第三章双值量子系统凡是可以用两维复空间描述的量子系统都称为双值量子系统.包括自旋1/2的粒子，两能级系统等等.双值指的是，对这一类量子系统进行测量，得到的结果有且仅有两个，双值量子系统的量子态所在的空间是C2.纯态被表示为C2中的归一的向量，混合态被表示为C2上的密度矩阵C2中的纯态纯态）EC?，且《）=1.可以在自然基向量上表示为[)= Co0) + C1 /1),Co,C E C, [co/2 +[ci2 = 1有三个独立的实参数，[又可以写为1)=eisinge'?把山）表示为密度矩阵的形式，sin & cos & e-iocos2 =[)( cos? sin 号 cos号 eid进而用00=1,01=0，02=0，03=0展开，有1b=2(1 + 0α sin co s + sinO in + : cos )l+a·n1+0n22其中(sin cosgsinsinpcosng.n=on=rsincosp+oysinsin+o,cosg1
第三章 双值量子系统 凡是可以用两维复空间描述的量子系统都称为双值量子系统. 包括自旋 1/2 的粒子, 两能级系统等 等. 双值指的是, 对这一类量子系统进行测量, 得到的结果有且仅有两个. 双值量子系统的量子态所在的空间是 C 2 . 纯态被表示为 C 2 中的归一的向量, 混合态被表示为 C 2 上的密度矩阵. C 2 中的纯态 纯态 |𝜓⟩ ∈ C 2 , 且 ⟨𝜓|𝜓⟩ = 1. 可以在自然基向量上表示为 |𝜓⟩ = 𝑐0 |0⟩ + 𝑐1 |1⟩, 𝑐0, 𝑐1 ∈ C, |𝑐0| 2 + |𝑐1| 2 = 1 有三个独立的实参数. |𝜓⟩ 又可以写为 |𝜓⟩ = 𝑒 𝑖𝛾 ⎛ ⎝ cos 𝜃 2 𝑒 −𝑖 𝜑 2 sin 𝜃 2 𝑒 𝑖 𝜑 2 ⎞ ⎠ 把 |𝜓⟩ 表示为密度矩阵的形式, 𝜓 = |𝜓⟩⟨𝜓| = ⎛ ⎝ cos2 𝜃 2 sin 𝜃 2 cos 𝜃 2 𝑒 −𝑖𝜑 sin 𝜃 2 cos 𝜃 2 𝑒 𝑖𝜑 cos2 𝜃 2 ⎞ ⎠ 进而用 𝜎0 = ✶, 𝜎1 = 𝜎𝑥, 𝜎2 = 𝜎𝑦, 𝜎3 = 𝜎𝑧 展开, 有 𝜓 = 1 2 (✶ + 𝜎𝑥 sin 𝜃 cos 𝜑 + 𝜎𝑦 sin 𝜃 sin 𝜑 + 𝜎𝑧 cos 𝜃) = ✶ + 𝜎 · 𝑛 2 = ✶ + 𝜎𝑛 2 其中 𝑛 = (︁ sin 𝜃 cos 𝜑 sin 𝜃 sin 𝜑 cos 𝜃 )︁ 𝜎 · 𝑛 = 𝜎𝑛 = 𝜎𝑥 sin 𝜃 cos 𝜑 + 𝜎𝑦 sin 𝜃 sin 𝜑 + 𝜎𝑧 cos 𝜃 1
。[）是on的本征向量，记作|n+)，本征值为+1.n的另一个本征值为-1的本征向量是-singe-i号[n-) :(n+|n-)=0cos eie·n可以表示为on = [n+)<n-|可以表示为In±)(n±|= 1±on2·形象地说，n+)《n+/对应于R3中的向量n，n-)(n-|对应于R3中的向量-n在C2空间中两个正交的向量对应于R3中两个方向相反的单位向量C2中的混合态考虑两个纯态[1)和[2)分别以几率pi和p2混合，P1+p2=1.1=01)(bi=(1+·n1), b2=13b2)(2b2l=(1+·n2)2[1 +g · (pin1 + p2n2)] =(1 +g·r), [r| <1p=Pi1+p242=进而可以知道，任意的混合态都可以表示为1p=(1+α.r),reR, Irl≤1上式中的r称为Bloch向量.Bloch向量分布在R3中的单位球的表面及内部.这个单位球称为Bloch球.球面上的点对应于C2中的纯态，球内部的点对应于混合态.球心对应于最大混合态号球面上相对的两个点对应于两个正交的纯态对于C2上的混合态p，它的Bloch向量位于单位球内，有无穷多种分解形式.可以分解为纯态的凸和，也可以分解为混合态的凸和.本征分解是沿着Bloch向量r的直径的分解图1画出了Bloch球在rz平面上的截面.混合态对应于单位圆中的P点，Bloch向量为r.通过Bloch向量的直径是P+P-，这条直径对应于p的本征分解，点P+和P-分别表示p的两个本征值为+1和-1的本征向量.另外，可以通过点P任意画一条弦CD.点C和点D虽然表示两个纯态，但是它们不是e的本征向量.又可以画一个凸多边形（比如图中的△EFG)，P点在其内部，这个凸多边形的各个顶点以一定的权重进行平均之后，得到点PBloch向量前面说过，双值系统的量子态p可以用Bloch向量表示，p=(1+r.α).Bloch向量的三个分量rr=Tr(por),ry=Tr(poy),Tz=Tr(poz)2
