理 课 1924 XINJIANG UNIVERSITY *4.2 常用模拟低通滤波器的设计
*4.2 常用模拟低通滤波器的设计
一、为何要设计模拟低通滤波器 由于模拟滤波器来设计数字滤波器：必须先将数字滤 波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指 标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射。 再此节我们先复习如何设计模拟低通滤波器。 首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通 原型滤波器的指标（此节不讲）后，我们就只设计“模 拟低通原型”滤波器。 模拟滤波器的设计（逼近）不属于本课程的范围，但由 于没学过，在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。 1、Butterworth巴特渥斯滤波器（最平幅度） *2、Chebyshev切比雪夫滤波器（通带或阻带等波纹
由于模拟滤波器来设计数字滤波器：必须先将数字滤 波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指 标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射。 再此节我们先复习如何设计模拟低通滤波器。 首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通 原型滤波器的指标(此节不讲)后，我们就只设计“模 拟低通原型”滤波器。 模拟滤波器的设计(逼近)不属于本课程的范围，但由 于没学过,在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。 1、Butterworth巴特渥斯滤波器(最平幅度) 2、Chebyshev切比雪夫滤波器(通带或阻带等波纹） 一、为何要设计模拟低通滤波器
二、模拟滤波器设计思想 *将一组规定的设计要求，转换为相应的模 拟系统函数Ha(s)使其逼近某个理想滤波器 的特性。（滤波器的特性包括有：幅度特性、 相位特性/群时延特性)，模拟滤波器经常借 助其幅度平方函数特性来设计
将一组规定的设计要求，转换为相应的模 拟系统函数Ha(s)使其逼近某个理想滤波器 的特性。(滤波器的特性包括有：幅度特性、 相位特性/群时延特性)，模拟滤波器经常借 助其幅度平方函数特性来设计。 二、模拟滤波器设计思想
三、根据幅度平方函数确定系统函数 1、求滤波器的幅度平方函数 设计模拟滤波器经常要借助其幅度 平方函数 A(Q)=H.2)=H,(2)H(2)=H,(s)H,（-s- 其中：H(s)是模拟滤波器的系统函数。 *假设p1,z1为H(s)的一个零点和一个极点，则-p1, -z1必为H2(-s)的一个零点和极，点，H(s)、H2(-s)的 零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式： 0yoegG+0 k2(Q2+p)(Q2+p)+.(Q2+p2) O-P1 ￥0
设 计 模 拟 滤 波 器 经 常 要 借 助 其 幅 度 平 方 函 数 其中:Ha(s)是模拟滤波器的系统函数。 假 设p1, z1为Ha(s) 的一个零点和一个极点，则-p1, -z1必为Ha(-s)的一个零点和极点，Ha(s)、Ha(-s)的 零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式： 三、根据幅度平方函数确定系统函数 1、求滤波器的幅度平方函数 ( ) 2 A = a = a a = a a − s =j A ( ) H (j ) H (j )H (j ) H (s )H ( s ) * 2 2 ( Ω z )(Ω z ) ( Ω z ) k ( Ω p )(Ω p ) ( Ω p ) A (Ω) H (s)H ( s ) 2 N 2 2 2 2 2 1 2 2 m 2 2 2 2 2 1 2 2 a a s j Ω 2 + + + + + + + + = − = = ＊ ＊ -z1 -p1 z1 p1 ＊ ＊
2、根据幅度平方函数设计模拟滤 波器的系统函数的步骤 米 我们知道，实际滤波器都是稳定的，因此其 极，点一定位于S平面左半平面，这样可根据 幅度平方函数通过如下步骤分配零、极点来 设计出模拟滤波器的系统函数。 *(1)由A2(2)=H(s)H（-S)来确定象限对称的S平面 函数。 *(2)将H,(s)H(-S)因式分解，得到各零点和极点。 (3)按照A(Q)与H(s)的低频特性或高频特性的 对比就可确定出增益常数
我 们 知 道， 实 际 滤 波 器 都 是 稳 定 的， 因 此 其 极 点 一 定 位 于S 平 面 左 半 平 面， 这 样 可 根 据 幅 度 平 方 函 数 通 过 如 下 步 骤 分 配 零、 极 点 来 设 计 出 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数 。 (1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。 (2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。 (3) 按 照 与Ha (s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 的 对 比 就 可 确 定 出 增 益 常 数。 2、根据幅度平方函数设计模拟滤 波器的系统函数的步骤 ( ) ( ) ( ) 2 A H s H s = a a − H (s )H ( s ) a a − A()
