6-1解题过程 图6-5所示的矩形波如解图所示,它表示为 f()= 1(0<<z) -1(x<1<2x) 在[O2x]内 f(ocos(nt)dr ∫neos(m)+[-cos(m)d sin(nt)--sin(nt) (n=,23…) 故有f()与信号cos,cos(2)…,cos(m)正交(n为整数)。 6-2解题过程 在区间(0,2x)内,有 coSIn,LcOS (n2)d(n≠n2,且n2均为不为零的整数) J [cos(n,+n2)[+cos(, -, )4 ] dt sin(n,+n2)/+ 2x 1+ cos(2nt cos ntal= dt aI= 7 满足正交函数集的条件,故cost,cos(2)…,cos(m)正交(n为整数)是区间(0,2z)
6-1 解题过程： 图 6-5 所示的矩形波如解图所示，它表示为 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 π π π ⎧⎪+ << = ⎨ ⎪− << ⎩ t f t t 在[0, 2π ]内 () ( ) () () ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 2 0 cos cos cos 1 1 sin sin 0 1,2,3 π π π π π π = +−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − = = ∫ ∫ ∫ " f t nt dt nt dt nt dt nt nt n n n 故有 f ( )t 与信号cos ,cos 2 , cos t t nt ( ) ", ( ) 正交（n 为整数）。 6-2 解题过程： 在区间( ) 0 2，π 内，有 () ( ) ( ) 2 1 2 1 2 12 0 cos cos π ≠ ∫ n t n t dt n n n n ，且 均为不为零的整数 ()() ( ) ( ) 2 12 12 0 2 2 12 12 12 12 0 0 1 cos cos 2 11 11 sin sin 2 2 0 π π π = ++ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =⋅ + +⋅ − + − = ∫ n n t n n t dt n nt n nt nn nn ( ) 2 2 22 ( ) ( ) 2 0 0 00 1 cos 2 cos 2 1 2 22 nt nt cos nt dt dt dt dt π π ππ π + = =+ = ∫ ∫ ∫∫ 满足正交函数集的条件，故cos ,cos 2 , cos t t nt ( ) ", ( ) 正交（ n 为整数）是区间( ) 0 2，π
中的正交函数集。 6-3解题过程 在区间0,内 cos(m)os(n2)ld(n≠n,且nn均为不为零的整数) 2008(1+n2)t+cos(-n2)|d sin(n,+n2) H1+n2 -n(一鸟川 z(n1+n2) (n1-n2 h1-n2 2 只有当(n1+n2)和(n1-n2)均为偶数时上式为零,因此不满足函数之间的正交性条件, coSt,cos(2)l…,os(m)正交(n为整数)不是区间0,中的正交函数集 6-4解题过程 在区间(0,1)内,有 xx(≠j∈{0.2,3}) i+j+11i+j+1 不满足正交函数集所要求的第一个条件,故1x,x2,x3不是区间(0,)上的正交函数集。 6-5解题过程: 由题62结论有cos,cos(21),…,cos(m)正交(n为整数)是区间(0,2x)内的正交 函数集。以下考察其完备性 取x()=sint,在区间(0,2z)内有 , sin td=[2x1-cos(21) 2 =丌<0 且有
中的正交函数集。 6-3 解题过程： 在区间 0 2 ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 内 () ( ) ( ) 2 1 2 1 2 12 0 cos cos π ≠ ∫ n t n t dt n n n n ，且 均为不为零的整数 () () ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 12 0 2 2 12 12 12 12 0 0 12 12 12 12 1 cos cos 2 11 11 sin sin 2 2 11 11 sin sin 2 22 2 π π π π π = ++ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =⋅ + +⋅ − + − ⎡⎤ ⎡⎤ + − =⋅ +⋅ ⎢⎥ ⎢⎥ + − ⎣⎦ ⎣⎦ ∫ n n t n n t dt n nt n nt nn nn nn nn nn nn 只有当( ) n n 1 2 + 和( ) n n 1 2 − 均为偶数时上式为零，因此不满足函数之间的正交性条件， cos ,cos 2 , cos t t nt () () ", 正交（n 为整数）不是区间 0 2 ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 中的正交函数集。 6-4 解题过程： 在区间( ) 0 1， 内，有 ( ) { } 1 0 ≠ ∈ , 0,1, 2,3 ∫ i j x x dx i j i j ， 1 1 1 0 0 1 0 1 1 i j i j x x dx ij ij + + + = = =≠ ++ ++ ∫ 不满足正交函数集所要求的第一个条件，故 2 3 1, , x x x, 不是区间(0 1，) 上的正交函数集。 6-5 解题过程： 由题 6-2 结论有cos ,cos 2 , cos t t nt ( ) ", ( ) 正交（ n 为整数）是区间( ) 0 2，π 内的正交 函数集。以下考察其完备性。 取 x ( )t t = sin ，在区间( ) 0 2，π 内有 2 2 ( ) 2 0 0 1 cos 2 sin 2 π π π − = = <∞ ∫ ∫ t tdt dt 且有
