授课教案 课程名称:工程力学基础 编制日期: 授课日期 第7周星期五第周星期第周星期第周星期 章节及课题: §4质点系的平衡 §41力的功 §42约束及其分类 §43自由度于广义坐标 教学目的: 、掌握力学中常见功德含义 2、了解从运动出发,约束的种类、类型及其特点 重点与难点: 力的功 教具准备: 教学内容及教学过程 §41力的功 变力在曲线路程中的功 力的功:力在一段路程中对物体作用效果的积累。 微段长度:ds 元功:δW SW= Fcos 0ds-Fcosoldr-Fodr F=Fi+Fj+Fk dr=dxi+dyj+dck dW = Fdx+f dy+ Fdz y W=AA Fcos eds AAy (Fdx+ fdy+ Fd) 合力之功定理:合力FR在一段路程上的功,等于各分力在同一路程中的功的代数和。 W=∑W 功率:p_OW dt 教师 专业主任: 第1页共5页
第 1 页 共 5 页 授 课 教 案 课程名称：工程力学基础 编制日期： 授课日期 第 7 周星期五 第 周 星期 第 周 星期 第 周 星期 班 级 章节及课题： §4 质点系的平衡 §4.1 力的功 §4.2 约束及其分类 §4.3 自由度于广义坐标 教学目的： 1、掌握力学中常见功德含义； 2、了解从运动出发，约束的种类、类型及其特点 重点与难点： 力的功 教具准备： 教学内容及教学过程 §4.1 力的功 一、变力在曲线路程中的功 力的功：力在一段路程中对物体作用效果的积累。 微段长度：ds 元功： W cos cos x y z x y z W F ds F d r F d r F F i F j F k d r dxi dy j dzk W F dx F dy F dz = = = • = + + = + + = + + 1 2 1 2 cos ( ) W F ds F dx F dy F dz = = + + A A A A x y z 合力之功定理：合力 FR 在一段路程上的功，等于各分力在同一路程中的功的代数和。 W W F F R = 功率： W P dt = 装 订 线 教师： 专业主任：
P= Lycos=F● 几种常见力的功 重力的功 F=F F SW=-Pdsc PaEc=P(=c-E)=Ph 可见:重力所作的功只取决于中心的起点和终点的位 置,与所经历的路径无关 2、弹性力的功 6 A F=k(r- lo W=F·dr=-k(r-b0) 由于r·dr=d(r·p)=d(r2)=rd,则 W=-k(r-l0)d=-=d(-l0)2=-d(2) )d(x2)=k(42-2) 可见:作用与质点上的弹性力的功只取决于质点的 初始和终点位置,而与质点所经历的路径无关。 3、万有引力的功 万有引力的功的计算公式由同学们自己推导。 4、转动刚体上转矩的功 A、作用力F SW= Fcos Bds= Fcos oRdo= M (f)do W=「°M(F)d 如果转矩为一常量,则 W=M(Fo-Po 第2页共5页
第 2 页 共 5 页 P Fv F V = = • cos 一、几种常见力的功 1、重力的功 2 1 1 2 1 2 0 ( ) c c x y z z A A c c z F F F P W Pdzc W Pdzc P z z Ph = = = − = − = − = − = 可见：重力所作的功只取决于中心的起点和终点的位 置，与所经历的路径无关。 2、弹性力的功 0 ( )( )r F k r l r = − 0 ( )( ) r d r W F d r k r l r • = • = − − 由于 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 r d r d r r d r rdr • = • = = ，则 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 k k W k r l dr d r l d = − − = − − = − 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 A A k W d k = − = − 可见：作用与质点上的弹性力的功只取决于质点的 初始和终点位置，而与质点所经历的路径无关。 3、万有引力的功 万有引力的功的计算公式由同学们自己推导。 4、转动刚体上转矩的功 A、作用力 F cos cos ( ) W F ds F Rd M F d = = = z 0 ( ) W M F d z = 如果转矩为一常量，则 0 ( )( ) W M F = − z
