第七章粒子在位置空间中的运动V带电粒子在电磁场中的运动前面讨论过的氢原子可以视作带电粒子在Coulomb场中的运动.还可以考虑以下情况：1.带电量为的粒子在匀强电场中的运动，哈密顿量是p2H=2m-9E·R设E=EezPP-qEZ一2m+2m+2mP哈密顿量中与z方向有关的部分一9EZ描述的是线性势场中的运动，在动量表象中容易求解.在位置表象中2m的波函数与Airy函数有关2.带电谐振子在匀强电场E=Eez中的运动，哈密顿量为P2+=mw?R?-qEZH=2m 2在z方向上的运动相当于平衡位置平移了的谐振子的运动3.具有一定自旋的粒子在磁场中的运动，典型的问题是SG实验.关于SG实验的更细致的讨论，参看D.E.Platt,AmericanJournal of Physics60,306(1992)G.Potel,EBarranco,S.Cruz-Barrios,andJ.Gomez-Camacho,PhysicalReviewA71,052106(2005)4.无自旋带电量的粒子在匀强磁场中的运动.下面着重分析无自旋的带电粒子在电磁场中的运动微观粒子的质量为m，带电量为q.电场E，磁场B.标量势Φ，矢量势A经典情形aAE=-V-atB=V×A1
第七章 粒子在位置空间中的运动 V 带电粒子在电磁场中的运动 前面讨论过的氢原子可以视作带电粒子在 Coulomb 场中的运动. 还可以考虑以下情况: 1. 带电量为 q 的粒子在匀强电场中的运动, 哈密顿量是 H = P 2 2m qE R 设 E = Ee´ = P 2 x 2m + P 2 y 2m + P 2 ´ 2m qEZ 哈密顿量中与 ´ 方向有关的部分 P 2 ´ 2m qEZ 描述的是线性势场中的运动, 在动量表象中容易求解. 在位置表象中 的波函数与 Airy 函数有关. 2. 带电谐振子在匀强电场 E = Ee´ 中的运动, 哈密顿量为 H = P 2 2m + 1 2 m!2R 2 qEZ 在 ´ 方向上的运动相当于平衡位置平移了的谐振子的运动. 3. 具有一定自旋的粒子在磁场中的运动, 典型的问题是 SG 实验. 关于 SG 实验的更细致的讨论, 参看 • D. E. Platt, American Journal of Physics 60, 306 (1992). • G. Potel, F. Barranco, S. Cruz-Barrios, and J. Gómez-Camacho, Physical Review A 71, 052106 (2005). 4. 无自旋带电量 q 的粒子在匀强磁场中的运动. 下面着重分析无自旋的带电粒子在电磁场中的运动. 微观粒子的质量为 m, 带电量为 q. 电场 E, 磁场 B. 标量势 , 矢量势 A. 经典情形 E = r @A @t B = r A 1
对于给定的场强E和B，可以有多种不同的Φ和A与之对应axA-→A'=A+VX,中→中-中at其中x=x(r.t).规范变换不影响场强.Lagrange量mo2-q(r.1)+qv-A(r.1),C-其中=a(a)d0di(ak）ark1dv=q(E+v×B)m-dt正则（canonical)动量(1)p=my+qAHamilton量2Mv2+ q(r.1) =H=VP-LC=(p=qA)+q(2) 2m量子情形-H=(P -qA)?+qΦ, A = A(R,t), Φ =Φ(R,t)(3) 2m速度算子V，机械动量算子1Vs(P-qA)mm考虑与速度算子有关的对易关系ih[Rj. Vk] =8jkm最 (4s, P] +[Px.4])m[Pr.Py)+(3[Ax,Ay] -[Vx, Vy] ---(4. P)+[P.A])hq(aAxaAyaxm2( aying(V×A)ingBzm2m2ihq[Vj, V] =m2ejkeBe其中ejke是+1当jkl=123的偶数次置换-1当jkl=123的奇数次置换Ejkl =lo当j,k,l中至少两个是相等的2
