第七章粒子在位置空间中的运动Ⅱ一维阶梯势，势垒，势阱（Cohen书第一章的内容）对于方势阱，方势垒，阶梯势这类抽象出来的势能，在空间不同区域内，势能为常数，对于方势阱，方势垒，阶梯势这类抽象出来的势能，在空间的不同区间内，势能为常数.在这些区间求解Schrodinger方程并不困难，但是还需要将这些区间内的波函数进行“组装”"Squarepotential0Realpotentialb0XForceXC0V图 1粒子在上述一类势场中运动，设粒子的能量值为E，或者说哈密顿量的本征值为E.我们并不能事先知道E的值，而是需要求解哈密顿量的本征方程。H (0) = E (0)V(X(0) = E (0)2m在位置表象中，有h? d?(x)2 + V(x)g(x) = E(x)(1)2mdx?逐段地、分区间地求解方程(1)在势能保持为常数的某个区间内，无非有三种情况：E>V,E<V和E=V1
第七章 粒子在位置空间中的运动 II 一维阶梯势, 势垒, 势阱 (Cohen 书第一章的内容) 对于方势阱, 方势垒, 阶梯势这类抽象出来的势能, 在空间不同区域内, 势能为常数. 对于方势阱, 方势垒, 阶梯势 这类抽象出来的势能, 在空间的不同区间内, 势能为常数. 在这些区间求解 Schrödinger 方程并不困难, 但是还需 要将这些区间内的波函数进行 ‘‘组装”. 图 1 粒子在上述一类势场中运动, 设粒子的能量值为 E, 或者说哈密顿量的本征值为 E. 我们并不能事先知道 E 的 值, 而是需要求解哈密顿量的本征方程. H j'i = E j'i P 2 2m + V (X) j'i = E j'i 在位置表象中, 有 „ 2 2m d 2'(x) dx 2 + V (x)'(x) = E'(x) (1) 逐段地、分区间地求解方程 (1). 在势能保持为常数的某个区间内, 无非有三种情况: E > V , E < V 和 E = V . 1
2.E>V令2m(E- V)k=2可以得到方程（1）的解(x) = Aeikx + A'e-ikx这是平面波的叠加令.EVo2mE=kih22m(E-Vo)2=k2h2pi(x) = Aleikix + Aje-ikixPn(x)= A2eik2 + Ase-ik2x考虑在x=0处波函数连续，波函数的一阶导数连续，有A1 + Ai = A2 + A2ikiAi-ikiAi=ik2A2-ik2A2
2 E > V 令 k = r 2m „ 2 (E V ) 可以得到方程 (1) 的解 '(x) = Aeikx + A 0 e ikx 这是平面波的叠加. E V0 r 2mE „ 2 = k1 r 2m(E V0) „ 2 = k2 'I(x) = A1e ik1x + A 0 1 e ik1x 'II(x) = A2e ik2x + A 0 2 e ik2x 考虑在 x = 0 处波函数连续, 波函数的一阶导数连续, 有 8 ˆ< ˆ: A1 + A 0 1 = A2 + A 0 2 ik1A1 ik1A 0 1 = ik2A2 ik2A 0 2
3仅有两个方程，无法确定四个未知数.于是考虑稍微实际的情况：粒子（以平面波的形式）从左侧入射，而右侧没有向左行进的平面波.故令A=0.有如下比例关系2kiAi_ki-k2A2Aiki+k2Ark1+k2在x0的右侧区域，仅有透射波函数。反射几率R和透射几率T分别是412k2|42]2R=TA1ki|Ai具体表达式是4kik24kik2R=1-T=(k1 + k2)2(k1 +k2)2显然.R+T=1.相比于第一种情形，右侧的波函数有变化第二种情形.E0的区域有非零的几率，呈指数衰减表明粒子有一定的透射深度势垒4 V(x)Vom1+x01图3
