3-1解题过程 (1)三角形式的傅立叶级数( Fourier series,以下简称FS) f(=ao+2la, cos(no, ) +b, sin(no, )I n为正整数,7为信号周期 (a)直流分量 zJ f(dr (b)余弦分量的幅度an=<f ∫()cos(non)dt ()正弦分量的幅度b=∫f(in(m)t (2)指数形式的傅立叶级数 f(1)=∑F(no)em 1r+7 其中复数频谱F=F(m)=()m Fn=(a,-jbn) Fm=(a,+jb) 由图31可知,f()为奇函数,因而a0=an=0 b.=1/((mo)h= 2E sin(n@, dr Ep cos(no,d=-[ -cos(nZ n=2.4. =2E n=1,3, n 所以,三角形式的FS为 f(0==sin(o,r)+3sin(30, )+=sin(5a,t) 指数形式的FS的系数为 n=0,±2,±4, F=-/h={/E n=0,±1,±3
1 3-1 解题过程： （1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series，以下简称 FS） () ( ) ( ) 0 11 1 cos sin n n n f t a a nt b nt ω ω +∞ = =+ + ⎡ ⎤ ∑⎣ ⎦ 式中 1 1 2 T π ω = ， n 为正整数，T1为信号周期 （a）直流分量 ( ) 0 1 0 0 1 1 t T t a f t dt T + = ∫ （b）余弦分量的幅度 () ( ) 0 1 0 1 1 2 cos t T n t a f t n t dt T ω + = ∫ （c）正弦分量的幅度 () ( ) 0 1 0 1 1 2 sin t T n t b f t n t dt T ω + = ∫ （2）指数形式的傅立叶级数 () ( ) 1 1 jn t n ft Fn e ω ω +∞ =−∞ = ∑ 其中复数频谱 ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 1 t T jn t n t F F n f t e dt T ω ω + − = = ∫ ( ) 1 2 F a jb n nn = − ( ) 1 2 F a jb −n nn = + 由图 3-1 可知， f ( )t 为奇函数，因而 0 0 n a a = = () ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 11 0 0 1 0 4 42 sin sin cos 1 cos 2 0 2, 4, 2 1,3, T T T n E EE b f t n t dt n t dt n t n T T nt n n E n n ω ωω π ω π π − = = = =− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎧ = ⎪ = ⎨ = ⎪ ⎩ ∫ ∫ " " 所以，三角形式的 FS 为 ( ) ( ) 111 1 ( ) ( ) 2 11 2 sin sin 3 sin 5 3 5 E ft t t t T π ωωω ω π ⎡ ⎤ = + + += ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " 指数形式的 FS 的系数为 0 0, 2, 4, 1 2 0, 1, 3, n n n F jb jE n nπ ⎧ = ±± ⎪ =− = ⎨ − = ±± ⎪ ⎩ "
所以,指数形式的FS为 f( JE 315分析:半波余弦脉冲的表达式f()=Ecoy/x2-u(-2 求∫()的傅立叶变换有如下两种方法。 解题过程 方法一:用定义 F(o)=S. E cos( e"dr e dt E Ecos=@ Ecos=o 2ET cOS 方法二:用FT的性质和典型的FT对 f(t)=Ecos-t‖lat+ F(o 其中S|oszn=|a+x+(a-z 代入F()= E Cos Friuli+ 2
2 所以，指数形式的 FS 为 ( ) 111 1 3 3 1 2 3 3 jt jt j t j t jE jE jE jE ft e e e e T ωωω ω π ω ππ π π − − =− + − + + = " 3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 ( ) cos 2 2 ft E t ut ut π τ τ τ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = +− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 求 f ( )t 的傅立叶变换有如下两种方法。 解题过程： 方法一：用定义 ( ) 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 2 2 cos 2 j t jt jt j j jj F E t e dt E e e dt E E ee e e j j E E τ ω τ τ π π ω ω τ τ τ π τ πτ πτ πτ ω ω ωω τ τ ττ π ω τ π π ω ω τ τ τ ω π ω τ − − ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ − −+ ⎝⎠ ⎝⎠ − ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − −− −+ + ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = −− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛⎞ ⎛⎞ − + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + − ∫ ∫ 2 cos 2 2 cos 2 1 E τ ω π ω τ τω τ ωτ π π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 方法二：用 FT 的性质和典型的 FT 对 ( ) cos 2 2 ft E t ut ut π τ τ τ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = +− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ( ) cos 2 22 E F t ut ut π τ τ ω π τ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ∗ +− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ F F 其中 cos t π π π πδω δω τ τ τ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ++ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ F ， 2 sin 22 2 ut ut τ τ ωτ ω ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +− − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ F 代入 ( ) cos 2 22 E F t ut ut π τ τ ω π τ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ∗ +− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ F F 得
E F 丌6a+-|+6|o- sin 2 2 =E T cOS 其频谱图如下图所示 3-19分析:本题意在说明:对于两频域信号,如果其幅频特性相同,但是相频特性不同则 它们对应的时域信号是不一样的 解题过程 (a)|F(a)=[u(+a)-(o-0),q(o)=m[(a+an)-(a-a] 所以,F(a)=|F()e)=Ae-m[(a+a)-(0-a) 先求F1(m)=u(o+)-(m-0)的FT:f() gSa(01=u(o+o)u(o-o)
3 ( ) 2 2 sin 2 2 sin sin 2 2 2 cos 2 1 E F E E π π ωτ ω πδω δω π τ τω π π ωτ ωτ τ τ π π ω ω τ τ τω τ ωτ π π ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎞ =⋅ ++ − ∗ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪ ⎪ ⎜⎟ ⎜⎟ + − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = + ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ + − ⎩ ⎭ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 其频谱图如下图所示： 3-19 分析：本题意在说明：对于两频域信号，如果其幅频特性相同，但是相频特性不同则 它们对应的时域信号是不一样的。 解题过程： （a） F Au u ( ) ω ωω ωω = +− − ⎡ ⎤ ( 0 0 )( ) ⎣ ⎦ ，ϕω ω ω ω ω ω ( ) = +− − tu u 00 0 ⎡ ( )( )⎤ ⎣ ⎦ 所以， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 j j t F F e Ae u u ϕ ω ω ω ω ωω ωω = = +− − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 先求 Fu u 1 00 () ( ) ( ) ω = +− − ωω ωω 的 FT： f1 (t) 由 ( ) c cc ( )( ) c Sa t u u π ω ωω ωω ω ⎡ ⎤⎡ ⎤ = +− − F ⎣ ⎦⎣ ⎦
可知s[n(+a)-u(-a)]=2s(a) 再由F的平移性质:()={4-[(0+0)-n(o-a)]=42sa2(+4 (b)|F(a)=[u(a+a)-u(a-a) q()=-[u(a+a)-(a)]+[(o)-u(-a) 所以,F()=F(o)em-=Ae([(+a1)-u(o)+4e5[()-u(o-a jA[(o+a)-u(o)]+1[u(a)-u(a-a) 欲求F()的反变换,可利用FT的频域微分性质: doF(o)=(a+)-(ao)+()-(0-a 另f() jA d +2[-e-] )=2(1-cosa) 由F的频域微分性质,有f()=()=n(cy-》(3 322分析:F的时域对称性:若F(a)=S[()],则S[F()]=2x/(-a) (1)∵6()1,6(+a)←e 由FT的时频对称性,有ew42n6(-+a)=2n6(o-a) F(o)=(0-o)的时间函数∫()=em (2)∵:l(t+a)-a(t-∞)分2an5a(oO) 由FT的时频对称性,有 2aSa(a)2z[(-o+a)-(-0-a)]=2z[v(a+a)-(a0-a) 即S(a)l(o+a)-u(o-a) F(o)=(+a)-u(o-a)的时间函数f()=asa(a) (3)F()={z (olson) a)=2[(o+)-(0-a) others