对于给定的场强 E 和 B, 可以有多种不同的 和 A 与之对应, A ! A 0 = A + r ; ! 0 = @ @t ; 其中 = (r; t). 规范变换不影响场强. Lagrange 量 L = 1 2 mv2 q (r; t) + qv A(r; t); 其中 v = dr dt . d dt @L @vk @L @rk = 0 + m dv dt = q (E + v B) 正则 (canonical) 动量 p = mv + qA: (1) Hamilton 量 H = v p L = 1 2 M v2 + q (r; t) = 1 2m (p qA) 2 + q : (2) 量子情形 H = 1 2m (P qA) 2 + q ; A = A(R; t); = (R; t) (3) 速度算子 V, V = 机械动量算子 m = 1 m (P qA): 考虑与速度算子有关的对易关系. [Rj ; Vk] = i„ m ıjk [Vx; Vy] = 1 m2 [Px; Py] + q m 2 [Ax; Ay] q m2 ˚ [Ax; Py] + [Px; Ay] = q m2 ˚ [Ax; Py] + [Px; Ay] = i „q m2 @Ax @y @Ay @x = i„q m2 r A ´ = i„q m2 B´ [Vj ; Vk] = i„q m2 jk`B` 其中 jk` 是 jk` = 8 ˆˆˆˆˆ< ˆˆˆˆˆ: +1 当 j k` = 123 的偶数次置换 1 当 j k` = 123 的奇数次置换 0 当 j , k, ` 中至少两个是相等的 2
速度算子期望值的运动方程我们知道，某个力学量O的期望值随时间变化的方程是ddo(0)() =([0. H) +(i！at这里,期望值是针对(t))而言的.考虑0=VkVk=-qAk2mv+q0H=(P-qA)?+qd2m[Vk, H] =,[Vk]+q[k.]jm v,[Vk, V] + [Vk, V]v/ +一[Pk.Φ]Z(Vek/Be+ktB)-%it(VO)k2mmj.ek(V Be-B-%i(V)2mmj.l对于上面计算的最后两步，补充一个步骤EekjeBej=-EekejBeVj=-EekjeBjVej.lj.lj,l可以看一个具体的形式(VBa -B2V-VB2+ BV)-in(V0)[Vi, H] =2mmi(V×B-B×V)1 -Lin(V0)12mmavi1q0A(V×B-B×V)1- 1(V0)1-9[Vi, H] +at2mmatm1%(V×B-B×V) +%EI2mmdvq(V×B-B×V)= q(E) +mdt可以类比于经典情形下的运动方程机械角动量算子定义A=mRxV这是机械角动量算子.计算对易子[Ax, A,] =m?[YV, - ZVy,ZV, - XV,]3
速度算子期望值的运动方程 我们知道, 某个力学量 O 的期望值随时间变化的方程是 d dt hOi(t) = 1 i„ ˝ [O; H] ˛ + @O @t : 这里, 期望值是针对 j (t)i 而言的. 考虑 O = Vk. Vk = 1 m Pk qAk H = 1 2 mV 2 + q = 1 2m (P qA) 2 + q [Vk; H] = 1 2 m X j [Vk; V 2 j ] + q[Vk; ] = 1 2 m X j n Vj [Vk; Vj ] + [Vk; Vj ]Vj o + q m [Pk; ] = i 2 „q m X j;` Vj kj `B` + kj `B`Vj q m i„(r )k = i 2 „q m X j;` kj `(Vj B`Bj V`) q m i„(r )k 对于上面计算的最后两步, 补充一个步骤: X j;` kj `B`Vj = X j;` k`j B`Vj = X j;` kj `Bj V` 可以看一个具体的形式. [V1; H] = i 2 „q m (V2B3 B2V3 V3B2 + B3V2) q m i„(r )1 = i 2 „q m (V B B V)1 q m i„(r )1 1 i„ [V1; H] + @V1 @t = q 2m (V B B V)1 q m (r )1 q m @A1 @t = 1 2 q m (V B B V)1 + q m E1 m dV dt = qhEi + 1 2 q hV B B Vi 可以类比于经典情形下的运动方程. 机械角动量算子 定义 = mR V 这是机械角动量算子. 计算对易子 [Λx;Λy] =m 2 [Y V´ ZVy; ZVx XV´] 3
