验中出现的现象量子态如果说量子系统的定义显得模糊，那么量子态的定义则有些繁复量子态属于量子理论的形式系统中的概念：不过，我们要从实际的观测结果的角度说明量子态，于是，对量子态的定义也将涉及对应规则，涉及量子理论的解释系统，如前所述，量子系统是现象的载体，又注意到，来自微观世界的现象绝大多数表现出随机性，只能用几率这类统计学的术语来描述1
第二章 量子态 力学量 I 主要内容 1. 量子系统是现象的载体. 2. 量子态, pre-probability, 几率的载体. 3. 观测量, 或者力学量, 是在特定的观测过程中我们所关心的系统的某些性质. 4. 数学表示. 5. Born-Lüders 规则. 此前已经说过, 量子系统就是我们在经典世界中看到的非经典现象的承载体. 量子系统对应于某一类特定的 (非经典) 现象. 例如, 在 Stern-Gerlach (SG) 实验中, 我们 (通过接收 屏上的落点) 看到了银原子穿过非均匀磁场后分为两束. 通过与经典物理的类比, 就设想银原子具 有磁矩 —— 不是经典意义上的磁矩. 于是, 形象地说, 与实验现象对应的量子系统就像是一个个小 磁针. 在 SG 实验中, 我们关心的是这些小磁针, 而不是整个银原子. 当然, 说 “小磁针” 仅仅是一个 比喻, 而不是经典电磁学中说的小磁针. 量子力学的任务就是描述并预言在特定的实验中出现的现象. 量子态 如果说量子系统的定义显得模糊, 那么量子态的定义则有些繁复. 量子态属于量子理论的形式系统中的概念. 不过, 我们要从实际的观测结果的角度说明量子态, 于 是, 对量子态的定义也将涉及对应规则, 涉及量子理论的解释系统. 如前所述, 量子系统是现象的载体. 又注意到, 来自微观世界的现象绝大多数表现出随机性, 只能用 几率这类统计学的术语来描述. 1
量子系统→量子现象(1)量子态一几率(2)可以说（2）是（1）的量化叙述量子态·是几率的载体，量子态本身不是几率，将要在具体的观测中给出观测结果的几率分布·对所有可能的测量有所响应“所有可能的测量”，这使得量子态的定义显得非常繁复，当然，更实际的说法是，就某种类型而言的所有可能的测量，例如，在SG实验中，我们关心的是像是经典的“磁矩”一类的性质，所用的实验装置也是为此服务的，所以，在这种场合中，“所有可能的测量”指的是所有可能的磁场指向，而不需要考虑关于能级跃迁之类的测量这样的叙述赋予了量子态的操作意义.它不仅仅是一个数学符号，而且将在具体的实验中体现出真实的现象，初态的制备为了使量子态的操作意义更为严格，需要有量子态的制备过程（preparation)最简单的制备过程就是对测量结果作选择，或者说，选择性的测量.例如，让一束经过准直的银原子通过SG(z)一一磁场沿z方向的SG装置，然后在出射粒子中选择向+之方向偏转的那一束，我们就说制备了量子态1个)，有时我们也把这个量子态标记为[0)，2+）制备过程是用经典的语言描述的：制备过程的描述实际上就是实验操作流程.在这个描述中，你需要告诉别人用到的实验参数是什么，对结果进行了怎样的选择.比如在SG实验中，需要指明磁场的指向，磁场的非均匀度（梯度），磁场区域的大小等等所谓的“制备出了大量的处于某个特定状态的粒子”，指的是，这些粒子来自相同的制备过程一相同的用经典语言描述的实验流程因为这个实验流程是可控的，在理想情形下，可以认为制备出来的粒子处于相同的状态一关于该制备过程而言的相同的状态.例如，在SG实验中，我们可以控制粒子的偏转角度，又选择了向上偏转的粒子束，就可以认为，我们得到了关于自旋自由度的0）态，甚至还可以说，得到了粒子的空间位置波函数(r)，但是，我们不知道银原子的能级，不知道电子处于怎样的原子结构中的量子态制备过程把一些经典信息植入了量子态，或者说植入了量子系统，经典情形下的正交性可以被植入到非正交的量子态中2