3 仅有两个方程, 无法确定四个未知数. 于是考虑稍微实际的情况: 粒子 (以平面波的形式) 从左侧入射, 而右侧没 有向左行进的平面波. 故令 A 0 2 = 0. 有如下比例关系 A 0 1 A1 = k1 k2 k1 + k2 ; A2 A1 = 2k1 k1 + k2 在 x 0 的右侧区域, 仅有透射波函数. 反射几率 R 和透射 几率 T 分别是 R = ˇ ˇ ˇ ˇ A 0 1 A1 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 ; T = k2 k1 ˇ ˇ ˇ ˇ A2 A1 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 具体表达式是 R = 1 4k1k2 (k1 + k2) 2 ; T = 4k1k2 (k1 + k2) 2 显然, R + T = 1. 第二种情形, E 0 的区域有非零的几率, 呈指数衰减, 表明粒子有一定的透射深度. 势垒 图 3
4第一种情形.E>Vo分区间写出波函数2mE2m(E-Vo)ki=k3 =k22h2Pi(x) = Ajeikix + A'e-ikixPn(x) = A2eikx + Ase-ik2xPm(x)= Ageikax+ Ase-ikax与阶梯势的情形类似，可以令A=0.考虑x=0和x=处波函数及其导数的连续性，给出[eoskal -1+k sinkleikilA3Ai:2kik2Ai=I/,K tk sikl s2kik2由此得到反射几率和透射几率42(k? - k2)? sin? k2lR=A4kk2+(k-k2)2sin2k2l[4a/24k2k2LAr4kk2+(k?-k2)?sin2k2l显然有R+T =1透射系统的具体形式4E(E-Vo)T=2m(E-V)4E(E - Vo) +V? sin?透射系数随势垒的宽度1周期性地变化，最大值可以达到1，此时2m(E-Vo)n为整数k2l =n元.2这种情况被称为共振散射如下图所示。17八八4E(E-V)4E(E - V) + V02元/k2元/k2图 4
4 第一种情形, E > V0 分区间写出波函数. k1 = k3 = r 2mE „ 2 ; k2 = r 2m(E V0) „ 2 'I(x) = A1e ik1x + A 0 1 e ik1x 'II(x) = A2e ik2x + A 0 2 e ik2x 'III(x) = A3e ik3x + A 0 3 e ik3x 与阶梯势的情形类似, 可以令 A 0 3 = 0. 考虑 x = 0 和 x = l 处波函数及其导数的连续性, 给出 A1 = cos k2l i k 2 1 + k 2 2 2k1k2 sin k2l e ik1lA3 A 0 1 = i k 2 2 k 2 1 2k1k2 e ik1l sin k2l A3 由此得到反射几率和透射几率, R = ˇ ˇ ˇ ˇ A 0 1 A1 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 = (k 2 1 k 2 2 ) 2 sin2 k2l 4k 2 1 k 2 2 + (k 2 1 k2) 2 sin2 k2l T = ˇ ˇ ˇ ˇ A3 A1 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 = 4k 2 1 k 2 2 4k 2 1 k 2 2 + (k 2 1 k 2 2 ) 2 sin2 k2l 显然有 R + T = 1 透射系统的具体形式 T = 4E(E V0) 4E(E V0) + V 2 0 sin2 q 2m(EV0) „2 l 透射系数随势垒的宽度 l 周期性地变化, 最大值可以达到 1, 此时 k2l = r 2m(E V0) „ 2 l = n; n 为整数 这种情况被称为共振散射. 如下图所示. 图 4
5第二种情形，E<Vo在第I区和第Ⅲ区的波函数的形式没有改变，而第Ⅱ区的波函数不再是振荡形式2mE2m(Vo-E)ki=ks=，P2=n2(p(x) = Aieikix + Aje-ikixPn(x) = B2eP2* + Bre-Pp2xPm(x) = Ageikax + Ase-ikax相对于将k2替换为-ip2.得到透射几率，A3/24E(Vo-E)TA1/2m(Vo-E)4E(Vo-E)+V? sinh?这就是隧道效应.有限深势阱+V(x)at32030??-Vo图5考虑-V<E<0情形2mE2m(E+Vo)kps#2,h21 = Biepx + B'e-pxPr = Azeikx + Ase-ikxPill =Baeex +Be-px考虑在x→士0时波函数的行为，有B3 = 0B' = 0,于是有下面四个方程，(-) =m(-)Be-%-A2e-sika-Asexika=0I