=it(-mYVx+qYZB,+qzB,+qXZBx+mXV)=in(Az +qZR·B)而正则角动量的对易关系依旧是[Lx,L] =ihLz计算机械角动量的期望值随时间的变化di- (I) = (L, II,H)ih[XVy - YV, H] = -(XFy-YFx)+in[Vx,V]mih[V,X -V,Y,H] ="(F,X-FxY)-in[Vx,V)]m注意到XVy=VX,YVx=V.Y，以上两式相加再除以2,有d(Az) =(XF, -YFx-FY+F,XIXF, -YF- F+Y+ F,X)dtd1(4)=(R×F-F×R)可类比于经典结论：角动量的变化率对于力矩空间位置表象中的Hamilton量H=(-it-qA)+q2m1[P2-q(P.A+A·P)+q?A] +qH=2mP.A-AP=-itV.Ah2g2v2ihginqA.V+V·A+A?+q中H =(4)2m2m2mm通常选择Coulomb规范V-A=0.(5) 规范变换如下形式的势的变换不会改变场强，A-→A'=A+VX—*=0-at对于Schrodinger方程1it-(iqA)(6)at2m4
=i„ mY Vx + qYZBy + qZ2B´ + qXZBx + mXVy =i„ Λ´ + qZR B 而正则角动量的对易关系依旧是 [Lx; Ly] = i„L´ 计算机械角动量 的期望值随时间的变化. i„ d dt hji = h[; H]j[; H]i [XVy Y Vx; H] = i„ m (XFy YFx) + i„[Vx; Vy] [VyX VxY; H] = i„ m (FyX FxY ) i„[Vx; Vy] 注意到 XVy = VyX, Y Vx = VxY , 以上两式相加再除以 2, 有 d dt hΛ´i = 1 2 hXFy YFx FxY + FyXjXFy YFx FxY + FyXi d dt hi = 1 2 hR F F Ri 可类比于经典结论: 角动量的变化率对于力矩. 空间位置表象中的 Hamilton 量 H = 1 2m (i„r qA) 2 + q H = 1 2m P 2 q(P A + A P) + q 2A 2 + q P A A P = i„r A H = „ 2 2m r 2 + i„q m A r + i„q 2m r A + q 2 2m A 2 + q (4) 通常选择 Coulomb 规范 r A = 0: (5) 规范变换 如下形式的势的变换不会改变场强, A ! A 0 = A + r ! 0 = @ @t ; 对于 Schrödinger 方程 i„ @Ψ @t = 1 2m (i„r qA) 2 Ψ + q Ψ (6) 4
势的变换不能保证方程的形式不变，还需要对量子态进行变换，需满足(rt)/2=(rt)/2亚-→亚 =亚exp(7)于是Schrodinger方程的形式保持不变at1（-it-qA)+qih-=2m规范不变量·速度的期望值是规范不变的·速度的本征值也是规范不变的.·几率流密度矢量是规范不变的速度的期望值(V)=(((-A)在规范变换下，(-it-qA)=[-itV-g(A+Vx)]el(g/h)x亚=ei(q/t)X (itV-qA)所以，速度的期望值是规范不变的但是，动量的期望值（P）却不是规范不变的另外，速度的本征值也是规范不变的.设(r）是V，的本征态(P_Az)(r)=Uz(r)mm) el(a/h)(r)=e(a/h)x (P_ LA(rmm111= Vzel(a/h)(r)几率流密度失量J = Re↓*(r,t)[P-%A(r,n)|(r,t也是规范不变的无自旋粒子在匀强磁场中的运动重新回到哈密顿量(3),现在不考虑电场，设电势Φ=0.粒子质量m，带电量g（以下设9>0).磁感应强度B恒定，设矢量势A不含时.B= Bez[Vz,V] =[Vz,V] =05
