第六章无限维Hilbert空间彼此互补的基向量在C"空间中，两个观测量对应的厄密矩阵分别是A和B，本征向量分别是[αi）和|β)，如果对于任意的i和j，总有[《αiIβ,》=云，那么这两个观测量是互补观测量，两组基向量(lαi》）和（Iβ》是互补的基向量。例如C2空间中的ox，,和α2是两两彼此互补的观测量一个关于互补基向量的基本定理B1=（11)，102），，10n）)是Cn的基，酉变换U作用于基向量，使其以如下方式循环平移U)=β, [j+1),Iβ/=1,(n+1)=[01)西变换U的正交归一的本征向量的集合记作B2 = (101), [42),(.., [n))那么，B1和B2是互补基向量设U的本征值为k，即Uk）=ukk)，当然，[uk|=1.对于每一个k=1,2,,n，有)=()= [β1 (x/02) = [(k102) 1于是有[(k91) /=|(k|02) /=.=(k|0n) ]再考虑，一方面，=()=1jj另一方面，El0)=nl0m)12.m=1,2...,n所以，Kklm)/=六，说明Bi和B2是互补基向量1
第六章 无限维 Hilbert 空间 彼此互补的基向量 在 Cn 空间中, 两个观测量对应的厄密矩阵分别是 A 和 B, 本征向量分别是 j˛ii 和 ˇ ˇˇj ˛ , 如果对于任意的 i 和 j , 总有 ˇ ˇh˛i jˇj i ˇ ˇ = p 1 n , 那么这两个观测量是互补观测量, 两组基向量 fj˛iig 和 f jˇj ig 是互补的基向量. 例如 C2 空间中的 x, y 和 z 是两两彼此互补的观测量. 一个关于互补基向量的基本定理 B1 = ˚ j'1i; j'2i; ; j'ni 是 Cn 的基. 酉变换 U 作用于基向量 ˇ ˇ'j ˛ , 使其以如下方式循环平移, U ˇ ˇ'j ˛ = ˇj ˇ ˇ'j +1˛ ; jˇj j = 1; j'n+1i = j'1i 酉变换 U 的正交归一的本征向量的集合记作 B2 = ˚ j 1i; j 2i; ; j ni 那么, B1 和 B2 是互补基向量. 设 U 的本征值为 uk, 即 U j ki = uk j ki, 当然, jukj = 1. 对于每一个 k = 1; 2; ; n, 有 jh kj'1ij = ˇ ˇu k h kjUj'1i ˇ ˇ = jˇ1 h kj'2ij = jh kj'2ij 于是有 jh kj'1ij = jh kj'2ij = = jh kj'nij 再考虑 P j ˇ ˇ ˝ k ˇ ˇ'j ˛ˇ ˇ 2 , 一方面, X j ˇ ˇ ˝ k ˇ ˇ'j ˛ˇ ˇ 2 = X j ˝ k ˇ ˇ'j ˛ ˝'j ˇ ˇ k ˛ = 1 另一方面, X j ˇ ˇh kj'j i ˇ ˇ 2 = njh kj'mij2 ; m = 1; 2; ; n 所以, jh kj'mij = p 1 n , 说明 B1 和 B2 是互补基向量. 1
2Cn上的循环平移变换构造一个酉变换U以及一组n个单位向量lαk)，k=1..·,n，它们满足如下条件，构造一个酉变换U以及一组n个单位向量αk)，k=1.…，n，它们满足如下条件，.Un = 1,. U [αk) =[αk+1), k = 1,.*.,n-1,U [αn) =[α1),即，U的作用效果是传递的，循环的实际上，我们将看到，这样一组αk）是正交归一的，可以用作C"的基，首先看看酉矩阵U的一些性质。U的本征值记作k，相应的本征向量记作lk，即Uk）=kk).酉矩阵的本征值为单位复数，又根据U"=1可知，uk=e/2，k=1,..,n显然，=1.证明一个要用到的等式=(1)>将C"的基向量选择为U的本征向量，则U具有对角形式，即nU=Zujlwi)(ilj=1U仍然是对角的7ul=Eugl)(ilj=1可以把（）表示为Ecjlui)(ujluki=-1当然可以把c,写得更具体一些，但这并不必要.还需要一个能够体现"=（）的方程，注意到U"=1，有下面的过程，J"-1=0211("-1)2((=(u-ml)≥(°) -0可以改作从l=1到l=n求和，(μ-m) ≥()=