B、作用力偶M 同学们自己推导。 C、功率 t=(丙如 dt 质点系内力的功 质点系内力都是成对出现,他们彼此大小相等、方向相反,并作用在同一直线上。 oW=F1·dr+F2·dr2=F1·drn-F1·dr2 =Fid(n1-r2)=F1·d(A41) 在d(A2A4)中包含两个变化量:一个是方向变化,另一个是长度变化。其中表示方向变化 的分矢量垂直于F1,所以有 SW=-Fd(AA) 质点系所有元功的总和为 ∑。W=∑[-Fd(44 根据刚体的性质,刚体的内力所作功的总和恒等于零,但对于弹性体则不然 二、摩擦力的功 Al (b) A、滑动摩擦 静摩擦状态 恒等于0。 滑动摩擦状态 一般不等于0 B、滚动摩擦 滚动摩擦的功由于滚动摩阻比较小而可以忽略不计 §42约束及其分类 第3页共5页
第 3 页 共 5 页 B、作用力偶 M 同学们自己推导。 C、功率 ( ) ( ) z z W d P M F M F dt dt = = = 三、质点系内力的功 质点系内力都是成对出现，他们彼此大小相等、方向相反，并作用在同一直线上。 W F dr F dr F dr F dr = • + • = • − • 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 = • − = • F d r r F d A A ( ) ( ) 在 2 1 d A A ( ) 中包含两个变化量：一个是方向变化，另一个是长度变化。其中表示方向变化 的分矢量垂直于 F1 ，所以有 1 1 2 W F d A A = − ( ) 质点系所有元功的总和为： 1 1 2 W F d A A = −[ ( )] 根据刚体的性质，刚体的内力所作功的总和恒等于零，但对于弹性体则不然。 二、摩擦力的功 A、滑动摩擦 ⚫ 静摩擦状态 恒等于 0。 ⚫ 滑动摩擦状态 一般不等于 0。 B、滚动摩擦 滚动摩擦的功由于滚动摩阻比较小而可以忽略不计。 §4.2 约束及其分类
约束与约束方程 自由质点系 非自由质点系 对于非自由质点系,从运动的角度来研究质点系的运动条件,把对质点系位置或速度的 限制条件成为约束(数学表达式为约束方程)。 举例如下: 图例 约束方程 x2+y2≤12 bM(xy) O 第4页共5页
第 4 页 共 5 页 一、约束与约束方程 自由质点系 非自由质点系 对于非自由质点系，从运动的角度来研究质点系的运动条件，把对质点系位置或速度的 限制条件成为约束（数学表达式为约束方程）。 举例如下： 图 例 约束方程 2 2 2 xyl + = 2 2 2 x y l + 2 2 2 x y l t + = ( )
pMin) x2+y2=l2 (x2-x)2+(y2-y1)2=l2 OM,(r2,2) y 约束的分类 1、完整约束与非完整约束 「完整约束(几何约束):f(x1,y1,21,…Xn,y2,;t)=0 非完整约束:f(x1,y1,21…x,yn,z;,,气,…文n,yn,;t)=0 2、单侧约束与双侧约束 单侧约束:两个方向都限制质点的运动 双侧约束:一个方向都限制质点的运动 3、定常约束和非定常约束 定常约束:约束方程中不显含t 非定常约束:约束方程中显含t 完整、双侧、定常约束的一般方程: f1(x1,y1,z,…xn,yn)=0(j=1,2…,s) §43自由度于广义坐标 自由度 概念:具有双侧、完整约束的质点系,确定系统位置的独立坐标数目。 公式:k=n-s -n:系统的坐标数;s:约束方程数目 广义坐标 概念:确定系统位置的独立参数。如图49种的φ、φ。 第5页共5页
第 5 页 共 5 页 2 2 2 1 1 1 xyl + =2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) x x y y l − + − = 二、约束的分类 １、完整约束与非完整约束 j 1 1 1 n n n j 1 1 1 n n n 1 1 1 n n n 完整约束（几何约束）：f(x ,y ,z , x ,y ,z ;t)=0 非完整约束：f(x ,y ,z , x ,y ,z ;x ,y ,z , x ,y ,z ;t)=0 ２、单侧约束与双侧约束 单侧约束：两个方向都限制质点的运动 双侧约束：一个方向都限制质点的运动 ３、定常约束和非定常约束 定常约束：约束方程中不显含t 非定常约束：约束方程中显含t ⚫ 完整、双侧、定常约束的一般方程： i 1 1 1 n n f(x ,y ,z , x ,y )=0 (j=1,2 ,s) §4.3 自由度于广义坐标 一、自由度 概念：具有双侧、完整约束的质点系，确定系统位置的独立坐标数目。 公式： k n s = − ——n：系统的坐标数；s：约束方程数目 二、广义坐标 概念：确定系统位置的独立参数。如图 4-9 种的 、
