《数字信号处理》课程教学习题解答

数字信号处理习题 第一章 1-4今对三个正弦信号x,1(t)=c0s2πt,x。2(t)=-c0s6πt,x()=c0s10π1进行理想采 样采样频率为2，=8π，求着三个采样输出序列，比较其结果画出x1(t),x2(),X(t)的波形及采 样点位置并解释频谱混迭现象 解降于=2 2 混选：%，=10x>8r 1-13下列系统中，y(m)表示输出，x(m)表示输入，试确定是否是线性系统？是否是时不变系统？ (1)y(n)=2x(n)+5 (3m)=∑x(m) 解答： (1)TTax,(n)+bxz (n)]=2[ax (n)+bx2 (n)]+5 =a[2x(m)+5]+b2x(n)）+5]-5a-5b+5 所以，非线性 =aT[x (n)]+bT[x (n)]-5a-5b+5 aT[x (n)]+bT[x,(n)] 假设输入为x(n-),则有 TLx(n-n】=2x(n-n)+5=(n-n)所以，时不变 (2)T[ax,(n)+bx2 (n)]=>[ax (m)+bx2 (m)] 所以，线性： =a∑x(m)+b∑x(m)=a(m+b,(m） =一 Tn-%】=立m-%)=∑m)=n-）时不陵 1-16确定下列系统的因果性和稳定性： ①)y(n)=g(nm)x(n),g(n)有界 (2m)=∑xk,n>m (4)h(m)=0.5”un) 解答：

数字信号处理习题 第一章 1-4 今对三个正弦信号 1 2 3 ( ) cos 2 , ( ) cos 6 , ( ) cos10 a a a x t t = = π x t − π π t x t = t 进行理想采 样,采样频率为 8 Ω =s π ,求着三个采样输出序列,比较其结果.画出 1 2 3 ( ), ( ), ( ) a a a x t x t x t 的波形及采 样点位置并解释频谱混迭现象. 解答:由于 1 8 2 2 w π = π ,混迭; 3 8 10 2 w π = π > ,混迭. 1-13 下列系统中, y n( ) 表示输出, x(n) 表示输入,试确定是否是线性系统?是否是时不变系统? (1) y n( ) = 2x(n) + 5 (3) ( ) ( ) n m y n x m =−∞ = ∑ 解答: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1) [ ( ) ( )] 2[ ( ) ( )] 5 [2 ( ) 5] [2 ( ) 5] 5 5 5 [ ( )] [ ( )] 5 5 5 [ ( )] [ ( )] T ax n bx n ax n bx n a x n b x n a b aT x n bT x n a b aT x n bT x n + = + + = + + + − − + = + − − + ≠ + 所以，非线性; 假设输入为 0 x( ) n n − ,则有 0 0 T[ ( x n n − = )] 2x(n − n ) + 5 = y(n n − )0 2 0 所以，时不变. 1 2 1 2 1 2 1 (2) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) n m n n m m T ax n bx n ax m bx m a x m b x m ay n by n =−∞ =−∞ =−∞ + = + = + = + ∑ ∑ ∑ 所以，线性; 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ) n n n m m T x n n x m n x m y n n − =−∞ =−∞ − = ∑ ∑ − = = − 时不变. 1-16 确定下列系统的因果性和稳定性: 0 0 (1) ( ) ( )(), ( ) (2) ( ) ( ), (4) ( ) 0.5 ( ) n k n n y n g n x n g n y n x k n n h n u n = = = > = ∑ 有界 解答: 1

(1) 不能用令x(片6()来求(m),然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。 实际上，因有界，所以，当 (有界时，x)g<=x(g)∞，所以系统稳定，) 只与回)的当前值有关，显然是因果的。 (2) y()只与x()的当前值和过去值有关，是因果的。 当n+∞时，即使x()有界，可能y()+∞，（如x()1) (4):n<0时，h(n)=0,是因果系统 又：21hm)h210.5°mh∑10.5F-05=2 1 =0 ·是稳定的 1-6x(n)和X(em)表示一个序列及其傅氏变换，并且x(n)为实因果序列，利用X(e")求下列各 序列的傅氏变换： (3)g(n)=x(2n) (4g0=学n内偶数 0,n为奇数 解答 (3)G(e)=∑gm)em=∑x2mem,令1=2n n=-g -20w-号Σ0s,2e ta- -20e时+Σ0e-号xe+xe宁) 24 注意：当t为偶数时1.小=2x(2,当t为奇数时1.=0 (4)G(e)=∑gmem=∑x2e令n=2m =∑x(m)e2wm=X(e2wm) 1-10求以下函数的逆Z变换： (0a-2X1-2z 解答：