量子系统 −→ 量子现象 量子态 −→ 几率 (1) (2) 可以说 (2) 是 (1) 的量化叙述. 量子态 ❼ 是几率的载体. 量子态本身不是几率, 将要在具体的观测中给出观测结果的几率分布. ❼ 对所有可能的测量有所响应. “所有可能的测量”, 这使得量子态的定义显得非常繁复. 当然, 更实际的说法是, 就某种类型而 言的所有可能的测量. 例如, 在 SG 实验中, 我们关心的是像是经典的 “磁矩” 一类的性质, 所 用的实验装置也是为此服务的, 所以, 在这种场合中, “所有可能的测量” 指的是所有可能的磁 场指向, 而不需要考虑关于能级跃迁之类的测量. 这样的叙述赋予了量子态的操作意义. 它不仅仅是一个数学符号, 而且将在具体的实验中体现出真 实的现象. 初态的制备 为了使量子态的操作意义更为严格, 需要有量子态的制备过程 (preparation). 最简单的制备过程就是对测量结果作选择, 或者说, 选择性的测量. 例如, 让一束经过准直的银原子通过 SG(z) —— 磁场沿 𝑧 方向的 SG 装置, 然后在出射粒子中选择 向 +𝑧 方向偏转的那一束, 我们就说制备了量子态 |↑⟩, 有时我们也把这个量子态标记为 |0⟩, |𝑧+⟩. 制备过程是用经典的语言描述的. 制备过程的描述实际上就是实验操作流程. 在这个描述中, 你需 要告诉别人用到的实验参数是什么, 对结果进行了怎样的选择. 比如在 SG 实验中, 需要指明磁场的 指向, 磁场的非均匀度 (梯度), 磁场区域的大小等等. 所谓的 “制备出了大量的处于某个特定状态的粒子”, 指的是, 这些粒子来自相同的制备过程 —— 相同的用经典语言描述的实验流程. 因为这个实验流程是可控的, 在理想情形下, 可以认为制备出来的粒子处于相同的状态 —— 关于 该制备过程而言的相同的状态. 例如, 在 SG 实验中, 我们可以控制粒子的偏转角度, 又选择了向上 偏转的粒子束, 就可以认为, 我们得到了关于自旋自由度的 |0⟩ 态, 甚至还可以说, 得到了粒子的空 间位置波函数 𝜓(𝑟), 但是, 我们不知道银原子的能级, 不知道电子处于怎样的原子结构中的量子态. 制备过程把一些经典信息植入了量子态, 或者说植入了量子系统. 经典情形下的正交性可以被植入到非正交的量子态中. 2
量子态的制备过程以及对制备过程的描述为我们提供些量子态的一些经典“性质”，例如，如果我们让制备好的处于{个)状态的粒子通过SG(z)，那么所有的出射粒子都将偏向+z方向，确定地而不是随机地，制备初态就是在特定的表象中制备确定的结果.这些制备好的量子系统将面临以后的测量和操作量子态的数学表示复的Hilbert空间中的向量，归一化的向量可参考Sakurai书7一10页.用到的类比是强度和振幅之间的关系.如今是几率和几率幅。有一些素材可以帮助我们建立这样的类比.波粒二象性在某些情况下，微观世界中发生的事情在经典世界中表现出粒子性；而在另一些情况下，又可以表现出波动性.类比于光的电磁理论，强度I与电场E之间的关系是I～E.于是设想几率也有类似的对几，即几率幅相继的 SG实验波动性还体现在连续的SG实验中.考虑一个自旋为1/2的粒子，通过接连放置的SG装置，如图1所示.SG(z)SG(x)SG(z)图 1图中的从左到间的第一个和第三个SG装置的梯度磁场的方向为z方向，记作SG(z)第二个SG装置的梯度磁场方向为&方向，记作SG(x)图中的虚线表示假想的反事实的（counterfactual）的“路径"图1的实验结果如图2所示.虽然我们并不能确定粒子在各个SG装置之间的路径，但是图2的结果符合通常的直觉现在，逐步减弱SG(x）的磁场强度，直至为零如果把假想的路径当作真实的路径，如果把counterfactual的推断当作事实本身，那么将预言图3所示的结果，3
