知识点1抽象思想一、对抽象思想的认识案例：18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡城有一条河穿城而过，河中心有两个岛，共有七座桥，如图2-1。图2-1问题是：一个人如何能够不重复、不遗漏地一次走完这七座桥而返回原地？
知识点1 抽象思想 • 一、对抽象思想的认识 案例：18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡城有一条河穿 城而过，河中心有两个岛，共有七座桥，如图2-1。 问题是：一个人如何能够不重复、不遗漏地一次走完这七 座桥而返回原地?
很多散步的人进行了尝试，但都没有成功，这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。瑞土著名的数学家欧拉通过数学抽象的方法解决了这个著名的问题。陆地和岛屿抽象成没有大小的数学上的点，把七座桥抽象成没有宽窄的数学上的线。这样就把地理上的地图抽象成了数学上的几何图寸嘛能否不重复、不遗漏走路的问题抽象成能否一笔（不重复地）画出这个图形（如图2-2）的问题图2-2
很多散步的人进行了尝试，但都没有成功，这就是著名的哥尼斯堡 七桥问题。瑞士著名的数学家欧拉通过数学抽象的方法解决了这个著 名的问题。 陆地和岛屿抽象成没有大小的数学上的点，把七座桥抽象成没有宽 窄的数学上的线。这样就把地理上的地图抽象成了数学上的几何图寸 嘛能否不重复、不遗漏走路的问题抽象成能否一笔(不重复地)画出这个 图形(如图2-2)的问题
抽象性是数学最本质的特征之一。“数学的威力就在于它的抽象性越撇开内容，就越有广泛应用的可能。抽象是数学活动最基本的思维方法，也是数学活动的一般方法。作为数学思想方法的抽象就是把大量生动的空间形式和数量关系的直观背景材料，进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作，以提炼数学概念、构造数学模型、建立数学理论。数学抽象是般化的思想方法，对于培养人的抽象思维能力和理性精神具有重要的意义
抽象性是数学最本质的特征之一。“数学的威力就在于它的抽象性： 越撇开内容，就越有广泛应用的可能。” 抽象是数学活动最基本的思维方法，也是数学活动的一般方法。作 为数学思想方法的抽象就是把大量生动的空间形式和数量关系的直观 背景材料，进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和 制作，以提炼数学概念、构造数学模型、建立数学理论。数学抽象是 一般化的思想方法，对于培养人的抽象思维能力和理性精神具有重要 的意义
全部的数学都是抽象的产物，数学中的任何一个概念、一个数个算式、一种运算、一个公理、一个定理、一条法规则等，无不具有抽象性，就连最简单的数字1也是抽象的产物。一个人、一棵树、一条狗、一栋房子，数学并不管这些东西的质的区别，只管量，把这些具体的质的内容抽掉后，抽象为数“一”，并用符号“1“表示
全部的数学都是抽象的产物，数学中的任何一个概念、一个数、 一个算式、一种运算、一个公理、一个定理、一条法则等，无不 具有抽象性，就连最简单的数字1也是抽象的产物。一个人、一棵 树、一条狗、一栋房子，数学并不管这些东西的质的区别，只管 量，把这些具体的质的内容抽掉后，抽象为数“一”，并用符号 “1”表示
1.数学抽象在数学中及教学过程中无处不在任何一个数学概念、法则、公式、规律、性质、定理等的概括和推导，都要用到抽象概括：用任何数学知识解决纯数学问题或联系实际的问题，都需要计算、推理、构建模型，都离不开抽象
1．数学抽象在数学中及教学过程中无处不在 任何一个数学概念、法则、公式、规律、性质、定理等的概括和推 导，都要用到抽象概括；用任何数学知识解决纯数学问题或联系实际 的问题，都需要计算、推理、构建模型，都离不开抽象