（1） 不能用令 x(n)=δ(n)来求 h(n)，然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。 实际上，因 g(n)有界，所以，当 x(n)有界时，y(n)= x(n) g(n)<= |x(n)| |g(n)|<∞, 所以系统稳定，y(n) 只与 x(n)的当前值有关，显然是因果的。 （2） y(n)只与 x(n)的当前值和过去值有关，是因果的。 当 n→∞时，即使 x(n)有界，可能 y(n) →∞，（如 x(n)=1） 0 (4) 0 , ( ) 0, ; 1 | ( ) | | 0.5 ( ) | | 0.5 | 2 1 0.5 . n n n n n n h n h n u n ∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞ = < = ∴ = = = − = ∴ ∑ ∑ ∑ ∵ ∵ 时 是因果系统 又 是稳定的 1-6 x(n) 和 ( 表示一个序列及其傅氏变换,并且 为实因果序列,利用 jw X e ) x n( ) ( ) jw X e 求下列各 序列的傅氏变换: (3) ( ) (2 ) ( ), (4) ( ) 2 g n x n n x n g n = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ 为偶数 0,n为奇数 解答: 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 (3) ( ) ( ) (2 ) , 2 1 1 1 [ ( ) ( 1) ( )] ( ) ( 1) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 jw jwn jwn n n t t jw jw jw t t t t t t w w w jw j t j j t t G e g n e x n e t n x t x t e x t e x t e x t e x t e X e X e π π ∞ ∞ − − =−∞ =−∞ ∞ ∞ ∞ − − =−∞ =−∞ =−∞ ∞ ∞ − − − − =−∞ =−∞ = = = = + − = + − = + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 令 2 t − 注意：当 t 为偶数时[ .] =2x(2n)，当 t 为奇数时[ .] =0 2 2 (4) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) jw jwn jwn n n j wm j wm m n G e g n e x e n m x m e X e ∞ ∞ − − =−∞ =−∞ ∞ − =−∞ = = = = ∑ ∑ ∑ 令 = 1-10 求以下函数的逆 z 变换: 1 1 1 (1) (1 z z )(1 2 ) − − − − 解答: 2

(1) 0-11-225 -1 2 =-京+1-2京见书本P13顶的例3 =-u(n)-2(-n-l) 注意，因收敛域为12,所以对第二项， 只能是左边序列，其收敛域为z1, 正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为1za,∴.在半径为a的圆外； (3)通过z平面上作图，可以发现，极点a在单位圆内的实轴上，零点1V在单位圆外的实轴上， 它们各自到单位圆上任一点的矢量长度可由余弦定理求取，分别为 极点矢量长度=√a2+1-2acos(o) 零点矢量长度-a+1-2acos@)=间Va+1-2acos@ 图解求系统颜率响应就是求零点矢量长度与极点失量长度的比，所以 IH(e)1-ae 1-aea ,是常数，所以是全通系统， lal

1 1 1 1 1 (1) (1 )(1 2 ) 1 2 13 1 1 2 ( 1) z z P z z u n − − − − − − − = + − − − − n+1 见书本 页的例3 =-u(n)-2 注意，因收敛域为 12,所以对第二项， 只能是左边序列，其收敛域为|z|1， 正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为|z|a, 在半径为a的圆外; （3） 通过 z 平面上作图，可以发现，极点 a 在单位圆内的实轴上，零点 1/a 在单位圆外的实轴上， 它们各自到单位圆上任一点的矢量长度可由余弦定理求取，分别为 极点矢量长度= a 1 2acos( ) 2 + − ω 零点矢量长度= a 1 2acos( ) a 1 a 1 2a cos( ) -2 -1 2 + − ω = + − ω 图解求系统频率响应就是求零点矢量长度与极点矢量长度的比，所以 1 1 1 | ( ) | | | , 1 | | j j j a e H e ae a ω ω ω − − − − = = − 是常数,所以是全通系统. 3