• |𝜓⟩ 是 𝜎𝑛 的本征向量, 记作 |𝑛+⟩, 本征值为 +1. 𝜎𝑛 的另一个本征值为 −1 的本征向量是 |𝑛−⟩ = ⎛ ⎝ − sin 𝜃 2 𝑒 −𝑖 𝜑 2 cos 𝜃 2 𝑒 𝑖 𝜑 2 ⎞ ⎠ , ⟨𝑛 + |𝑛−⟩ = 0 • 𝜎𝑛 可以表示为 𝜎𝑛 = |𝑛+⟩⟨𝑛+| − |𝑛−⟩⟨𝑛−| |𝑛+⟩⟨𝑛+| 和 |𝑛−⟩⟨𝑛−| 可以表示为 |𝑛±⟩⟨𝑛±| = ✶ ± 𝜎𝑛 2 • 形象地说, |𝑛+⟩⟨𝑛+| 对应于 R 3 中的向量 𝑛, |𝑛−⟩⟨𝑛−| 对应于 R 3 中的向量 −𝑛. 在 C 2 空间中两个正交的向量对应于 R 3 中两个方向相反的单位向量. C 2 中的混合态 考虑两个纯态 |𝜓1⟩ 和 |𝜓2⟩ 分别以几率 𝑝1 和 𝑝2 混合, 𝑝1 + 𝑝2 = 1. 𝜓1 = |𝜓1⟩⟨𝜓1| = 1 2 (✶ + 𝜎 · 𝑛1), 𝜓2 = |𝜓2⟩⟨𝜓2| = 1 2 (✶ + 𝜎 · 𝑛2) 𝜌 = 𝑝1𝜓1 + 𝑝2𝜓2 = 1 2 [︀ ✶ + 𝜎 · (𝑝1𝑛1 + 𝑝2𝑛2) ]︀ = 1 2 (✶ + 𝜎 · 𝑟), |𝑟| < 1 进而可以知道, 任意的混合态都可以表示为 𝜌 = 1 2 (✶ + 𝜎 · 𝑟), 𝑟 ∈ R 3 , |𝑟| 6 1 上式中的 𝑟 称为 Bloch 向量. Bloch 向量分布在 R 3 中的单位球的表面及内部. 这个单位球称为 Bloch 球. 球面上的点对应于 C 2 中的纯态, 球内部的点对应于混合态. 球心对应于最大混合态 ✶ 2 . 球面上相对的两个点对应于两个正交的纯态. 对于 C 2 上的混合态 𝜌, 它的 Bloch 向量位于单位球内, 有无穷多种分解形式. 可以分解为纯态的凸 和, 也可以分解为混合态的凸和. 本征分解是沿着 Bloch 向量 𝑟 的直径的分解. 图 1 画出了 Bloch 球在 𝑥𝑧 平面上的截面. 混合态对应于单位圆中的 𝑃 点, Bloch 向量为 𝑟. 通过 Bloch 向量的直径是 𝑃+𝑃−, 这条直径对应于 𝜌 的本征分解, 点 𝑃+ 和 𝑃− 分别表示 𝜌 的两个本征值 为 +1 和 −1 的本征向量. 另外, 可以通过点 𝑃 任意画一条弦 𝐶𝐷. 点 𝐶 和点 𝐷 虽然表示两个纯 态, 但是它们不是 𝜌 的本征向量. 又可以画一个凸多边形 (比如图中的 △𝐸𝐹 𝐺), 𝑃 点在其内部, 这 个凸多边形的各个顶点以一定的权重进行平均之后, 得到点 𝑃. Bloch 向量 前面说过, 双值系统的量子态 𝜌 可以用 Bloch 向量表示, 𝜌 = 1 2 (✶ + 𝑟 · 𝜎). Bloch 向量 的三个分量 𝑟𝑥 = Tr(𝜌𝜎𝑥), 𝑟𝑦 = Tr(𝜌𝜎𝑦), 𝑟𝑧 = Tr(𝜌𝜎𝑧) 2
DX0G图 1 它们是Pauli矩阵在给定量子态p上的期望值，在实验上是可测的由p的表示p=（1+·r)，可以算出它的本征值和本征向量，1:11+2ron，r=rn,on=onp=2"n的本征分解形式on=|n+)《n+/-|n-)n-：p的本征值是1+r、1-r22相应的本征向量是[n+)，[n一1#"/n+)/n+/-1= /n-(n-l0=22还可以看到，当r=1时，本征值为1和0,对应于纯态，当r=0时，本征值是两个1/2，是最大混合态.Bloch向量的长度可以表征量子态的混合程度，或者说混乱度，或者说纯度（purity)对于C2上的两个纯态1和2，二者的内积的模方是[(1/42) [2 = Tr(132)Tr[(1+ n) (1 +-+ (o .- al1.1=2+eni-n23
O r P P₋ P₊ C D E G F x z 图 1 它们是 Pauli 矩阵在给定量子态 𝜌 上的期望值, 在实验上是可测的. 由 𝜌 的表示 𝜌 = 1 2 (✶ + 𝜎 · 𝑟), 可以算出它的本征值和本征向量, 𝜌 = 1 2 ✶ + 1 2 𝑟𝜎𝑛, 𝑟 = 𝑟𝑛, 𝜎𝑛 = 𝜎 · 𝑛 𝜎𝑛 的本征分解形式 𝜎𝑛 = |𝑛+⟩⟨𝑛+| − |𝑛−⟩⟨𝑛−| ∴ 𝜌 的本征值是 1 + 𝑟 2 , 1 − 𝑟 2 , 相应的本征向量是 |𝑛+⟩, |𝑛−⟩ 𝜌 = 1 + 𝑟 2 |𝑛+⟩⟨𝑛+| − 1 − 𝑟 2 |𝑛−⟩⟨𝑛−| 还可以看到, 当 𝑟 = 1 时, 本征值为 1 和 0, 对应于纯态, 当 𝑟 = 0 时, 本征值是两个 1/2, 是最大混 合态. Bloch 向量的长度可以表征量子态的混合程度, 或者说混乱度, 或者说纯度 (purity). 对于 C 2 上的两个纯态 𝜓1 和 𝜓2, 二者的内积的模方是 | ⟨𝜓1|𝜓2⟩ |2 = Tr(𝜓1𝜓2) = Tr [︂ 1 2 (✶ + 𝜎 · 𝑛1) 1 2 (✶ + 𝜎 · 𝑛2) ]︂ = 1 2 + 1 4 Tr [(𝜎 · 𝑛1) (𝜎 · 𝑛2)] = 1 2 + 1 2 𝑛1 · 𝑛2 3
