黄河水利职业技术学院：《电路分析基础》课程教学资源（PPT课件讲稿，第2版）第12章 拉普拉斯变换

电路分析基础 第12章拉普拉斯变换 12.1拉普 拉斯变换 12.4应用 的定义 拉普拉斯 分析缆性电路 12.2拉普 拉变换的 12.3拉普 拉斯反变换 基本性 章目

12.3 拉普 拉斯反变换 12.1 拉普 拉斯变换 的定义 第12章 拉普拉斯变换

电路分析基础 本章的学习目的和要求 了解拉普拉斯变换的定义和基本性 质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形式 运算阻抗和运算导纳的基础上,掌握拉 普拉斯变换法分析和研究线性电路的方 法和步驟:在求拉氏反变换时,要求掌 握分解定理及其应用。 返节目录

本章的学习目的和要求 了解拉普拉斯变换的定义和基本性 质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形式、 运算阻抗和运算导纳的基础上，掌握拉 普拉斯变换法分析和研究线性电路的方 法和步骤；在求拉氏反变换时，要求掌 握分解定理及其应用

电路分析基础 12.1拉普拉斯变换的定义 学习目祘∶了解拉普拉斯变换的定义,理解原函数 象函数的概念。 在高等数学中,为了把复杂的讣算转化为较简单的计算 往往釆用变换的方法,拉普拉斯变換(简称拉氏变换)就是其 中的一种 拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。 用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路)的运动过 程,在工程上有着广泛的应用。 拉普拉斯变换可将时域函数f()变换为频域函数F(S 只要八(1)在区间[0,∞]有定义,则有 (s)=f(te stdt 返节目录

了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、 象函数的概念。 在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算， 往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变换)就是其 中的一种。 拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。 用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路)的运动过 程，在工程上有着广泛的应用。 拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。 只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有     0 F (s) f (t)e dt st

电路分析基础 F(s)=f(te stdt 上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知:一个时域函 数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的eˉ称为收 敛因子,收敛因子中的=C+是一个复数形式的频率,称 为复频亭,其实部恒为正,虛部即可为正、为负,也可为 零。士式左边的F(S)称为复频域函数,是时域函数的拉 氏变换,F()也叫做(的象函数。记作F(s)=Lf() 式中]是算子,表示对括号内的函数进行拉氏变换。电 路分析中所遇到的电压、电流一般均为时间的函数,因此其 拉氏变换都是存在的。 如复频域函数F()已知,要求出与它对应的时域函数f() 又要用到拉氏反变换,即 F(se dt 返节目录

    0 F (s) f (t)e dt st 上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域函 数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e -st称为收 敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的频率，称 为 ，其实部恒为正，虚部即可为正、为负，也可为 零。上式左边的 ，是 的拉 氏变换， F(s)也叫做f(t)的 。记作 F(s)  L[ f (t)] 式中L[ ]是算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电 路分析中所遇到的电压、电流一般均为时间的函数，因此其 拉氏变换都是存在的。 如复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的时域函数f(t) ， 又要用到拉氏反变换，即       j j s t F s e dt j f t    ( ) 2 1 ( )

电路分析基础 拉普拉斯变换的噍一性 该式左边的f)在这里称为F(S)的原函数,此式表明 如果时域函数(已知,通过拉氏反变换,又可得到它的象 函数F(s),记作 f(t=L F(si 式中L叫[]也是一个算子,表示对括号内的象函数进行 拉氏反变换。 在拉氏变换中,一个时域函数f()惟一地对应一个复频 域函数F(s);反过来,一个复频域函数F()惟一地对应 时域函数八(1),即不同的原函数和不同的象函数之间有着 对应的关系,称为拉氏变换的惟一性。 注意在拉氏变换或反变换的过程中,原函数一徫用小 写字母表示,而象函数则一律用相应的大写字母表示。如 电压原函数为(1),对应象函数为U(s) 返节目录

该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的 ，此式表明： 如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又可得到它的象 函数F(s)，记作： 式中L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函数进行 拉氏反变换。 在拉氏变换中， 一个时域函数f(t)惟一地对应一个复频 域函数F(s)；反过来， 一个复频域函数F(s)惟一地对应一个 时域函数f(t)，即不同的原函数和不同的象函数之间有着一 一对应的关系，称为 。 注意在拉氏变换或反变换的过程中， 而 如 电压原函数为 ，对应象函数为 。 ( ) [ ( )] 1 f t L F s   拉普拉斯变换的唯一性