第二章 2-1如果x(n)是一个周期为N的周期序列，则它也是周期为2N的周期序列将x(n)看作周 期为N的周期序列，令X,(k)表示其DFS,再将x(n)看作2N的周期序列，并且令X,()表示其 DFS,试利用X(k)确定X(). 解答： X内=2ww时 0 元-写o哈-星am+星+Ng 注略=e合-e常时 因为(n的周期为N,则n+N=x(m,且 nn=e尝0=e5=ee=eW时 x（k-过mw7°+(-ly2mw” 当为偶数时上式-空m疗=2鸡 当k为奇数时，上式=0. 2-9有限长为N=10的两序列 1,0≤n≤4 1,0≤n≤4 x(n)= 0,5≤n≤9 y(n)= -1,5≤n≤9 用作图表示x(n),y(nm)及f(n)=x(m)*y(n) 解答 1,2,3,4,5,3,1,-1,-3-5-4,-3,-2,-1,n=0,1,13 f(n)= 0,其它 2-13已知x(n)是长为N的有限长序列，X(k)=DFT[x(n)小现将长度添零扩大r倍，得长 度为rN的有限长序列y(n)。求DFTLy(n】与X(k)的关系 4

第二章 2-1 如果 是一个周期为 的周期序列,则它也是周期为 的周期序列.将 看作周 期为 的周期序列,令 表示其 DFS,再将 看作 的周期序列,并且令 表示其 DFS,试利用 确定 .  x n( ) N 2N  x n( ) N j1 X (k)  x n( ) 2N j2 X (k) j1 X (k) j2 X (k) 解答: j  1 1 0 ( ) ( ) N kn N n X k x n W − = = ∑ j    2 1 1 1 ( ) 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) N N N kn kn k n N N N N n n k k j kn n n kn N N N N X k x n W x n W x n N W W e e W π π − − − + = = = − = = + + = = = ∑ ∑ ∑ -j 注: 2N   2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) , ( ) ( ), ( 1) ( 1) K k k j k n N j N K n n k n N N N k N k N N n N x n N x n W e e e W π π π − + − + π + + = = = = − = −  -j 因为x 的周期为 则 且 j   1 1 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) N N k k n n k N N n n X k x n W x n W − − = = = + ∑ ∑ −  i 1 2 0 ( ) 2 ( ); 2 N k n N n k k x n W k − = 当 为偶数时,上式=2∑ = 当 为奇数时,上式=0. X 2-9 有限长为 N =10的两序列 1,0 4 1,0 4 ( ) ( ) 0,5 9 1,5 9 n n x n y n n n ⎧ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ = = ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ ≤ ≤ − ≤ ≤ 用作图表示 x n( ), y(n) 及 f ( ) n x = ∗ ( ) n y(n) 解答: 1,2,3,4,5,3,1, 1, 3, 5, 4, 3, 2, 1, 0,1,.13 ( ) 0, n f n ⎧ − − − − − − − = = ⎨ ⎩ 其它 2-13 已知 x n( ) 是长为 N 的有限长序列, X k( ) = DFT[x(n)],现将长度添零扩大 r 倍,得长 度为 rN 的有限长序列 y n( ) 。求 DFT[ ( y n)] 与 X k( ) 的关系. 4

解答： N- X(k)=∑x(n)W 月=0 DFTm】aw歌aM 由于n≤N-l时，y(n)=x(n):n>N-l时，y(n)=0. 由于W=e兴=e台=W,所以当为整数时。 ymw疗=x(白 其余不能用X(k)表示，相当于X)的内插 2-15已知复有限长序列f(n)是由两个实有限长序列x(n)、y(n)组成，f(n=x(n)+y(n) 并且DFT[f(n)]=F(k),求X(k)、Y(k)以及x(n)、y(n) F( .1-bw f(n)=IDFT[F(k) .1-bw】 amg) 1-aW 1-aW f(n)=IDFT DFT(a"Rx (n))+jDFT(b"Ry (n))=x(n)+jy(n) 1-a [x(n)=a"R (n) 故： x(k)=1-aW y(n)=b"Rx (n) .1-bw Y(k)=1-bW 方法2：利用DFT的共轭对称性：