2 Cn 上的循环平移变换 构造一个酉变换 U 以及一组 n 个单位向量 j˛ki, k = 1; ; n, 它们满足如下条件, 构造一个酉变换 U 以及一组 n 个单位向量 j˛ki, k = 1; ; n, 它们满足如下条件, U n = 1, U j˛ki = j˛k+1i, k = 1; ; n 1, U j˛ni = j˛1i. 即, U 的作用效果是传递的, 循环的. 实际上, 我们将看到, 这样一组 j˛ki 是正交归一的, 可以用作 Cn 的基. 首先看看酉矩阵 U 的一些性质. U 的本征值记作 uk, 相应的本征向量记作 j ki, 即 U j ki = uk j ki. 酉矩阵的 本征值为单位复数, 又根据 U n = 1 可知, uk = e i2 k n ; k = 1; ; n 显然, u n k = 1. 证明一个要用到的等式: j ki h kj = 1 n Xn `=1 U uk ` (1) 将 Cn 的基向量选择为 U 的本征向量, 则 U 具有对角形式, 即 U = Xn j =1 uj j j i h j j U ` 仍然是对角的 U ` = Xn j =1 u ` j j j i h j j 可以把 Pn `=1 U uk ` 表示为 Xn `=1 U uk ` = Xn j =1 cj juj i huj j 当然可以把 cj 写得更具体一些, 但这并不必要. 还需要一个能够体现 Pn `=1 U uk ` 的方程, 注意到 U n = 1, 有下 面的过程, U uk n 1 = 0 U uk 1 Xn1 `=0 U uk ` = 0 (U uk1) Xn1 `=0 U uk ` = 0 可以改作从 ` = 1 到 ` = n 求和, (U uk) Xn `=1 U uk ` = 0
3这里省去了与uk相乘的单位矩阵将(U-k)"-,()=0改写为um/m)(m/-ukCcjluj)(ujl=0m=]1=1由正交归一性得到nnjee=0j=1j=1这也就是E(ujcj -ukcj)li) (il=0j=1这要求每一项的系数（ujcj一ukci）均为零，所以有当j≠k时，cj=0(uj-uk)ci=0当j=k时，cj≠如果当j=k时，cj=0,那么"=()=0,而且对于所有的k=1,…，n都成立，这将导致U=0.于是我们得到CUZ(=c）(4由（1k）(l)k）=k）可以确定ck=n.综上所述，有（1）式下一步，构造αm），m=1,..，n.用[k）展开[αm）[αm)=([αm) [k)k=1对于展开系数，作如下设定·对于[αn)，令1k=l,...,n(2) (kan)=Jn.对于 [αm),m=1,,n-1,令1012元(3)k=l,,n(k[αm)=/n如果在（3）中令m=n，则是(2)式的结果重写各个αk)：1(4)[αn]=>/k)Vnk=11Ze2)，m=1,.n-1(5)[αm) =nk=1实际上，这已经表明[αk）是归一的并且彼此正交的.而且，容易验证U[αk）=[αk+1)
3 这里省去了与 uk 相乘的单位矩阵. 将 (U uk) Pn `=1 U uk ` = 0 改写为 Xn m=1 um j mi h mj uk Xn j =1 cj juj i huj j = 0 由正交归一性得到 Xn j =1 uj cj j j i h j j uk Xn j =1 cj j j i h j j = 0 这也就是 Xn j =1 (uj cj ukcj )j j i h j j = 0 这要求每一项的系数 (uj cj ukcj ) 均为零, 所以有 (uj uk)cj = 0 H) 8 < : 当 j ¤ k 时, cj = 0 当 j = k 时, cj ¤ 0 如果当 j = k 时, cj = 0, 那么 Pn `=1 U uk ` = 0, 而且对于所有的 k = 1; ; n 都成立, 这将导致 U = 0. 于是我 们得到 Xn `=1 U uk ` = ck j ki h kj 由 j ki h kj j ki = j ki 可以确定 ck = n. 综上所述, 有 (1) 式. 下一步, 构造 j˛mi, m = 1; ; n. 用 j ki 展开 j˛mi, j˛mi = Xn k=1 h kj˛mi j ki 对于展开系数, 作如下设定. 对于 j˛ni, 令 h kj˛ni = 1 p n ; k = 1; ; n (2) 对于 j˛mi, m = 1; ; n 1, 令 h kj˛mi = 1 p n e i2 km n ; k = 1; ; n (3) 如果在 (3) 中令 m = n, 则是 (2) 式的结果. 重写各个 j˛ki: j˛ni = 1 p n Xn k=1 j ki (4) j˛mi = 1 p n Xn k=1 e i2 km n j ki; m = 1; ; n 1 (5) 实际上, 这已经表明 j˛ki 是归一的并且彼此正交的. 而且, 容易验证 U j˛ki = j˛k+1i