电路分析基础 应用拳例 求指数函数()=e、f1)=em(x>0,a是常数)的 拉普拉斯变换。 解答 由拉氏变换定义式可得 at e e-ae st dt -(a+s)t 0 0 此积分在S>α时收敛,有 -at (a+s)t 0 s+a 同理可得f()=e的拉氏变换为 L[e]=.e-(a-st s-C 返节目录

L e e e dt e dt t t st s t            0 ( ) 0 [ ]    求指数函数f(t)=e－αt 、 f(t)=e αt (α≥0,α是常数)的 拉普拉斯变换。 由拉氏变换定义式可得 此积分在s>α时收敛，有：            s L e e dt t s t 1 [ ] 0 ( )           s L e e dt t s t 1 [ ] 0 ( ) 同理可得f(t)=e αt 的拉氏变换为：

电路分析基础 应用拳例 求单位阶跃函数fD)=e(1)、单位冲激函数f()=0(0)、 正弦函数()=sin的象函数。 解答由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的拿函数为 F(s)=L[e(t)]=.c(t)e-stdt e 0 同理。单位冲激函数的象函数为 0+ F(s)=L[(t) δ(t)e-sd δ(t)e 0 0 正弦函数 sin ot的象函数为: F(s)=ino1]=「 sin ate- 0 st e S+O'(s sin ot+@ cos at)o_ S<+@ 返节目录

s e s F s L t t e dt e dt st st 1 st 1 ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0                      求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。 由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为 同理，单位冲激函数的象函数为 ( ) [ ( )] ( ) ( ) 1 ( 0 ) 0 0 0               st st s F s L  t  t e dt  t e dt e 2 2 0 2 2 0 ( sin cos ) ( ) [sin ] sin                        s s t t s e F s L t te dt st st 正弦函数sin ωt的象函数为：

电路分析基础 什么是原函数? 什么是象函数? 什么是拉普拉斯 二者之间的关系 变换?什么是拉 如何? 普拉斯反变换? 原函数是时域函数, 已知原函数求象函数 一般用小写字母表示, 的过程称为拉普拉斯变 么象函数是复频域函数, 換;而己知象函数求原 用相应的大写字母表示。 函数的过程称为拉普拉 原函数的拉氏变换为象 斯反变换。 函数:象函数的拉氏反 变换得到的是原函数 返节目录

什么是拉普拉斯 变换？什么是拉 普拉斯反变换？ 什么是原函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？ 已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。 原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数的拉氏变换为象 函数；象函数的拉氏反 变换得到的是原函数

电路分析基础 12.2拉普拉斯变换的基本性质 学习目祘、了解拉氏变换的线性性质,微分性质和积分 性质,运用这些性质进行拉氏变换的形式。 拉普拉斯变换有许多重要的性质,利用这些性质可以很 方便地求得一些较为复杂的函数的象函数.同时也可以把 线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。 1.代数性质 设函数f1()和/2(1)的象函数分别为F1(S)和F2(),则函数 f(t)=Af1(t)±Bf2(1)的象函数为 F(s)=AF1(s)±BF2(S) 上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可以直 接利用拉普拉斯变换的定义加以证明 返节目录

了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分 性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。 拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以很 方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把 线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。 1.代数性质 设函数 f1 (t)和f 2 (t)的象函数分别为 F1 (s)和F2 (s)，则函数 f (t)  Af1 (t)  Bf 2 (t)的象函数为： 上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可以直 接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。 ( ) ( ) ( ), 1 2 F s  AF s  BF s

电路分析基础 应用拳例 )求f()=SinO和/2(t)=c0O的象函数 解根据欧拉公式:em=0smt+jsnm可得: ot e cOS wts eJot e Jo sin ot 2 2 由前面例题得出L[e]= e S-e +J 故 L[sinat] st+@ s-10 St10 2 s-+0 同理:L[ cos ot]= J0 S+J 返节目录

求f1 (t)  sin t和f 2 (t)  cos t的象函数。 根据欧拉公式： e jt  cos t  j sin t可得： , 2 sin j e e t jt jt     2 cos j t j t e e t       1 [ ]   s j L e j t  由前面例题得出  1 [ ] -   s j L e j t   2 2 2 2 2 1 ) 1 1 ( 2 1 [sin ]                    s s s j s j j s j s j j 故 L t 2 2 ) 1 1 ( 2 1 [cos ]           s s s j s j 同理：L t