Jo sintcos(n)dt =J. 2x sin(n+1t|+SI cos(n+1)t cos(1-n) n+1 不符合完备正交函数集的定义,故cost,cos(2),…,cos(m)正交(n为整数)不是区间 0,|内的完备正交函数集。 9解题过程: 令e≈at2+bt+C,则均方误差 e'-at2+bt+cdt 2 It'+bt+cI dt=0 了(2ar-2e+2b+2)=0 e'-at+bt+cdt=0 「!(2b2-24+2ar2+2a)h=0 4 a82 a ∫[-a+b+a}=0 (2c-2e+2ar2+2br)d=0 (1)(2)(3)式联立有
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 sin 1 sin 1 sin cos 2 1 cos 1 cos 1 21 1 0 π π π ⎡ ++ − ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ + − =− + ⎢ ⎥ + − ⎣ ⎦ = ∫ ∫ n t nt t nt dt dt n t nt n n 不符合完备正交函数集的定义，故 cos ,cos 2 , cos t t nt ( ) ", ( ) 正交（ n 为整数）不是区间 0 2 ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 内的完备正交函数集。 6-9 解题过程： 令 2 ≈ ++ t e at bt c ，则均方误差 1 2 2 2 1 1 2 ε − = − ++ ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦ t e at bt c dt 2 1 2 2 1 1 0 2 ε − ∂ ∂ ⎧ ⎫ = − ++ = ⎨ ⎬ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ⎩ ⎭ ∫ t e at bt c dt a a ( ) 1 42 3 2 1 22 22 0 − − ++ = ∫ t at t e bt ct dt 4 4 1 2 10 5 3 − a ce e + =− （1） 2 1 2 2 1 1 0 2 ε − ∂ ∂ ⎧ ⎫ = − ++ = ⎨ ⎬ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ⎩ ⎭ ∫ t e at bt c dt b b ( ) 1 2 32 1 2 22 2 0 − − ++ = ∫ t bt te at ct dt 4 1 2 4 3 − bc e + = （2） 2 1 2 2 1 1 0 2 ε − ∂ ∂ ⎧ ⎫ = − ++ = ⎨ ⎬ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ⎩ ⎭ ∫ t e at bt c dt c c ( ) 1 2 1 22 2 2 0 − −+ + = ∫ t c e at bt dt 4 1 4 22 3 − c a ee + =− （3） （1）（2）（3）式联立有
44 b+2c=4e-1 解得b=3e 4c+=a=2e-2e-1 c=-(-3e+3e 6-10解题过程 取x(t)=cos(2),则x()满足 在拉德马赫( Rademacher)函数集中任取一函数Rad(n,t),波形如解图 ↑Rad(n,) xo Rad(n, t)dr cos(2ri ) dr cos(2ntdt+. cos(2rtdt sIn +sin 2n*si、3 2小-1-…+Sn sinan- sInz 0 故存在x()使「x()Rnd(ml)d(m为任意正整数)为0,拉德马赫函数集不是(0,) 上的完备正交函数集。 6-11解题过程 当f(1)=cos(or),f2(t)=sin(on)同时作用于单位电阻时产生的能量 E=[cos(on)+sin(on)] cos(on)+2 sin(or )cos(or)+sin(ot)]dr ∫[+sn(2a)jdt
