授课教案 课程名称:工程力学基础 编制日期: 授课日期 第周星期第周星期第周星期第周星期 章节及课题: §3.2剪力图和弯矩图 教学目的 1、掌握剪力方程和弯矩方程的建立方法; 2、掌握剪力图和弯矩图的绘制方法; 重点与难点: 剪力图和弯矩图的关系及规律 教学内容及教学过程 §3.2剪力图和弯矩图 、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下,梁截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。以横坐标ⅹ表示横截 面在梁上的位置,则各截面上的剪力和弯矩皆可表示为ⅹ的函数,即 0=Q(x) M=M(x) 、剪力图和弯矩图 通过例题来讲解 例题1、如右图所示,列出该机构的剪力和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。 教师: 专业主任 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 授 课 教 案 课程名称：工程力学基础 编制日期： 授课日期 第周星期 第 周 星期 第 周 星期 第 周 星期 班 级 教师： 专业主任： 章节及课题： §3.2 剪力图和弯矩图 教学目的： 1、掌握剪力方程和弯矩方程的建立方法； 2、掌握剪力图和弯矩图的绘制方法； 重点与难点： 剪力图和弯矩图的关系及规律 教具准备： 教学内容及教学过程 §3.2 剪力图和弯矩图 一、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。以横坐标 x 表示横截 面在梁上的位置，则各截面上的剪力和弯矩皆可表示为 x 的函数，即 ( ) ( ) Q Q x M M x = = 二、剪力图和弯矩图 通过例题来讲解 例题 1、如右图所示，列出该机构的剪力和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 装 订 线
解:由静力平衡条件计算支座反力 M=0 P6-R=o R ∑M4=0R-Pa=0 由此得 R AC段的剪力和弯矩方程 M Pb (c) Q(x) (0<x<a) (0≤x≤a) CB段的剪力和弯矩 P a (a<x<n Pb M(x) x-(x-0)=a -x)(a≤x≤1) 根据上述方程,画出如图所示的剪力和弯矩图,由图可以看出,最大剪力出现在AC段, Pb Pab 2m ,最大弯矩出现在C处,Wm-1° 总结:建立图为直线,弯矩图为斜直线 例题2、如图所示的桥式起重机大梁的跨度 B 为1,起重机大梁的自重可以看作均布载荷 试作剪力图和弯矩。 解:起重机大梁可以简化为简支梁,由于载 荷和结构均为对称,可以方便求出A、B两 处的支座反力 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 解：由静力平衡条件计算支座反力 0 0 0 0 B A A B M Pb R l M R l Pa = − = = − = 由此得 A B Pb R l Pa R l = = AC 段的剪力和弯矩方程： ( ) (0 ) ( ) (0 ) Pb Q x x a l Pb M x x x a l = = CB 段的剪力和弯矩： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pb Pa Q x P a x l l l Pb Pa M x x P x a l x a x l l l = − = − = − − = − 根据上述方程，画出如图所示的剪力和弯矩图，由图可以看出，最大剪力出现在 AC 段， max Pb Q l = ；最大弯矩出现在 C 处， max Pab W l = 。 总结：建立图为直线，弯矩图为斜直线。 例题 2、如图所示的桥式起重机大梁的跨度 为 l，起重机大梁的自重可以看作均布载荷。 试作剪力图和弯矩。 解：起重机大梁可以简化为简支梁，由于载 荷和结构均为对称，可以方便求出 A、B 两 处的支座反力