量子态的制备过程以及对制备过程的描述为我们提供了量子态的一些经典 “性质”. 例如, 如果我们 让制备好的处于 |↑⟩ 状态的粒子通过 SG(z), 那么所有的出射粒子都将偏向 +𝑧 方向, 确定地而不是 随机地. 制备初态就是在特定的表象中制备确定的结果. 这些制备好的量子系统将面临以后的测量和操作. 量子态的数学表示 复的 Hilbert 空间中的向量, 归一化的向量. 可参考 Sakurai 书 7 — 10 页. 用到的类比是强度和振幅之间的关系. 如今是几率和几率幅. 有一些素材可以帮助我们建立这样的 类比. 波粒二象性 在某些情况下, 微观世界中发生的事情在经典世界中表现出粒子性; 而在另一些情况 下, 又可以表现出波动性. 类比于光的电磁理论, 强度 𝐼 与电场 𝐸 之间的关系是 𝐼 ∼ |𝐸| 2 . 于是设 想几率也有类似的对应, 即几率幅. 相继的 SG 实验 波动性还体现在连续的 SG 实验中. 考虑一个自旋为 1/2 的粒子, 通过接连放置 的 SG 装置, 如图 1 所示. SG(z) SG(x) SG(z) x y z 图 1 图中的从左到右的第一个和第三个 SG 装置的梯度磁场的方向为 𝑧 方向, 记作 SG(z). 第二个 SG 装置的梯度磁场方向为 𝑥 方向, 记作 SG(x). 图中的虚线表示假想的反事实的 (counterfactual) 的 “路径”. 图 1 的实验结果如图 2 所示. 虽然我们并不能确定粒子在各个 SG 装置之间的路径, 但是图 2 的结果符合通常的直觉. 现在, 逐步减弱 SG(x) 的磁场强度, 直至为零. 如果把假想的路径当作真实的路径, 如果把 counterfactual 的推断当作事实本身, 那么将预言图 3 所示的结果. 3
图2实际结果如图4所示.当SG(x）中的磁场强度减为零时，结果是图5.图3图4图5图4和图5体现了干涉现象，这类现象是不能用“粒子通过了某条路径”这类描述来解释的，类比于以上素材，将量子态表示为向量形式，更具体地说，是Hilbert空间中的向量.空间的维数等于可以严格区分的现象的最大个数.在SG实验中，可以严格区分的现象只有两个，所以需要最简单的两维复空间C2描述量子态：两维实空间不能胜任，参看Sakurai书观测量上一章中谈到，特定的观测过程对应于特定的观测对象，又与经典物理中物理量类比，进而有了位置、动量、角动量、哈密顿量等等基本观测量.观测量的数学形式基本物理量对应于时空变换的生成元.例如，动量是空间平移变换的生成元，哈密顿量是时间演化的生成元，生成元与变换之间的关系就是Lie代数与Lie群之间的关系，4
图 2 实际结果如图 4 所示. 当 SG(x) 中的磁场强度减为零时, 结果是图 5. 图 3 图 4 图 5 图 4 和图 5 体现了干涉现象, 这类现象是不能用 “粒子通过了某条路径” 这类描述来解释的. 类比于以上素材, 将量子态表示为向量形式, 更具体地说, 是 Hilbert 空间中的向量. 空间的维数等 于可以严格区分的现象的最大个数. 在 SG 实验中, 可以严格区分的现象只有两个, 所以需要最简 单的两维复空间 C 2 描述量子态. 两维实空间不能胜任, 参看 Sakurai 书. 观测量 上一章中谈到, 特定的观测过程对应于特定的观测对象, 又与经典物理中物理量类比, 进而有了位 置、动量、角动量、哈密顿量等等基本观测量. 观测量的数学形式 基本物理量对应于时空变换的生成元. 例如, 动量是空间平移变换的生成元, 哈密顿量是时间演化的生成元. 生成元与变换之间的关系就是 Lie 代数与 Lie 群之间的关系. 4