5 第二种情形, E < V0 在第 I 区和第 III 区的波函数的形式没有改变, 而第 II 区的波函数不再是振荡形式. k1 = k3 = r 2mE „ 2 ; 2 = r 2m(V0 E) „ 2 'I(x) = A1e ik1x + A 0 1 e ik1x 'II(x) = B2e 2x + B 0 2 e 2x 'III(x) = A3e ik3x + A 0 3 e ik3x 相对于将 k2 替换为 i2. 得到透射几率, T = ˇ ˇ ˇ ˇ A3 A1 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 = 4E(V0 E) 4E(V0 E) + V 2 0 sinh2 q 2m(V0E) „2 l 这就是隧道效应. 有限深势阱 图 5 考虑 V0 < E < 0 情形. = r 2mE „ 2 ; k = r 2m(E + V0) „ 2 'I = B1e x + B 0 1 e x 'II = A2e ikx + A 0 2 e ikx 'III = B3e x + B 0 3 e x 考虑在 x ! ˙1 时波函数的行为, 有 B 0 1 = 0; B3 = 0 于是有下面四个方程, 'I a 2 = 'II a 2 H) B1e a 2 A2e 1 2 ika A 0 2 e 1 2 ika = 0
6dor(x)dor(x)Bipe-婴-iAzke-zika +iA,kezika=0dxdx)=m()Azezika + Ase-lika-Be-ipa=0dpn(x)dpm(x)iAkezika-iA,ke-zika+Bape-ipa=0Idxdxx=号x=号这是关于四个未知数B1，A2，A2，B的四个齐次方程，为了有非零解，必须有-e-ika-etikae-ipa0ikesikape-pa-ike-lika0=0esikae-sika-e--pa0ikezika-ike-zika0pe-ipa具体结果是(2) 2ie-pa[2kpcoska +(p?-k2)sinkal = 0从中确定能量E（注意到k和β都与能量有关)Cohen书中提供了另一种做法.首先令B=0，根据x=一%处的边界条件，有Az=eda(-p+ik) P+ik(3)B2ikA, =-e-la(p+ik) p-ikB(4)2ik接着，考虑X=号处的边界条件，给出e-F(5)B3 =[2kpcoska+(p2-k2)sinka]B2kpp?+ k2B=(6)sinka Bi2kp这时，再令B3=0,给出与(2)式等价的关系现在要求解方程2kpcoska+ (p2-k2)sinka = 0注意到k,p>0.将该方程改写为2kpsinka(7)k2 -p2coska令p=tan x.tan x > 0k从（7)式得到tan2x = tanka有如下两种情况：1.2×=2n元+ka，n为整数.×=n元+，于是kaptanxtan2K但是需要添加一个条件tan>0
6 d'I(x) dx ˇ ˇ ˇ ˇ x= a 2 = d'II(x) dx ˇ ˇ ˇ ˇ x= a 2 H) B1e a 2 iA2ke 1 2 ika + iA0 2 ke 1 2 ika = 0 'II a 2 = 'III a 2 H) A2e 1 2 ika + A 0 2 e 1 2 ika B 0 3 e 1 2 a = 0 d'II(x) dx ˇ ˇ ˇ ˇ x= a 2 = d'III(x) dx ˇ ˇ ˇ ˇ x= a 2 H) iA2ke 1 2 ika iA0 2 ke 1 2 ika + B 0 3 e 1 2 a = 0 