第七章粒子在位置空间中的运动ⅢStern-Gerlach实验将SG实验过程简化并抽象为如下描述（图1).自旋1/2粒子经过了SG(z）装置，其中的磁场是(1)Bx=By=0,Bz=zB这里，B'是磁场沿z方向的梯度.当然，这样的磁场是不存在的，因为√·B≠0.更严格地，可以把磁场的分量写为Bx=-xB',By=0,Bz=Bo+zB这里，Bo是一个常数.在实际情况中，B。》Bx，这导致磁矩在xy平面内的分量以很大的角速度绕z轴旋转，由于非零的Bx导致的粒子的受力的平均效果近乎为零.因此，我们可以简单地考虑（1）式的磁场，把自旋粒子的哈密顿量表示为一u·B=-μ2B2，进而写为(2)H=-2gS28Z=-g02Z这里我们令=1.常数8包含了粒子的质量、电荷、磁场的梯度等物理量，描述了粒子的自旋自由度和空间自由度之间的耦合强度.在哈密顿量的表达式（2）中，我们采用了直积符号联系自旋力学量，和空间位置力学量Z，这是为了提醒我们这两个力学量分属不同的自由度，需要不同的Hilbert空间来描述.描述αz的是两维复空间C2，描述Z的则是无限维的连续的Hilbert空间.当然，粒子的量子态也是由这两部分构成的.我们假设粒子的初态具有直积态的形式，即(3)(0))=[))这里|）表示粒子的自旋量子态，l）=co[0)+c[1)而l）表示与空间自由度相关的量子态，可以在位置表象中写为空间位置的波函数(x,y,z)，也可以在动量空间中写为动量波函数(px，Py，P2).粒子的量子态随时间的演化由酉变换U(t）决定，U(t)=e-iHt=eigto:@z(4)我们关注的被测力学量是Sz，或者说是z，希望从粒子的波函数给出几率分布推知被测力学量取值αz取值土1的几率以及期望值在确定ls）的具体形式之前，可以先在Heisenberg图像中计算一下粒子的位置算符和动量算符随时间的变化情况.容易看到，粒子的位置算符R=（X,Y,Z）与H对易，它们是守恒量.动量算符Px和P也是守恒量故只需要考虑P，随时间的变化，将Pz表示为1P(1 @ Pz)(t) = Ut(t)(1 P2)U(t)1
第七章 粒子在位置空间中的运动 III Stern-Gerlach 实验 将 SG 实验过程简化并抽象为如下描述 (图 1). 自旋 1/2 粒子经过了 SG(z) 装置, 其中的磁场是 Bx = By = 0; Bz = zB0 (1) 这里, B 0 是磁场沿 z 方向的梯度. 当然, 这样的磁场是不存在的, 因为 r B ¤ 0. 更严格地, 可以把磁场的分量写 为 Bx = xB0 ; By = 0; Bz = B0 + zB0 这里, B0 是一个常数. 在实际情况中, B0 Bx, 这导致磁矩在 xy 平面内的分量以很大的角速度绕 z 轴旋转, 由 于非零的 Bx 导致的粒子的受力的平均效果近乎为零. 因此, 我们可以简单地考虑 (1) 式的磁场, 把自旋粒子的哈 密顿量表示为 B = zBz, 进而写为 H = 2gSz ˝ Z = gz ˝ Z (2) 这里我们令 „ = 1. 常数 g 包含了粒子的质量、电荷、磁场的梯度等物理量, 描述了粒子的自旋自由度和空间自 由度之间的耦合强度. 在哈密顿量的表达式 (2) 中, 我们采用了直积符号 ˝ 联系自旋力学量 z 和空间位置力学 量 Z, 这是为了提醒我们这两个力学量分属不同的自由度, 需要不同的 Hilbert 空间来描述. 描述 z 的是两维复 空间 C2 , 描述 Z 的则是无限维的连续的 Hilbert 空间. 当然, 粒子的量子态也是由这两部分构成的. 我们假设粒 子的初态具有直积态的形式, 即 jΨ(0)i = j i ˝ j'i (3) 这里 j i 表示粒子的自旋量子态, j i = c0 j0i + c1 j1i. 而 j'i 表示与空间自由度相关的量子态, 可以在位置表象 中写为空间位置的波函数 '(x; y; z), 也可以在动量空间中写为动量波函数 '(px; py; pz). 粒子的量子态随时间的 演化由酉变换 U(t) 决定, U(t) = e iH t = e igt z˝Z (4) 我们关注的被测力学量是 Sz, 或者说是 z, 希望从粒子的波函数给出几率分布推知被测力学量取值 z 取值 ˙1 的几率以及期望值. 在确定 j'i 的具体形式之前, 可以先在 Heisenberg 图像中计算一下粒子的位置算符和动量算符随时间的变化情 况. 容易看到, 粒子的位置算符 R = (X; Y; Z) 与 H 对易, 它们是守恒量. 动量算符 Px 和 Py 也是守恒量. 故只 需要考虑 Pz 随时间的变化, 将 Pz 表示为 1 ˝ Pz (1 ˝ Pz)(t) = U (t)(1 ˝ Pz)U(t) 1
2之y图1：SG实验示意图：非均匀磁场的梯度为z方向，自旋1/2粒子穿过磁场区域后分为向上和向下偏转的两束=1@P,+[-igto,@Z,1αP.]1+ [-igto. @ Z,[-igto: @Z,1 P.] +..(5)=1 α P, +gt(az@1)式（5）建立了t时刻动量P，的期望值与测量力学量在初态中的期望值之间的联系，即(Pz)(t) = (P2)(0) +gt(αz)(0)我们希望知道的正是(αz)(0)，它就是(o-)(0) = (P-)(0) - (P)(0) (6)gt上述推导意谓着，我们需要考虑粒子的动量的期望值的变化，于是很自然地，应该选择动量表象描述l)现在选择动量表象，ls）被表示为动量波函数(p）=(px,Py,Pz)，而酉变换U(t)中的位置算符z则要表示为i品，我们已经设定=1，故Z→i品，在酉变换U(t)的作用下，有[亚(t))=U(t) (0)= elglo:8z[(co 10) + ci [1) 8 [0)]在动量表象中,l)应该表示为l)=dp(p)lp),下面我们简单地只写lp)上分量(p)ag(p)= (co [0) + ci /1)(p) + igt(co l0) ci /1)iapz(igt)2(co 10) + 1[1)2 g(P) + (ig1)3,-(co 0) -C1 [1)3 2%0(P)3!2!ap2ap(gt)3 230(p)a(p) (gt)2a2(p)= co lo) [0(p) - gt2!3!apzapeap