其中最后一步用到(α.ni) (α·n2)=l1ni·n2+ig.(nixn2)对于两个混合态P1和P2，有11(1)T(pip2) =2 +2r1 r2这对应于两个矩阵的Hilbert-Schmidt（HS）范数（亦称为Frobenius范数）以及相应的内积IAll2 =IAlHs = VTr(AtA)(A, B) = Tr(At B)注ⅡA|2中下标2的意思是这样的.对于Cn上的某个矩阵X（未必是厄密的)，矩阵XtX一定是厄密的，而且XtX≥0.将XtX的本征值记作入，它们都是非负的.定义矩阵X的singularvaluesSisi=VN以此定义矩阵X的不同类型的范数IxI/p= (Zs)口例如IXll1=Z,sj，又被称为tracenorm.而IXll2=（,s)1/2就是上面说的HSnorm.对于两个纯态[1）和[2)，它们的内积的模方《102)12表示这两个态之间的重叠程度：如果二者相同（可以有整体相因子的差别)，那么「2=1，它们的重叠程度最大；如果二者正交，那么I<b1b2)12=0，二者没有重叠.这种看法亦可用于混合态p1和p2，不过需要稍作修正：当它们对应的Bloch向量的长度给定的时候，如果两个Bloch向量平行，那么重叠最大，如果反平行，则重叠最小.对于后者，不能说P1和P2正交，因为两个正交的混合态应该满足Tr(p1P2)=0.从(1)式可以看出，双值系统的混合态不可能正交——当r1和r2都小于1时，不可能有r1·r2=-1.双值系统量子态的演化可以用Bloch向量形象地表示，r(t).需要注意的是，Bloch向量只是量子态的一种表示形式，虽然rER3，但是这个R3与通常的三维欧氏空间E3有区别.考虑正交向量的不同描述就可以感受到二者的不同一对于Bloch向量而言，方向彼此相反的两个单位向量对应于两个正交的量子纯态，而在E3中，正交的两个向量就是通常说的垂直，夹角为90°因此，Bloch向量只是C2中的量子态的密度矩阵形式的形象描述.而且，还要指出的是，在采用Bloch向量描述l)EC2的时候，我们是不能知晓这个量子态的整体相位的.在谈论测量结果的几率分布或者Born规则的时候，量子态的整体相位不会对结果产生影响，但是，以后我们将会看到，在量子态的演化过程中，会出现一类不能用动力学过程解释的相位，是为几何相（或者说拓扑相)，在讨论这一类问题的时候，整体相位不但是有意义的，而且是很重要的4
其中最后一步用到 (𝜎 · 𝑛1) (𝜎 · 𝑛2) = ✶𝑛1 · 𝑛2 + 𝑖𝜎 · (𝑛1 × 𝑛2) 对于两个混合态 𝜌1 和 𝜌2, 有 Tr(𝜌1𝜌2) = 1 2 + 1 2 𝑟1 · 𝑟2 (1) 这对应于两个矩阵的 Hilbert-Schmidt (HS) 范数 (亦称为 Frobenius 范数) 以及相应的内积. ‖𝐴‖2 = ‖𝐴‖HS = √︀ Tr(𝐴†𝐴) (𝐴, 𝐵) = Tr(𝐴 †𝐵) 注 ‖𝐴‖2 中下标 2 的意思是这样的. 对于 C 𝑛 上的某个矩阵 𝑋 (未必是厄密的), 矩阵 𝑋†𝑋 一定是 厄密的, 而且 𝑋†𝑋 > 0. 将 𝑋†𝑋 的本征值记作 𝜆𝑖 , 它们都是非负的. 定义矩阵 𝑋 的 singular values 𝑠𝑖 𝑠𝑖 = √︀ 𝜆𝑖 以此定义矩阵 𝑋 的不同类型的范数 ‖𝑋‖𝑝 = (︁∑︁ 𝑗 𝑠 𝑝 𝑗 )︁1/𝑝 例如 ‖𝑋‖1 = ∑︀ 𝑗 𝑠𝑗 , 又被称为 trace norm. 而 ‖𝑋‖2 = (︀∑︀ 𝑗 𝑠 2 𝑗 )︀1/2 就是上面说的 HS norm. 对于两个纯态 |𝜓1⟩ 和 |𝜓2⟩, 它们的内积的模方 | ⟨𝜓1|𝜓2⟩ |2 表示这两个态之间的重叠程度: 如果二者 相同 (可以有整体相因子的差别), 那么 | ⟨𝜓1|𝜓2⟩ |2 = 1, 它们的重叠程度最大; 如果二者正交, 那么 | ⟨𝜓1|𝜓2⟩ |2 = 0, 二者没有重叠. 这种看法亦可用于混合态 𝜌1 和 𝜌2, 不过需要稍作修正: 当它们对应 的 Bloch 向量的长度给定的时候, 如果两个 Bloch 向量平行, 那么重叠最大, 如果反平行, 则重叠最 小. 对于后者, 不能说 𝜌1 和 𝜌2 正交, 因为两个正交的混合态应该满足 Tr(𝜌1𝜌2) = 0. 从 (1) 式可以 看出, 双值系统的混合态不可能正交 —— 当 𝑟1 和 𝑟2 都小于 1 时, 不可能有 𝑟1 · 𝑟2 = −1. 双值系统量子态的演化可以用 Bloch 向量形象地表示, 𝑟(𝑡). 需要注意的是, Bloch 向量只是量子态 的一种表示形式, 虽然 𝑟 ∈ R 3 , 但是这个 R 3 与通常的三维欧氏空间 E 3 有区别. 考虑正交向量的不 同描述就可以感受到二者的不同 —— 对于 Bloch 向量而言, 方向彼此相反的两个单位向量对应于 两个正交的量子纯态, 而在 E 3 中, 正交的两个向量就是通常说的垂直, 夹角为 90∘ . 因此, Bloch 向 量只是 C 2 中的量子态的密度矩阵形式的形象描述. 而且, 还要指出的是, 在采用 Bloch 向量描述 |𝜓⟩ ∈ C 2 的时候, 我们是不能知晓这个量子态的整体相位的. 在谈论测量结果的几率分布或者 Born 规则的时候, 量子态的整体相位不会对结果产生影响, 但是, 以后我们将会看到, 在量子态的演化过 程中, 会出现一类不能用动力学过程解释的相位, 是为几何相 (或者说拓扑相), 在讨论这一类问题 的时候, 整体相位不但是有意义的, 而且是很重要的. 4