这是关于四个未知数 B1, A2, A 0 2 , B 0 3 的四个齐次方程, 为了有非零解, 必须有 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ e 1 2 a e 1 2 ika e 1 2 ika 0 e 1 2 a ike 1 2 ika ike 1 2 ika 0 0 e 1 2 ika e 1 2 ika e 1 2 a 0 ike 1 2 ika ike 1 2 ika e 1 2 a ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ = 0 具体结果是 2iea 2k cos ka + ( 2 k 2 )sin ka = 0 (2) 从中确定能量 E (注意到 k 和 都与能量有关). Cohen 书中提供了另一种做法. 首先令 B 0 1 = 0, 根据 x = a 2 处的边界条件, 有 A2 = e 1 2 a(+ik) + ik 2ik B1 (3) A 0 2 = e 1 2 a(+ik) ik 2ik B1 (4) 接着, 考虑 x = a 2 处的边界条件, 给出 B3 = e a 2k 2k cos ka + ( 2 k 2 )sin ka B1 (5) B 0 3 = 2 + k 2 2k sin ka B1 (6) 这时, 再令 B3 = 0, 给出与 (2) 式等价的关系. 现在要求解方程 2k cos ka + ( 2 k 2 )sin ka = 0 注意到 k; > 0. 将该方程改写为 2k k 2 2 = sin ka cos ka (7) 令 k = tan ; tan > 0 从 (7) 式得到 tan 2 = tan ka 有如下两种情况: 1. 2 = 2n + ka, n 为整数. = n + ka 2 , 于是 tan = k = tan ka 2 但是需要添加一个条件 tan ka 2 > 0.
72.2×=(2n+1)元+ka,n为整数.×=n元++，于是kaptanx=-cotk2这时应该有条件tan0类似地，对于第二章情况，有1+赔=短=1+cot2号一=[sin(9)tanka<0只能有数值解.4yP-+k元/a2元/a3元/a4元/ak05元/a图6:P表示偶函数，I表示奇函数将第一种情况下的解（8）代入（3）和（4)，得到A2=A；代入（6)，得到B,=B1.这表明，第一种情况中的本征函数是偶函数.类似地，可以看出第二种情况中给出的本征函数是奇函数，而且，基态是偶函数，一个普遍的结论是，如果势能具有空间对称性，那么哈密顿量的本征函数就有明确的宇称，表现为空间位置的奇函数或偶函数.8势场中的粒子参看Cohen书CompletementKr,Exercise2,3,4,5.参看Cohen书第Ⅲ章补充内容M,有关束缚态能级分立的讨论
7 2. 2 = (2n + 1) + ka, n 为整数. = n + 2 + ka 2 , 于是 tan = k = cot ka 2 这时应该有条件 tan ka 2 0 9 >= >; (8) 类似地, 对于第二章情况, 有 1 + 2 k2 = k 2 0 k2 = 1 + cot2 ka 2 H) k k0 = ˇ ˇsin ka 2 ˇ ˇ tan ka 2 = >; (9) 只能有数值解. 图 6: P 表示偶函数, I 表示奇函数. 将第一种情况下的解 (8) 代入 (3) 和 (4), 得到 A2 = A 0 2 ; 代入 (6), 得到 B 0 3 = B1. 这表明, 第一种情况中的本征 函数是偶函数. 类似地, 可以看出第二种情况中给出的本征函数是奇函数. 而且, 基态是偶函数. 一个普遍的结论是, 如果势能具有空间对称性, 那么哈密顿量的本征函数就有明确的宇称, 表现为空间位置的奇 函数或偶函数. ı 势场中的粒子 参看 Cohen 书 Completement KI , Exercise 2, 3, 4, 5. 参看 Cohen 书第 III 章补充内容 M, 有关束缚态能级分立的讨论