2 z y 图 1: SG 实验示意图. 非均匀磁场的梯度为 z 方向, 自旋 1/2 粒子穿过磁场区域后分为向上和向下偏转的两束. = 1 ˝ Pz + [igtz ˝ Z; 1 ˝ Pz] + 1 2! igtˆz ˝ Z; [igtz ˝ Z; 1 ˝ Pz] + = 1 ˝ Pz + gt(z ˝ 1) (5) 式 (5) 建立了 t 时刻动量 Pz 的期望值与测量力学量 z 在初态中的期望值之间的联系, 即 hPzi(t) = hPzi(0) + gthzi(0) 我们希望知道的正是 hzi(0), 它就是 hzi(0) = hPzi(t) hPzi(0) gt (6) 上述推导意谓着, 我们需要考虑粒子的动量的期望值的变化, 于是很自然地, 应该选择动量表象描述 j'i. 现在选择动量表象, j'i 被表示为动量波函数 '(p) = '(px; py; pz), 而酉变换 U(t) 中的位置算符 Z 则要表示为 i„ @ @pz . 我们已经设定 „ = 1, 故 Z ! i @ @pz . 在酉变换 U(t) 的作用下, 有 jΨ(t)i = U(t)jΨ(0)i = e igt z˝Z (c0 j0i + c1 j1i) ˝ j'i 在动量表象中, j'i 应该表示为 j'i = R d 3p '(p)jpi, 下面我们简单地只写 jpi 上分量 '(p) = (c0 j0i + c1 j1i)'(p) + igt(c0 j0i c1 j1i)i @'(p) @pz + (igt) 2 2! (c0 j0i + c1 j1i)i 2 @ 2'(p) @p2 z + (igt) 3 3! (c0 j0i c1 j1i)i 3 @ 3'(p) @p3 z + = c0 j0i h '(p) gt @'(p) @pz + (gt) 2 2! @ 2'(p) @p2 z (gt) 3 3! @ 3'(p) @p3 z + i
3+3!ap?2!p2=Co J0) (px,Py.Pz-gt)+Ci /1)(Px Py,Pz + gt)至此得到t时刻粒子的自旋和动量的整体的量子态(7)[(t)) = co [0) /po(t))+c1 /1) l1(t))其中lo(t)和[1(t)》在动量空间中的表示分别是(pxPy，Pz-gt）和(px，Py,Pz+gt)这个量子态可以类比于最简单的22测量模型，但是还不能说它们达到了最优形式在进一步分析之前，需要说明如下两点.1.在开始的时候，我们说，通过粒子在空间的位置分布推知被测力学量，的性质，这就需要将(t)》中的动量空间的波函数（Px，Py.Pz土gt）通过傅里叶变换表示为位置空间的波函数，由此会带来计算上的繁琐.为了叙述的简明直观，这里我们仅仅分析了粒子的动量分布而没有计算其位置分布，换句话说，我们假设测量仪器对粒子的动量有所响应2.从（7）式看到，酉变换前后的量子态始终是粒子的动量Px和Py的本征态，这说明粒子的动量波函数与Px和p，的依赖关系是不重要的．因此我们把初态中的动量空间的波函数简化为(pz)，相应地，/(t)）中的动量波函数简化为(p-gt）和(p2+gt)，并将它们分别记作o(pz,t）和1(pz,t)，即Po(pz,t)=(pz/0o)=(pz-gt),i(pz,t)=(pz/01)=(p,+gt)设初态的动量波函数是一个对称的Gauss波包，1(8)9(P-) = 2n03)1/ exp (在(pz）中动量P，的期望值为零.上式中的α是P，的标准偏差，即02 = (P2)。-(P2) =(P2)几率密度lo(pz)?是数理统计中常用的高斯分布。图2描绘了(pz）和(pz土gt）的函数图像p(p,+gt)o(p.-gt)+ 0(p.)图2：自旋与空间位置之间的相互作用导致动量波函数发生平移从（7）中可以写出粒子的自旋部分的量子态，这需要对空间部分求迹.首先将其中的lso(t)）和l1(t)》在动量空间中表示为[0(t) =Po(pz,t) /pz)dpz
3 + c1 j1i h '(p) + gt @'(p) @pz + (gt) 2 2! @ 2'(p) @p2 z + (gt) 3 3! @ 3'(p) @p3 z + i = c0 j0i '(px; py; pz gt) + c1 j1i '(px; py; pz + gt) 至此得到 t 时刻粒子的自旋和动量的整体的量子态 jΨ(t)i = c0 j0i ˝ j'0(t)i + c1 j1i ˝ j'1(t)i (7) 其中 j'0(t)i 和 j'1(t)i 在动量空间中的表示分别是 '(px; py; pz gt) 和 '(px; py; pz + gt). 这个量子态可以类比于最简单的 2 ˝ 2 测量模型, 但是还不能说它们达到了最优形式. 在进一步分析之前, 需要 说明如下两点. 1. 在开始的时候, 我们说, 通过粒子在空间的位置分布推知被测力学量 z 的性质, 这就需要将 jΨ(t)i 中的动 量空间的波函数 '(px; py; pz ˙ gt) 通过傅里叶变换表示为位置空间的波函数, 由此会带来计算上的繁琐. 