变换的对象是量子态既然量子态被表示为Hilbe托空间中的向量，那么，对向量的变换几该具有度阵或算子的形式，从而作为）成元的物理量也具有度阵或算子的形式.观测量的值定性地说，“值”是不同的观测结择的标记.观测结择表现在宏观的经典层面，可以严格区分在SG实验中，我们看到的不是旋度或自旋，而是粒子落在得收屏上的位置，通过粒子的落点推断粒子的旋度或自旋将旋场的梯度设为z方向，用个和+标记在得收屏上看到的现象，这两个标记分别对几于粒子的自旋角动量的z分量Sz的值：+和一岁当观测量的值不参与具体分析的时候，我们可以选用不同的符号标记这些值.例如，可以把个，+换成0,1，或者+1，-1,或者z+，z-等等.与观测量的值对应的状态在SG(z）实验中，用个和标记观测到的现象.如择粒子未被摧毁，那么相几的状态可以表示为I)和).在上一章谈论量子小球的时候，也有类似的形式，白）和[黑)，[硬)和软】从数学上说正但：·内积为零.·如择两个向量彼此正但，那么一个向量在另一个向量上的投影为零.·如择两个（子）空间正但，那么彼此没有重叠在量子小球模型中，c=0和c=1是C仪器测量结择的标记，可以严格区分，也是观测量C的值对几的状态可以记作[c=0)和|c=1)，它们彼此正但.在SG实验中，观测量旋度μ或自旋S的现象标记为个，+，或者+1，-1,或者0,1等等，两个现象可以严格区分，对几的状态记作/↑)，1)，或者/+1)，1-1)，或者[0)，{1)，彼此正但至此，我们谈论了量子力学的两条基本假设：1.量子态被表示为Hilbe把空间中的向量2.观测量被表示为Hilbe把空间中的度阵或算子进一步的讨论需要线性空间的基本知识，下面作简单介绍，并借此引入Dc符号有限维复空间 CN这里及以后，我们将有限维和无限维两区情形都和称为Hilbe把空间.在以后的位置表象及空间波函数的讨论中叙述无限维Hilbe托空间，目前，仅关注有限维Hilbe把空间5
变换的对象是量子态. 既然量子态被表示为 Hilbert 空间中的向量, 那么, 对向量的变换应该具有矩 阵或算子的形式, 从而作为生成元的物理量也具有矩阵或算子的形式. 观测量的值 定性地说, “值” 是不同的观测结果的标记. 观测结果表现在宏观的经典层面, 可以严 格区分. 在 SG 实验中, 我们看到的不是磁矩或自旋, 而是粒子落在接收屏上的位置, 通过粒子的落点推断粒 子的磁矩或自旋. 将磁场的梯度设为 𝑧 方向, 用 ↑ 和 ↓ 标记在接收屏上看到的现象, 这两个标记分 别对应于粒子的自旋角动量的 𝑧 分量 𝑆𝑧 的值: + ~ 2 和 − ~ 2 . 当观测量的值不参与具体分析的时候, 我们可以选用不同的符号标记这些值. 例如, 可以把 ↑, ↓ 换 成 0, 1, 或者 +1, −1, 或者 𝑧+, 𝑧− 等等. 与观测量的值对应的状态 在 SG(z) 实验中, 用 ↑ 和 ↓ 标记观测到的现象. 如果粒子未被摧毁, 那 么相应的状态可以表示为 |↑⟩ 和 |↓⟩. 在上一章谈论量子小球的时候, 也有类似的形式, |白⟩ 和 |黑⟩, |硬⟩ 和 |软⟩. 从数学上说正交: ❼ 内积为零. ❼ 如果两个向量彼此正交, 那么一个向量在另一个向量上的投影为零. ❼ 如果两个 (子) 空间正交, 那么彼此没有重叠. 在量子小球模型中, 𝑐 = 0 和 𝑐 = 1 是 C 仪器测量结果的标记, 可以严格区分, 也是观测量 𝐶 的值, 对应的状态可以记作 |𝑐 = 0⟩ 和 |𝑐 = 1⟩, 它们彼此正交. 