R=RB= 以梁左端A为坐标原点,选取坐标系如图所示。距原点为x的任意截面上的剪力和弯矩 分别是 O(x=R-g (0<x<) M(x)=rx-q x q (0≤x≤D) 22 作图如图所示。 Me=GD/2 R A 例题3、如图所示的斜齿轮传动轴的情形 解:由静力学方程,可以求出A、B两处的支座反力分别为 ∑MB=0R1-M=0R 0 RB 力G使CB段处于压缩状态 剪力方程:由于在整个轴段上无论在哪一个截面上剪力总是等于支座反力,故有 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 2 A B ql R R = = 以梁左端 A 为坐标原点，选取坐标系如图所示。距原点为 x 的任意截面上的剪力和弯矩 分别是 2 ( ) (0 ) 2 ( ) (0 ) 2 2 2 A A ql Q x R qx qx x l x ql q M x R x qx x x x l = − = − = − = − 作图如图所示。 例题 3、如图所示的斜齿轮传动轴的情形。 解：由静力学方程，可以求出 A、B 两处的支座反力分别为 0 0 0 0 e B A e A e A B e B M M R l M R l M M R l M R l = − = = = − = = 力 G 使 CB 段处于压缩状态。 剪力方程：由于在整个轴段上无论在哪一个截面上剪力总是等于支座反力，故有
M <x< 弯矩方程 AC段 M() < CB段 me 剪力图和弯矩图如图所示。 q 忄R A D 430 800 例题4、如图所示的简支梁q=12.5×103kN/m,试作剪力图和弯矩 解:显然,支座反力为 R4=R2=5000 O(x=R,=5000 kN M(x)=R1x=5000x·m D段 Q(x)=5000-12500(x-0.43)kN M(x)=Rx-y (x-043)2=5000x-6250(x-0.43)2kN·m 第4页共6页
第 4 页 共 6 页 ( ) M e Q x l = − ( ) (0 ) M e Q x x l l = − 弯矩方程： AC 段： ( ) (0 ) M x x x a M e l = − CB 段： ( ) ( ) ( ) Me M x l x a x l l = − 剪力图和弯矩图如图所示。 例题 4、如图所示的简支梁 3 q kN m = 12.5 10 / ，试作剪力图和弯矩。 解：显然，支座反力为 5000 R R kN A B = = AC 段： ( ) 5000 ( ) 5000 A A Q x R kN M x R x x kN m = = = = CD 段： 2 2 ( ) 5000 12500( 0.43) ( ) ( 0.43) 5000 6250( 0.43) 2 A Q x x kN q M x R x x x x kN m = − − = − − = − −
Q(x)=-RB=-5000kN f(x)=R2(1.66-x) 剪力图和弯矩图如图所示。 下面我们来分析载苛集度、剪力和弯矩之间的关丞: 在梁上取一段微元体如图所示,由静力学条件∑Y=0,有 O(x)O(x)+do(x+qx)cx=0 可得 础H d@(=g(x) 由静力学条件∑M=0,有 1(x)+dM(x)-M(x)-(xax-q(x)dx.=0 Q(x Q(r)+dQ(x) 2 略去二阶微量(x1。d,可得 (b) M(x)+dM(r) dM(x) 显然有 9(x) d-M(x) do(x) =q(x) 以上就是三者的关系,根据高等数学的知识,非常方便我们作图,并将剪力图和弯矩图 的作法总结如下 载 荷 O(x) M(x) 无载荷q(x)=0 常数,水平线 次函数,斜直线 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 DB 段： ( ) 5000 ( ) (1.66 ) B B Q x R kN M x R x kN m = − = − = − 剪力图和弯矩图如图所示。 下面我们来分析载荷集度、剪力和弯矩之间的关系： 在梁上取一段微元体如图所示，由静力学条件 Y = 0 ，有 Q x Q x dQ x q x dx ( ) [ ( ) ( )] ( ) 0 − + + = 可得 ( ) ( ) dQ x q x dx = 由静力学条件 0 MC = ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 dx M x dM x M x Q x dx q x dx + − − − = 略去二阶微量 ( ) 2 dx q x dx ，可得 ( ) ( ) dM x Q x dx = 显然有 2 2 ( ) ( ) ( ) d M x dQ x q x dx dx = = 以上就是三者的关系，根据高等数学的知识，非常方便我们作图，并将剪力图和弯矩图 的作法总结如下： 1、 载 荷 Q x( ) M x( ) 无载荷 q x( ) 0 = 常数，水平线 一次函数，斜直线
均布载荷q(x)=常数|一次函数,斜直线|二次函数,抛物线 2、集中力作用处:剪力突变,弯矩斜率形成转折点。 集中力偶作用处:弯矩突变 第6页共6页
第 6 页 共 6 页 均布载荷 q x( ) =常数 一次函数，斜直线 二次函数，抛物线 2、集中力作用处：剪力突变，弯矩斜率形成转折点。 集中力偶作用处：弯矩突变