4离散Fourier变换下面，我们要将αk）用作另一个西变换V的本征向量。设酉变换V有如下性质，Vn=1(/V=(+1)(" =(+/=()将V的本征值记作ve=ei2元，相应的本征向量记作[se)，将看到1pe）=[αe与(1)类似,有[pe) (pel考虑《k|和（kl之间的关系，E(xl0) (gel(k/=)l=1计算其中的一项(nloe）《pel,V12Wal((val0e) (el =1E(yn+luzknk=1-12m（中kl(6)-k=用[）右乘上式，给出1nle) =n对所有的l，选择内积《nlpe）为正实数，有1(7)(nl0e)=l=l....,nn将(7)代入(6),有F11-12元（ykln (0e/ =>nk=1也就是1Ee12元[10k)100)=(8)Vk=与前面的lαk）的形式（4)和（5)比较[)=[α，l=1.....n
4 离散 Fourier 变换 下面, 我们要将 j˛ki 用作另一个酉变换 V 的本征向量. 设酉变换 V 有如下性质, V n = 1 h kj V = h k+1j h kj V n = h k+nj = h kj 将 V 的本征值记作 v` = e i2 ` n , 相应的本征向量记作 j'`i, 将看到 j'`i = j˛`i. 与 (1) 类似, 有 j'`i h'`j = 1 n Xn k=1 V v` k 考虑 h'kj 和 h kj 之间的关系, h kj = Xn `=1 h kj'`i h'`j 计算其中的一项 h nj'`i h'`j, h nj'`i h'`j = 1 n Xn k=1 h nj V v` k = 1 n Xn k=1 h n+kj v k ` = 1 n Xn k=1 e i2 k` n h kj (6) 用 j ni 右乘上式, 给出 jh nj'`ij 2 = 1 n 对所有的 `, 选择内积 h nj'`i 为正实数, 有 h nj'`i = 1 p n ; ` = 1; ; n (7) 将 (7) 代入 (6), 有 1 p n h'`j = 1 n Xn k=1 e i2 k` n h kj 也就是 j'`i = 1 p n Xn k=1 e i2 k` n j ki (8) 与前面的 j˛ki 的形式 (4) 和 (5) 比较, j'`i = j˛`i; ` = 1; ; n
5而且k）和[ge）之间的内积也就是由（3）式给出的结果1012元k(9)(l) =Vn稍作小结·在e=Cn空间中构造了两组基向量，（1k）和（lp），满足江1)/=Jn》和（1pe）被称为两组彼此互补的基向量.。酉矩阵U和V的本征向量分别是lk）和lse)，相应的本征值分别是el2和ei2·酉矩阵U使loe）循环平移；酉矩阵V使（yk/循环平移对于）E兆，现在有两种展开方式，(=(4实际上就是表象的变换)=[E( () [k)e12（pel）==iV量子态在这两个表象之间的联系是离散Fourier变换与连续Fourier变换的比较（令=1)Fourier变换连续情形离散情形(00)=e12(alp) = elxp可以有这样的类比2元2元(10)酉矩阵U和V之间的联系接着考虑酉变换U和V的一些性质.）(kl，k=e12元U=k
5 而且 j ki 和 j'`i 之间的内积也就是由 (3) 式给出的结果, h kj'`i = 1 p n e i2 k` n (9) 稍作小结 在 H = Cn 空间中构造了两组基向量, fj kig 和 fj'`ig, 满足 jh kj'`ij = 1 p n fj kig 和 fj'`ig 被称为两组彼此互补的基向量. 酉矩阵 U 和 V 的本征向量分别是 j ki 和 j'`i, 相应的本征值分别是 e i2 k n 和 e i2 ` n . 酉矩阵 U 使 j'`i 循环平移; 酉矩阵 V 使 h kj 循环平移. 