为了叙述的简明直观, 这里我们仅仅分析了粒子的动量分布而没有计算其位置分布, 换句话说, 我们假设测 量仪器对粒子的动量有所响应. 2. 从 (7) 式看到, 酉变换前后的量子态始终是粒子的动量 Px 和 Py 的本征态, 这说明粒子的动量波函数与 px 和 py 的依赖关系是不重要的. 因此我们把初态中的动量空间的波函数简化为 '(pz), 相应地, jΨ(t)i 中的 动量波函数简化为 '(pz gt) 和 '(pz + gt), 并将它们分别记作 '0(pz; t) 和 '1(pz; t), 即 '0(pz; t) = hpzj'0i = '(pz gt); '1(pz; t) = hpzj'1i = '(pz + gt) 设初态的动量波函数是一个对称的 Gauss 波包, '(pz) = 1 (2 2) 1/4 exp n p 2 z 4 2 o (8) 在 '(pz) 中动量 Pz 的期望值为零. 上式中的 是 Pz 的标准偏差, 即 2 = hP 2 z i' hPzi 2 ' = hP 2 z i' 几率密度 j'(pz)j 2 是数理统计中常用的高斯分布. 图 2 描绘了 '(pz) 和 '(pz ˙ gt) 的函数图像. φ(p ) z 0 φ(p +gt) z z φ(p -gt) z 图 2: 自旋与空间位置之间的相互作用导致动量波函数发生平移. 从 (7) 中可以写出粒子的自旋部分的量子态, 这需要对空间部分求迹. 首先将其中的 j'0(t)i 和 j'1(t)i 在动量空 间中表示为 j'0(t)i = Z +1 1 '0(pz; t)jpzi dpz
4[01(t)) =1(pz,t)/p2)dp2然后写出整体量子态的密度矩阵亚(t)=[亚(t)X亚(t)I，具体形式是（以下积分一律从一0积到+oo)(t)=lcoP Xo// o(pt)(p,t)pXplpp+coct1oX1///0o(p2,t)ot(p,t)/p2Xp2ldpedp+cc/X0///(p,t)i(pt)pX:/dp+ci111///1(p2,t)i(p",t)-Xp2pdp"接着，对上述每一项中直积符号右边的算子求迹.这是在动量空间中求迹，面临如下形式的积分，《p-|求迹的对象|p=)dp2以亚(t）的表达式右端第一项为例，/:////o(p,t)o(p,t)/pXpldpdp: p)d///o(p,)(p,t)8(p)8(pp)dd/o(t)(p2,t)d:=1令Iij(t) = /(p,t)(t)dz,i,j=0,1显然,Ij(t)=Ij;(t)。考虑到 Po(Pz,t)和i(pz,t)的归一性,有 loo(t)=li(t)=1,故自旋部分的量子态pspin(t)表示为JcolPCocilor(n)(9) pspin(t) = Trspace 亚(t) =(ccil1o(t) ci/2可以看到，在测量过程中，系统量子态的变化表现在密度矩阵的非对角元上理想情形理想情形指的是（7）式中两个空间部分的量子态[9o）和[91）彼此正交，或者说，两个动量空间中的波函数(pz+gt）和（pz-gt）之间没有重叠，虽然实际上它们是有重叠的，但是，如果我们令gt很大，那么这两个波包距离很远，其间的重叠就很小，即(90l01)=0*(p:-gt)(P:+gt)dp=(p2-gt)p(p+gt)dp2~0可以说它们近乎正交.这时，1()》式和以前讨论过的最优形式在本质上是一样的.如果观测到粒子的动量的值pz>0，那么这个观测结果的来源应该是(p：-gt)，由此可以推知粒子的自旋量子态处于[0)，且2取值+1;类似地，如果观测到pz 0) = /Icoll0(P2- gt)Pdp2 = [co/2
4 j'1(t)i = Z +1 1 '1(pz; t)jpzi dpz 然后写出整体量子态的密度矩阵 Ψ(t) = jΨ(t)ihΨ(t)j, 具体形式是 (以下积分一律从 1 积到 +1) Ψ(t) =jc0j 2 j0ih0j ˝ “ '0(p 0 z ; t)' 0 (p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z + c0c 1 j0ih1j ˝ “ '0(p 0 z ; t)' 1 (p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z + c 0 c1 j1ih0j ˝ “ ' 0 (p 0 z ; t)'1(p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z + jc1j 2 j1ih1j ˝ “ '1(p 0 z ; t)' 1 (p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z 接着, 对上述每一项中直积符号右边的算子求迹. 这是在动量空间中求迹, 面临如下形式的积分, Z +1 1 hpzj求迹的对象jpzi dpz 以 Ψ(t) 的表达式右端第一项为例, Z hpzj “ '0(p 0 z ; t)' 0 (p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z jpzi dpz = • '0(p 0 z ; t)' 0 (p 00 z ; t)ı(pz p 0 z )ı(pz p 00 z )dpz dp 0 z dp 00 z = Z '0(pz; t)' 0 (pz; t)dpz = 1 令 Iij (t) = Z +1 1 'i(pz; t)' j (pz; t)dpz; i; j = 0; 1 显然, Iij (t) = I j i(t). 