C2上的厄密矩阵厄密矩阵A=At，假设它对应于某个力学量力学量A被表示为2×2米矩阵，可以在1，0（i=1,2.3）上展开，且展开系数均为实数A=ao+a101+a202+a303(A),ai=2Tr(Ao.)ao=2其中的单位矩阵意义不大，可以略去，从而(2)A=a101+a202+a303=a0n这里a=Va+?+，on是n方向上的泡利矩阵，即on=n·a，而方向n是42, 43n=或者用球坐标中的角度和中表示，n = (sincosΦ, sinsinp, cos)于是被测力学量A的两个本征值是+a和-a，相应的本征向量是|n+和|n一)cos 号e-i号sin曼e-i号[n+) =singeitei(2)式的被测力学量又可以写为A=a|n+)(n+/-a|n-)(n-l这里看到这样一个事实，C2中的任何一个向量都是某个厄密矩阵的本征向量通过上面的过程可以看到，an是C2上的厄密矩阵（或者说观测量）的典型代表A的本征向量可以作为C2的基向量，就是A表象.可以另有B表象，C表象等等.在不同的表象中量子态有不同的表示形式接着从酉变换的角度讨论酉矩阵。复空间上的酉变换可以类比于实空间上的正交变换，共同的特点是保证向量的长度和两个向量的内积不变.在量子力学中，我们关心的不仅仅是两个态失量的内积，而且更注重它们的内积的模方一一这对应于几率或者两个量子态之间的重叠程度5
C 2 上的厄密矩阵 厄密矩阵 𝐴 = 𝐴† , 假设它对应于某个力学量. 力学量 𝐴 被表示为 2 × 2 厄米矩阵, 可以在 ✶, 𝜎𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3) 上展开, 且展开系数均为实数. 𝐴 = 𝑎0✶ + 𝑎1𝜎1 + 𝑎2𝜎2 + 𝑎3𝜎3, 𝑎0 = 1 2 Tr(𝐴), 𝑎𝑖 = 1 2 Tr(𝐴𝜎𝑖) 其中的单位矩阵意义不大, 可以略去, 从而 𝐴 = 𝑎1𝜎1 + 𝑎2𝜎2 + 𝑎3𝜎3 = 𝑎𝜎𝑛 (2) 这里 𝑎 = √︀ 𝑎 2 1 + 𝑎 2 2 + 𝑎 2 3 , 𝜎𝑛 是 𝑛 方向上的泡利矩阵, 即 𝜎𝑛 = 𝑛 · 𝜎, 而方向 𝑛 是 𝑛 = (︁𝑎1 𝑎 , 𝑎2 𝑎 , 𝑎3 𝑎 )︁ 或者用球坐标中的角度 𝜃 和 𝜑 表示, 𝑛 = (sin 𝜃 cos 𝜑, sin 𝜃 sin 𝜑, cos 𝜃) 于是被测力学量 𝐴 的两个本征值是 +𝑎 和 −𝑎, 相应的本征向量是 |𝑛+⟩ 和 |𝑛−⟩, |𝑛+⟩ = ⎛ ⎝ cos 𝜃 2 𝑒 −𝑖 𝜑 2 sin 𝜃 2 𝑒 𝑖 𝜑 2 ⎞ ⎠ , |𝑛−⟩ = ⎛ ⎝ − sin 𝜃 2 𝑒 −𝑖 𝜑 2 cos 𝜃 2 𝑒 𝑖 𝜑 2 ⎞ ⎠ (2) 式的被测力学量又可以写为 𝐴 = 𝑎 |𝑛+⟩⟨𝑛+| − 𝑎 |𝑛−⟩⟨𝑛−| 这里看到这样一个事实, C 2 中的任何一个向量都是某个厄密矩阵的本征向量. 通过上面的过程可以看到, 𝜎𝑛 是 C 2 上的厄密矩阵 (或者说观测量) 的典型代表. 𝐴 的本征向量可以作为 C 2 的基向量, 就是 A 表象. 可以另有 B 表象, C 表象等等. 在不同的表象 中量子态有不同的表示形式. 接着从酉变换的角度讨论酉矩阵. 复空间上的酉变换可以类比于实空间上的正交变换, 共同的特点 是保证向量的长度和两个向量的内积不变. 在量子力学中, 我们关心的不仅仅是两个态矢量的内积, 而且更注重它们的内积的模方 —— 这对应于几率或者两个量子态之间的重叠程度. 5
C2上的酉矩阵酉变换的生成元讨论生成元的目的是：将酉变换的生成元对应于厄米算子；生成元之间的对易关系构成了Lie代数简单地，设酉算子U的参数是S，即U(s)，构成单参数Lie群.有单位元，满足乘法规则，有逆元，即U(0) = 1, U(si)U(s2) = U(si + s2), U-1(s) = U(-s) = Ut(s),分析生成元就是考虑无穷小变换.设s→0dUU(s) = 1 +s+ds Is=0dut[dUUut = 1+Sdsds=0(3)dU是反厄密的..dsIs=0dU=iK,K= Kt.ds$=0K是U(s)的生成元.有限大小的酉变换U(s）可以表示为U(s) =eisK在以后的讨论中，K可以是Hamiltonian，动量，角动量，酉变换的参数可以不只一个，以前说过，C2上的SU(2)变换可以表示为U(4)a/2 + [6/2 = 1而U(2）变换多了一个相因子ei%.以下我们主要讨论SU(2)变换（4).将它重新表示为sinaeincosaeisaeo,]U:(5)2cosQe-isinae-in接着，如果将（3）式所示过程用于上述形式的U推导出生成元，那么只能得到两个生成元（自已算一下).原因在于，在参数空间的某些区域，（5）式的参数化形式与群操作不是一一对应的．单位变换对应于α=0,=0,0≤n<2元.因此，不能从这一形式中得到变换的生成元.为了得到SU(2）变换的生成元，采用如下形式的参数表示.在（4)式中，a=a1+ia2，b=b1+ib2，6