在 SG 实验中, 观测量磁矩 𝜇𝑧 或自旋 𝑆𝑧 的现象标记为 ↑, ↓, 或者 +1, −1, 或者 0, 1 等等, 两个现 象可以严格区分, 对应的状态记作 |↑⟩, |↓⟩, 或者 |+1⟩, |−1⟩, 或者 |0⟩, |1⟩, 彼此正交. 至此, 我们谈论了量子力学的两条基本假设: 1. 量子态被表示为 Hilbert 空间中的向量. 2. 观测量被表示为 Hilbert 空间中的矩阵或算子. 进一步的讨论需要线性空间的基本知识, 下面作简单介绍, 并借此引入 Dirac 符号. 有限维复空间 C 𝑁 这里及以后, 我们将有限维和无限维两种情形都统称为 Hilbert 空间. 在以后的位置表象及空间波 函数的讨论中叙述无限维 Hilbert 空间, 目前, 仅关注有限维 Hilbert 空间. 5
数域F，空间V.这里及以后，F=C，即，讨论复数域上的们性空间如果数a,b，向上,,x，那么k.ab+bpEV,.+=++(+)=+)+a(bb) = (ab)b,a(b+p)=ab+bp, (a+b)b=ab+bp,存在零向上0，对u任意的V,k+=，。数域中存在0和1,对u任意的EV,k0·=0,以及1·=范数（nor间）对u任意的EV，定义相应的一个实数，称之为的范数，它满足·对u所k的≠0,>0且仅当==0·用a数乘，得到a，它的范数是Iall = [alll内积（innerproduct）对u任意两个向上,EV，定义一个数（,)EF，称为和之间的内积，须满足如下要求：·（Φ4)≥0，其中当且仅当中=0，等号成立. (,Φ+x)= (b,p) + (Φ,x). (b,ap) =a(b,p),. (,) =(p,b)*由最后两个条件可以推出(ab,)=a*(,)如果两个向上的内积为零，那么它们彼此正交，可以通过内积定义范数：Ill = (, )/2.不过，需要知道的是，范数的定义可以不依赖u内积，6
数域 𝐹, 空间 𝑉 . 这里及以后, 𝐹 = C, 即, 讨论复数域上的线性空间. 如果数 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹, 向量 𝜓, 𝜙, 𝜒 ∈ 𝑉 , 那么有 ❼ 𝑎𝜓 + 𝑏𝜙 ∈ 𝑉 , ❼ 𝜓 + 𝜙 = 𝜙 + 𝜓, 𝜓 + (𝜙 + 𝜒) = (𝜓 + 𝜙) + 𝜒, ❼ 𝑎(𝑏𝜓) = (𝑎𝑏)𝜓, ❼ 𝑎(𝜓 + 𝜙) = 𝑎𝜓 + 𝑏𝜙, (𝑎 + 𝑏)𝜓 = 𝑎𝜓 + 𝑏𝜙, ❼ 存在零向量 0, 对于任意的 𝜓 ∈ 𝑉 , 有 0 + 𝜓 = 𝜓, ❼ 数域中存在 0 和 1, 对于任意的 𝜓 ∈ 𝑉 , 有 0 · 𝜓 = 0, 以及 1 · 𝜓 = 𝜓. 范数 (norm) 对于任意的 𝜓 ∈ 𝑉 , 定义相应的一个实数 ‖𝜓‖, 称之为 𝜓 的范数, 它满足 ❼ 对于所有的 𝜓 ̸= 0, ‖𝜓‖ > 0. 当且仅当 𝜓 = 0, ‖𝜓‖ = 0. ❼ 用 𝑎 数乘 𝜓, 得到 𝑎𝜓, 它的范数是 ‖𝑎𝜓‖ = |𝑎|‖𝜓‖ 内积 (inner product) 对于任意两个向量 𝜓, 𝜙 ∈ 𝑉 , 定义一个数 (𝜓, 𝜙) ∈ 𝐹, 称为 𝜓 和 𝜙 之间的内积, 须满足如下要求: ❼ (𝜓, 𝜓) > 0, 其中当且仅当 𝜓 = 0, 等号成立. ❼ (𝜓, 𝜙 + 𝜒) = (𝜓, 𝜙) + (𝜓, 𝜒). ❼ (𝜓, 𝑎𝜙) = 𝑎(𝜓, 𝜙). ❼ (𝜓, 𝜙) = (𝜙, 𝜓) * 由最后两个条件可以推出 (𝑎𝜓, 𝜙) = 𝑎 * (𝜓, 𝜙). 如果两个向量的内积为零, 那么它们彼此正交. 可以通过内积定义范数: ‖𝜓‖ = (𝜓, 𝜓) 1/2 . 不过, 需要知道的是, 范数的定义可以不依赖于内积. 6