对于 j i 2 H , 现在有两种展开方式, j i = X k j ki h kj i = X ` j'`i h'`j i 实际上就是表象的变换. j i = X k hX ` h kj'`i h'`j i i j ki h kj i = X ` h kj'`i h'`j i = Xn `=1 1 p n e i2 k` n h'`j i 量子态在这两个表象之间的联系是离散 Fourier 变换. 与连续 Fourier 变换的比较 (令 „ = 1): Fourier 变换 连续情形 离散情形 hxjpi = p 1 2 e ixp h kj'`i = p 1 n e i2 k` n 可以有这样的类比 r 2 n k x; r 2 n ` p (10) 酉矩阵 U 和 V 之间的联系 接着考虑酉变换 U 和 V 的一些性质. U = X k uk j ki h kj ; uk = e i2 k n
6t=)(kk)=)，=((/VU=(k+1U=e/2《+1l类似地，有《|UV=e12元（+1所以VU-ei2UV继续推广，可得viuk=ei2ukye(11)由U和V构成的Ukvl可以作为Cn上的矩阵的基选择C"的基向量为[k),k=1,,n.任意的C"上的n×n的矩阵X可以写为X=Exjkli)(kljk先考虑对角项.已有结论（1)e-12元u) =3对于非对角项，有Y-12元ulym-k1) (m|=) (/Vm-kn(=1于是上述结论成立考虑 n→ 8设n是一个很大的素数.令?_2元n当n很大的时候，e很小U的本征值ukuk =ei2 =elek, k =1,2,..,n本征值uk是单位复数，均匀分布在单位圆上.当n很大时，uk分布得非常密集设U的生成元是Q，它是厄密的，Q=Qt.U=eieg考虑U的本征方程Uk）=eiekk），并注意到e很小，(1+ieQ))=(1+ie*k)k)
6 U = X k u k j ki h kj U j ki = u k j ki; h kjU = h kj uk h kj V U = h k+1jU = e i2 k+1 n h k+1j 类似地, 有 h kjU V = e i2 k n h k+1j 所以 V U = e i2 1 n U V 继续推广, 可得 V `U k = e i2 k` n U kV ` (11) 由 U 和 V 构成的 U kV ` 可以作为 Cn 上的矩阵的基 选择 Cn 的基向量为 j ki, k = 1; ; n. 任意的 Cn 上的 n n 的矩阵 X 可以写为 X = X jk xjk j j i h kj 先考虑对角项. 已有结论 (1), j ki h kj = 1 n Xn `=1 U uk ` = 1 n Xn `=1 e i2 k` n U ` 对于非对角项, 有 j ki h mj = j ki h kj V mk = 1 n Xn `=1 e i2 k` n U `V mk 于是上述结论成立. 考虑 n ! 1 设 n 是一个很大的素数. 令 2 = 2 n 当 n 很大的时候, 很小. U 的本征值 uk uk = e i2 k n = e i2k ; k = 1; 2; ; n 本征值 uk 是单位复数, 均匀分布在单位圆上. 当 n 很大时, uk 分布得非常密集. 设 U 的生成元是 Q, 它是厄密的, Q = Q . U = e iQ 考虑 U 的本征方程 U j ki = e i2k j ki, 并注意到 很小, (1 + iQ)j ki = (1 + i2 k)j ki
71Qlk) = ke [k)表明1k）是Q的本征向量，本征值是ke=k/2再设的生成元是P，V=eleP, P=pt类似地有V(0) =ei2元 [0k) =eie2l [p)P lpe) = le [pe)/2元即le）是P的本征向量，本征值是le=将Q和P的本征值与类比关系（10式对照，可以看出，Q和P将被分别解释为位置算子和动量算子可以将Q和P的本征值画在半径为！的圆周上以Q的本征值为例说明这件事：首先考虑Q的本征值的分布范围。当k的值从1取到n时，Q的本征值从e=增大到ne=2n元.显然，当n增大时，Q的本征值分布的范围也变得越来越大不过，还应该注意到酉变换U的特征。局部看来，它是平移变换，U将lse）“向前平移”到lpe+1)，平移量是e;U?