考虑到 '0(pz; t) 和 '1(pz; t) 的归一性, 有 I00(t) = I11(t) = 1, 故自旋部分的量子态 Spin(t) 表示为 Spin(t) = Trspace Ψ(t) = 0 @ jc0j 2 c0c 1 I01(t) c 0 c1I10(t) jc1j 2 1 A (9) 可以看到, 在测量过程中, 系统量子态的变化表现在密度矩阵的非对角元上. 理想情形 理想情形指的是 (7) 式中两个空间部分的量子态 j'0i 和 j'1i 彼此正交, 或者说, 两个动量空间中的 波函数 '(pz + gt) 和 '(pz gt) 之间没有重叠. 虽然实际上它们是有重叠的, 但是, 如果我们令 gt 很大, 那么这 两个波包距离很远, 其间的重叠就很小, 即 h'0j'1i = Z +1 1 ' (pz gt)'(pz + gt)dpz = Z +1 1 '(pz gt)'(pz + gt)dpz 0 可以说它们近乎正交. 这时, jΨ(t)i 式和以前讨论过的最优形式在本质上是一样的. 如果观测到粒子的动量的值 pz > 0, 那么这个观测结果的来源应该是 '(pz gt), 由此可以推知粒子的自旋量 子态处于 j0i, 且 z 取值 +1; 类似地, 如果观测到 pz 0) = Z +1 0 jc0j 2 j'(pz gt)j 2dpz = jc0j 2
5同样地，动量小于零的几率是Prob(pz<0)=ci/2.再次重现了自旋量子态）中az取值±1的几率，而且还需注意到，理想情况下测量后粒子的密度矩阵是对角的，即（9）式中非对角项变为零虽然看起来通过增大gt以减小动量波函数的重叠这一做法是可行的，但是也要注意到，当相互作用强度g给定的时候，延长相互作用的时间t会让系统受到更多的来自周围环境的干扰.在实际情况中，两个动量波函数难免会有部分重叠，这将导致模糊测量非理想测量如果在t时刻粒子的整体量子态(t)》中的动量波函数(pz土gt）有明显的重叠，并且，在实验中观测到粒子的动量的值pxP正好处于两个动量波函数的交叠区域（如图3所示），那么难以断定动量的这个值是来自于(pz+gt）还是来自于(pz-gt).这种情况就是非理想的测量$(p.+gt)$(p:-gi)P2gt-gtpexp图3:非理想测量。粒子的动量空间中的波函数(pz+gt)和(Pzgt)之间有明显的重叠。如果观测到的动量的值pxP处于重叠区域，则不能断定这是哪一个动量波函数给出的结果非理想测量Peres,A.and Wootters,W.K.Quantummeasurementsof finiteduration.Physical ReviewD32,1968-1974(1985).设想，自旋1/2粒子哈密顿量有如下形式（以下令=1)，H=v(t)o,&P在Heisenberg图像中,do2 = i[H, Q] = v(t)0:dt这相对于说，当，取值+1的时候，粒子的速度为v(t)；当，取值-1的时候，粒子的速度为-v(t)粒子的初态(10)[(0))?(q)B考虑1时刻的量子态。注意到在不同的时刻，哈密顿量是彼此对易的。于是可以把时间演化算子表示为-iL(t)P0e-iL(t)a:@PH(t)dtU(t) = expeiL()P0
5 同样地, 动量小于零的几率是 Prob(pz < 0) = jc1j 2 . 再次重现了自旋量子态 j i 中 z 取值 ˙1 的几率. 而且还 需注意到, 理想情况下测量后粒子的密度矩阵是对角的, 即 (9) 式中非对角项变为零. 虽然看起来通过增大 gt 以减小动量波函数的重叠这一做法是可行的, 但是也要注意到, 当相互作用强度 g 给定 的时候, 延长相互作用的时间 t 会让系统受到更多的来自周围环境的干扰. 在实际情况中, 两个动量波函数难免 会有部分重叠, 这将导致模糊测量. 非理想测量 如果在 t 时刻粒子的整体量子态 jΨ(t)i 中的动量波函数 '(pz ˙ gt) 有明显的重叠, 并且, 在实验 中观测到粒子的动量的值 p exp z 正好处于两个动量波函数的交叠区域 (如图 3 所示), 那么难以断定动量的这个值 是来自于 '(pz + gt) 还是来自于 '(pz gt). 这种情况就是非理想的测量. pz ϕ(p gt) z ϕ(p +gt) z gt gt pz exp 图 3: 非理想测量. 粒子的动量空间中的波函数 '(pz + gt) 和 '(pz gt) 之间有明显的重叠. 如果观测到的动量 的值 p exp z 处于重叠区域, 则不能断定这是哪一个动量波函数给出的结果. 非理想测量 Peres, A. and Wootters, W. K. Quantum measurements of finite duration. Physical Review D 32, 1968-1974 (1985). 设想, 自旋 1/2 粒子哈密顿量有如下形式 (以下令 „ = 1), H = v(t)z ˝ P 在 Heisenberg 图像中, dQ dt = i[H; Q] = v(t)z 这相对于说, 当 z 取值 +1 的时候, 粒子的速度为 v(t); 当 z 取值 1 的时候, 粒子的速度为 v(t). 粒子的初态 jΨ(0)i = 0 @ ˛ ˇ 1 A ˝ '(q) (10) 考虑 t 时刻的量子态. 注意到在不同的时刻, 哈密顿量是彼此对易的. 于是可以把时间演化算子表示为 U(t) = exp ( i Z t 0 H( ) d ) = e iL(t)z˝P = 0 @ e iL(t)P 0 0 e iL(t)P 1 A
