92解:设周期序列x2(m)的周期为N,则 Xp x(k)=∑7 由于x2(m)是实数序列 于是x(k)=∑x(On)e (3y 故X'(-k) x2(k) 9-3解题过程 设x()的周期为N,则x2(k)=∑x,()e 变量置换,令n=-n,则 由于x2(n)是n的偶函数,所以x1(-n)=x2(m) 又知x2(m)是以N为周期的周期序列,故其在任一周期内的DFS应相同,即 ∑x2(m) 故 因此X(k)是实数序列
9-2 解：设周期序列 xp ( ) n 的周期为 N ，则： () () 2 1 0 ⎛ ⎞ π − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = ∑ N j nk N p p n X k x ne () () ( ) 2 2 1 1 0 0 π π ∗ ∗ ⎛⎞ ⎛⎞ − − − − ⎜⎟ ⎜⎟ ∗ ∗ ⎝⎠ ⎝⎠ = = ⎡ ⎤ ⎡⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ∑ ∑ N N j nk j nk N N pp p n n X k x ne x n e 由于 xp ( ) n 是实数序列 () () ∗ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ p p x n xn 而 2 2 π π ∗ ⎛⎞ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ j nk j nk N N e e 于是 () () 2 1 0 ⎛ ⎞ π − ⎜ ⎟ ∗ ⎝ ⎠ = = ∑ N j nk N p p n X k x ne 故 ( ) () ( ) 2 1 0 ⎛ ⎞ π − − ⎜ ⎟ ∗ ⎝ ⎠ = −= = ∑ N j nk N pp p n X k x ne X k 9-3 解题过程： 设 xp ( ) n 的周期为 N ，则 () () 2 1 0 ⎛ ⎞ π − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = ∑ N j nk N p p n X k x ne () () ( ) 2 2 1 1 0 0 π π ∗ ⎛⎞ ⎛⎞ − − − ⎜⎟ ⎜⎟ ∗ ⎝⎠ ⎝⎠ = = ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ N N j nk j nk N N pp p n n X k x ne x ne 变量置换，令 n n = − ，则 () () ( ) 1 2 0 − − ⎛ ⎞ π − ⎜ ⎟ ∗ ⎝ ⎠ = = ∑ N j nk N p p n X k x ne 由于 xp ( ) n 是 n 的偶函数，所以 xp p (− = n xn ) ( ) 又 知 xp ( ) n 是 以 N 为周期的周期序列，故其在任一周期内的 DFS 应相同，即 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 0 0 − − ⎛⎞ ⎛⎞ π π − − − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ = = ∑ ∑= N j nk j nk N N N p p n n x ne x ne 故 () () ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 0 0 − − ⎛⎞ ⎛⎞ π π − − − ⎜⎟ ⎜⎟ ∗ ⎝⎠ ⎝⎠ = = = == ∑ ∑ N j nk j nk N N N pp p p n n X n x ne x ne X n 因此 X p ( ) k 是实数序列
又由题92可知,对实数序列x(n),有X(k)=X2(-k) 也即X(k)=X(-k) 因此xn(k)=x2(-k) 即x2(k)为k的偶函数 9-7解题过程 设x2(n)如图9.7a)所示,由定义有 因此,x(-n)序列即x2(m)序列以n=0点为轴反转,如解图97(b所示。 图9-7(a) 图9-7b) 9-8解题过程 由定义X(k)=∑x(n)W x(O)1「 wowo wox(o X 其矩阵形式为 w2 Wx(1) X(2)W0W2w4W‖x(2)
又由题 9-2 可知，对实数序列 xp ( ) n ，有 ( ) ( ) ∗ X p p kX k = − 也即 ( ) ( ) ∗ X p p kX k = − 因此 X p p () ( ) kX k = − 即 X p ( ) k 为 k 的偶函数。 9-7 解题过程： 设 xp ( ) n 如图 9-7(a)所示，由定义有 ( ) ( ) − =− p ( ) N x n xn 因此， ( ) ( ) − N x n 序列即 xp ( ) n 序列以 n = 0 点为轴反转，如解图 9-7(b)所示。 9-8 解题过程： 由定义 () () 3 =0 = ∑ nk n X k x nW 其矩阵形式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000 0123 0246 0369 0 0 1 1 2 2 3 3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ X WWWW x X WWWW x X WWWW x X WWWW x 图 9-7(b) 图 9-7(a)
又有甲=() 故W4=W0,W6=W2,W=W且W2=-W0,W3=-W 而W0=1,W X(0) WWWW‖x(0 x(1) ww- n 所以 2+J w- w x(3) w3w6 wx(3) 又x()=X()H其矩阵形式为 x(0 X(0) (3) 少0~少0 H-1x(3) 与原x(m)一致。 99解题过程 关(3 X(k=>ae n=0 Mk -ae 11 0≤k≤N 9-11解题过程:如题图9-11 xX 先由x(m)绘出x(m),在据x(m)绘出x(n-2),得x(m)如解图91(a