C 2 上的酉矩阵 酉变换的生成元 讨论生成元的目的是: 将酉变换的生成元对应于厄米算子; 生成元之间的对易关 系构成了 Lie 代数. 简单地, 设酉算子 𝑈 的参数是 𝑠, 即 𝑈(𝑠), 构成单参数 Lie 群. 有单位元, 满足乘法规则, 有逆元, 即 𝑈(0) = ✶, 𝑈(𝑠1)𝑈(𝑠2) = 𝑈(𝑠1 + 𝑠2), 𝑈 −1 (𝑠) = 𝑈(−𝑠) = 𝑈 † (𝑠). 分析生成元就是考虑无穷小变换. 设 𝑠 → 0, 𝑈(𝑠) = ✶ + 𝑑𝑈 𝑑𝑠 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑠=0 𝑠 + · · · . 𝑈𝑈† = ✶ + [︂ 𝑑𝑈 𝑑𝑠 + 𝑑𝑈† 𝑑𝑠 ]︂⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑠=0 𝑠 + · · · . ∴ 𝑑𝑈 𝑑𝑠 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑠=0 是反厄密的. 𝑑𝑈 𝑑𝑠 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑠=0 = 𝑖𝐾, 𝐾 = 𝐾† . (3) 𝐾 是 𝑈(𝑠) 的生成元. 有限大小的酉变换 𝑈(𝑠) 可以表示为 𝑈(𝑠) = 𝑒 𝑖𝑠𝐾 在以后的讨论中, 𝐾 可以是 Hamiltonian, 动量, 角动量. 酉变换的参数可以不只一个. 以前说过, C 2 上的 SU(2) 变换可以表示为 𝑈 = ⎛ ⎝ 𝑎 𝑏 −𝑏 * 𝑎 * ⎞ ⎠ , |𝑎| 2 + |𝑏| 2 = 1 (4) 而 U(2) 变换多了一个相因子 𝑒 𝑖𝛾 . 以下我们主要讨论 SU(2) 变换 (4). 将它重新表示为 𝑈 = ⎛ ⎝ cos 𝛼𝑒𝑖𝜉 sin 𝛼𝑒𝑖𝜂 − sin 𝛼𝑒−𝑖𝜂 cos 𝛼𝑒−𝑖𝜉 ⎞ ⎠ , 𝛼 ∈ [︁ 0, 𝜋 2 ]︁ (5) 接着, 如果将 (3) 式所示过程用于上述形式的 𝑈 推导出生成元, 那么只能得到两个生成元 (自己算 一下). 原因在于, 在参数空间的某些区域, (5) 式的参数化形式与群操作不是一一对应的. 单位变换 对应于 𝛼 = 0, 𝜉 = 0, 0 6 𝜂 < 2𝜋. 因此, 不能从这一形式中得到变换的生成元. 为了得到 SU(2) 变换的生成元, 采用如下形式的参数表示. 在 (4) 式中, 𝑎 = 𝑎1 + 𝑖𝑎2, 𝑏 = 𝑏1 + 𝑖𝑏2, 6
其中a1,a2,b1,b2都是实数，并且az++b+b=1,令11br=22,b2=a2=23,22++)11当然，这些需满足++≤4.单位变换唯一地对应于1=2=3=0.接着可以得到如下三个生成元，，Gz=( )，Ga=(。G1这几个生成元是反厄密的，乘以一i，变为厄密的，对应于Pauli矩阵，对易关系是[%%]=12.2]C2上的酉变换都可以视为旋转变换，原因是：·C?上的任意一个厄密矩阵本质上是n·α=on·酉变换（5）的三个生成元的对易关系满足角动量的三个分量之间的对易关系，当空间的维数>2，就没有这样的结论了，C2上的酉矩阵前面说过，C2上的酉变换可以表示为cos Qe'ssinaeiUcosae-sinae-in这是SU(2）变换，如果再添上一个整体相因子，就构成了U(2)变换前面还说过，在C2空间中，任意的厄密矩阵本质上都对应于某个αn，因此，C2上的酉变换都可以视为旋转变换，变换的生成元是on.首先考虑一个相对简单的变换，绕2轴转动角度Φ，这句话的数学表示是U(z，）=e-冲，我们希望将它写为容易计算的矩阵形式U(z,9) = e-i号0:(-i)20(-i)31 +(-i)T-0-2!23!7