解答: 1 0 1 1 0 0 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) N kn N n rN N kn kn rN rN n n k k j kn j n n kn rN N r r rN N N k n r N n X k x n W Y k DFT y n y n W x n W n N k W e e W r k Y k x n W X r π π − = − − = = − − − = = = = = ≤ > − = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ 由 于 n N-1时 ,y(n)=x(n); 时 ,y(n)=0. 由 于 ,所 以 当 为整数时, = 其余不能用 X（k）表示，相当于 X(K)的内插. 2-15 已知复有限长序列 f (n) 是由两个实有限长序列 x(n)、 y n( ) 组成， f (n x ) = + (n) jy (n) ， 并且 DFT ⎡ ⎤ f (n) = F (k ) ⎣ ⎦ ，求 X k( ) 、Y k( ) 以及 x(n)、 y n( ) 。 ( ) 1 1 1 1 N N k k N N a b F k j aW bW − − = + − − 解： 方法 1：利用基本定义及 DFT 的线性特性： ∵ ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 1 N N N nk k k N n N N f n IDFT F k a b j W N aW bW − − = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ − − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ∑ 又： ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 N k N N k n N N k k n N N aW a aW aW aW − = − − = = − − ∑ ∴ ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) n n N N f n I = + DFT ⎡ ⎤ DFT a R n jDFT b R n = x n jy n ⎣ ⎦ + 故： ( ) ( ) ( ) ( ) n N n N x n a R n y n b R n ⎧⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ ( ) ( ) 1 1 1 1 N k N N k N a X k aW b Y k bW ⎧ − = ⎪ ⎪ − ⎨ ⎪ − = ⎪ ⎩ − 方法 2：利用 DFT 的共轭对称性： 5

x()-DFT[Re((DF() -5F-明 因=Dr[ml-=DrTo-fa F)-Fw-奶 1-bW 对X(k)、Y(K)作DT得到： x(n）=aRw(n) y(n)=b"Rx (n) 注意： 根据DT的线性性质可以得到，当f(n)=x(n)+y(n)时，F(k)=X(k)+jY(k),其中 X(k)、Y(k)均为复序列。但并不是对于形如F(k)=X(k)+Y(K)进行DFT就一定形成 X(k)x(n),Y(k)y(n)的一一对应关系。如，我们将F(k)进行变形，使其虚部和实部分 开得到：F(k)=M(k)+N(k),对其进行DT变换，显然，IDFT[M(k)门≠x(n) IDFT[N(k)]≠y(n). 所以，直接由F(k)=X(k)+Y(k)得到IDFT X(k)]≠x(n),IDFT Y(k)】]≠y(n) 是不正确的。 2-18研究两个有限长序列x(n),y(n),此二序列当n<0皆为零，并且 x(n)=0,n28 y(n)=0,n≥20 各作其20点DFT,然后将两个DFT相乘，再计算乘积序列的DT得，试指出r()的哪些点对应于 x(n)与y(n)作线性卷积应得到的点 解答 这样计算相当于做了20点的圆周卷积m=7~19时，圆周卷积等于线性卷积可以通过画图得到. 6

( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 Re 2 1 1 2 1 N k N X k DFT f n DFT f n f n a F k F N k aW ⎡ ⎤ = = ⎡ ⎤ + ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − = + ⎡ ⎤ − = ⎣ ⎦ − ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 Im 2 1 1 2 1 N k N Y k DFT f n DFT f n f n j b F k F N k j bW ⎡ ⎤ = = ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − = − ⎡ ⎤ − = ⎣ ⎦ − 对 X k( ) 、Y k( ) 作 IDFT 得到： ( ) ( ) ( ) ( ) n N n N x n a R n y n b R n ⎧⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ 注意： 根据 DFT 的线性性质可以得到，当 f (n x ) = (n) + jy (n) 时， F (k X ) = (k ) + jY (k )，其中 X k( ) 、 Y k( ) 均为复序列。但并不是对于形如 F (k X ) = (k ) + jY (k ) 进行 IDFT 就一定形成 X k( ) ↔ x(n) ，Y k( ) ↔ y (n) 的一一对应关系。如，我们将 F (k ) 进行变形，使其虚部和实部分 开得到： F (k M ) = + (k ) jN (k ) ，对其进行 IDFT 变换，显然， IDFT ⎡ ⎤ M (k ) ≠ x (n) ⎣ ⎦ ， IDFT ⎡ ⎤ N (k ) ≠ y (n) ⎣ ⎦ 。 所以，直接由 F (k X ) = + (k ) jY (k )得到 IDFT ⎡ ⎤ X (k ) ≠ x (n) ⎣ ⎦ ，IDFTYk ⎡ ⎤ ( ) ≠ y (n) ⎣ ⎦ 是不正确的。 2-18 研究两个有限长序列 x n( ), y(n),此二序列当 n < 0 皆为零,并且 ( ) 0, 8 ( ) 0, 20 x n n y n n = ≥ = ≥ 各作其 20 点 DFT,然后将两个 DFT 相乘,再计算乘积序列的 IDFT 得,试指出 的哪些点对应于 与 作线性卷积应得到的点. r n( ) x n( ) y n( ) 解答: 这样计算相当于做了 20 点的圆周卷积 m = 7 ∼ 19 时,圆周卷积等于线性卷积.可以通过画图得到. 6

2-21试导出N=16时的基二按时间抽取算法和按频率抽取算法T,并分别画出它们的流图。 解答： 用基二按时间抽取： W6哈W哈W8 W66W店m 8哈W6W6 时间抽取系数除哈阳 gW话 哈W8W。 W。W落W哈用 很多同学在第二列W的位置写的是W阳 X=2mwg,k=0,115 按奇偶分组： X0W-立2rwg"+空2+gg -=2x2rw2+W22r+1w2*(因m=e0=e骨=g) =0 -立2rw+We空2r+Wr=6+wg G=∑x2r)im Hk)=∑x(2r+w G(k),H(k)都是只包含7点的DFT,Gk)只包含原序列中的偶数序列， 而H(k)则只包含奇数序列，另外它的周期都为8，所以有 G(k)=G(k+8)H(k)=H(k+8)哈=-W,所以有 X(k)=G(k)+WH(k),k=0l,27 X(k+8)=G(k)-WH(k),k=0,l27 一个16点序列的DFT可由两个8点序列的DFT得到，依此类推，G(k),H(k) 也可以这样得到. 用频率抽取法：

2-21 试导出 N =16时的基二按时间抽取算法和按频率抽取算法 FFT,并分别画出它们的流图. 解答: 用基二按时间抽取: 时间抽取系数 ， 0 0 0 0 16 16 16 16 0 4 2 16 16 16 16 0 0 4 16 16 16 16 0 4 16 16 16 16 0 0 0 16 16 16 16 0 4 2 16 16 16 16 0 0 4 16 16 16 16 0 16 6 W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W 4 7 16 16 16 6 W W W 1 2 3 4 5 6 很多同学在第二列W16 4 的位置写的是 2 W16 15 16 0 7 7 2 (2 1) 16 16 0 0 7 7 2 2 2 2 2 2 16 8 16 16 16 16 8 0 0 7 7 8 16 8 0 0 ( ) ( ) , 0,1,.,15 (2 ) (2 1) (2 ) (2 1) ( ) (2 ) (2 1) ( ) kn n rk r k r r j rk j rk rk k rk rk rk r r rk k rk r r X k x n W k x r W x r W x r W W x r W W e e W x r W W x r W G k W π π = + = = − − = = = = = = + + = + + = = = = + + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 按奇偶分组: X(k)= 因 16 7 7 8 8 0 0 16 16 16 ( ) ( ) (2 ) ( ) (2 1) ( ), ( ) 7 , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,.7 ( 8) ( ) ( k rk rk r r k k k H k G k x r W H k x r W G k H k DFT G k H k W X k G k W H k k X k G k W H k = = = = + = − = + = + = − ∑ ∑ k+8 16 都是只包含 点的 只包含原序列中的偶数序列 而 则只包含奇数序列,另外它的周期都为8,所以有 G(k)=G(k+8) H(k)=H(k+8) W ,所以有 ), k = 0,1, 2,.7 一个16点序列的DFT可由两个8点序列的DFT得到,依此类推,G(k),H(k) 也可以这样得到. 用频率抽取法: 7