(①)由A(2)=H(s)H,(-s 来确定象限对称的S平面函数。 *将22=-52 *代入A(2)中即得到s平面函数
将 代入 中即得到s平面函数。 (1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。 ( ) ( ) ( ) 2 A H s H s = a a − 2 2 = −s ( ) 2 A
(2)将H(s)H（-s)因式分解，得到各 零点和极点。 *将左半平面的极点归于H(S)。 *如无特殊要求，可取H(s)H(-S)的对称零点的任一半 作为H(S)的零，点。 *如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点 作为H(S)的零，点。且祖轴上的零，点或极点都是偶次 的，其中一半属于H3(s)
将左半平面的极点归于Ha (s)。 如无特殊要求，可取 的对称零点的任一半 作为 Ha (s) 的零点。 如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点 作为Ha (s) 的零点。且 轴上的零点或极点都是偶次 的，其中一半属于Ha (s) 。 (2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。 H (s )H ( s ) a a − j H (s )H ( s ) a a −
(3)按照A(2)与H(S)的低频特性或高 频特性，确定出增益常数。 *邮(0)=A,(0)的条件，代入可求得增益常数
由 的条件，代入可求得增益常数。 (3) 按 照 与Ha (s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 , 确 定 出 增 益 常 数。 (0) (0) a a H = A A(Ω)
例子 例4.2.1根据以下幅度平方函数（Ω）确定系统函数 Ha(S). 16(25-Q2)2 (49+22)(36+2) 解：用Q2=一s2代入： H(s)H(-s)=A2(2=-2= 16(25+s2)2 (49-s2)(36-s2) .其极，点：s=±7，s=±6；零，点：s=±j5(皆为二阶 取左半平面极，点：s=一7，s=一6； 取s=士5j(一对虚轴零，点)为H。(s)的零点。 设增道常数为K,则椰)=K2e)。 由H。(O)=A(O)的条件，低通可得增益常数K: K·25=H(0)=A(0)=1y42.36,K=4 42 4（s2+25) 最后H(s)=(。+7列(。6)= 4s2+100 s2+13s+2
例4.2.1 根据以下幅度平方函数 确定系统函数 Ha (s). 例子 ( ) 2 A (49 )(36 ) 16(25 ) ( ) 2 2 2 2 2 + + − A = s 13s 2 4 s 100 ( s 7)(s 6 ) 4(s 25) 最后H (s) ,K 4 4 9 3 6 1 6 2 5 H (0) A(0) 4 2 K 2 5 由 H (0) A(0)的条件，低通，可得增益常数K： , ( s 7)(s 6 ) K(25 s ) 设增益常数为K，则得H (s) 取 s 5j(一对虚轴零点）为 H (s)的零点。 取左半平面极点：s 7,s 6 ; 其极点：s 7,s 6 ;零点：s j5(皆为二阶） (49 s )(36 s ) （Ω） 16(25 s ) H (s)H ( s ) A 解：用Ω s 代入： 2 2 2 a 2 a a 2 a a 2 2 2 2 Ω s 2 a a 2 2 2 2 + + + = + + + = = = = = = + + + = = = − = − = = = − − + − = = = − =−
、 Butterworth巴特渥斯低通旅波器 1、幅度平方函数 Butterworth低通滤波器具有通带最大平坦的 幅度特性，是一全极点型滤波器，且极点均 匀分布上2c的圆上，并且与虚轴对称。 米」 其特点：在通带内，幅频特平坦，随着频率的升高 而单调下降。其幅度平方函数为 4(2)=H,(2)= 1 1+(22w *其中N为整数，表示滤波器的阶次，Ωc定 截止频率， 为振幅响应衰减到-3dB处的频率
Butterworth 低 通 滤 波 器 具 有 通 带 最 大 平 坦 的 幅 度 特 性， 是 一 全 极 点 型 滤 波 器，且极点均 匀分布上Ωc的圆上，并且与虚轴对称。 其特点：在通带内，幅频特平坦，随着频率的升高 而单调下降。其幅 度 平 方 函 数为 其 中N 为 整 数， 表 示 滤 波 器 的 阶 次，Ωc 定 义 为 截 止 频 率， 为 振 幅 响 应 衰 减 到 - 3dB 处 的 频 率。 四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器 1、幅度平方函数 N c a j j A H j 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) + = =