授课教案 课程名称:工程力学基础 编制日期:2/20/2021 授课日期 第周星期第周星期 第周星期 章节及课题: §44虚位移与虚功 §4.5理想约束 §46虚位移原理 教学目的: 掌握虚位移原理 重点与难点: 虚位移原理 教具准备: 教学内容及教学过程 虚位移 菲自由质点或质点系的约束将限制质点或质点系沿某些方向的位移,但同时也允许沿另外一些方向 的位移。例如: M f(xy,2)=0 虚位移:在给定瞬时(时间凝固),质点或质点系为约束允许的任何无限小位移。如果为质点系, 则其虚位移是指在不破坏约束的前提条件下,质点系一组几何相容的虚位移 虚位移的特点 1、虚位移必须指明给定的瞬时或位置 教师 专业主任: 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 授 课 教 案 课程名称：工程力学基础 编制日期：2/20/2021 授课日期 第周星期 第 周 星期 第 周 星期 第 周 星期 班 级 章节及课题： §4.4 虚位移与虚功 §4.5 理想约束 §4.6 虚位移原理 教学目的： 掌握虚位移原理 重点与难点： 虚位移原理 教具准备： 教学内容及教学过程 一、 虚位移 菲自由质点或质点系的约束将限制质点或质点系沿某些方向的位移，但同时也允许沿另外一些方向 的位移。例如： 虚位移：在给定瞬时（时间凝固），质点或质点系为约束允许的任何无限小位移。如果为质点系， 则其虚位移是指在不破坏约束的前提条件下，质点系一组几何相容的虚位移。 虚位移的特点： 1、虚位移必须指明给定的瞬时或位置； 装 订 线 教师： 专业主任：
2、位移必须为约束所允许,即满足约束方程 3、位移是无限小的位移; 4、虚位移可以不止一个或一组。 虚位移和无限小的实位移的区别:实位移d,虚位移δr 二、虚功 虚功:作用于质点或质点系上的力在其虚位移上所作的功 W=F●6 SW=FOx+F,dy+F 由于虚功不能积分,故虚功只有元功的飛式 §4.5理想约束 理想约束:约束力的虚功之和等于零,即OWF1=∑F·=0,则称之为理想约束 1、光滑固定支承面和滚动铰链支座 (b) 2、光滑固定铰链支座和轴承 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 2、位移必须为约束所允许，即满足约束方程； 3、位移是无限小的位移； 4、虚位移可以不止一个或一组。 虚位移和无限小的实位移的区别： 实位移dr r ，虚位移 二、虚功 虚功：作用于质点或质点系上的力在其虚位移上所作的功。 x y z W F r W F x F y F z = • = + + 由于虚功不能积分，故虚功只有元功的形式。 §4.5 理想约束 理想约束：约束力的虚功之和等于零，即 0 N N W F r F = • = ，则称之为理想约束。 1、光滑固定支承面和滚动铰链支座 2、光滑固定铰链支座和轴承
F a (b) 构件和轴出现微小转动时—作用点保持不变。 3、接物体的光滑铰链 由于存在作用力与反作用力,即使出现虚位移,由于作 用力与反作用力的共同作用,其虚功之和等于零。 4、重刚杆 无重刚杆连接两个物体,由于杠杆的重量不计,故其两 端的约束力构成二力共线。 OW=F·or4+F'OrB FSrAlcose,+ F' cos eB F(SrB - cose,) 由于杆件为刚杆,A、B两点之间的距离不变,因此这两点的微小位移在连线上的投影应该相等 即6 rIcos=6r4cos0 所以,OW=0 5、连接两个物体的不可伸长的柔索 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 构件和轴出现微小转动时——作用点保持不变。 3、接物体的光滑铰链 由于存在作用力与反作用力，即使出现虚位移，由于作 用力与反作用力的共同作用，其虚功之和等于零。 4、重刚杆 无重刚杆连接两个物体，由于杠杆的重量不计，故其两 端的约束力构成二力共线。 ' cos ' cos ( cos cos ) A B A B A B B A B A W F r F r F r F r F r r = • + = − + = − 由于杆件为刚杆，A、B 两点之间的距离不变，因此这两点的微小位移在连线上的投影应该相等， 即 B A cos cos B A r r = 所以， W = 0 5、连接两个物体的不可伸长的柔索