6其中(t)dtL(t)写出t时刻的量子态，-iL(t)Pg(q-L)(11)(t))L(t)Bo(q +L或者αJ dg (q-L) lq)(12)dg (q) [g) [(t))BeiL(t)(βJdq (q+L) lg)也可以写为[(t) =α [0) / dg (q- L) g) +β[1) / dg (q + L) lg)/ dg [α(q - L) [0) [9) + β(q+ L)[1) [9)] dg [a(q - L) [0) + β(q + L) [1)] [g)Let [n(q,t)) = α(q - L) 0) + β(q + L) [1)dq n(q,t) lg)(13)量子态与时间的依赖关系体现在L=L(t),现在要写出密度矩阵亚(t)=(t)X亚(t)I.如果采用(11)式，那么得到一个不正确的表达式(JaP(q-L)*(q-L) αβ*(q - L)*(q + L)这是不对的α*β*(q-L)(q + L) IBI(q+L)o*(q+ L)这是因为，在（10)和（11）中，(g）和(q±L)被理解为从-80到+80的波函数，没有明确地指明基向量.因此,建议将(g)表示为(g)lg)dg,将(q±L)表示为『(q±L)lg)dg，即(12)式,并且在左矢形式中换用另一个积分变量，即*(q)《qldg和「*(q±L)qdg从而有(Jα/ J dq dq'(q -L)*(q'-L) qXq' αβ* JI dq dg'(q - L)*(q' + L) qXq'l(t)(α*β J dq dq's*(q' - L)(q + L) IqXq'l IBIP JI dg dq'0(q + L)*(q" + L) lqXql)或者采用（13）式，给出更为简洁的形式，亚(t) =/dg dg n(q,t)Xn(q,t)/ IqXq'(14)考虑 C2空间中某个力学量A,期望值是(A) (t) = ((t)IA β1|重(t)[/ d (m(q,1)1 (al (481)[/ dg /n(d.,t)8|a)
6 其中 L(t) = Z t 0 v( ) d 写出 t 时刻的量子态, jΨ(t)i = 0 @ ˛eiL(t)P ˇeiL(t)P 1 A '(q) = 0 @ ˛'(q L) ˇ'(q + L) 1 A (11) 或者 jΨ(t)i = 0 @ ˛eiL(t)P ˇeiL(t)P 1 A Z dq '(q)jqi = 0 B @ ˛ R dq '(q L)jqi ˇ R dq '(q + L)jqi 1 C A (12) 也可以写为 jΨ(t)i = ˛ j0i ˝ Z dq '(q L)jqi + ˇ j1i ˝ Z dq '(q + L)jqi = Z dq ˛'(q L)j0i ˝ jqi + ˇ'(q + L)j1i ˝ jqi = Z dq ˛'(q L)j0i + ˇ'(q + L)j1i ˝ jqi Let j(q; t)i = ˛'(q L)j0i + ˇ'(q + L)j1i = Z dq j(q; t)i ˝ jqi (13) 量子态与时间的依赖关系体现在 L = L(t), 现在要写出密度矩阵 Ψ(t) = jΨ(t)ihΨ(t)j. 如果采用 (11) 式, 那么得到一个不正确的表达式 0 @ j˛j 2'(q L)' (q L) ˛ˇ'(q L)' (q + L) ˛ ˇ' (q L)'(q + L) jˇj 2'(q + L)' (q + L) 1 A 这是不对的 这是因为, 在 (10) 和 (11) 中, '(q) 和 '(q ˙ L) 被理解为从 1 到 +1 的波函数, 没有明确地指明基向量. 因 此, 建议将 '(q) 表示为 R '(q)jqi dq, 将 '(q ˙ L) 表示为 R '(q ˙ L)jqi dq, 即 (12) 式, 并且在左矢形式中换用 另一个积分变量, 即 R ' (q 0 )hq 0 j dq 0 和 R ' (q 0 ˙ L)hq 0 j dq 0 , 从而有 Ψ(t) = 0 B @ j˛j 2 ’ dq dq 0'(q L)' (q 0 L)jqihq 0 j ˛ˇ ’ dq dq 0'(q L)' (q 0 + L)jqihq 0 j ˛ ˇ ’ dq dq 0' (q 0 L)'(q + L)jqihq 0 j jˇj 2 ’ dq dq 0'(q + L)' (q 0 + L)jqihq 0 j 1 C A 或者采用 (13) 式, 给出更为简洁的形式, Ψ(t) = “ dq dq 0 j(q; t)ih(q 0 ; t)j ˝ jqihq 0 j (14) 考虑 C2 空间中某个力学量 A, 期望值是 hAi(t) = hΨ(t)jA ˝ 1jΨ(t)i = Z dq h(q; t)j ˝ hqj (A ˝ 1) Z dq 0 ˇ ˇ(q 0 ; t) ˛ ˝ ˇ ˇq 0 ˛
7dqdq (n(q,t)An(q,t) (qlg)=/ dg (n(g,t)/A/n(q, 1)设A=0z，有(o2) (t) = / [1aPle(q - L)2 - [BIPlo(q + L)P] dq= [α - [β)2 = (α2) (0)即的期望值不随时间变化.应该如此，因为相互作用哈密顿量的形式是zP，系统的力学量oz是守恒量再来看相互作用之后粒子的自旋量子态。对（14）的空间部分求迹，有pspin(t)=Trspace亚(0)pspin(t) =/ dg In(q, t)Xn(q,t)(16)[α]2αβ* lo1(t)α*β l1o(t)IBI2其中lo1(t) = l10(t) = / dg g*(q - L)o(q + L)当(q-L)和(g+L）重叠很少甚至没有重叠的情况下，lo1=I1o=0,粒子自旋量子态的密度矩阵成为对角形式.提这样的问题：在区间91≤9≤92内探测到粒子的几率是多少？如果在该区间内观测到了粒子，那么粒子的自旋行为如何？为此，考虑从（14）中写出粒子的空间量子态形式，即，对自旋部分求迹pspace(t) = Trspin p(t)// dg dq" (0/n(q, t)) (n(q', t)l0) 1qXglldgdg (1/n(q,t)) (n(q,t)/1) IgXgl/ dq dq" Jα(q - L)0*(q" - L) IqXq'(/ dq dq" IBI(q + L)p*(q + L) [qXq'l(17)在区间△=[91,92]内对粒子的位置进行测量，这一操作对应于投影算子II(A) =dq" q"Xq
