理 新 精 程 XINJIANG UNIVERSITY 1924 4.3 根据摸拟滤波器设计川R滤波器
根据模拟滤波器设计IIR滤波器 4.3
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的 模拟滤波器传递函数H(s)设计数字滤波器传递函数H （z)，这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换， 这种映射变换应遵循两个基本原则： 1)H(z)的频响要能模仿H(s)的频响，即S平面 的虚轴应映射到Z平面的单位圆ej”上。 2)H(s)的因果稳定性映射成H(z)后保持不变 ,即S平面的左半平面Re{S}<0应映射到Z平面的单 位圆以内z<1
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的 模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H （z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换， 这种映射变换应遵循两个基本原则： 1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面 的虚轴应映射到Z平面的单位圆 上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变 ，即S平面的左半平面 Re{S}＜0应映射到Z平面的单 位圆以内|Z|<1。 j e
4.3.1脉冲响应不变法 、 脉冲响应不变法原理 利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器 能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波 器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应 h(t)的采样值，即 h(n)=h (nT), T为采样周期
4.3.1 脉冲响应不变法 一、脉冲响应不变法原理 利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器 能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波 器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应 ha (t)的采样值，即 h(n)=ha (nT), T为采样周期
目标：Ha(s) H(z) 如以H(s)及H(z)分别表示h(t) 的拉氏变换及h(n)的Z变换，即： H(s)=L[h,(t)], H(z)=Z[h (n)]
如以 Ha (s) 及 H（z）分别表示 ha (t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即： Ha(s)=L[ha (t)] , H(z)=Z[h(n)] 目标：Ha(s) H(z)
推导： 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟 滤波器的系统函数若只有单阶极，点，且分母的阶数高于分子阶 数N>M,则可表达为部分分式形式； - S-S 其拉氏反变换为： h,()=∑Aeu(), u(t)单位阶跃 对h,(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列 hlm）=h(nT)=∑Aeun）)=∑4(e*7产m）
推导： 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟 滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶 数 N＞M，则可表达为部分分式形式； 其拉氏反变换为： 单位阶跃 对ha (t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列 = − = N i i i s s A Ha s 1 ( ) = = N i s t a i h t Ae u t u t i 1 ( ) ( ), ( ) = = = = = N i N i s T n i s n T i h n ha nT Ae u n A e u n i i 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数： H(e）=∑∑4emrz"-4∑e n=0i=1 n=0 第二个求和为等比级数之和，要收敛的话， 1-(e7z1) 1-e2k必有(e7z1)k-n=0, 所以有 H(2)-之 -2
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数： 第二个求和为等比级数之和，要收敛的话， 必有 所以有 = = = − = − = = 0 1 0 1 1 ( ) ( ) n N i n s T n N i i s n T n i H z Ae z A e z i i − → − − − s T k s T k e z e z i i 1 1 1 1 ( ) ( ) 0, 1 = = − k s T k e z i = − − = N i s T i e z A H z i 1 1 1 ( )
设计步骤： 给定数字滤波器的参数指标，通过摸拟滤波器设计，而后映 射的方法设计数字滤波器H(2), 1.由数字滤波器参数指标来求解确定模拟滤波器参数 2.设计模拟滤波器的低通原型（根据某些已知的滤波器类 型). 3.部分分式法分解Ha(s) HS)=∑=1D 4.将模拟的极，点{pk}转化为数字极点{ekT},并得到数 字滤波器 R
设计步骤： 给定数字滤波器的参数指标 , 通过模拟滤波器设计，而后映 射的方法设计数字滤波器 H(z)， 1. 由数字滤波器参数指标来求解确定模拟滤波器参数 2. 设计模拟滤波器的低通原型（根据某些已知的滤波器类 型）. 3. 部分分式法分解Ha(s) 4. 将模拟的极点 {pk} 转化为数字极点 {epkT} ，并得到数 字滤波器 = − = N k k k a s p R H s 1 ( ) = − − = N k p T k e z R H z 1 k 1 1 ( )
例4.1 将一个具有如下系统函数 2 1 H(S)三 (s+1)s+3) S+1S+3 的模拟滤波器数字化。 解： 1 H(z)= 1-z-e-T 1-2-e-3T z1(e7-e3r) 1-z1(e7+e3r)+e4rz2
例 4.1 将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。 解： 3 1 1 1 ( 1)( 3) 2 ( ) + − + = + + = s s s s H s T T z e z e H z 1 1 3 1 1 1 1 ( ) − − − − − − − = 1 3 4 2 1 3 1 ( ) ( ) − − − − − − − − − + + − = z e e e z z e e T T T T T
模拟滤波器的频率响应为： 2 2 Ha(2)=H(s） 示于图a =0Q+1Q+3)3-2)+j49 品+ 0 0 -201 f.=61z 罪-30 f人412Hz 404 -0 ￥24 0 0.511.522.5 3预率(Hz)00.511,522.53频南(Hz (a)H.(a川 (b)HE月 图4.9不同采样频率下的幅频响应与模拟幅频响应的比较
模拟滤波器的频率响应为: 示于图a − + = + + = = = (3 ) 4 2 ( 1)( 3) 2 ( ) ( ) 2 j j j Ha j H s s j 图4.9 不同采样频率下的幅频响应与模拟幅频响应的比较
数字滤波器的频率响应为： H(eJ0)=H(z) (eT-e-T)e-io I-()e re-12o 显然H(e)与采样间隔T有关，如图b, T越小，衰减越大，混叠越小，当f。=24州z,混叠可忽略不计。 思考：为什么混叠呢？ 下面开始讨论！
数字滤波器的频率响应为: 显然 与采样间隔T有关,如图b, T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs =24Hz ,混叠可忽略不计。 思考：为什么混叠呢? 下面开始讨论！ 3 4 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T T j T j T T j z e j e e e e e e e e H e H z j − − − − − − − − = − + + − = = ( ) j H e