将le“向前平移”到lpi+2)，平移量是2e；：….但是，整体看来是一个循环置换，所谓的“向前平移”不可能无止境地走下去，当平移量达到ne的时候，酉变换是eineo-Eeineke1vxXvel-Eenke1veXvxl-Ee12k1veXvel=1k=1k=1k=1其中的第一个等式用到了Q的本征分解形式Q=k=1kelkkl上式也就是引入生成元之后重新描述U"=1这一性质.实际上，有限维空间中的酉变换不可能将该空间中的向量“变出”这个空间.我们在这里讨论的U或者Uk也不可能实现任意大的平移，当平移量超过ne之后，就开始了新一轮的循环，所以，应该将所有可能的平移量e描绘在一个周长为ne的圆周上，这个圆的半径是1ne2元e2元 2 2元— 如图1所示，西变换U和V对Q和P的变换将酉变换V作用于算子Q，将得到e-iguPQeiqeP=Q-qel(12)将酉变换U作用于算子P，将得到eipPe-ip=P-k1(13)为了得到上面两个结果，回顾已知的性质（11）vluk=ei2ukvl
7 w Q j ki = k j ki 表明 j ki 是 Q 的本征向量, 本征值是 k = k q 2 n . 再设 v 的生成元是 P, V = e iP ; P = P 类似地有 V j'`i = e i2 ` n j'ki = e i2` j'`i P j'`i = ` j'`i 即 j'`i 是 P 的本征向量, 本征值是 ` = q 2 n `. 将 Q 和 P 的本征值与类比关系 (10) 式对照, 可以看出, Q 和 P 将被分别解释为位置算子和动量算子. 可以将 Q 和 P 的本征值画在半径为 1 的圆周上. 以 Q 的本征值为例说明这件事. 首先考虑 Q 的本征值的分 布范围. 当 k 的值从 1 取到 n 时, Q 的本征值从 = q 2 n 增大到 n = p 2n. 显然, 当 n 增大时, Q 的本征值 分布的范围也变得越来越大. 不过, 还应该注意到酉变换 U 的特征. 局部看来, 它是平移变换, U 将 j'`i ‘‘向前 平移” 到 j'`+1i, 平移量是 ; U 2 将 j'`i ‘‘向前平移” 到 j'`+2i, 平移量是 2; . 但是, 整体看来是一个循环 置换, 所谓的 ‘‘向前平移” 不可能无止境地走下去, 当平移量达到 n 的时候, 酉变换是 e inQ = Xn k=1 e ink j kih kj = Xn k=1 e ink2 j kih kj = Xn k=1 e i2k j kih kj = 1 其中的第一个等式用到了 Q 的本征分解形式 Q = Pn k=1 k j kih kj. 上式也就是引入生成元之后重新描述 U n = 1 这一性质. 实际上, 有限维空间中的酉变换不可能将该空间中的向量 ‘‘变出” 这个空间. 我们在这里讨论 的 U 或者 U k 也不可能实现任意大的平移, 当平移量超过 n 之后, 就开始了新一轮的循环, 所以, 应该将所有可 能的平移量 k 描绘在一个周长为 n 的圆周上, 这个圆的半径是 n 2 = 2 2 2 = 1 如图 1 所示. 酉变换 U 和 V 对 Q 和 P 的变换 将酉变换 V 作用于算子 Q, 将得到 e iq`P Qeiq`P = Q q`1 (12) 将酉变换 U 作用于算子 P, 将得到 e ipkQP eipkQ = P pk1 (13) 为了得到上面两个结果, 回顾已知的性质 (11), V `U k = e i2 k` n U kV `
8ne(n-1)e26n+图1由此可以推出V-lukyl=e-12元ukUkviu-k = e-i2 ve注意到e2=2元/n，将以上两式改写为e-ilePeikedeileP = e-ikeleikea = exp (ike(Q -le1)(14)eikedeilePe-ike =e-ikelegileP = exp (ile(P-ke1))(15)在(14)和(15)两式中令le=qe，ke=pk，有e-igePeipk2eiacP =exp (ipx(Q-qel)(16)eipx@ jiacPe-ipx2 = exp (iqe(P- Px1)(17)我们将由此得到关于Q和P的变换规则。注意到U-1A*U = (U-1AU)U-1f(A)U = f(U-1AU)因此，（16）式的左侧可以写为exp ipx(e-iarPQeiaep)与其右侧比较后有e-iqP QeiquP =Q-qel类似地，考虑（17)式，可以得到eipke-ipx=P-Pk1