7 = “ dq dq 0 h(q; t)jAj(q 0 ; t)i hqjq 0 i = Z dq h(q; t)jAj(q; t)i 设 A = z, 有 hzi(t) = Z j˛j 2 j'(q L)j 2 jˇj 2 j'(q + L)j 2 dq = j˛j 2 jˇj 2 = hzi(0) 即 z 的期望值不随时间变化. 应该如此, 因为相互作用哈密顿量的形式是 z ˝ P, 系统的力学量 z 是守恒量. 再来看相互作用之后粒子的自旋量子态. 对 (14) 的空间部分求迹, 有 Spin(t) = TrSpace Ψ(t), spin(t) = Z dq j(q; t)ih(q; t)j = 0 @ j˛j 2 ˛ˇ I01(t) ˛ ˇ I10(t) jˇj 2 1 A (16) 其中 I01(t) = I 10(t) = Z dq ' (q L)'(q + L) 当 '(q L) 和 '(q + L) 重叠很少甚至没有重叠的情况下, I01 = I10 = 0, 粒子自旋量子态的密度矩阵成为对角 形式. 提这样的问题: 在区间 q1 6 q 6 q2 内探测到粒子的几率是多少? 如果在该区间内 观测到了粒子, 那么粒子的自旋行为如何? 为此, 考虑从 (14) 中写出粒子的空间量子态形式, 即, 对自旋部分求迹. space(t) = Trspin (t) = “ dq dq 0 h0j(q; t)i h(q 0 ; t)j0i jqihq 0 j + “ dq dq 0 h1j(q; t)i h(q 0 ; t)j1i jqihq 0 j = “ dq dq 0 j˛j 2'(q L)' (q 0 L) jqihq 0 j + “ dq dq 0 jˇj 2'(q + L)' (q 0 + L) jqihq 0 j (17) 在区间 ∆ = [q1; q2] 内对粒子的位置进行测量, 这一操作对应于投影算子 Π(∆) = Z q2 q1 dq 00 jq 00ihq 00j
8于是相应的几率为Prob(A)=Tr[pspaceIl(A)],先计算一下pspacell(△),p-pace() = /" dq" (/ dqdg la/2s(q - L)0*(q - L) la) (q"lq" ("+"dg"// dqdg1BP0(q+L)0*(q +L)/a)(qlq")(q")注意到(qlq")=8(g-q)dqla(q - L)*(q" - L) [qXq"l/ dglBI2(q+ L)*(q" + L) [qXq"(18)然后对上式求迹，得到几率Prob(△)Prob(A) = Tr[spacel(A)]= / (g| Eg,(18) [g) dd" dg" // dq d, lal'o(q -L)*(q"-L) (qla) (q"lg)+ /"dg"/ dg dg1BP'0(q + L)0*(q" + L)(q1g) (q"1g)" dq" [1a1(q" - L)P + IB1P1(q" + L)2](19)另一方面，我们还可以直接用1I(A）作用于由（14)式给出的亚(t)()= [" dq" Iα"Xq"= " q" l"Xq"][1 α (4)] (t) [1 α (4)] " " [" q" / gd, [1 1a"xa"1] [1(a) n(a18 1aXa] [1 1"Xa"1] d" " da" J/ dg ma)Xna[la")q"a) (a") (a]"dq"/"dq" |n(q")Xn(q")| Iq"Xq"dq" In(g)Xn(q)| lqXq"(20)dq上面最后一个表达式是测量后的未归一的量子态，对它求迹，得到在区间△内探测到粒子的几率Tr [Eq. (20)]dg(iln(q))(n(q)li)(q"lq)(q'lq")i=0
8 于是相应的几率为 Prob(∆) = Tr spaceΠ(∆) , 先计算一下 spaceΠ(∆), spaceΠ(∆) = Z q2 q1 dq 00 “ dqdq 0 j˛j 2'(q L)' (q 0 L)jqi hq 0 jq 00i ˝ q 00ˇ ˇ + Z q2 q1 dq 00 “ dqdq 0 jˇj 2'(q + L)' (q 0 + L)jqi hq 0 jq 00i ˝ q 00ˇ ˇ 注意到 hq 0 jq 00i = ı(q 0 q 00) = Z q2 q1 dq 00 Z dqj˛j 2'(q L)' (q 00 L)jqihq 00j + Z q2 q1 dq 00 Z dqjˇj 2'(q + L)' (q 00 + L)jqihq 00j (18) 然后对上式求迹, 得到几率 Prob(∆). Prob(∆) = Tr spaceΠ(∆) = Z ˝ q 0 ˇ ˇEq.