授课教案 课程名称:工程力学基础 编制日期: 授课日期 第16周星期五第周星期 第周星期第周星期 章节及课题 续§3-3弯曲应力和强度计算 教学目的: 掌握梁弯曲切应力的计算方法。 重点与难点 矩形截面梁弯曲切应力的计算 教具准备: 教学内容及教学过程 §3弯曲 四、弯曲切应力 横力弯曲=Q+W。剪力Q是与截面相切的内力的合力。 1、矩形截面梁 剪应力分布假设 教师: 专业主任: 第1页共5页
第 1 页 共 5 页 授 课 教 案 课程名称：工程力学基础 编制日期： 授课日期 第 16 周星期五 第 周 星期 第 周 星期 第 周 星期 班 级 教师： 专业主任： 章节及课题： 续§3-3 弯曲应力和强度计算 教学目的： 掌握梁弯曲切应力的计算方法。 重点与难点： 矩形截面梁弯曲切应力的计算 教具准备： 教学内容及教学过程 §3 弯曲 四、弯曲切应力 横力弯曲=Q+W。剪力 Q 是与截面相切的内力的合力。 1、矩形截面梁 剪应力分布假设： 装 订 线
(1)、横截面上各点的剪应力τ平行于Q,即平行于y轴; (2)切应力沿横截面的宽度b均匀分布 实践证明:对于h≯b,以假设得岀的解和精确解相比较精度足够。 M+dM d (a) dA= (+dm) (M+aM∥l≈(M+dMO 式中 S:=Jy,是横截面上部分面积对中性轴的静矩 仿照(a)式,可得 在顶面pr上,与顶面相切的内力系的合力是 do'=T'badx N2M与d平行于x轴,应满足∑x=0,有 N,-N,-dO'=0 整理后可得 dM S. OS dx b b 根据剪应力互等定理,有 第2页共5页
第 2 页 共 5 页 （1）、横截面上各点的剪应力 平行于 Q，即平行于 y 轴； （2）、切应力沿横截面的宽度 b 均匀分布。 实践证明：对于 h b ，以假设得出的解和精确解相比较精度足够。 1 1 1 2 * 1 ( ) ( ) ( ) A A z z A z z M dM N dA dA I M dM M dM y dA S I I + = = + + = = （a） 式中： 1 * z 1 A S y dA = ，是横截面上部分面积对中性轴的静矩。 仿照（a）式，可得 * 1 z z M N S I = 在顶面 pr 上，与顶面相切的内力系的合力是 dQ bdx ' ' = N N 2 1 、 、 与 dQ' 平行于 x 轴，应满足 x = 0 ，有 2 1 N N dQ − − =' 0 整理后可得 * * ' z z z z dM S QS dx I b I b = = 根据剪应力互等定理，有
dM S. Lb b 下面来介绍S:的计算 S:Jyda=, by,dy, sb,_) 所以,剪应力公式可写成 r==32(发生在中性轴,即y=0时,并 代入L bh3 2、工字形截面梁 如图所示,根据矩形梁的推导方法,有 Ⅰb 下面来介绍S的计算 B S=(H2-h2) 4 2 (B-b)] g BH- h 3、圆形截面梁(此处从略,请参见教材) 4、弯曲切应力强度条件 第3页共5页
第 3 页 共 5 页 * * z z z z dM S QS dx I b I b = = 下面来介绍 * z S 的计算： 1 2 / 2 * 2 1 1 1 ( ) 2 4 h z A y b h S y dA by dy y = = = − 所以，剪应力公式可写成 2 2 ( ) 2 4 z Q h y I = − max 3 2 Q bh = （ max 发生在中性轴，即 y=0 时，并 代入 3 12 z bh I = ） 2、工字形截面梁 如图所示，根据矩形梁的推导方法，有 * z z QS I b = 下面来介绍 * z S 的计算： * 2 2 ( ) 8 2 z B b S H h = − + 2 （ h 2 -y ） 4 2 2 [ ( ) 8 2 z Q B b H h I b = − + 2 （ h 2 -y ）] 4 2 max 2 min [ ( ) 8 [ 8 z z Q BH B b I Q BH I = − − = − 2 2 h ] 8 h ] 8 3、圆形截面梁（此处从略，请参见教材） 4、弯曲切应力强度条件
≤[r] 例题:1、长度为2a的悬臂梁AB其横截面为矩形,宽高分别为b和h。载荷如图所示,P已知 试计算悬臂梁AB上危险截面的最大正应力σm和rm。 解 1、求A处约束力 R P 剪力图和弯矩图如图所示 2、求和r 2P 根据图示可知,C处为危险界面,A 有:MC=Pa、Q=P M Pa 6Pa ==C= w bhbh 6 39 3P 2 bh 26h 例题2、矩形截面简支梁如图所 示。试计算1-1截面上a点和b点的正应力和切应力 第4页共5页
第 4 页 共 5 页 max [ ] 例题：1、长度为 2a 的悬臂梁 AB 其横截面为矩形，宽、高分别为 b 和 h。载荷如图所示，P 已知， 试计算悬臂梁 AB 上危险截面的最大正应力 max 和 max 。 解： 1、求 A 处约束力 R p A = 0 MA = 剪力图和弯矩图如图所示 2、求 max 和 max 根据图示可知，C 处为危险界面， 有： M Pa C = 、Q P C = max 2 2 6 6 c z M Pa Pa W bh bh = = = max 3 3 2 2 Q P bh bh = = 例题 2、矩形截面简支梁如图所 示。试计算 1-1 截面上 a 点和 b 点的正应力和切应力
P=8kN 1000 1200 1000 10 解 1、由静力学方程求A、B两处的约束力 48 R KN R KN 2、界面1-1处的剪力和弯矩 3、求正应力 =2(式中:M=40kN.m)1=m2=2109×10°m,y 75m 12 -35mm(a处) 可得二150MDn(处 12.9 Mp(b处) 4、求剪应力 y2)(式中:Q=,KN 35(a处) 可得 0379MPa(a处) oMPa(b处) 第5页共5页
第 5 页 共 5 页 解： 1、由静力学方程求 A、B 两处的约束力 40 48 11 11 R KN R KN A B = = 2、界面 1-1 处的剪力和弯矩 40 40 11 11 M KN m Q KN = = 3、求正应力 z My I = （式中： 40 11 M KN m = ）、 3 6 4 21.09 10 12 z bh I m− = = ， 75 ( ) 35 ( ) mm b y mm a = − 处 处 ） 可得 6.04 ( ) 12.9 ( ) MPa a Mpa b − = 处 处 4、求剪应力 2 2 ( ) 2 4 z Q h y I = − （式中： 40 11 Q KN = ， 75 ( ) 35 ( ) b y a = − 处 处 ） 可得 0.379 ( ) 0 ( ) MPa a MPa b = 处 处