势的变换不能保证方程的形式不变, 还需要对量子态进行变换, 需满足 jΨ(r; t)j 2 = jΨ0 (r; t)j 2 , Ψ ! Ψ 0 = Ψ exp iq „ (7) 于是 Schrödinger 方程的形式保持不变, i„ @Ψ0 @t = 1 2m (i„r qA 0 ) 2 Ψ 0 + q 0Ψ 0 规范不变量 • 速度的期望值是规范不变的. • 速度的本征值也是规范不变的. • 几率流密度矢量是规范不变的. 速度的期望值 hΨjV jΨi = Ψ ˇ ˇ ˇ ˇ P m qA m ˇ ˇ ˇ ˇ Ψ 在规范变换下, (i„r qA 0 ) Ψ 0 = i„r q A + r e i(q/„) Ψ =e i(q/„) (i„r qA) Ψ 所以, 速度的期望值是规范不变的. 但是, 动量的期望值 hΨj P jΨi 却不是规范不变的. 另外, 速度的本征值也是规范不变的. 设 (r) 是 V´ 的本征态. P´ m q m A´ (r) = v´ (r) P´ m q m A 0 ´ e i(q/„) (r) = e i(q/„) P´ m q m A´ (r) = v´e i(q/„) (r) 几率流密度矢量 J = Re Ψ (r; t) P m q m A(r; t) Ψ(r; t) 也是规范不变的. 无自旋粒子在匀强磁场中的运动 重新回到哈密顿量 (3), 现在不考虑电场, 设电势 = 0. 粒子质量 m, 带电量 q (以下设 q > 0). 磁感应强度 B 恒定, 设矢 量势 A 不含时. B = Be´ [V´; Vx] = [V´; Vy] = 0 5
H = Hxy + Hz712m(v2+3)mV?Hxy=Hz[Hxy, Hz] = 0inqB[Vx, V] =m2hqB今=VmV, =ypiVx =yQ',[Q',P' =i1hqBp2.Hxy=+022mhqBHxy的本征值是(n+号）,n=0,1,2,...m至于H，的本征值，只需考虑V，的本征值.而V，的本征值是规范不变的.可以将Az选择为0.于是V，的本征值就相当于Pz的本征值，从一80到+80H的本征值是hqB1(8)En(vz)= (n +)m+moz，n=0.1,2...被称为Landau能级讨论一下对求得的能量本征值的理解，哈密顿量H由可分离的两项组成：Hx和H，，它们彼此对易，于是H的本征值是Hx的本征值和H，的本征值之和.带电粒子在z方向的运动如同自由粒子的运动，相应的能量即是动能mv.横向运动，即在平行于xy平面内的运动，应该可以类比于经典情形中的圆周运动.而经典电磁学告诉我们，在匀强磁场Bez中，如果带电粒子在垂直于磁场的方向上的速度分量是Uxy，那么圆周运动的频率是，这正对应于（8）式中右端第项中的频率.求解本征波函数.选择如下形式的矢量势，Ax =-yB, Ay =Az =0满足V·A=0,V×A=B.Hamilton量1H=-[(Px + yqB)?+ p2 + P2]2m显然[Px,H]=[Pz,H]=0,但是P,与H不对易.于是考虑对易力学量的集合(H,Px,Pz)在位置表象中，22aq?B2ihqByy=Ey业+Byax2m2mm可以选择为Px和P，的本征函数，(x,y,z) =exp(i(kxx+kzz))(y)然后得到关于()的方程h? d()hqBkx[gBy2+h2(y) = 02m2+)-Ey(y) +2mdy22mm6
H = Hxy + H´ Hxy = 1 2 m(V 2 x + V 2 y ); H´ = 1 2 mV 2 ´ [Hxy; H´] = 0 [Vx; Vy] = i„q m2 B 令 = r „qB m2 Vx = Q0 ; Vy = P0 [Q0 ; P0 ] = i Hxy = 1 2 „qB m (P 02 + Q02 ) Hxy 的本征值是 n + 1 2 „qB m , n = 0; 1; 2; 至于 H´ 的本征值, 只需考虑 V´ 的本征值. 而 V´ 的本征值是规范不变的. 可以将 A´ 选择为 0. 于是 V´ 的本征值就相当 于 P´ 的本征值, 从 1 到 +1. H 的本征值是 En(v´) = n + 1 2 „qB m + 1 2 mv2 ´ ; n = 0; 1; 2; (8) 被称为 Landau 能级. 讨论一下对求得的能量本征值的理解. 哈密顿量 H 由可分离的两项组成: Hxy 和 H´, 它们彼此对易, 于是 H 的本征值 是 Hxy 的本征值和 H´ 的本征值之和. 带电粒子在 ´ 方向的运动如同自由粒子的运动, 相应的能量即是动能 1 2mv2 ´ . 