4 可知 ( )( ) ( ) 1 0 00 0 u u Sa t ω ω ω ωω ω π − ⎡ ⎤ +− − = F ⎣ ⎦ 再由FT的平移性质： () ( ) ( ) { } ( ) 0 0 0 0 00 j t A f t Ae u u Sa t t ω ω ωω ωω ω π ⎡ +− − = + ⎤ ⎡⎤ = F ⎣ ⎦ ⎣⎦ （b） F Au u ( ) ω ωω ωω = +− − ⎡ ⎤ ( 0 0 )( ) ⎣ ⎦ ( ) ( ) () 0 0 () ( ) 2 2 u u uu π π ϕω ω ω ω ω ω ω =− + − + − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 所以， () () ( ) ( ) () () ( ) 2 2 0 0 j j j F F e Ae u u Ae u u π π ϕ ω ω ω ωω ω ω ωω ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = = +− + − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ =− + − + − − jA u u jA u u ⎡ ⎤⎡ ⎤ ( ) ωω ω ω ωω 0 0 ( ) ( ) ( ) ⎣ ⎦⎣ ⎦ 欲求 F ( ) ω 的反变换，可利用 FT 的频域微分性质： () ( ) () () ( ) 0 0 d F jA jA d ω δω ω δω δω δω ω ω =− + − + − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 另 ( ) ( ) 1 0 0 1 1 1 2 2 d jA jA jt jt ft F e e d ω ω ω ωπ π − ⎧ ⎫ − = =− − + − ⎨ ⎬ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭ F ( ) ( ) 0 0 0 2 1 cos 2 jt jt jA jA ee t ω ω ω π π − = −− = − 由 FT 的频域微分性质，有 () () ( ) 2 0 1 0 2 cos 1 sin 2 A A t ft ft t t t ω ω π π − ⎛ ⎞ = = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3-22 分析：FT 的时域对称性：若 F ft (ω) = ⎡ ( )⎤ F ⎣ ⎦ ，则 F ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Ft f ( ) () = 2π −ω （1）∵δ ( )t ↔1， ( ) 0 0 j t e ω ω δ ω+ ↔ ∴由 FT 的时频对称性，有 ( ) ( ) 0 0 0 2 2 j t e ω ↔ −+ = − πδ ω ω πδ ω ω ∴ F () ( ) ω 0 = − δω ω 的时间函数 ( ) 0 1 2 j t f t e ω π = （2）∵u t u t Sa ( )( ) +−−↔ ω0 0 00 ω ω ωω 2 ( ) ∴由 FT 的时频对称性，有 22 2 ω ω π ωω ωω π ωω ωω 00 0 0 0 0 Sa t u u u u () ( ) ↔ −+ − −− = + − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ( ) ( )( ) ⎣ ⎦⎣ ⎦ 即 () ( )( ) 0 0 00 Sa t u u ω ω ωω ωω π ↔ +− − ∴ Fu u () ( ) ( ) ω = +− − ωω ωω 0 0 的时间函数 ( ) ( ) 0 0 f t Sa t ω ω π = （3） ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 F uu others ω ω ω ω ω ωω ωω π π ⎧ ⎪ ≤ = = +− − ⎨ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩
利用(2)的结论,F()的时间函数f()="sa(ag) 3-32解题过程:利用性质 )y()=9[x()*s[y() gLsin(oo()u(]=slsin(@od]*Lu(I 单边正弦函数的F=1m[a.-0-2)1+x( =n[(a+an)+(-a)]+6 0
5 利用（2）的结论， F ( ) ω 的时间函数 ( ) ( ) 2 0 2 0 f t Sa t ω ω π = 3-32 解题过程：利用性质： ( ) () () () () 1 2 x t yt xt yt π ⋅= ∗ ⎡ ⎤ ⎡⎤ F FF ⎣ ⎦ ⎣⎦ 单边正弦函数的 FT： ( ) () ( ) () ( )( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 2 2 0 1 sin sin 2 1 1 2 2 tut t ut j j j ω ω π π δ ω ω δ ω ω πδ ω π ω π ω δω ω δω ω ω ω ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤ = ∗ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎡ ⎤ =⋅ +− − ∗ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ++ − + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − F FF