8 2 n (n−1) n1 n1 图 1 由此可以推出 V `U kV ` = e i2 k` n U k U kV `U k = e i2 k` n V ` 注意到 2 = 2/n, 将以上两式改写为 e i`P e ikQe i`P = e ik`e ikQ = exp ˚ ik(Q `1) (14) e ikQe i`P e ikQ = e ik`e i`P = exp ˚ i`(P k1) (15) 在 (14) 和 (15) 两式中令 ` = q`, k = pk, 有 e iq`P e ipkQe iq`P = exp ˚ ipk(Q q`1) (16) e ipkQe iq`P e ipkQ = exp ˚ iq`(P pk1) (17) 我们将由此得到关于 Q 和 P 的变换规则. 注意到 U 1A kU = (U 1AU) k U 1f (A)U = f (U 1AU) 因此, (16) 式的左侧可以写为 exp n ipk e iq`P Qeiq`P o 与其右侧比较后有 e iq`P Qeiq`P = Q q`1 类似地, 考虑 (17) 式, 可以得到 e ipkQP eipkQ = P pk1
9这就像是对位置和动量的平移变换.但是，需要注意，本质上还是循环变换前面我们令U=eieQ，V=eieP，当e很小的时候，这实际上是无穷小变换。为了实现有限大小的变换，我们可以让U或V作用多次，也就是Uk=eipx2或Vi=eieP.当空间维数越来越大，e越来越小，Pk和qe越来越接近连续分布：与此同时，图1中的圆也变得越来越大为了体现真正的平移而不是循环平移，我们修改k的取值范围。原先k的取值范围是从1到n，现在将其修改为n-1k=0.±1.±2.....2这一修改并不影响已有的计算结果，但是可以更好地体现平移变换的效果．当k=0,+1,+2.，+时，向右平移；当k=0,-1,-2,.，-号时，向左平移ke或le 的取值是0,±e,±2e"-2n-1(2元2-1)="_ 9E=2(3=-2202图2随着e→0，图2中的圆的半径趋于无穷大.无穷大的圆上的一段有限长度的圆弧可以近似地当作直线看待而且，就物理问题而言，平移量不至于无限大.我们所考虑的波函数也不至于扩展到无限远处，所以，我们面临的只是从图2中的位置0出发向右或向左平移一段有限大小的距离，这只是无限大的圆周上的有限长度的圆弧，在这圆弧上的有限大小的平移不会出现循环平移的效果，因而也就基本上接近真正的平移过程了。于是将pk记作p，将qe记作q，并把它们视为连续变量.将（12）和（13）表示为真正意义上的平移关系，e-iq'PQeiqP=Q-q'1eip'oPe-ip'o=P-p'l展开，保留到一级项，有对易子[Q, P] = i1
9 这就像是对位置和动量的平移变换. 但是, 需要注意, 本质上还是循环变换. 前面我们令 U = e iQ, V = e iP , 当 很小的时候, 这实际上是无穷小变换. 为了实现有限大小的变换, 我们可以 让 U 或 V 作用多次, 也就是 U k = e ipkQ 或 V ` = e iq`P . 当空间维数越来越大, 越来越小, pk 和 q` 越来越接 近连续分布. 与此同时, 图 1 中的圆也变得越来越大. 为了体现真正的平移而不是循环平移, 我们修改 k 的取值范围. 原先 k 的取值范围是从 1 到 n, 现在将其修改为 k = 0; ˙1; ˙2; ; ˙ n 1 2 这一修改并不影响已有的计算结果, 但是可以更好地体现平移变换的效果. 当 k = 0; +1; +2; ; + n1 2 时, 向右 平移; 当 k = 0; 1; 2; ; n1 2 时, 向左平移. k 或 ` 的取值是 0; ˙; ˙2; ; ˙ n 1 2 n 1 2 = 2 2 2 1 = 2 2 n1 n1 2 图 2 随着 ! 0, 图 2 中的圆的半径趋于无穷大. 无穷大的圆上的一段有限长度的圆弧可以近似地当作直线看待. 而 且, 就物理问题而言, 平移量不至于无限大. 我们所考虑的波函数也不至于扩展到无限远处. 所以, 我们面临的只 是从图 2 中的位置 0 出发向右或向左平移一段有限大小的距离, 这只是无限大的圆周上的有限长度的圆弧, 在这 圆弧上的有限大小的平移不会出现循环平移的效果, 因而也就基本上接近真正的平移过程了. 于是将 pk 记作 p 0 , 将 q` 记作 q 0 , 并把它们视为连续变量. 将 (12) 和 (13) 表示为真正意义上的平移关系, e iq0P Qeiq0P = Q q 0 1 e ip0QP eip0Q = P p 0 1 展开, 保留到一级项, 有对易子 [Q; P] = i1
