授课教案 课程名称:工程力学基础 编制日期:2/20/2021 授课日期 第周星期第周星期 第周星期 章节及课题: 续§2.2扭转的强度和刚度 教学目的 重点与难点 教学内容及教学过程 §21扭转的概念内力与应力 §22扭转的强度和刚度 强度条件 1、变形几何条件 y= dO 2、物理关系 3、静力学关系 教师 专业主任: 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 授 课 教 案 课程名称：工程力学基础 编制日期：2/20/2021 授课日期 第周星期 第 周 星期 第 周 星期 第 周 星期 班 级 章节及课题： 续 §2.2 扭转的强度和刚度 教学目的： 重点与难点： 教具准备： 教学内容及教学过程 §2.1 扭转的概念 内力与应力 §2.2 扭转的强度和刚度 一、强度条件 1、 变形几何条件 d R dx = d dx = 2、 物理关系 = G d G dx = 3、静力学关系 装 订 线 教师： 专业主任：
da 如图所示,有 微分面积:d=2xdp 微力偶矩:pr,dA4 整个横截面上内力系所组成的内力偶矩为 上式中,设 =Jpa(极惯性矩) 有 T=G do 则有 P 设 (抗扭截面系数) 下面介绍l和W计算 实心轴 d4=2 空心轴 W=(1-a2) 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 如图所示，有 微分面积： dA d = 2 微力偶矩： dA 整个横截面上内力系所组成的内力偶矩为： A dA 2 A A A d d T dA G dA G dA dx dx = = = 上式中，设 2 p A I dA = （极惯性矩） 有 p d T GI dx = 则有： p T I = max p TR I = 设 p t I W R = （抗扭截面系数） max t T W = 下面介绍 p I 和 Wt 计算： ⚫ 实心轴 4 4 2 3 0 2 2 32 R p A R D I dA d = = = = 3 3 2 16 p t I R D W R = = = ⚫ 空心轴 4 4 4 4 ( ) (1 ) 32 32 p D I D d = − = − 3 4 (1 ) 16 t D W = −
1、强度条件 T 二、刚度条件 1、扭转时的变形 转角的变化率 2、刚度条件 s[] 例题1:如图所示的空心轴,外径为100mm,内径为80mm,为500mm,m1、m2分别为6、 4KNm,材料的剪切弹性模量G为80GPa 双1 ITTTTTOTTTTI2 2kN. m 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 1、 强度条件 max max t T W = 二、刚度条件 1、扭转时的变形 p T d dx GI = 0 l l p p T Tl d dx GI GI = = = 1 n i i i pi Tl GI = = 转角的变化率 p d T dx GI l = = = 2、刚度条件 max max p T GI = 例题 1：如图所示的空心轴，外径为 100mm，内径为 80mm，l 为 500mm，m1、m2 分别为 6、 4KNm，材料的剪切弹性模量 G 为 80GPa
1、绘制轴的扭矩图 2、求轴的最大剪应力,并指出其位置; 求截面C对A、B截面的相对转角 [解] 1、扭矩图(计算从略) 2、BC段为危险截面,其最大剪应力为 0.1(1-0.84) 16 345×10°Pa=345MPa 3、转角由于扭转沿轴线ⅹ不是一个连续的函数,所以必须分段积分,即 Th-aI T-I 代入数据可得,臾=-0247 例题2:如图所示的构件,受均布力偶的作用,其力偶的集度为m=20Nm/m。已知直径D=20mm, l=2m,材料的G=80Gpa,[r]=30Mpa,单位长度的需用扭角]=2°/m 试进行强度和刚度校核,并计算A、B二截面的相对扭转角 第4页共6页
第 4 页 共 6 页 1、 绘制轴的扭矩图； 2、 求轴的最大剪应力，并指出其位置； 3、 求截面 C 对 A、B 截面的相对转角。 解 1、扭矩图（计算从略） 2、BC 段为危险截面，其最大剪应力为 3 max max 3 4 t 6 T 4 10 W 0.1 (1 0.8 ) 16 34.5 10 Pa 34.5MPa = = − = = 3、转角 由于扭转沿轴线 x 不是一个连续的函数，所以必须分段积分，即 b a c b c a b a c b p p b a c a p T l T l GI GI l (T T ) GI − − − − − − − = + = + = + 代入数据可得， c b 0.247 − = − 例题 2：如图所示的构件，受均布力偶的作用，其力偶的集度为 m=20N·m/m。已知直径 D=20mm， l=2m，材料的 G=80Gpa，[ ]=30Mpa，单位长度的需用扭角[ ]= 2 /m。 试进行强度和刚度校核，并计算 A、B 二截面的相对扭转角 B A−
(B) 〔(1 M(r) ml ↓Mn+d ()M 解 1、绘制扭矩图截取长度为ⅹ的隔离体,利用平衡条件求得扭转方程 绘出扭矩图如图所示。杆内最大扭矩在固定端,其值为 l=2×20=40N 2、强度校核 25.5×10°Pa n =25MPa≤[r 所以满足强度条件。 3、刚度校核 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 解： 1、绘制扭矩图 截取长度为 x 的隔离体，利用平衡条件求得扭转方程： M (x)=ml-mx n 绘出扭矩图如图所示。杆内最大扭矩在固定端，其值为 n max (M ) ml 2 20 40N m = = = 2、强度校核 n max 6 max 3 (M ) 40 25.5 10 Pa Wn 0.02 16 25.5MPa [ ] = = = = 所以满足强度条件。 3、刚度校核
)=(Mn) 3.18×10-rad/m≤ 所以满足刚度条件。 计算A、B二截面的相对扭转角φA Ph-A=[Mn(x) ml-mx (-x) 20×2 =3.18×0-2rad 2GI 2×80×10°×2×0 第6页共6页
第 6 页 共 6 页 n max max 9 4 p 2 d 40 M ( ) ( ) dx GI 80 10 0.02 32 3.18 10 rad / m [ ] − = = = 所以满足刚度条件。 4、计算 A、B 二截面的相对扭转角 B A− l l l n 2 B A 0 0 p p p 0 2 2 2 9 4 p M (x) ml mx m dx [ (l x) ] GI GI 2GI ml 20 2 3.18 10 rad 2GI 2 80 10 0.02 32 1.82 − − − = = = − − = = = =