把序列按前后对半分开 x(n)=x(n),n=0,l,7 x3(m=x(n+8)n=0,1,7 X(k) -o -立xmg+立(mmg 现在按对频率序列抽取，把它分成偶部和奇部，偶数时令k=21,奇数时令 k=21+1,这里1=0,1，.7， X(21)=∑x(n)mg+∑，(m)W28n =0 =0 g=e=e雪= WWW 上式=∑x(m)+x(n)W 月=0 依此类推： X(21+1)=2x(m)-x(nW"Wg a(n）=x(n)+x(m) bm）=[x(m)-x3(n)jW8,n=0,l,7 这样又把16点的DFT化成了8点的DFT,向下不断细分得到下图： 2-25设x(n)是一个M点0≤n≤M-1的有限长序列，其Z变换为 M-1 X(e)=∑x(n)z" 今欲求X(白)在单位圆上N个等距离点的采样值X(仁人4=e户，k=0,L,N- (I)N≤M 间在(2)N>M两种情况下应如何用-个N点的T来计算全部的X(5,)值 解答 8

1 2 15 16 0 7 7 ( 8) 1 16 2 16 0 0 7 2 2( 1 16 2 16 0 ( ) ( ), 0,1,.,7 ( ) ( 8), 0,1,.,7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nk n nk n k n n nl n n x n x n n x n x n n X k x n W x n W x n W x n W x n W = + = = = = = = + = = = + + ∑ ∑ ∑ ∑ 把序列按前后对半分开 现在按对频率序列抽取,把它分成偶部和奇部,偶数时令k=2l,奇数时令 k=2l+1,这里l=0,1,.7, X(2l)= 7 8) 0 2 2 16 2 2 16 2 16 8 2( 8) ( 8) 16 8 8 7 1 2 8 0 7 1 2 8 16 0 1 2 1 2 16 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] , 0,1,.,7 l n j nl j nl nl nl n l n l nl nl n nl n n n W e e W W W W x n x n W x n x n W W a n x n x n b n x n x n W n π π + = − − + + = = = = = = = + − = + = − = ∑ ∑ ∑ 上式= 依此类推: X(2l+1)= 这样又把16点的DFT化成了8点的DFT,向下不断细分得到下图: 2-25 设 x(n) 是一个 M 点 0 ≤ ≤ n M −1的有限长序列,其 Z 变换为 1 0 ( ) ( ) M n n X z x n z − − = = ∑ 今欲求 X(z) 在单位圆上 N 个等距离点的采样值 2 ( ), , 0,1,., 1 j k N X zk k z e k N π = = − 问在 两种情况下,应如何用一个 N 点的 FFT 来计算全部的 值? (1) (2) N M N M ≤ > ( ) X zk 解答: 8

(2)N>M 将x(n)补零到N点，然后作FFT 形0 -0 =∑rmea」 N-1 DFT[x (n)] =0 (①)N≤M 将x(n)补零到LN,组成新序列 阳分 ne停 0 +∑me宗u N -艺nk宁丰艺n+N是n ee贤taw=e 月-0 -过+a+Wk京，空n+2Ngn 月=0 司 =2n+k0=Dn号n+ L-1 m-0-0 变成了N点的DFT 对于(1)还有另一种解法 现设有一序列y(m0≤n≤N-1,其中N点DFT与X(k)相同，即 x()=e片，k=0LN-1 于是有： w-容0]学-02 0 因为6 0I≠iN+n 所以：)-立N+)）其中P=:+1的整数部分，当M不够pN时，对 -0 序列补零。 9