(18) ˇ ˇq 0 ˛ dq 0 = Z q2 q1 dq 00 “ dq dq 0 j˛j 2'(q L)' (q 00 L) hq 0 jqi hq 00jq 0 i + Z q2 q1 dq 00 “ dq dq 0 jˇj 2'(q + L)' (q 00 + L) hq 0 jqi hq 00jq 0 i = Z q2 q1 dq 00 h j˛j 2 j'(q 00 L)j 2 + jˇj 2 j'(q 00 + L)j 2 i (19) 另一方面, 我们还可以直接用 1 ˝ Π(∆) 作用于由 (14) 式给出的 Ψ(t). Π(∆) = Z q2 q1 dq 00 jq 00ihq 00j = Z q2 q1 dq 000 jq 000ihq 000j 1 ˝ Π(∆) Ψ(t) 1 ˝ Π(∆) = Z q2 q1 dq 00 Z q2 q1 dq 000 “ dqdq 0 1 ˝ jq 00ihq 00j j(q)ih(q 0 )j ˝ jqihq 0 j 1 ˝ jq 000ihq 000j = Z q2 q1 dq 00 Z q2 q1 dq 000 “ dqdq 0 j(q)ih(q 0 )j ˝ ˇ ˇq 00˛ hq 00jqi hq 0 jq 000i ˝ q 000ˇ ˇ = Z q2 q1 dq 00 Z q2 q1 dq 000 j(q 00)ih(q 000)j ˝ jq 00ihq 000j = Z q2 q1 dq Z q2 q1 dq 0 j(q)ih(q 0 )j ˝ jqihq 0 j (20) 上面最后一个表达式是测量后的未归一的量子态, 对它求迹, 得到在区间 ∆ 内探测到粒子的几率, Tr Eq. (20) = Z dq 00 Z q2 q1 dq Z q2 q1 dq 0 X 1 i=0 hij(q)i h(q 0 )jii hq 00jqi hq 0 jq 00i
9dg 8(g-g)(iln(g))(n(q)li)i=0dg (iln(g)) (n(g)li)=Eq. (19) = Prob(△)-0在此前提下（即在区间△内探测到粒子），粒子的未归一的自旋量子态可以在（20）式中对空间部分求迹而得到Trspace [Eq. (20]dg" [n(q)Xn(q')1(q"lg)(qlq")dq"dq" 8(q-q") In(g)Xn(q)ldadg In(q)Xn(q)l归一化之后，得到1Pspin(△, t)dq In(q)Xn(q)lp(A)J·在t=0时,L=0,p(A) =dg lo(q)12[n(q, 0))=(α[0) +β[1)) (q)Jααβ*Pspin(△, 0) α*βIB)2·如果时间足够长，L很大，两个波函数(g-L)和(q+L）相距很远，可视为彼此正交.而且，lo(q-L，t)2在g的正半轴上的积分为1,在g的负半轴上积分为零，而ls(g+L,t)2的积分结果正好相反.考虑g的正半轴，即△=[0,+80).p(△) =dg[1α110(q-L)2 + IB1P 10(q + L)P] =Jα2积分为此时，粒子的自旋量子态是-Pspin(△) :In(q)Xn(q)[dg[α|2逐项计算In(g)Xn(q)I的矩阵元对q的积分，发现只有[α2是非零的，其值为1,所以Jo)(0)Pspin(△)这个结果正是理想测量的体现只要在9的正半轴上探测到粒子，那么该粒子的自旋角动量的指向一定是正z方向现在讨论不那么好的测量过程（q土L）没有分得很开。为了易于计算，作如下假设
9 = Z q2 q1 dq Z q2 q1 dq 0 ı(q q 0 ) X 1 i=0 hij(q)i h(q 0 )jii = Z q2 q1 dq X 1 i=0 hij(q)i h(q)jii = Eq. (19) = Prob(∆) 在此前提下 (即在区间 ∆ 内探测到粒子), 粒子的未归一的自旋量子态可以在 (20) 式中对空间部分求迹而得到. Trspace Eq. (20) = Z dq 00 Z q2 q1 dq Z q2 q1 dq 0 j(q)ih(q 0 )j hq 00jqi hq 0 jq 00i = Z q2 q1 dq Z q2 q1 dq 0 ı(q q 0 ) j(q)ih(q 0 )j = Z q2 q1 dq j(q)ih(q)j 归一化之后, 得到 spin(∆; t) = 1 p(∆) Z q2 q1 dq j(q)ih(q)j 在 t = 0 时, L = 0, p(∆) = Z q2 q1 dq j'(q)j 2 j(q; 0)i = (˛ j0i + ˇ j1i) '(q) spin(∆; 0) = 0 @ j˛j 2 ˛ˇ ˛ ˇ jˇj 2 1 A 如果时间足够长, L 很大, 两个波函数 '(q L) 和 '(q +L) 相距很远, 可视为彼此正交. 而且, j'(q L; t)j 2 在 q 的正半轴上的积分为 1, 在 q 的负半轴上积分为零, 而 j'(q + L; t)j 2 的积分结果正好相反. 考虑 q 的 正半轴, 即 ∆ = [0; +1). p(∆) = Z +1 0 dq j˛j 2 j'(q L)j 2 + jˇj 2 j'(q + L)j 2 „ ƒ‚ . 积分为零 = j˛j 2 此时, 粒子的自旋量子态是 spin(∆) = 1 j˛j 2 Z +1 0 j(q)ih(q)j dq 逐项计算 j(q)ih(q)j 的矩阵元对 q 的积分, 发现只有 j˛j 2 是非零的, 其值为 1, 所以 spin(∆) = 0 @ 1 0 0 0 1 A = j0ih0j 这个结果正是理想测量的体现 —— 只要在 q 的正半轴上探测到粒子, 那么该粒子的自旋角动量的指向一 定是正 z 方向. 现在讨论不那么好的测量过程 —— '(q ˙ L) 没有分得很开. 为了易于计算, 作如下假设.