其中 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 都是实数, 并且 𝑎 2 1 + 𝑎 2 2 + 𝑏 2 1 + 𝑏 2 2 = 1, 令 𝑎2 = 1 2 𝑥3, 𝑏1 = 1 2 𝑥2, 𝑏2 = 1 2 𝑥1 𝑎1 = √︂ 1 − 1 4 (𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 + 𝑥 2 3 ) 当然, 这些 𝑥𝑖 需满足 𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 + 𝑥 2 3 6 4. 单位变换唯一地对应于 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 0. 接着可以得到如下三个生成元, 𝐺1 = 1 2 ⎛ ⎝ 0 𝑖 𝑖 0 ⎞ ⎠ , 𝐺2 = 1 2 ⎛ ⎝ 0 1 −1 0 ⎞ ⎠ , 𝐺3 = 1 2 ⎛ ⎝ 𝑖 0 0 −𝑖 ⎞ ⎠ , 这几个生成元是反厄密的, 乘以 −𝑖, 变为厄密的, 对应于 Pauli 矩阵, 对易关系是 [︁ 𝜎𝑥 2 , 𝜎𝑦 2 ]︁ = 𝑖 𝜎𝑧 2 , · · · · · · C 2 上的酉变换都可以视为旋转变换, 原因是: • C 2 上的任意一个厄密矩阵本质上是 𝑛 · 𝜎 = 𝜎𝑛. • 酉变换 (5) 的三个生成元的对易关系满足角动量的三个分量之间的对易关系. 当空间的维数 > 2, 就没有这样的结论了. C 2 上的酉矩阵 前面说过, C 2 上的酉变换可以表示为 𝑈 = ⎛ ⎝ cos 𝛼𝑒𝑖𝜉 sin 𝛼𝑒𝑖𝜂 − sin 𝛼𝑒−𝑖𝜂 cos 𝛼𝑒−𝑖𝜉 ⎞ ⎠ , 𝛼 ∈ [︁ 0, 𝜋 2 ]︁ 这是 SU(2) 变换, 如果再添上一个整体相因子, 就构成了 U(2) 变换. 前面还说过, 在 C 2 空间中, 任意的厄密矩阵本质上都对应于某个 𝜎𝑛, 因此, C 2 上的酉变换都可以 视为旋转变换, 变换的生成元是 1 2 𝜎𝑛. 首先考虑一个相对简单的变换, 绕 𝑧 轴转动角度 𝜑, 这句话的数学表示是 𝑈(𝑧, 𝜑) = 𝑒 −𝑖𝜑 𝜎𝑧 2 , 我们希 望将它写为容易计算的矩阵形式 𝑈(𝑧, 𝜑) = 𝑒 −𝑖 𝜑 2 𝜎𝑧 = ✶ + (−𝑖) 𝜑 2 𝜎𝑧 + (−𝑖) 2 2! (︂ 𝜑 2 )︂2 𝜎 2 𝑧 + (−𝑖) 3 3! (︂ 𝜑 2 )︂3 𝜎 3 𝑧 + · · · 7
od= 1 cosio,sin22然后，一般地，绕n方向旋转角度β,BBU(n,β) = e-i号an = l cosionsin22这里，注意到这样一个事实，旋转角度4元才是单位变换4元4元T=1-ionsinU(n, 4π) = 1 cos22而旋转2元的结果是－1，会对量子态带来元的相位差.这不同于刚体在R3空间中的旋转——2元的旋转使其位置形态回到原初对量子态的变换先是一个简单的例子.让U(z,Φ）作用于[0)一遇遇10U(z,Φ) [0) :0e号变换前后，有整体的相因子的差别.如果写出密度矩阵的形式，则看不出任何变化.在密度矩阵的表示中，Jo）的Bloch向量是方向上的单位向量，绕z轴旋转，不会有任何变化.这也说明，Bloch向量不能反映一个纯态的全貌，接着让U(z,d)作用于[+)=(10)+{1),结果是U(z,Φ) [r+) =V2写出结果的密度矩阵的形式，容易看到，它的Bloch向量位于ry平面内，且与r轴的夹角是o.所以，C2上的酉变换可以形象地用Bloch向量在R3上的SO(3）变换来描述.不过提请注意的是，后者不能体现整体相位的变化对矩阵的变换在我们的叙述中，矩阵的身份是算子，对矩阵的变换应该就是超算子设是Cn上的一个矩阵，那么对它的酉变换是Xuxut看一个简单的例子，用U（z,）作用于，U(z, d)orUt(z, )oie福(7)Orcoso+oysinp08
= ✶ cos 𝜑 2 − 𝑖𝜎𝑧 sin 𝜑 2 然后, 一般地, 绕 𝑛 方向旋转角度 𝛽, 𝑈(𝑛, 𝛽) = 𝑒 −𝑖 𝛽 2 𝜎𝑛 = ✶ cos 𝛽 2 − 𝑖𝜎𝑛 sin 𝛽 2 这里, 注意到这样一个事实, 旋转角度 4𝜋 才是单位变换, 𝑈(𝑛, 4𝜋) = ✶ cos 4𝜋 2 − 𝑖𝜎𝑛 sin 4𝜋 2 = ✶ 而旋转 2𝜋 的结果是 −✶, 会对量子态带来 𝜋 的相位差. 这不同于刚体在 R 3 空间中的旋转 —— 2𝜋 的旋转使其位置形态回到原初. 对量子态的变换 先是一个简单的例子. 让 𝑈(𝑧, 𝜑) 作用于 |0⟩, 𝑈(𝑧, 𝜑)|0⟩ = ⎛ ⎝ 𝑒 −𝑖 𝜑 2 0 0 𝑒 𝑖 𝜑 2 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 1 0 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ 𝑒 −𝑖 𝜑 2 0 ⎞ ⎠ = 𝑒 −𝑖 𝜑 2 |0⟩ 变换前后, 有整体的相因子的差别. 如果写出密度矩阵的形式, 则看不出任何变化. 在密度矩阵的表 示中, |0⟩ 的 Bloch 向量是 𝑧 方向上的单位向量, 绕 𝑧 轴旋转, 不会有任何变化. 