10再考虑对基向量的改变.已知(lV=(k+el(18)U* [pe) = [pe+k)(19)先考虑（18）式，uk=eleke=eleq', q=keuk+ =ele(k+) =el(q+"), q"= levl=eileP=eiq"p注意到（kl对应的本征值是uk，而uk主要依赖于q=ke，所以把（kl记作《q'l，类似地，把《k+el记作(q+q"l.改写/V=(k+el,(q"eig"P = (q +q"](20)也就是e-iq"P [q)=|q'+q")类似地从（19）式可以得到eip"2[p")=[p'+ p")讨论在Q表象中P的表示。在Q表象中,基向量是lg'),某个[）在lg）上的分量是(gl）=(q").考虑对l）作平移变换，变换后的态是eig"Pl)，它在lg）上的分量是(gleia"P) (20)(q"+q")=(q+")当g”很小时，展开至一阶项，(g/1+iq"Pl)=(g)+qn(g)dq'1,dy(q)(q|Pl)= -i9dq'对这个结果的理解是：算子P作用于向量I)，将它变为P[)，在Q表象中，该结果在基向量lg）上的分量是id(g；另一方面，向量）在基向量lq"）上的分量是(q")，这表明P在Q表象中的表示是idPdq类似地可以有(pl0ly)=;dy(p)其中(p")=(p)dp'表明在P表象中Q被表示为i%讨论完备性和正交归一性在有限维空间中，完备性体现为)(=1k=1
10 再考虑对基向量的改变. 已知 h kj V ` = h k+`j (18) U k j'`i = j'`+ki (19) 先考虑 (18) 式, uk = e ik = e iq0 ; q0 = k uk+` = e i(k+`) = e i(q 0+q 00) ; q00 = ` V ` = e i`P = e iq00P 注意到 h kj 对应的本征值是 uk, 而 uk 主要依赖于 q 0 = k, 所以把 h kj 记作 hq 0 j, 类似地, 把 h k+`j 记作 hq 0 + q 00j. 改写 h kj V ` = h k+`j, ˝ q 0 ˇ ˇ e iq00P = ˝ q 0 + q 00ˇ ˇ (20) 也就是 e iq00P ˇ ˇq 0 ˛ = ˇ ˇq 0 + q 00˛ 类似地从 (19) 式可以得到 e ip00Q ˇ ˇp 0 ˛ = ˇ ˇp 0 + p 00˛ 讨论在 Q 表象中 P 的表示. 在 Q 表象中, 基向量是 jq 0 i, 某个 j i 在 jq 0 i 上的分量是 hq 0 j i = (q 0 ). 考虑对 j i 作平移变换, 变换后的态是 e iq00P j i, 它在 jq 0 i 上的分量是 ˝ q 0 ˇ ˇe iq00P ˇ ˇ ˛ cf. (20) ========== ˝ q 0 + q 00ˇ ˇ ˛ = (q 0 + q 00) 当 q 00 很小时, 展开至一阶项, ˝ q 0 ˇ ˇ1 + iq00P ˇ ˇ ˛ = (q 0 ) + q 00 d (q 0 ) dq 0 w ˝ q 0 ˇ ˇP ˇ ˇ ˛ = i d (q 0 ) dq 0 对这个结果的理解是: 算子 P 作用于向量 j i, 将它变为 P j i, 在 Q 表象中, 该结果在基向量 jq 0 i 上的分量是 i d (q 0 ) dq 0 ; 另一方面, 向量 j i 在基向量 jq 0 i 上的分量是 (q 0 ), 这表明 P 在 Q 表象中的表示是 P ! i d dq 类似地可以有 ˝ p 0 ˇ ˇQ ˇ ˇ ˛ = i d (p 0 ) dp0 ; 其中 (p 0 ) = ˝ p 0 ˇ ˇ ˛ 表明在 P 表象中 Q 被表示为 i d dp . 讨论完备性和正交归一性. 在有限维空间中, 完备性体现为 Xn k=1 j ki h kj = 1