两个向上之间的距离()=--)=ll两个不等式Cauchy-Sch看artz不等式,(, )≤Ill /ll+ll≤ll+lll，三角形不等式完备性内积一间V中存在一组正交归一的向上，记作[e],i=1,2,,N，N是一间V的维数，即V中线5无关的向上的最大个数[e]构成了一间V的一组动，动向上的正交归一5表示为(ei,ei) = di所谓的完备5，可以这么说：V中的任意一个向上都可以在给定的动上展开：NEcei6=i=1复数c是向上在动向上ei上的分上Ci = (ei, b)有限维复一间是完备的内积一间直和与直积两个Hilbert一间，光和光2，它们的维数分别为M和N.它们的直和光=光④光是一个M+N的一间设=e，=f[e和分别是和的动7
两个向量之间的距离 𝑑(𝜓, 𝜙) = √︀ (𝜓 − 𝜙, 𝜓 − 𝜙) = ‖𝜓 − 𝜙‖. 两个不等式, |(𝜓, 𝜙)| 6 ‖𝜓‖ ‖𝜙‖, Cauchy-Schwartz 不等式, ‖𝜓 + 𝜙‖ 6 ‖𝜓‖ + ‖𝜙‖, 三角形不等式. 完备性 内积空间 𝑉 中存在一组正交归一的向量, 记作 {𝑒𝑖}, 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑁, 𝑁 是空间 𝑉 的维数, 即 𝑉 中 线性无关的向量的最大个数. {𝑒𝑖} 构成了空间 𝑉 的一组基, 基向量的正交归一性表示为 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗 所谓的完备性, 可以这么说: 𝑉 中的任意一个向量都可以在给定的基上展开: 𝜓 = ∑︁ 𝑁 𝑖=1 𝑐𝑖𝑒𝑖 . 复数 𝑐𝑖 是向量 𝜓 在基向量 𝑒𝑖 上的分量, 𝑐𝑖 = (𝑒𝑖 , 𝜓) 有限维复空间是完备的内积空间. 直和与直积 两个 Hilbert 空间, H1 和 H2, 它们的维数分别为 𝑀 和 𝑁. 它们的直和 H = H1 ⊕ H2 是一个 𝑀 + 𝑁 的空间. 设 𝜓 = ∑︀ 𝑖 𝜓𝑖𝑒𝑖 ∈ H1, 𝜙 = ∑︀ 𝑗 𝜙𝑗𝑓𝑗 ∈ H2, {𝑒𝑖} 和 {𝑓𝑗} 分别是 H1 和 H2 的基. 7
直和亚=E光，2.UMUP12:PN)光和光的直积空间光=光光，其中的向量是（以C3C2为例)：(b10119212010业24023010302子空间，正交子空间设M是光的一件子空间，也就是说，M中的向量的任意形式的线性组合都属于M整件空间光可以表示为=m田m这里，M+是光的另一件子空间，中的任意一件向量与中的任意向量是正交的，即(,p)=, Ven,eMt.M+是M的正交子空间.光的中的任意一件向量亚可以表示为亚=，其中EM,M有限维复空间上的矩阵，线性变换将N维Hilbe把空间e中的向量C换为另一件N'维的Hilbe托ye中的向量，这些C换断有度阵的形式，是N'×N的度阵这些度阵也构成了一件线性空间，记作L(,e').对于TC(,e')，8
直和 Ψ = 𝜓 ⊕ 𝜙 ∈ H , Ψ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝜓1 𝜓2 . . . 𝜓𝑀 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⊕ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝜙1 𝜙2 . . . 𝜙𝑁 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝜓1 𝜓2 . . . 