这也说明, Bloch 向 量不能反映一个纯态的全貌. 接着让 𝑈(𝑧, 𝜑) 作用于 |𝑥+⟩ = √ 1 2 (|0⟩ + |1⟩), 结果是 𝑈(𝑧, 𝜑)|𝑥+⟩ = 1 √ 2 ⎛ ⎝ 𝑒 −𝑖 𝜑 2 𝑒 𝑖 𝜑 2 ⎞ ⎠ 写出结果的密度矩阵的形式, 容易看到, 它的 Bloch 向量位于 𝑥𝑦 平面内, 且与 𝑥 轴的夹角是 𝜑. 所 以, C 2 上的酉变换可以形象地用 Bloch 向量在 R 3 上的 SO(3) 变换来描述. 不过提请注意的是, 后 者不能体现整体相位的变化. 对矩阵的变换 在我们的叙述中, 矩阵的身份是算子, 对矩阵的变换应该就是超算子. 设 𝑥 是 C 𝑛 上的一个矩阵, 那么对它的酉变换是 𝑋 −→ 𝑈𝑋𝑈† 看一个简单的例子, 用 𝑈(𝑧, 𝜑) 作用于 𝜎𝑥, 𝑈(𝑧, 𝜑)𝜎𝑥𝑈 † (𝑧, 𝜑) = ⎛ ⎝ 𝑒 −𝑖 𝜑 2 0 0 𝑒 𝑖 𝜑 2 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 0 1 1 0 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 𝑒 𝑖 𝜑 2 0 0 𝑒 −𝑖 𝜑 2 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ 0 𝑒 −𝑖𝜑 𝑒 𝑖𝜑 0 ⎞ ⎠ = 𝜎𝑥 cos 𝜑 + 𝜎𝑦 sin 𝜑 (7) 8
就像是将方向上的向量绕轴转动了角度设m是R3中的单位向量，位于cy平面内，m=(cosΦ sing 0在m方向上的Pauli矩阵是Om=OrcosΦ+oysin又可以写为am=ar(1cosΦ+io,sing)=(lcos@-ig,sind)o注意到cos±io sin=ei:于是有m=rei0o:=e-i0o-ga再利用和，之间的反对易关系，有Oe:e:e0m可以表示为m=e-igo:gre'2o其中酉变换e-i的意思很明确：绕z轴转动角度Φ.从αa到am的变换就像是把a方向上的单位向量转到m更一般地，考虑on=α·n，其中方向矢量n的球坐标是和n=e-20o:e-100yg2et00vet00(8)酉变换e-=e-oy的操作过程也是很形象的：先绕y轴转动e，然后绕z轴转动Φ.如果在R3空间中，这个变换将e旋转到n.(8）式当然可以通过矩阵的相乘直接验证.酉变换U以超算子的身份作用于矩阵X，形式是Xuxut如果换着向量的形式，则是[x) → (UαU*)/x)(U(z, Φ) β U*(z, Φ) [z)9
就像是将 𝑥 方向上的向量绕 𝑧 轴转动了角度 𝜑. 设 𝑚 是 R 3 中的单位向量, 位于 𝑥𝑦 平面内, 𝑚 = (︁ cos 𝜑 sin 𝜑 0 )︁ 在 𝑚 方向上的 Pauli 矩阵是 𝜎𝑚 = 𝜎𝑥 cos 𝜑 + 𝜎𝑦 sin 𝜑 又可以写为 𝜎𝑚 = 𝜎𝑥(✶ cos 𝜑 + 𝑖𝜎𝑧 sin 𝜑) = (✶ cos 𝜑 − 𝑖𝜎𝑧 sin 𝜑)𝜎𝑥 注意到 ✶ cos 𝜑 ± 𝑖𝜎𝑧 sin 𝜑 = 𝑒 ±𝑖𝜑𝜎𝑧 于是有 𝜎𝑚 = 𝜎𝑥𝑒 𝑖𝜑𝜎𝑧 = 𝑒 −𝑖𝜑𝜎𝑧 𝜎𝑥 再利用 𝜎𝑥 和 𝜎𝑧 之间的反对易关系, 有 𝜎𝑥𝑒 𝑖𝜑𝜎𝑧 = 𝑒 −𝑖𝜑𝜎𝑧 𝜎𝑥 = 𝑒 −𝑖 𝜑 2 𝜎𝑧 𝜎𝑥𝑒 𝑖 𝜑 2 𝜎𝑧 𝜎𝑚 可以表示为 𝜎𝑚 = 𝑒 −𝑖 𝜑 2 𝜎𝑧 𝜎𝑥𝑒 𝑖 𝜑 2 𝜎𝑧 其中酉变换 𝑒 −𝑖 𝜑 2 𝜎𝑧 的意思很明确: 绕 𝑧 轴转动角度 𝜑. 从 𝜎𝑥 到 𝜎𝑚 的变换就像是把 𝑥 方向上的单 位向量转到 𝑚. 更一般地, 考虑 𝜎𝑛 = 𝜎 · 𝑛, 其中方向矢量 𝑛 的球坐标是 𝜃 和 𝜑. 𝜎𝑛 = 𝑒 − 𝑖 2 𝜑𝜎𝑧 𝑒 − 𝑖 2 𝜃𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝑒 𝑖 2 𝜃𝜎𝑦 𝑒 𝑖 2 𝜑𝜎𝑧 (8) 酉变换 𝑒 − 𝑖 2 𝜑𝜎𝑧 𝑒 − 𝑖 2 𝜃𝜎𝑦 的操作过程也是很形象的: 先绕 𝑦 轴转动 𝜃, 然后绕 𝑧 轴转动 𝜑. 如果在 R 3 空 间中, 这个变换将 𝑒𝑧 旋转到 𝑛. (8) 式当然可以通过矩阵的相乘直接验证. 酉变换 𝑈 以超算子的身份作用于矩阵 𝑋, 形式是 𝑋 −→ 𝑈𝑋𝑈† 如果换着向量的形式, 则是 |𝑋⟩ −→ (𝑈 ⊗ 𝑈 * )|𝑋⟩ (︀ 𝑈(𝑧, 𝜑) ⊗ 𝑈 * (𝑧, 𝜑) )︀ |𝜎𝑥⟩ 9
