知识点1模型思想、对模型思想的认识数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理、规律、法则公式、性质、数量关系式、图形、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式、图形和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义
知识点1 模型思想 一、对模型思想的认识 数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、 数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、 定理、规律、法则公式、性质、数量关系式、图形、图表、程序等都 是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要 表现形式是数学符号表达式、图形和图表，因而它与符号化思想有很 多相通之处，同样具有普遍的意义
不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性即把数学模型描述为特定的事物系统的数量关系结构。如通过数学在经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用，构造出各种数学模型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来，本文主要从狭义的角度讨论数学模型。即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建
不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性， 即把数学模型描述为特定的事物系统的数量关系结构。如通过数学在 经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用，构造出各种数学模 型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来，本文 主要从狭义的角度讨论数学模型。即重点分析小学数学的应用及数学 模型的构建
数学模型是运用数学的语和工具，对现实世界的一些信息进行适当简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的，便可以指导我们的实践。如上所述，数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用·因而，模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位，在数学教育领域也应该有它的一席之地
数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行适 当简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控 制，并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的，便可以指导 我们的实践。如上所述，数学模型在当今市场经济和信息化社会已经 有比较广泛的应用；因而，模型思想在数学思想方法中有非常重要的 地位，在数学教育领域也应该有它的一席之地
当今信息化，数字化和大数据的时代，对数学思想方法产生了重大影响，如模型思想、算法思想、推理思想、统计思想等会得到进一步的重视和发展随着计算机技术的迅速发展，它的应用领域不断扩大，不但能够代替人脑完成大量的数据计算和处理，还能够代替人类完成精细的体力劳动，如各个领域的机器人的应用、3D打印技术等都需要设计程序这些程序都是数学模型。因此，模型思想的应用会日益广泛如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题，当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程
当今信息化、数字化和大数据的时代，对数学思想方法产生了重大 影响，如模型思想、算法思想、推理思想、统计思想等会得到进一步 的重视和发展。 随着计算机技术的迅速发展，它的应用领域不断扩大，不但能够代 替人脑完成大量的数据计算和处理，还能够代替人类完成精细的体力 劳动，如各个领域的机器人的应用、3D打印技术等都需要设计程序， 这些程序都是数学模型。因此，模型思想的应用会日益广泛。 如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注 重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问 题；当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程
《标准（2011版）》在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包活：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。并在教材编写建议中提出了“教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现问题情境一建立模型一求解验证的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验：要有利于提高发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识
《标准(2011版)》在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思 想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与 外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活 或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数 等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意 义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的 兴趣和应用意识”。并在教材编写建议中提出了“教材应当根据课程 内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现‘问题 情境一建立模型一求解验证的过程，这个过程要有利于理解和掌握相 关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验；要有利于提高发现和 提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意 识
这是否可以理解为在小学阶段，从课程标准的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明确了模型思想的重要意义。这不仅表明了数学的应用价值，同时明确了建立模型是数学应用和解决问题的核心
这是否可以理解为：在小学阶段，从课程标准的角度正式提出了模 型思想的基本理念和作用，并明确了模型思想的重要意义。这不仅表 明了数学的应用价值，同时明确了建立模型是数学应用和解决问题的 核心
二、模型思想的应用数学的发现和发展过程也是一个应用的过程。从这个角度而言伴随着数学知识的产生和发展，数学模型实际上也随后产生和发展了如自然数系统1，2，3，…是描述离散数量的数学模型。2000多年前的古人用公式计算士地面积，用方程解决实际问题等，实际上都是用各种数学知识建立数学模型来解决问题的。就小学数学的应用来说，大多数是古老的初等数学的简单应用，也许在数学家的眼里，这根本就不是真正的数学模型：不过，小学数学的应用虽然简单，但仍然是现实生活和进一步学习所不可或缺的
二、模型思想的应用 数学的发现和发展过程，也是一个应用的过程。从这个角度而言， 伴随着数学知识的产生和发展，数学模型实际上也随后产生和发展了。 如自然数系统1，2，3，.是描述离散数量的数学模型。2000多年前的 古人用公式计算土地面积，用方程解决实际问题等，实际上都是用各 种数学知识建立数学模型来解决问题的。就小学数学的应用来说，大 多数是古老的初等数学的简单应用，也许在数学家的眼里，这根本就 不是真正的数学模型；不过，小学数学的应用虽然简单，但仍然是现 实生活和进一步学习所不可或缺的
小学数学中的模型如表4-1所示知识领域知识点应用举例数的表示自然数列：0，1，2，...用数轴表示数数的运算a+b=cc-a=b,c-b=aaxb=c（a±0，b±0）ca=b,c-b=a加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+（b+c）运算定律乘法交换律：ab=ba数与代数乘法结合律：（ab)c=a（bc）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac图4-1
小学数学中的模型如表4-1所示。 知识领域 知识点 应用举例 数的表示 自然数列：0，1，2，. 用数轴表示数 数的运算 a+b=c c-a=b，c-b=a a×b=c(a≠0，b≠0) c÷a=b，c÷b=a 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 运算定律 乘法交换律：ab=ba 数与代数 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac 图4-1
知识领域知识点应用举例方程ax+b=c时间、速度和路程：s=vt数量、单价和总价：a=np数与代数正比例关系：y/x=k，y=kx反比例关系：xy=k，y=≤数量关系x用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系
知识领域 知识点 应用举例 方程 ax+b=c 时间、速度和路程：s=vt 数量、单价和总价：a=np 数与代数 正比例关系：y／x=k，y=kx 数量关系 反比例关系：xy=k，y= 用表格表示数量间的关系 用图象表示数量间的关系
知识领域知识点应用举例长方形周长：C=2（a+b）正方形周长：C=4a长方形面积：S=ab正方形面积：S=a2图形与几何用字母表示公1式三角形面积：S=2ab平行四边形面积：S=ah1梯形面积：S=2(a+b)h圆周长：C=2元r圆面积：S=nr2
长方形周长：C=2(a+b) 正方形周长：C=4a 长方形面积：S=ab 正方形面积：S=a2 图形与几何 用字母表示公 式 三角形面积：S= ab 平行四边形面积：S=ah 梯形面积：S= (a+b)h 圆周长：C=2πr 圆面积：S=nr2 知识领域 知识点 应用举例