Oc 2,物 推导方式与4无重刚杆的过程基本相同,此处略 6、刚体在固定面上无滑动的滚动 SW=(F+FN.SrA dra=vadt=0 由于所研究的约束为定常约束,在此条件下可将实位移转化为虚位移,故有 SW=0 546虚位移原理 虚位移原理 具有双侧、定常、完整、理想约束的静止质点系,在给定位置保持平衡的必要条件是:该质点系所有 主动力在系的任何虚位移上的虚功之和等于零 必要性证明 如图所示,设质点系中任质点M作用有主动力合 力F和约束力合力FM,有 M 第4页共 b
第 4 页 共 6 页 推导方式与 4 无重刚杆的过程基本相同，此处略。 6、刚体在固定面上无滑动的滚动 W F F r = + • ( ) N A 0 A A d r v dt = = dr v dt A = = A 0 由于所研究的约束为定常约束，在此条件下可将实位移转化为虚位移，故有 r dr A A = = 0 W = 0 §4.6 虚位移原理 一、 虚位移原理 具有双侧、定常、完整、理想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的必要条件是：该质点系所有 主动力在系的任何虚位移上的虚功之和等于零。 必要性证明： 如图所示，设质点系中任一质点 Mi 作用有主动力合 力 Fi 和约束力合力 FNi ，有 F F i n i Ni + = = 0 ( 1,2, )
Fi+F ∑(F1+FN) 由于所有约束为理想约束,故有∑FN·r;=0 可得 ∑F·71=0 或写成 F)=∑ 即主动力虚功之和等于零。 充分性证明 设质点系不平衡,则至少有一个质点不平衡,设此质点为M1,有 FI+Fr 质点M将由静止沿FR方向进入运动(如上图b所示),获得实位移dr,FR将作出正功 F;·dn1+F·dn1>0 如果质点系还有其他不平衡质点,则有 ∑F·dr:+FN°dr:>0 其中,d,dr2,…,drn为一组同时产生的微小实位移。由于系统具有定常约束,因此必有 组大小方向相同的虚位移δr1,δr2,…,orn。于是有 ∑F· >0 考虑到理想约束,∑F·61=0,由此得 二、虚位移原理的广义坐标形式 由于涉及多元微积分,虚位移原理的广义坐标形式不作介绍 变形体的虚位移原理 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 ( ) 0 F F r i Ni i + • = ( ) 0 F F r i Ni i + • = 由于所有约束为理想约束，故有 F r Ni i • = 0 可得 0 ( ) 0 i i i i F r W F F r • = = • = 或写成 即主动力虚功之和等于零。 充分性证明： 设质点系不平衡，则至少有一个质点不平衡，设此质点为 M1 ，有 1 1 FR1 F F+ N 质点 M1 将由静止沿 FR1 方向进入运动（如上图 b 所示），获得实位移 dr1，FR1 将作出正功。 R1 1 1 1 F d d d 0 1 N1 • = • + • r F r F r 如果质点系还有其他不平衡质点，则有 i i i Ni F r F r • + • d d 0 其中， dr1， dr2 ，，drn 为一组同时产生的微小实位移。由于系统具有定常约束，因此必有 一组大小方向相同的虚位移 r1， r2 ，， rn 。于是有 i i i Ni F r F r • + • 0 考虑到理想约束， i N i F r • = 0 ，由此得 i i F r • 0 二、 虚位移原理的广义坐标形式 由于涉及多元微积分，虚位移原理的广义坐标形式不作介绍。 三、 变形体的虚位移原理
一个处于平衡的构件,其外力和内力在该任意给定的虚位移上所作的功之和等于零,即 ∑H(F)+∑W(F)=0 注意:我们在推导时要求质点系具有双侧、定常、完整、理想约束,实际上该定理使用与所有具有双 侧、理想约束的质点系,而不管是否完整、或定常。 第6页共6页
第 6 页 共 6 页 一个处于平衡的构件，其外力和内力在该任意给定的虚位移上所作的功之和等于零，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 e i W F W F i i + = 注意：我们在推导时要求质点系具有双侧、定常、完整、理想约束，实际上该定理使用与所有具有双 侧、理想约束的质点系，而不管是否完整、或定常