10粒子初态中的位置波函数采用简单的形式（虽然有些不合理）( 1qe[-a, a]JV2a(q) =(o, 其它区域。在哈密顿量H=v(t)oP中，将v(t)设定为常数，不随时间变化，于是L=vt.当L≥a时，(q±L)彼此没有重叠，为理想测量.而现在要考虑L<α的情形，·粒子初态中的自旋量子态设为(10) + [1))[) =2先算一下在区间△=[0,+8)内探测到粒子的几率Prob(△) =d[(-)+B(+)]11111 (a + L) + (a - L) =+22a22 2a虽然这个几率等于在系统初态）中测量2得到结果+1的几率，但是，在目前非理想的情形下，与测量结果△对应的自旋量子态不是10)，而是1+b1-1Pspin(A) =(21)b1其中b=<1如果系统的纯态不是(10)+[1)),那么未必有Prob(△)=1(0)12把Pspin(△)表示为(1 + (1 -b)ox + bo:)Pspin(△) = Bloch向量是r =(1-b, 0, b)还可以考虑由（21）式给出的pspin(△）的本征值及本征向量.用w1和W2表示本征值，用P1和P2表示相应的的本征向量的密度矩阵，即Pspin() = W1Pi + w2 P2分别用用ri和r2表示密度矩阵P和P2的Bloch向量.当然应该有r=wiri+w2r2.图4描绘了wiri和w2r2随b的变化，实际上也就是随时间的变化需要说明的是，图4并没有描绘粒子的自旋量子态随时间演化的过程上述计算结果以及这个图像有这样一个前提：在区间△内探测到了粒子粒子的自旋量子态随时间演化的过程已经由（16）式确定了，使用连续变量的测量仪器系统的被测力学量A的本征值是离散的，系统的初态是pin，描述系统的Hilbert空间是e2
10 粒子初态中的位置波函数采用简单的形式 (虽然有些不合理), '(q) = 8 ˆˆ a 时, '(q ˙ L) 彼此没有重叠, 为理想测量. 而现在要考虑 L < a 的情形. 粒子初态中的自旋量子态设为 j i = 1 p 2 j0i + j1i 先算一下在区间 ∆ = [0; +1) 内探测到粒子的几率. Prob(∆) = Z +1 0 dq j˛j 2 j'(q L)j 2 + jˇj 2 j'(q + L)j 2 = 1 2 1 2a (a + L) + 1 2 1 2a (a L) = 1 2 虽然这个几率等于在系统初态 j i 中测量 z 得到结果 +1 的几率, 但是, 在目前非理想的情形下, 与测量结果 ∆ 对应的自旋量子态不是 j0i, 而是 spin(∆) = 1 2 0 @ 1 + b 1 b 1 b 1 b 1 A (21) 其中 b = L a < 1. 如果系统的纯态不是 p 1 2 j0i + j1i , 那么未必有 Prob(∆) = jh0j ij 2 . 把 spin(∆) 表示为 spin(∆) = 1 2 1 + (1 b)x + bz Bloch 向量是 r = (1 b; 0; b) 还可以考虑由 (21) 式给出的 spin(∆) 的本征值及本征向量. 用 w1 和 w2 表示本征值, 用 P1 和 P2 表示相应的 的本征向量的密度矩阵, 即 spin(∆) = w1P1 + w2P2 分别用用 r1 和 r2 表示密度矩阵 P1 和 P2 的 Bloch 向量. 当然应该有 r = w1r1 + w2r2. 图 4 描绘了 w1r1 和 w2r2 随 b 的变化, 实际上也就是随时间的变化. 需要说明的是, 图 4 并没有描绘粒子的自旋量子态随时间演化的过程. 上述计算结果以及这个图像有这样一个前 提: 在区间 ∆ 内探测到了粒子. 粒子的自旋量子态随时间演化的过程已经由 (16) 式确定了. 使用连续变量的测量仪器 系统的被测力学量 A 的本征值是离散的, 系统的初态是 in, 描述系统的 Hilbert 空间是 H Q.