又有 ⎛ ⎞ 2π − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = j W e N ， N = 4 故 4 0 W W= ， 6 2 W W= ， 9 1 W W= 且 2 0 W W = − ， 3 1 W W = − 而 0 W =1， 1 W j = − 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000 0123 0246 0369 0 0 11 1 1 1 5 1 1 1 1 1 22 2 2 4 1 11 1 1 5 3 1 1 32 3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − + = == ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ − −− − ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ − − − ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ X WWWW x X WWWW x j j j X WWWW x X WWWW x j j j 又 ( ) ( ) 1 0 1 − − = = ∑ N nk k xn X kW N 其矩阵形式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 01 0 1 0 00 0 0 1 01 0 0 11 1 1 5 1 1 1 1 1 1 12 2 2 4 4 2 1 11 1 5 1 3 1 12 3 3 − − − − −− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − − −− + = == ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎢ − −− − ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ −− − ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x WW W W X x WW W W X j jj x WW W W X WW WW X j jj x 与原 x ( ) n 一致。 9-9 解题过程： ( ) 2 2 1 1 0 0 2 2 2 1 1 0 1 1 1 π π π π π − − ⎛⎞ ⎛⎞ − − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ = = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ − − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = = ≤≤ − − − ∑ ∑ n N N j nk j k n N N n n n j k N N jk jk N N X k a e ae ae a k N ae ae 9-11 解题过程：如题图 9-11 先由 x ( ) n 绘出 ( ) ( ) 4 x n ，在据 ( ) ( ) 4 x n 绘出 (( ))4 x n − 2 ，得 x1 (n) 如解图 9-11(a)。 图 9-11 x ( ) n
图9-11(a) 同样,得x2(n)如解图91(b)所示。 2 图9-11(b) 9-12解题过程: 如题图9-12 n 题图9-12 x(n)oh(n)=h(m)x(n-m))R,(n) ∑。(m-2)x(m-m)R(n) =x(-2)R2(m 其结果如解图9-12所示
同样，得 x2 ( ) n 如解图 9-11(b)所示。 9-12 解题过程： 如题图 9-12 () () ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 6 m 0 x n hn hmx n m R n = ⊗= − ∑ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 6 0 6 6 2 2 m m xnm Rn xn Rn δ = = −− = − ∑ 其结果如解图 9-12 所示。 图 9-11(a) 图 9-11(b) x ( ) n h n( ) x2 (n) x1 ( ) n 题图 9-12
解图9-12 9-13解题过程 IDFTY(RF No ∑Y(4)H=3∑X(k-1)H= N∑x(m),Fm 由于X(Om)及F都以N为周期, 所以 x((m)).w-m(m+ m=-1 ∑X(m) X(m) W-m I-W- (m) x(n).w-n 即DFT[Y(k)]=x(m),Wm 921解题过程: 因为x(m)=x1(m)+mx2(m),x(n),x2(n)为实序列 所以x()=[x()+x(n)]x()=[x(o)-x() DF7()]=x(4)=2(D7x(+Dr( DF[x1(m)2=x2(4)=(DF[x()]-DFr(m) 又DF[x()-(o)“-|2x(0) 由于W是N的周期函数,而有W(-=W-
9-13 解题过程： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 0 0 11 1 − − −− − − − + = = =− ⎡ ⎤ = = −= ⎣ ⎦ ∑∑ ∑ N N Nl nk nk nm l N N k k ml IDFT Y k Y k W X k l W X m W NN N 由于 ( ) ( ) N X m 及 −nm l ( + ) W 都以 N 为周期， 所以 ( ) ( ) ( ) 1 1 − − − + =− ∑ N l nm l N m l Xm W N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 1 1 − − + = − − − = − − − = − = ⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⋅ ∑ ∑ ∑ N nm l N m N nm nl N m N nm nl m nl Xm W N Xm W W N X mW W N xn W 即 () () − ⎡ ⎤ = ⋅ ⎣ ⎦ nl IDFT Y k x n W 9-21 解题过程： 因为 () () () = + 1 2 x n x n jx n ， x1 ( ) n ， x2 (n) 为实序列。 所以 1 ( ) () () 1 2 ∗ = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ x n xn x n ， 2 ( ) () () 1 2 ∗ = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ jx n x n x n 1 1 () () { () () } 1 2 ∗ ⎡ ⎤ ⎡⎤ == + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ DFT x n X k DFT x n DFT x n 2 2 () () { () () } 1 2 ∗ ⎡ ⎤ ⎡⎤ == − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ DFT jx n X k DFT x n DFT x n 又 () () () 1 1 0 0 ∗ − − ∗∗ − = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ N N nk nk n n DFT x n x n W x n W 由于 nk W 是 N 的周期函数，而有 ( − ) − = N kn nk W W 解图 9-12