横向 运动, 即在平行于 xy 平面内的运动, 应该可以类比于经典情形中的圆周运动. 而经典电磁学告诉我们, 在匀强磁场 Be´ 中, 如果带电粒子在垂直于磁场的方向上的速度分量是 vxy, 那么圆周运动的频率是 qB m , 这正对应于 (8) 式中右端第一 项中的频率. 求解本征波函数. 选择如下形式的矢量势, Ax = yB; Ay = A´ = 0 满足 r A = 0, r A = B. Hamilton 量 H = 1 2m (Px + yqB) 2 + P 2 y + P 2 ´ 显然 [Px; H] = [P´; H] = 0, 但是 Py 与 H 不对易. 于是考虑对易力学量的集合 fH; Px; P´g. 在位置表象中, „ 2 2m r 2 i„q m By @ @x + q 2B 2 2m y 2 = E 可以选择为 Px 和 P´ 的本征函数, (x; y; ´) = exp ˚ i(kxx + k´´) '(y) 然后得到关于 '(y) 的方程 „ 2 2m d 2'(y) dy 2 + „qBkx m y'(y) + q 2B 2 2m y 2 + „ 2 2m (k 2 x + k 2 ´ ) E '(y) = 0 6
y的线性项可以通过平移变换消除h? d(y)mo2(y - yo)? - E'(o) = 02mdy22其中hkxyo =qBB0=mh2k2E'=E-2m而E'可以通过谐振子的能级得到E'=ho所以h2kE=ho(9)2m本征函数的形式 = e(k+kz) Hn (a(y - y0),e-1a(y-0)2/qBmec其中α=1=婴，Hn是Hermite多项式。二轨道中心坐标先考虑经典情形.带电粒子的位置x-xo=rcos(oct +), y-yo =-rsin(oct +0)粒子运动的速度Ux=-wcrsin(wet+),vy=-wcrcos(wct+9)所以可以说，轨道中心的坐标是UyUxXo = x +yo= y-WcWc它们都是运动常数类比到量子情形，有台Yo=Y_VXo= X +wcWc它们与哈密顿量对易，[Xo., H] = [Yo, H] = 0所以它们也是运动常数.但是，X。和Y。不对易，-ih[Xo, Yo] =qB因此，轨道中心算子的x分量和y分量之间存在不确定关系，1 1△Xo AYo ≥2qB选择其它形式的A，会对结果产生怎样的影响呢？A=R×B=BYex+=BXey2227
y 的线性项可以通过平移变换消除. „ 2 2m d 2'(y) dy 2 + 1 2 m!2 c (y y0) 2 E 0 '(y) = 0 其中 y0 = „kx qB !c = qB m E 0 = E „ 2k 2 ´ 2m 而 E0 可以通过谐振子的能级得到, E 0 = „! n + 1 2 ; ! = !c 所以 E = „!c n + 1 2 + „ 2k 2 ´ 2m (9) 本征函数的形式 = e i(kxx+k´´) Hn ˛(y y0) e 1 2 ˛ 2(yy0) 2 其中 ˛ = qm!c „ = q qB „ , Hn 是 Hermite 多项式. 轨道中心坐标 先考虑经典情形. 带电粒子的位置 x x0 = r cos(!ct + ); y y0 = r sin(!ct + ) 粒子运动的速度 vx = !cr sin(!ct + ); vy = !cr cos(!ct + ) 所以可以说, 轨道中心的坐标是 x0 = x + vy !c ; y0 = y vx !c 它们都是运动常数. 类比到量子情形, 有 X0 = X + Vy !c ; Y0 = Y Vx !c 它们与哈密顿量对易, [X0; H] = [Y0; H] = 0 所以它们也是运动常数. 但是, X0 和 Y0 不对易, [X0; Y0] = i„ qB 因此, 轨道中心算子的 x 分量和 y 分量之间存在不确定关系, ∆X0 ∆Y0 > 1 2 1 qB 选择其它形式的 A, 会对结果产生怎样的影响呢? A = 1 2 R B = 1 2 BY ex + 1 2 BXey 7