1 1 2 2 1 2 ' ' 0 0 1 2 ' ' 0 1 1 222 0 0 (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] (1) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) M M N j kn j kn j kn N N N n n n M N j kn N n M N j kn j kn j kn NNN n n N M x n N x n e x n e x n e x n e DFT x n N M x n LN X k x n e x n e x n e π π π π πππ − − − − − − = = = − − = − − −−− = = > = + = = ≤ = = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 将 补零到 点,然后作FFT X(k)= 将 补零到 组成新序列 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 0 0 1 2 2 2 1 ( 2 ) 0 0 1 1 2 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) [() ( )] ( 2 ) [ ( )] [ ( )] M n N N M N j kn j k n N j k n N j kn N N N n n N M N j kn j k n N N N n n N L L j kn N n l l x n e x n N e e e x n x n N e x n N e x n lN e DFT x n lN N DFT π π π π π π − = − − − − − + − + = = − − − − − + = = − − − − = = = = + + = = + + + + = + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∵ 变成了 点的 2 N π − 对于（1）还有另一种解法 现设有一序列 y n( ) 0 ≤ ≤ n N −1，其中 N 点 DFT 与 X k( )相同，即 ( ) ( ) 1 2 0 , 0,1, , N j kn N n X k y n e k N − π − = = = ∑ " −1 于是有： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 0 0 0 0 1 1 N M M N j kl j kn j k l n N N N k l l k y n x l e e x l e N N − − π π − − π − − = = = = ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ − 因为： ( ) 1 2 0 1 1 0 N j k l n N k l iN n e N l iN n − π − − = ⎧ = + = ⎨ ⎩ ≠ + ∑ 所以： ( ) ( ) 其中 0 p i y n x iN n = = ∑ + 1 M p N = + 的整数部分，当 M 不够 时，对 序列补零。 pN 9

227:我们希望利用一个长度为50的有限单位脉冲响应滤波器来过滤一串很长的数据，要求利用重叠 保留法并通过下T来实现这种滤波器。为做到这一点，(1)输入各段必须重叠N个样本：(2)必须从每 段产生的输出中取出M个样本，并将它们拼接在一起形成一长序列，即为滤波输出。设输入的各段长 度为100个样本，而T的长度为128，圆网卷积的输出序号为0127。 (1)求N: (2)求M: (3)求取出的M个点之起点与终点序号，即从圆周卷积的128点中取出哪些点去和前一段衔接起来？ 解：(1)输入各段必须重叠的样本数为滤波器长度减1：依题意有： ∴.N=N,-1=50-1=49 (2)输入段的长度Nm:滤波器长度N,=50,相邻输入段之间(N,-1)点发生重叠，圆周卷积 后每一段输出y,()的前(N,-)点发生混滑，去掉这一部分，把相邻段留下的点 (M=Nm-N+1)衔接构成最终的输入。设Nm=100,则有M=51。 (3)去掉混叠的前N(048)个点，和末尾补的28(100127)个零点，取出的M个点的序号为： 4999

2-27：我们希望利用一个长度为 50 的有限单位脉冲响应滤波器来过滤一串很长的数据，要求利用重叠 保留法并通过 FFT 来实现这种滤波器。为做到这一点，（1）输入各段必须重叠 N 个样本；（2）必须从每 一段产生的输出中取出 M 个样本，并将它们拼接在一起形成一长序列，即为滤波输出。设输入的各段长 度为 100 个样本，而 FFT 的长度为 128，圆周卷积的输出序号为 0~127。 （1） 求 N； （2） 求 M； （3） 求取出的M个点之起点与终点序号，即从圆周卷积的128点中取出哪些点去和前一段衔接起来？ 解：（1）输入各段必须重叠的样本数为滤波器长度减 1；依题意有：； ∴ 1 N N = −1 5 = 0 −1 = 49 （2）输入段的长度 Nin ；滤波器长度 1 N = 50，相邻输入段之间(N1 −1) 点发生重叠，圆周卷积 后每一段输出 y n i ( ) 的 前 (N1 −1) 点发生混淆，去掉这一部分，把相邻段留下的 点 ( ) 1 1 M N = − in N + 衔接构成最终的输入。设 100 Nin = ，则有 M = 51。 （3）去掉混叠的前 N（0~48）个点，和末尾补的 28（100~127）个零点，取出的 M 个点的序号为： 49~99。 10