0Dt0I0000将最后结果还原为矩阵形式，就是（7）式给出的结果前面已经看到，对于C2的厄密算子的典型代表on，在酉矩阵的作用下，变换过程有形象的几何描述：就像是与n相关的单位向量n在R3空间上的旋转变换.由此可以给出C2中的量子态的密度矩阵形式在酉变换下的几何描述，即Bloch向量的旋转变换I(l+r·g)0=2→ U(n,β)pUt(n,β)~ SO(3)rotation, R(n,β)r一般地，Baker-Hausdorff公式eA Be-A = B +[A, B] + [[4, [4, B]] + [4,[4,[4, BI] + 注意eA+B一般不等于eAeB.如果[A,[A, B] =[B,[A,B] =0, 那么有eA+B = eAeBe-{[A,B],最后强调指出，虽然在C?上的酉变换可以当作旋转变换来考虑，但是，在更高维的空间中，这种看法是不成立的.以C3空间为例.特殊酉变换构成SU(3）群，它有9个生成元，可以表示为3×3的厄密矩阵.其中一种表示形式是Gell-Mann矩阵，形成su(3）代数.在这九个生成元中，有三个构成了其中的子代数，它们之间的对易关系就是我们说的旋转变换的生成元应该满足的代数关系.显然，在这种情形下，酉变换是更为一般的变换，旋转变换虽然是酉变换，但只是其中的一个子群在以后讨论自旋为1的粒子的时候，会说到它的自旋角动量的表示.三个分量的矩阵形式是70(010)(100-i 0hrS(9)100S=h000Su一2V2V20i0(00-1)010如果采用Gell-Mann矩阵，则是(00000Sr=h00Sy=h(10)Sz=h00loi0i00000它们的形式不同，原因是采用了不同的表象，而且，不论是（9）式还是（10）式的表示，都满足[Sr, Sy] = ihSz,10
= ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 0 0 𝑒 −𝑖𝜑 0 0 0 0 𝑒 𝑖𝜑 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 1 1 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 将最后结果还原为矩阵形式, 就是 (7) 式给出的结果. 前面已经看到, 对于 C 2 的厄密算子的典型代表 𝜎𝑛, 在酉矩阵的作用下, 变换过程有形象的几何描 述: 就像是与 𝜎𝑛 相关的单位向量 𝑛 在 R 3 空间上的旋转变换. 由此可以给出 C 2 中的量子态的密 度矩阵形式在酉变换下的几何描述, 即 Bloch 向量的旋转变换. 𝜌 = 1 2 (✶ + 𝑟 · 𝜎) → 𝑈(𝑛, 𝛽)𝜌𝑈† (𝑛, 𝛽) ∼ SO(3)rotation, 𝑅(𝑛, 𝛽)𝑟 一般地, Baker-Hausdorff 公式 𝑒 𝐴𝐵𝑒−𝐴 = 𝐵 + [𝐴, 𝐵] + 1 2![𝐴, [𝐴, 𝐵]] + 1 3![𝐴, [𝐴, [𝐴, 𝐵]]] + · · · 注意 𝑒 𝐴+𝐵 一般不等于 𝑒 𝐴𝑒 𝐵. 如果 [𝐴, [𝐴, 𝐵]] = [𝐵, [𝐴, 𝐵]] = 0, 那么有 𝑒 𝐴+𝐵 = 𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 𝑒 − 1 2 [𝐴,𝐵] . 最后强调指出, 虽然在 C 2 上的酉变换可以当作旋转变换来考虑, 但是, 在更高维的空间中, 这种看 法是不成立的. 以 C 3 空间为例. 特殊酉变换构成 SU(3) 群, 它有 9 个生成元, 可以表示为 3 × 3 的 厄密矩阵. 其中一种表示形式是 Gell-Mann 矩阵, 形成 su(3) 代数. 在这九个生成元中, 有三个构成 了其中的子代数, 它们之间的对易关系就是我们说的旋转变换的生成元应该满足的代数关系. 显然, 在这种情形下, 酉变换是更为一般的变换, 旋转变换虽然是酉变换, 但只是其中的一个子群. 在以后讨论自旋为 1 的粒子的时候, 会说到它的自旋角动量的表示. 三个分量的矩阵形式是 𝑆𝑥 = ~ √ 2 ⎛ ⎜⎜⎝ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ⎞ ⎟⎟⎠ , 𝑆𝑦 = ~ √ 2 ⎛ ⎜⎜⎝ 0 −𝑖 0 𝑖 0 −𝑖 0 𝑖 0 ⎞ ⎟⎟⎠ , 𝑆𝑧 = ~ ⎛ ⎜⎜⎝ 1 0 0 0 0 0 0 0 −1 ⎞ ⎟⎟⎠ (9) 如果采用 Gell-Mann 矩阵, 则是 𝑆𝑥 = ~ ⎛ ⎜⎜⎝ 0 0 0 0 0 −𝑖 0 𝑖 0 ⎞ ⎟⎟⎠ , 𝑆𝑦 = ~ ⎛ ⎜⎜⎝ 0 0 𝑖 0 0 0 −𝑖 0 0 ⎞ ⎟⎟⎠ , 𝑆𝑧 = ~ ⎛ ⎜⎜⎝ 0 −𝑖 0 𝑖 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎠ (10) 它们的形式不同, 原因是采用了不同的表象, 而且, 不论是 (9) 式还是 (10) 式的表示, 都满足 [𝑆𝑥, 𝑆𝑦] = 𝑖~𝑆𝑧, · · · · · · 10