𝜓𝑀 𝜙1 𝜙2 . . . 𝜙𝑁 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . H1 和 H2 的直积空间 H = H1 ⊗ H2, 其中的向量是 (以 C 3 ⊗ C 2 为例): Ψ = ⎛ ⎜⎜⎝ 𝜓1 𝜓2 𝜓3 ⎞ ⎟⎟⎠ ⊗ ⎛ ⎝ 𝜙1 𝜙2 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝜓1𝜙1 𝜓1𝜙2 𝜓2𝜙1 𝜓2𝜙2 𝜓3𝜙1 𝜓3𝜙2 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . 子空间, 正交子空间 设 M 是 H 的一个子空间, 也就是说, M 中的向量的任意形式的线性组合都属于 M. 整个空间 H 可以表示为 H = M ⊕ M⊥. 这里, M⊥ 是 H 的另一个子空间, M⊥ 中的任意一个向量与 M 中的任意向量是正交的, 即 (𝜓, 𝜙) = 0, ∀ 𝜓 ∈ M, 𝜙 ∈ M⊥. M⊥ 是 M 的正交子空间. H 的中的任意一个向量 Ψ 可以表示为 Ψ = 𝜓 ⊕ 𝜙, 其中 𝜓 ∈ M, 𝜙 ∈ M⊥. 有限维复空间上的矩阵, 线性变换 将 𝑁 维 Hilbert 空间 H 中的向量变换为另一个 𝑁′ 维的 Hilbert H ′ 中的向量, 这些变换具有矩阵 的形式, 是 𝑁′ ×𝑁 的矩阵. 这些矩阵也构成了一个线性空间, 记作 ℒ(H , H ′ ). 对于 𝑇 ∈ ℒ(H , H ′ ), 8
有T(ab +bp) = aT() +bT()矩阵T的范数有多示定义，例如，IITI= sup T()IxeI=1上式右端的意思是，原有属发e的向量得变换正ye中，其范数为T()e考虑所有属发光的单位向量，最大的IT()Iler即是T的范数对偶空间一个特通的情形：C(光,C)，即，光中的向量得变成了复数C(光,C)构成的空间得称为光对偶空间，记作yet.Rietz引理对发每一个TEet,有唯一的PTE光,使被对发所有的E光,T()=(PT)一般来说，将向量变为数的变换有多示形式，但是Rietz引理看诉我们，不论什么形式的选择，正后来总能落实为内积的形式换一个说法对发光中的每一个向量，总可以定义一个连续的线性泛函T。，T() = (o,).有了对偶空间，自，有针对Eet的线性变换.Self-adjoint，或者简单地说，厄密共轭b,E Cn, X EL(Cn), XbeCn内积(p,X) EC存在t，使得(Xt,)=(,X)在有限随空间中，容易验证xt =(x*)rDirac符号将Hilbert空间中的向量记作).右矢，ket.9
有 𝑇(𝑎𝜓 + 𝑏𝜙) = 𝑎𝑇(𝜓) + 𝑏𝑇(𝜙). 矩阵 𝑇 的范数有多种定义, 例如, ‖𝑇‖ = sup ‖𝜓‖=1 ‖𝑇(𝜓)‖H ′. 上式右端的意思是, 原先属于 H 的向量 𝜓 被变换到 H ′ 中, 其范数为 ‖𝑇(𝜓)‖H ′. 考虑所有属于 H 的单位向量, 最大的 ‖𝑇(𝜓)‖H ′ 即是 𝑇 的范数. 对偶空间 一个特殊的情形: ℒ(H , C), 即, H 中的向量被变成了复数. ℒ(H , C) 构成的空间被称为 H 对偶空间, 记作 H † . Rietz 引理 对于每一个 𝑇 ∈ H † , 有唯一的 𝜙𝑇 ∈ H , 使得对于所有的 𝜓 ∈ H , 𝑇(𝜓) = (𝜙𝑇 , 𝜓). 一般来说, 将向量变为数的变换有多种形式, 但是 Rietz 引理告诉我们, 不论什么形式的选择, 到后 来总能落实为内积的形式. 换一个说法: 对于 H 中的每一个向量 𝜙, 总可以定义一个连续的线性泛函 𝑇𝜙, 𝑇𝜙(𝜓) = (𝜙, 𝜓). 有了对偶空间, 自然有针对 𝜙 ∈ H † 的线性变换. Self-adjoint, 或者简单地说, 厄密共轭. 𝜓, 𝜙 ∈ C 𝑛 , 𝑋 ∈ ℒ(C 𝑛 ), 𝑋𝜓 ∈ C 𝑛 内积 (𝜙, 𝑋𝜓) ∈ C 存在 𝑋 † , 使得 (𝑋 †𝜙, 𝜓) = (𝜙, 𝑋𝜓) 在有限维空间中, 容易验证 𝑋 † = (𝑋 * ) 𝑇 Dirac 符号 将 Hilbert 空间 H 中的向量 𝜓 记作 |𝜓⟩. 右矢, ket. 9