1 1 1 4 4 2 10 5 3 4 2 4 3 4 4 22 3 − − − ⎧ + =− ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎪ + =− ⎪ ⎩ a ce e bc e c a ee 解得 ( ) ( ) 1 1 1 15 4 3 1 3 33 4 − − − ⎧ = − ⎪ ⎪⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ = −+ ⎪⎩ a ee b e c ee 6-10 解题过程： 取 x () ( ) t t = cos 2π ，则 x ( )t 满足 ( ) 1 2 0 0 < <∞ ∫ x t dt 在拉德马赫（Rademacher）函数集中任取一函数 Rad(n,t)，波形如解图 () ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 2 11111 1 1 , cos 2 cos 2 cos 2 1 2 3 2 21 sin sin sin sin sin sin 22 2 2 2 2 2 12 1 sin sin 0 2 ππ π π ππ π π π π π π π π − −−−−− − − = − +− ⎛ ⎞ − = − + + − −+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = == ∫ ∫∫ ∫ " " n n n n n n nnnnn n n n x t Rad n t dt t dt t dt t dt 故存在 x ( )t 使 () ( ) 1 0 , ∫ x t Rad n t dt（n 为任意正整数）为 0，拉德马赫函数集不是( ) 0 1， 上的完备正交函数集。 6-11 解题过程： 当 f1 ( )t cos = (ωt) ， f2 ( )t sin = (ωt) 同时作用于单位电阻时产生的能量 () () () () () () ( ) 2 2 2 cos sin cos 2sin cos sin 1 sin 2 ω ω ω ωω ω ω +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =+ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ E t t dt t t t t dt t dt Rad n t ( ) , 1 -1 1 2n 2 2n 2 1 2 n n "" −
取一个周期(0,7)其中7=,则sin(2a)在(,T)内积分为零,有 E=[1+s(20)m=T 当f(t),f2(t)分别作用于单位电阻时各自产生的能量为(仍取(0,7)内) E,= cos(or)dt=J T l+ cos(2or) T 2 E,=n sin(on)dt=5a 2 E1 +E、=T 即两信号同时作用于单位电阻所产生的能量等于f(t)和f2(t)分别作用时产生的能 量之和。当f(1)=cos(am),()=cos(a+45)时,同时作用时有 ot+ot+45 ot-ot-45 2 coS dt 丌 dt 2T cos2 分开作用时 E,=Jo cos(on)ds[1+cos(2ot)at=2 T 1+cos 2ot+- Ex dt d 4 1-sin(201 T E1+E2≠E 即当f()=cos(om),()=cos(a+45)时上述结论不成立,其原因是cos(am)和 cos(an+45)相互间不满足正交关系,而cos(am)和sin(am)满足正交关系 6-16解题过程
取一个周期( ) 0，T 其中 2π ω T = ，则sin 2( ωt) 在(0，T ) 内积分为零，有 ( ) 0 =+ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 1 sin 2ω ∫ T E t dt T 当 f1 ( )t ， f2 ( )t 分别作用于单位电阻时各自产生的能量为（仍取(0，T ) 内） ( )2 ( ) 1 0 0 1 cos 2 cos 2 2 ω ω + == = ∫ ∫ T T t T E t dt dt ( )2 ( ) 2 0 0 1 cos 2 sin 2 2 ω ω − == = ∫ ∫ T T t T E t dt dt 故 EE T 1 2 + = 即两信号同时作用于单位电阻所产生的能量等于 f1 (t) 和 f2 (t) 分别作用时产生的能 量之和。当 f1 () ( ) t cos = ωt ， 2 (t cos 45 ) = + (ω )D f t 时，同时作用时有 ( ) ( ) 2 0 0 2 2 0 2 cos cos 45 45 45 2cos cos 2 2 4cos cos 8 8 2 cos 8 ω ω ωω ωω π π ω π = ++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ++ −− = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∫ ∫ ∫ D D D T T T E t t dt tt tt dt t dt T 分开作用时 ( )2 ( ) 1 0 0 1 cos 2 cos 2 2 ω ω + == = ∫ ∫ T T t T E t dt dt ( ) 2 2 0 0 0 1 cos 2 2 cos 4 2 1 sin 2 2 2 π ω π ω ω ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = += ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = = ∫ ∫ ∫ T T T t E t dt dt t T dt EE E 1 2 + ≠ 即当 f1 () ( ) t cos = ωt ， 2 ( )t cos 45 = + (ω )D f t 时上述结论不成立，其原因是 cos( ) ωt 和 cos 45 ( ) ω + D t 相互间不满足正交关系，而cos(ωt) 和sin (ωt)满足正交关系。 6-16 解题过程：