2数学抽象足有层次的数学随着不断发展呈现出了逐步抽象的过程。例如，数的发展从结绳计数得到1，2，3，等有限的自然数，再通过加法的运算得到后继数，形成了无限的正整数序列：12，3，在此基础上形成了正整数集合N。从整数扩展到分数，再从有理数扩展到实数，是逐步抽象的过程。再如从算术中的数1、2、3等到代数中的常量（a、b等），再到函数中的变量（x、y等），包括利用变量构建模型，也是一个遂步抽像象的过程
2．数学抽象足有层次的 数学随着不断发展呈现出了逐步抽象的过程。例如，数的发展， 从结绳计数得到1，2，3，.等有限的自然数，再通过加法的运算， 得到后继数，形成了无限的正整数序列：1，2，3，.，”，.在 此基础上形成了正整数集合N。从整数扩展到分数，再从有理数 扩展到实数，是逐步抽象的过程。再如从算术中的数(1、2、3等) 到代数中的常量(a、b等)，再到函数中的变量(x、y等)，包括利用 变量构建模型，也是一个逐步抽象的过程
二、抽象思想的应用下面以几个案例来说明小学数学中抽象思想的应用例题1一位六年级小学生来问一道下面的数学题：小明从家到学校，骑自行车每分钟行300米，放学返回时每分钟行400米。已知放学比上学少用4分钟，求小明家到学校的路程这位学生来问这道题目的原因是他会用方程方法解答，但是不会用算术方法解答，想问一问怎样用算术方法解答
二、抽象思想的应用 • 下面以几个案例来说明小学数学中抽象思想的应用。 • 例题1 一位六年级小学生来问一道下面的数学题： 小明从家到学校，骑自行车每分钟行300米，放学返回时每分钟行400 米。已知放学比上学少用4分钟，求小明家到学校的路程。 这位学生来问这道题目的原因是他会用方程方法解答，但 是不会用算术方法 解答，想问一问怎样用算术方法解答
这位学生会用方程的方法解答，说明他对题目中蕴含的“速度、时间、路程”之间的数量关系是理解的，方程方法比较容易建立等量关系（无论是用路程或时间中的某一个量，都很容易建立方程）。这位学生不会用算术方法解答，主要是因为数学抽象思维能力没有发展得很好对抽象的整体“1”缺乏深刻的理解成为了拦路虎
这位学生会用方程的方法解答，说明他对题目中蕴含的“速度、时 间、路程”之间的数量关系是理解的，方程方法比较容易建立等量关 系(无论是用路程或时间中的某一个量，都很容易建立方程)。这位学生 不会用算术方法解答，主要是因为数学抽象思维能力没有发展得很好， 对抽象的整体“1”缺乏深刻的理解成为了拦路虎
瞄准了问题的关键，我启发他我伸出1根手指头，问他：这是几?他略带疑惑地看着我说：这是1。继而伸出5根手指头，问：这是几？他说：是5。继续追问：还能看成几？这下他摸不着头脑了，不知道葫芦里卖的什么药。我笑着说：也可以看成“1”呀，1只手。伸出10根手指头，问：这是几？他说：10。追问：还能看成几？他说：2。还能看成几？
瞄准了问题的关键，我启发他。 我伸出1根手指头，问他：这是几?他略带疑惑地看着 我说：这是1。继而伸出5根手指头，问：这是几?他说： 是5。继续追问：还能看成几?这下他摸不着头脑了，不知 道葫芦里卖的什么药。我笑着说：也可以看成“1”呀， 1只手。伸出10根手指头，问：这是几?他说：10。追问： 还能看成几?他说：2。还能看成几?
我们相视笑了，他说：还能看成“1”，1双手。再问：你们班有多少名学生？他说：72名。还能看成几？他说：1！小明从家到学校的路程是多少米，刚开始知道吗，能够看成什么？哦，也能看成“1”。突破了这一难点，学生能够很顺利地用算术方法解答如下14800(米）44003001200
我们相视笑了，他说：还能看成“1”，1双手。再问： 你们班有多少名学生?他说：72名。还能看成几?他说：1! 小明从家到学校的路程是多少米，刚开始知道吗，能 够看成什么?哦，也能看成“1”。 突破了这一难点，学生能够很顺利地用算术方法解答如下 ： 4800 1200 1 4 400 1 300 1 4 （ − ）= = （米）