于是D[(020g=x 因此x(4)=2[x(4)+x(N-6)],x2(4)=2[x(4)-x(N-6) 922解题过程: X(k)=DFT[x()]=∑R(n)减 =∑W=1-y e 2x=0 若k=0,则X(k)=∑1=N,故X(k)=N6(k) 帕斯瓦尔定理 (o)=1x()此中∑(o)=S 6=∑N()=N,故帕斯瓦尔定理成立 9-23解题过程 由逆变换定义x()=2x() 所以x(m)=下∑X(k)H 将变量n,k的取值范围都是从0到N-1,据离散傅里叶变换的定义有 DFT Lx(n)=Nx(-k)R(n) 9-24解题过程 (1) [X(n)]=∑x(n)==∑R(n)="=∑ (2)DFT[(n)]=Nx(k)R(n) DFT[ n)]-2r() 2x(0nw-er(a-k)
于是 () () () ( ) 1 1 0 0 ∗ − − ∗ ∗ −∗ = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = =− ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ N N nk nk n n DFT x n x n W x n W X n k 因此 1 ( ) () ( ) 1 2 ∗ = +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ X k Xk X N k ， 2 ( ) () ( ) 1 2 ∗ = −− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ X k Xk X N k 9-22 解题过程： () () () ( ) 1 0 1 0 2 2 1 0 1 1 0 1 π π − = − = − − = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − == ≠ − − = = − ∑ ∑ N nk N n N kN nk k n j Nk N j k N X k DFT x n R n W W W k W e e 若 k = 0 ，则 ( ) 1 0 1 − = = ∑ = N n X k N ，故 X (k Nk ) = δ ( ) 帕斯瓦尔定理： ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 − − = = ∑ ∑ = N N n n x n Xk N 此题中 ( ) 1 1 2 0 0 1 − − = = ∑ ∑= = N N n n x n N ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 1 δ − − = = ∑ ∑ = = N N n n X k Nk N N N ，故帕斯瓦尔定理成立。 9-23 解题过程： 由逆变换定义 ( ) ( ) 1 0 1 x n − − = = ∑ N nk k X kW N 所以 ( ) ( ) 1 0 1 - − = = ∑ N nk k x n X kW N 将变量 n ，k 的取值范围都是从0 到 N-1,据离散傅里叶变换的定义有 ⎡ ⎤ ( ) = −( ) () DFT x n Nx k R n ⎣ ⎦ N 9-24 解题过程： （1） () () () ( ) 1 1 1 00 0 1 0 1 −− ∞ − − −− − == = − ⎡ ⎤ = = == > ⎣ ⎦ − ∑∑ ∑ N N N n nn N nn n z X n xnz R nz z z z Z （2） ⎡ ⎤ () ( ) () = − DFT x n Nx k R n ⎣ ⎦ N () () () ( ) 1 1 0 0 ∗ − − ∗ ∗ −∗ = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = =− ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ N N nk nk n n DFT x n x n W x n W X n k
e (3)X(e)=X() No N sIn -△xe|sin sIn sIn No sIn 由于对2 取绝对值时,分子分母符号可能不同,因而相位特性有一个(),(o) sIn 能为0或丌。 幅度特性曲线如解图924所示。(设N=6) 3 2 解图924 9-34解题过程: (1)由于A≤5H,所以7≈1、1 ≥二=0 5 (2)由于T≤一,而最高频率f≤1.25kHz 故T≤1=1 0.4ms,取T=0.4ms 2f12×1.25×103 0.2 (3)由于N=故N 500一般要求N为2的整数幂,故取N=29=512 0.4×10 所以T1=NT=512×04×2=0.2048
（3） ( ) ( ) 22 2 22 2 1 1 ω ω ω ω ω − − − = − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ = == − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ j N NW NW jj j jN j z e j WW W jj j eee e Xe Xz e eee ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 sin sin 2 2 sin sin 2 2 ω ω θ ω ω ω ω ω − − − −+ = = 相位 幅度 N N j jj N N e e 由于对 sin 2 sin 2 ω ω N 取绝对值时，分子分母符号可能不同，因而相位特性有一个θ ( ) ω ，θ ( ) ω 可 能为0 或π 。 幅度特性曲线如解图 9-24 所示。（设 N = 6） 9-34 解题过程： （1）由于 1 f ≤ 5Hz ，所以 1 1 1 1 0.2 5 T s = ≥= f （2）由于 1 1 2 Ts ≤ f ，而最高频率 ≤1.25 hf kHz 故 3 1 1 1 0.4 2 2 1.25 10 ≤= = × × T ms s f ，取 = 0.4 T ms s （3）由于 1 = s T N T 故 3 0.2 500 0.4 10− = × N 一般要求 N 为 2 的整数幂，故取 9 N = = 2 512 所以T NT 1 512 0.4 2 0.2048 = = × ×= s N 3 π 2 3 π π 2π 解图 9-24
