知识点7极限思想一、对极限思想的认识我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率曾经创立了“割圆术”，具体做法是：先作圆的内接正六边形，再作内接正十二边形..随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。刘徽在描述这种做法时说“割之弥细，所失弥少割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失
知识点7 极限思想 一、对极限思想的认识 我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的， 如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算，无法直接按 照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面 积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体做法是： 先作圆的内接正六边形，再作内接正十二边形.随着边数的不断增 加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于 圆的面积和周长。刘徽在描述这种做法时说“割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣
也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。为了便于理解，我们先从数列说起，数列是按照正整数1、2、3、n、.编号依次排列的一列数，可写成如下形式al.a2.a3...an其中称为数列的通项。其实，数列的通项可以看成是自变量为正整数n的特殊的函数，可写作an=f（n），其定义域为全体正整数。如
• 也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化 为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变 化趋势的思想。为了便于理解，我们先从数列说起，数列是按照正整 数1、2、3、.、n、.编号依次排列的一列数，可写成如下形式： • a1，a2，a3，.，an，. • 其中称为数列的通项。其实，数列的通项可以看成是自变量为正整 数n的特殊的函数，可写作an=f（n），其定义域为全体正整数。如 • 1， ， ，.， ，. • 2，4，6，.，2n，. • 1，-1，1，-1，1，-1. 2 1 3 1 n 1
都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋向于无穷大，如第二个数列有的无限接近于某一常数，如第一个数列无限接近于0，这时我们就说该数列以为极限，或者说收敛到0。通俗地说，就是对于任意给定一个不管多么小的正数，总是存在一个正整数N，使得nN的通项（N+1及大于它的每一项an，即aN+1,aN+2.）与常数的差的绝对值总小于（在数轴上可以直接地理解为两个点和的距离总小于e），那么就说数列的极限为a
都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋 向于无穷大，如第二个数列；有的无限接近于某一常数，如第一个数 列无限接近于0，这时我们就说该数列以0为极限，或者说收敛到0。通 俗地说，就是对于任意给定一个不管多么小的正数ε，总是存在一个正 整数N，使得n﹥N的通项(N+1及大于它的每一项an,即aN+1,aN+2,.)与常数 的差的绝对值总小于ε（在数轴上可以直接地理解为两个点和的距离总 小于ε），那么就说数列的极限为a
在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子aita2ta3t..tant...叫做无穷级数，其中前n项的和可记作Sn=a1+a2+a3+...+an+...称为级数的部分和，这些部分和又可以构成一个新的数列S1iS2.S3Sn当n趋向于无穷大时，如果数列的极限存在，可设极限为S，这时极限S就是无穷级数a1+a2+a3+..+an+...的和记作S=aita2+a3t...tant
在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子 a1+a2+a3+.+an+. 叫做无穷级数，其中前n项的和可记作 Sn=a1+a2+a3+.+an+.， 称为级数的部分和，这些部分和又可以构成一个新的数列 S1，S2，S3，.，Sn，. 当n趋向于无穷大时，如果数列的极限存在，可设极限为S，这时极限S 就是无穷级数a1+a2+a3+.+an+.的和，记作 S=a1+a2+a3+.+an+
小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡：此外，在小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。在极限思想中，也渗透着有限与无线、曲与直、变与不变的辩证关系。我们知道，多边形的面积直接用公式就可以计算出来，而如果其中有的边改成曲边，就无法直接用多边形的面积公式计算，就要用定积分来求了，如曲边梯形（直角梯形的斜边是曲边）的面积计算，就是先把曲边梯形平均分成n个小曲边梯形，在每个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时n个小矩形的面积的近等于n个小曲边梯形的面积的和，当n越来越大时，小矩形的面积和就越来越接近于相应的曲边梯形的面积，当n趋向于无穷大时，如果的极限存在，记作S，最后S就等于所有的小曲边梯形的面积的和了，那么就得到了曲边梯形的面积是S
小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡；此外，在小 学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学 生非常熟悉的辩证关系。在极限思想中，也渗透着有限与无线、曲与 直、变与不变的辩证关系。我们知道，多边形的面积直接用公式就可 以计算出来，而如果其中有的边改成曲边，就无法直接用多边形的面 积公式计算，就要用定积分来求了，如曲边梯形（直角梯形的斜边是 曲边）的面积计算，就是先把曲边梯形平均分成n个小曲边梯形，在每 个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时n个小矩形的面积的近等于 n个小曲边梯形的面积的和，当n越来越大时，小矩形的面积和就越来 越接近于相应的曲边梯形的面积，当n趋向于无穷大时，如果的极限存 在，记作S，最后S就等于所有的小曲边梯形的面积的和了，那么就得 到了曲边梯形的面积是S