(1)E=e2u(ndt=2dt= <oo 则∫()=e"a(t)为能量函数 由F(o)=a+jo 得 [R(以)=a+o 所以 R(o) a+02 -3e"all (2)对周期余弦函数f()= Ecos o有 4Cal(0,) Cal(1, 1) 6 Cal(3, 1) 2 x 5/8 1/8
（1） ( ) 2 2 0 1 2 +∞ +∞ − − −∞ = = = <∞ ∫ ∫ t t E e u t dt e dt a 则 ( ) ( ) − = at f t e ut 为能量函数。 由 ( ) 1 ω ω = + F a j 得 ( ) 2 2 1 τ ω ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ + R a F 所以 ( ) 1 2 2 1 1 2 τ τ ω − ⎡ ⎤ − = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + a R e a a F （2）对周期余弦函数 f1 0 ( )tE t = cosω 有 Cal t ( ) 0, 1 2 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 1 Cal t ( ) 1, 1 4 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 1 1 4 − 1 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 1 1 8 − Cal t ( ) 3, 7/8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 1 5/8 3/8 1/8 ( ) ' x t
R()=m7f()(-)d f()(-)d+x1()f(-r)t 2()(-)d+2f()(+r)d E Xf(a=Ecos(oot)u(o=f(ou(o) 则有 R([)=lim/(1)(t-r)dt =mf(0)f(+)t =lmf(0)(-)d 把(O)(+x) 1 所以R(z)=R(z) 17解题过程 A f(o 2lsin(220x1)-sin(18001 A A A 所以P 功率谱 ∞0(o\Axb(0+20m)+(-200)+6(0+180x)+(a-1800) 功率谱如图所示 200x-180
( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) 2 1 11 2 0 2 11 11 0 2 2 2 11 11 0 0 2 0 1 lim 1 lim 1 lim cos 2 τ τ τ τ τ τ ω τ →∞ − →∞ − →∞ = − ⎡ ⎤ = −+ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = −+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ T T T T T T T T T R f t f t dt T f t f t dt f t f t dt T f t f t dt f t f t dt T E 又 f () ( ) () () t E tut f tut = = cos ω0 1 ( ) 则有 ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) 2 2 2 2 2 1 1 0 2 1 1 2 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim τ τ τ τ τ →∞ − →∞ − →∞ →∞ − = − = + = − = + ∫ ∫ ∫ ∫ T T T T T T T T T T T R f t f t dt T f t f t dt T f t f t dt T f t f t dt T 所以 ( ) ( ) 2 1 0 1 cos 2 4 τ = = τ ωτ E R R 6-17 解题过程： （4） ( ) sin 2200 sin 1800 ( )( ) 2 = − ⎡ π π ⎤ ⎣ ⎦ A f t tt 所以 22 2 884 =+= AAA P 功率谱 ( ) ( )( )( )( ) 2 2200 2200 1800 1800 8 ω = + +− ++ +− πδω π δω π δω π δω π ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ A P 功率谱如图所示 P (ω) −2200π −1800π 1800π 2200π 2 8 A π 2 8 A π 2 8 A π 2 8 A π