速度算子Px.1qByPx1Vx =+or+-2mmm11qBPyPyV, =tX2mmmPzVz=m重新表示哈密顿量H= HI + H1+ma(x? +y2)Wc(P2 + P3) -HI=Lz+2m28PHI=2m其中L，是轨道角动量L的z方向上的分量.注意到[H1,H]=0单独考虑HL,令1(x? +y2)(P2 + P3)+ m(H2D=2m这相当于一个频率为的二维谐振子，而且[H2D,Lz]=0.因此H2D和L，有共同的本征态.引入升降算子ax,at,ay,a1-(x+i常),ay=(BY+i常)ax=2其中mwWcβ =0=Vh，2对易关系[ax,at] = [ay,a,] = 1下标不相同的对易子为零.H2D可以表示为H2D=(atax+a,ay+1)hw)本征态[onx,ny)-(at)"*(a)"[90.0)Inxny!本征值E2D=(n+1)ho,n=nx+ny轨道角动量L，可以表示为Lz =in(axa, -atay)定义(ax-iay),a2=(ax +iay)a1 :V2/2非零的对易子[a1,a] = [a2,a] = 18
速度算子 Vx = Px m + 1 2 qB m Y = Px m + 1 2 !cY Vy = Py m 1 2 qB m X = Py m 1 2 !cX V´ = P´ m 重新表示哈密顿量 H = H? + Hk H? = 1 2m (P 2 x + P 2 y ) !c 2 L´ + m!2 c 8 (X 2 + Y 2 ) Hk = 1 2m P 2 ´ 其中 L´ 是轨道角动量 L 的 ´ 方向上的分量. 注意到 [H?; Hk] = 0. 单独考虑 H?, 令 H2D = 1 2m (P 2 x + P 2 y ) + 1 2 m !c 2 2 (X 2 + Y 2 ) 这相当于一个频率为 !c 2 的二维谐振子, 而且 [H2D; L´] = 0. 因此 H2D 和 L´ 有共同的本征态. 引入升降算子 ax, a x, ay, a y, ax = 1 p 2 ˇX + i Px „ˇ ; ay = 1 p 2 ˇY + i Py „ˇ 其中 ˇ = r m! „ ; ! = !c 2 对易关系 [ax; a x ] = [ay; a y ] = 1 下标不相同的对易子为零. H2D 可以表示为 H2D = (a x ax + a y ay + 1)„! 本征态 ˇ ˇ'nx;ny ˛ = 1 p nx! ny! a x nx a y ny j'0;0i 本征值 E2D = (n + 1)„!; n = nx + ny 轨道角动量 L´ 可以表示为 L´ = i„(axa y a x ay) 定义 a1 = 1 p 2 (ax iay); a2 = 1 p 2 (ax + iay) 非零的对易子 [a1; a 1 ] = [a2; a 2 ] = 1 8
用ai和a2表示ax和ay，(ai+a2),ay=(a1-a2)ax=V2V2令==有WcH2D=(Ni+N2+1)hW,=2Lz=h(Ni-N2)SLHI=H2D-算子Ni和N2的本征值分别记作n1和n2，它们的取值都是0,1,2,....容易得到Hi的本征值hwcheEI=(n1+n2+1)--(n1-n2)-2hwe(n2+2可以看出，E1正好等于(9)式的第一项，考虑了H之后，哈密顿量的本征值仍然是(9),这是应该的，因为规范变换不会改变能量本征值（对比前面说过的结论：速度算子的本征值是规范不变的)。9
用 a1 和 a2 表示 ax 和 ay, ax = 1 p 2 (a1 + a2); ay = i p 2 (a1 a2) 令 N1 = a 1 a1, N2 = a 2 a2, 有 H2D = (N1 + N2 + 1)„!; ! = !c 2 L´ = „(N1 N2) H? = H2D !c 2 L´ 算子 N1 和 N2 的本征值分别记作 n1 和 n2, 它们的取值都是 0, 1, 2, . 容易得到 H? 的本征值 E? = (n1 + n2 + 1)„!c 2 (n1 n2) „!c 2 = n2 + 1 2 „!c 可以看出, E? 正好等于 (9) 式的第一项, 考虑了 Hk 之后, 哈密顿量的本征值仍然是 (9), 这是应该的, 因为规范变换不会 改变能量本征值 (对比前面说过的结论: 速度算子的本征值是规范不变的). 9