这是从有限的曲边梯形的面积中找到无限个小矩形的面积，再从无限个小矩形的面积的无限变化中回归到曲边梯形的有限的面积的过程体现了有限与无限、曲与直相互转化的辩证思想。因此，极限思想对于培养学生初步的辩证思维有所益另外极限的概念，无穷级数的和的概念有助于教师全面理解小数的概念。我们知道，在小学数学教材中小数是以分母是10的若干次幂的分数的形式来描述的，这种引入方式使得教师认为小数就是十进分数是特殊的分数及分数的一部分
这是从有限的曲边梯形的面积中找到无限个小矩形的面积，再从无限 个小矩形的面积的无限变化中回归到曲边梯形的有限的面积的过程， 体现了有限与无限、曲与直相互转化的辩证思想。因此，极限思想对 于培养学生初步的辩证思维有所裨益。 另外，极限的概念、无穷级数的和的概念有助于教师全面理解小数 的概念。我们知道，在小学数学教材中小数是以分母是l0的若干次幂的 分数的形式来描述的，这种引入方式使得教师认为小数就是十进分数， 是特殊的分数及分数的一部分
但从实数理论的角度来看，这种理解是片面的。教材对小数的处理是限于学生的知识水平和认知水平，只能先认识小数的一部分，即有限小数，并不能完整地理解小数的意义。而把小数看成十进分数，实际上只是有限小数，即分数中的分母不含有2和5以外的质因数。无限小数就无法直接看成十进分数，如0.333.=，无法直接用十进分数表示如果想用十进分数表示，就必须用无限个十进分数的和的形式表示，即无穷级数的和来表示。0.333=+++16P
但从实数理论的角度来看，这种理解是片面的。教材对小数的处理是 限于学生的知识水平和认知水平，只能先认识小数的一部分，即有限 小数，并不能完整地理解小数的意义。而把小数看成十进分数，实际 上只是有限小数，即分数中的分母不含有2和5以外的质因数。无限小 数就无法直接看成十进分数，如0.333.= ，无法直接用十进分数表示。 如果想用十进分数表示，就必须用无限个十进分数的和的形式表示， 0.333.= + + +.，即无穷级数的和来表示。 3 1 10 3 10 3 10 3
二极限思想的具体应用极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。1.在数的计算中体会极限思想小学数学学习的数的计算一般都是经过有限的几步计算就可以解决的问题，另外，作为知识的拓展，可适当介绍一些无限多个数相加的问题，如在数形结合思想中曾经介绍了无穷多个分数相加的问题本文不再赘述。我国古代思想家庄子曾说过“一尺之捶，日取其半万世不竭”这句话可用下面的数学语言来描述“长度为单位1的线段第一天取走全长的一半，以后每天取走剩下的一半，永远有剩余用无究等比递缩数列的和来表示取走的长度，就是数形结合思想中的案例。另外，循环小数化分数的问题，也可以利用极限思想和数形结合思想来计算
二、极限思想的具体应用 • 极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。 • 1.在数的计算中体会极限思想 • 小学数学学习的数的计算一般都是经过有限的几步计算就可以解决 的问题，另外，作为知识的拓展，可适当介绍一些无限多个数相加 的问题，如在数形结合思想中曾经介绍了无穷多个分数相加的问题， 本文不再赘述。我国古代思想家庄子曾说过“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”这句话可用下面的数学语言来描述“长度为单位1的线段， 第一天取走全长的一半，以后每天取走剩下的一半，永远有剩余”， 用无穷等比递缩数列的和来表示取走的长度，就是数形结合思想中 的案例。另外，循环小数化分数的问题，也可以利用极限思想和数 形结合思想来计算
2.在圆的面积圆柱的体积的计算中渗透极限思想如上所述，在小学数学中圆的面积不能像求长方形的面积那样直接利用公式计算，圆柱的体积不能像长方体那样直接利用公式计算，利用极限思想可以解决这些问题。如计算圆的面积时，先把圆平均分成若于等份，拼成近似的长方形，但它还不是长方形，仍然无法直接按照求长方形面积的方法来求·因为把一个圆不论进行怎样细小的有限次的分割拼补，都无法真正拼成一个长方形：这时只有借助极限思想把圆分割的越细小所拼成的图形就越接近于长方形，可以这样无限地分下去，拼成的图形面积就越趋向于长方形的面积，最后通过取极限来得到它的面积这是极限思想在小学数学中最完美的体现
2.在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想 如上所述，在小学数学中圆的面积不能像求长方形的面积那样直接 利用公式计算，圆柱的体积不能像长方体那样直接利用公式计算，利 用极限思想可以解决这些问题。如计算圆的面积时，先把圆平均分成 若干等份，拼成近似的长方形，但它还不是长方形，仍然无法直接按 照求长方形面积的方法来求；因为把一个圆不论进行怎样细小的有限 次的分割拼补，都无法真正拼成一个长方形；这时只有借助极限思想， 把圆分割的越细小所拼成的图形就越接近于长方形，可以这样无限地 分下去，拼成的图形面积就越趋向于长方形的面积，最后通过取极限 来得到它的面积，这是极限思想在小学数学中最完美的体现
三、极限思想的教学极限的概念是抽象的、辩证的，在教学中应注意下面的问题。对有关极限的一些概念、教学要求和解题方法应准确把握。极限思想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想，这里要抓住两个关键语句：一个是变化的量是无穷多个，另一个是无限变化的量趋向于一个确定的常数，二者缺一不可。如自然数列是无限的，但是它趋向于无穷大，不趋向于一个确定的常数，因而自然数列没有极限在教学中一方面要让学生体会无限，更重要的是通过具体案例让学生体会无限变化的量趋向于一个确定的常数
三、极限思想的教学。 极限的概念是抽象的、辩证的，在教学中应注意下面的问题。 对有关极限的一些概念、教学要求和解题方法应准确把握。极限思 想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想，这里要抓住两 个关键语句：一个是变化的量是无穷多个，另一个是无限变化的量趋 向于一个确定的常数，二者缺一不可。如自然数列是无限的，但是它 趋向于无穷大，不趋向于一个确定的常数，因而自然数列没有极限。 在教学中一方面要让学生体会无限，更重要的是通过具体案例让学生 体会无限变化的量趋向于一个确定的常数