理 学 个 NJIANG NIVERST 1924 4.4 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤 波器的频率变换（原型变换)
4．4 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤 波器的频率变换（原型变换）
对于模拟滤波器，已经形成了许多成熟的设计方案， 如巴特沃滋滤波器，切比雪夫滤波器，考尔滤波器，每种滤波器都 有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化 的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便， 因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过 归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通 或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面 所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下： 原型变换 模拟原型 模拟低通、高通 数字低通、高 带通、带阻 通带通、带阻 图4.4.1设计IIR滤波器的频率变换 也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型 通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计
对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案， 如巴特沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都 有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化 的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便， 因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过 归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通 或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面 所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下： 原型变换 图4.4.1 设计IIR滤波器的频率变换 也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型 通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计 模拟原型 模拟低通、高通 带通、带阻 数字低通、高 通带通、带阻 概 述
给定数字滤波器的参数指标，通过模拟滤波器设计， 而后映射的方法设计数字滤波器H(z),设计步骤： 由数字滤波器参数指标来求解确定模拟滤波器参 数 设计模拟滤波器的低通原型（根据某些已知的 滤波器类型) -根据要求求解参数（阶数N,截止频率2。） 查表找出指定滤波器的的归一化系数得到Ha1(s) 转化为Ha(s)
给定数字滤波器的参数指标 , 通过模拟滤波器设计， 而后映射的方法设计数字滤波器 H(z)，设计步骤： ➢ 由数字滤波器参数指标来求解确定模拟滤波器参 数 ➢ 设计模拟滤波器的低通原型（根据某些已知的 滤波器类型） -根据要求求解参数（阶数N，截止频率 ） -查表找出指定滤波器的的归一化系数得到Ha1(s) -转化为Ha(s) . C
少模拟数字频率变换-一 可选择不同的方法 A、脉冲响应不变法计算H(Z 1)、部分分式法分解Ha(s) Hs)=∑ S-Pk 2)、将模拟的极点{pk}转化为数字极点 [ekT}，并得到数字滤波器 He）=1-e R me)m。分
= − = N k k k a s p R H s 1 ( ) ➢ 模拟数字频率变换-可选择不同的方法 A、脉冲响应不变法计算H(Z) 1）、部分分式法分解Ha(s) 2）、将模拟的极点 {pk} 转化为数字极点 {e pkT} ，并得到数字滤波器 = − − = N k p T k e z R H z 1 k 1 1 ( ) = = = T H e H j H j a T a j ( ) ( )
B、双线性变换法计算H(Z) 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。 由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数 可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。 置换过程： 频响： Me==宁e2
B、双线性变换法计算H(Z) 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。 由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数 可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。 置换过程: 频响： + − = = − − + − = − − 1 1 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) 1 1 z z T H z H s Ha z z T s a = = = 2 2 ( ) ( ) 2 2 t g T H e H j H j a t g T a j
举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字 滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。 低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1)确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频 率{ωk}。 2)由变换关系将{ω}映射到模拟域，得出模拟 滤波器的临界频率值{Ωk}。 3)根据{Ωk}设计模拟滤波器的H(s) 4)把H,(s)变换成H(z)(数字滤波器系统函数)
一 ．低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频 率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟 滤波器的临界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s)变换成H(z)（数字滤波器系统函数） 举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字 滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法
创4.41设采样周期T=250us(f三4khz 设计一个三阶巴特沃滋LP滤波器，其3dB截止频率fc=1khz。分 别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。 解：a.脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接 按Q。=2πf。设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率2。 归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数为： 1 Ha(s)= 1+2s+2s2+s 以5/2。代替其归一化频率，得： H,(s)=1+2s12,)+2s1Q2+(s1Q.J
例4.4.1 设采样周期 , 设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分 别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。 解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接 按Ω c =2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ω c 归一化的三阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为： 2 3 1 2 2 1 ( ) s s s Ha s + + + = 2 3 1 2( / ) 2( / ) ( / ) 1 ( ) c c c a s s s H s + + + = c s/ T 250 s( f 4khz) = s = 以 代替其归一化频率，得：
也可以查表得到。由手册中查出 巴特沃兹多项式的系数，之后以sQ 代替归一化频率，即得(s。 2。=2代入，就完 成了模拟滤波器的设计，但为简化运 算，减小误差积累，fc数值放到数字 滤波变换后代入
也可以查表得到。由手册中查出 巴特沃兹多项式的系数，之后以 代替归一化频率，即得 。 代入，就完 成了模拟滤波器的设计，但为简化运 算，减小误差积累，fc数值放到数字 滤波变换后代入。 Ha(s) c c = 2f c s/
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构： a()= Dc -Sc/3ello -2c/3e-jnl6 s+2cs+2c(1-j√3)/28+2c1+jW3)/2 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式，有 A=2e,S1=-2e;A2=-2c/√5eπ/6 s2=-2.(1-j3)/2,4=-2c13r6,s=-2.1+jN3)12 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： 极点S
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构： (1 3)/ 2 / 3 (1 3)/ 2 / 3 ( ) / 6 / 6 s c j c e s c j c e s c c Ha s j j + + − + + − − + + = − /6 1 , 1 ; 2 / 3 j A = c s = −c A = −c e (1 3)/ 2; / 3 , 3 (1 3)/ 2 /6 2 3 s j A c e s j c j = −c − = − = − + − = − − = N i S T i e Z A H Z i 1 1 1 ( ) Si 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 ,有 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： 极点
并将2。=0。/T代入，得： @IT _+-(@.1V3)e6-(o.1V3Tem ④e。方 1-eo.1+/W/2Z 合并上式后两项，并将0。=2可T=0.5π 代入，计算得： =027 1.571 -1.571+0.5541Z 1-0.1905Z+0.2079Z-2
并将 代入，得： 合并上式后两项，并将 代入，计算得： (1 3)/ 2 1 / 6 (1 3)/ 2 1 / 6 1 1 ( / 3 ) 1 ( / 3 ) 1 / ( ) − + − − − − − − − − − + − − + − = e Z T e e Z T e e Z T H Z j j c j j C c c c c c = 2f c T = 0.5 − + − + + − = − − − − 1 2 1 1 1 0.1905 0.2079 1.571 0.5541 1 0.2079 1 1.571 ( ) Z Z Z T Z H Z c =c /T