间矢）与前面说的没有没有本质上的示别然仅是换了置种写法。为了说明左矢和左矢空间（bra space)然们回到内积的定义.对uE光和E光然二者的内积是(p,b) EC现在然把内积运算看作置个操作然置个把向量变成置个复数的运算然(0,) T(b)T。是置个关u的线性泛函T。EC(光,C).或者说然。是对偶空间yet中的置个“向量"然To e yet.而Rietz引理看作我们然e中的$与yet中的T。是置置对应的然和et是同构的（isomorphic)，用左失形式《l表示T。然这实际上是泛函T。的另置种写法(,) T() <)EC仅仅从形式上说然以把间）看成是列向量然左矢（山看成行向量意且行向量（中的每置个分量都是列向量）中相应的分量的复共轭.n维复Hilbert空间存在置组到交归置的基向量然ei)然=1,2,.·，n(ele;) = dij其中《eil是lei）的左矢形式在基向量[ei）上者说在表象【e)}中然任意向量）可以展开为[b) =bi ei),bi=(eil)=1u是将向量）表示为(tb)22[4) =目(bn)与之对偶的左矢的形式是=10
右矢 |𝜓⟩ 与前面说的 𝜓 没有没有本质上的区别, 仅仅是换了一种写法. 为了说明左矢和左矢空间 (bra space), 我们回到内积的定义. 对于 𝜓 ∈ H 和 𝜙 ∈ H , 二者的内积是 (𝜙, 𝜓) ∈ C 现在, 把内积运算看作一个操作, 一个把向量 𝜓 变成一个复数的运算, (𝜙, 𝜓) ⇐⇒ 𝑇𝜙(𝜓) 𝑇𝜙 是一个关于 𝜓 的线性泛函, 即 𝑇𝜙 ∈ ℒ(H , C). 或者说, 𝑇𝜙 是对偶空间 H † 中的一个 “向量”, 𝑇𝜙 ∈ H † . 而 Rietz 引理告诉我们, H 中的 𝜙 与 H † 中的 𝑇𝜙 是一一对应的, H 和 H † 是同构的 (isomorphic). 用左矢形式 ⟨𝜙| 表示 𝑇𝜙, 这实际上是泛函 𝑇𝜙 的另一种写法. (𝜙, 𝜓) ⇐⇒ 𝑇𝜙(𝜓) ⇐⇒ ⟨𝜙|𝜓⟩ ∈ C 仅仅从形式上说, 可以把右矢 |𝜓⟩ 看成是列向量, 把左矢 ⟨𝜓| 看成行向量, 并且行向量 ⟨𝜓| 中的每一 个分量都是列向量 |𝜓⟩ 中相应的分量的复共轭. 𝑛 维复 Hilbert 空间存在一组正交归一的基向量, |𝑒𝑖⟩, 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛. ⟨𝑒𝑖 |𝑒𝑗 ⟩ = 𝛿𝑖𝑗 其中 ⟨𝑒𝑖 | 是 |𝑒𝑖⟩ 的左矢形式. 在基向量 |𝑒𝑖⟩ 上, 或者说在表象 {|𝑒𝑖⟩} 中, 任意向量 |𝜓⟩ 可以展开为 |𝜓⟩ = ∑︁𝑛 𝑖=1 𝜓𝑖 |𝑒𝑖⟩, 𝜓𝑖 = ⟨𝑒𝑖 |𝜓⟩ 于是将向量 |𝜓⟩ 表示为 |𝜓⟩ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝜓1 𝜓2 . . . 𝜓𝑛 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 与之对偶的左矢的形式是 ⟨𝜓| = (︁ 𝜓 * 1 𝜓 * 2 · · · 𝜓 * 𝑛 )︁ 10