(6)f(1)=A 1-cos(40071) cos(2000 A cos(2000)-[cos(2400)+co(6007) A2A2 342 所以P 功率谱 [6(a+200)+5(0-200y x[O(a+2400x)+6(0-2400y+6(0+1600x)+(0-1600) 功率谱如图所示 A 2400x-2000丌-1800丌 18002000x2400r 21解题过程 1)r()=f(t)*h() f(ch(i-rdr ndr (2)t=T时, r()=r(7)=f()s(ld 3)由题图6-21可知 (T)=f()() 又冲激响应h()=s(T-)是信号S()的匹配滤波器冲激响应,则s()=0,1>T 所以第(2)题中 r(T)=」f()s()a
（6） ( ) ( ) ( ) 1 cos 400 cos 2000 2 t f tA t π π − = ⋅ cos 2000 cos 2400 cos 1600 ( ) ( )( ) 2 4 A A =− + π ππ t tt ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 所以 22 2 3 8 16 16 =+= AA A P 功率谱 ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) 2 2 2000 2000 8 2400 2400 1600 1600 32 ω πδω π δω π π δω π δω π δω π δω π = + +− + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + +− ++ +− ⎣ ⎦ A A P 功率谱如图所示 6-21 解题过程： （1）rt f t ht () () () = ∗ () ( ) ()( ) τ ττ τ τ τ +∞ −∞ +∞ −∞ = − = +− ∫ ∫ f ht d f sT t d （2）t T = 时， () ( ) ( ) ( ) τ τ τ +∞ −∞ = = ∫ rt rT f s d （3）由题图 6-21 可知 ( ) ()() τ τ τ +∞ −∞ = ∫ rT f s d 又冲激响应 ht sT t () ( ) = − 是信号 s t( )的匹配滤波器冲激响应，则 s t( ) = 0，t T > 所以第（2）题中 ( ) ()() ()() τ τ τ τ τ τ +∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ T rT f s d f s d P (ω) 2 8 A π 2 32 A π 2 32 A π 2 32 A π 2 8 A π 2 32 A π −2400π −2000π −1800π 1800π 2000π 2400π
6-22解题过程 (1)h(t)=x(7-)h1()=x(7-1)波形解如下图 4() +h() -1 (2)M对x0的响应波形:h()*x()如图(a);M对x的响应波形:h()*x()如 图(b;M对x的响应波形:h1()*x0()如图();M1对x1的响应波形:h()*x1()如 h1(t)*x(t) 4()*x1( 图(a) h1()*x0( 4()*x() 图(c) (3)由题图可知,M在t=4时x0()的响应输出为4,对x1()的响应输出为2:M在t=4 时对x0()的响应输出为2,对x()的输出响应为4。若使x()与x()正交,将x()改 为如下图(a),则M为下图(b)所示。此时M为x1()的响应输出如下图(所示,M为 x0()的输出如下图(d)。在t=4时,M0对x1()和M1对x()的响应为零
6-22 解题过程： （1）ht xT t 0 0 () ( ) = − ht xT t 1 1 ( ) = − ( ) 波形解如下图 （2） M0 对 0 x 的响应波形： ht xt 0 0 ( ) ∗ ( ) 如图(a)； M0 对 1 x 的响应波形： ht xt 0 1 () () ∗ 如 图(b)； M1 对 0 x 的响应波形：ht xt 1 0 ( ) ∗ ( ) 如图(c)； M1 对 1 x 的响应波形：ht xt 1 1 () () ∗ 如 图(d) （3）由题图可知，M0 在t = 4时 x0 (t) 的响应输出为 4，对 x1 (t)的响应输出为 2；M1 在t = 4 时对 x0 ( )t 的响应输出为 2，对 x1 ( )t 的输出响应为 4。若使 x0 (t) 与 x1 (t)正交，将 x0 ( )t 改 为如下图(a)，则 M0 为下图(b)所示。此时 M0 为 x1 (t) 的响应输出如下图(c)所示， M1 为 x0 ( )t 的输出如下图(d)。在t = 4时， M0 对 x1 (t)和 M1 对 x0 (t) 的响应为零。 h t 0 ( ) 1 -1 1 2 3 4 h t 1 ( ) 1 -1 1 2 3 4 ht xt 0 0 () () ∗ 4 2 -2 2 4 6 8 ht xt 0 1 ( ) ∗ ( ) 3 2 1 -1 -2 2 4 6 8 ht xt 1 0 () () ∗ 图(a) 图(b) 2 4 6 8 2 4 3 1 -1 -2 2 4 6 8 ht xt 0 1 ( ) ∗ ( ) 图(c) 图(d)
6 图(b) 4()*x(口) h()*x( 图(c) 图(d)
2 4 6 8 1 -1 x0 ( )t 2 4 6 8 1 -1 x1 (t) ht xt 0 1 () () ∗ 图 (a) 图 (b) 2 4 6 8 2 1 -1 -2 -3 2 4 6 8 2 1 -1 -3 -2 ht xt 1 0 ( ) ∗ ( ) 图 (c) 图 (d)