知识点3分类思想一、对分类思想的认识在学习分类思想之前，请大家解决下面的问题：例题1用125块体积相等的黑、白两种小正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如下图）。那么露在表面上的黑色正方体有多少块？
知识点3 分类思想 • 一、对分类思想的认识 在学习分类思想之前，请大家解决下面的问题： 例题1 用125块体积相等的黑、白两种小正方体，黑白相间地拼 成一个大正方体(如下图)。那么露在表面上的黑色正方体有多少 块？
将长15厘米的木棒截成长度为整数的三段，构成一个三角形，不同）种。的截法有（A.5B.6C.7D.8
• 将长15厘米的木棒截成长度为整数的三段，构成一个三角形，不同 的截法有（ ）种。 • A.5 B.6 C.7 D.8
人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。其分类规则和解决问题步骤是（1）根据研究的需要确定同一分类标准：（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论：（4）综合概括、归纳得出最后结论
人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体 研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进 行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问 题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而 治之、各个击破、综合归纳”。其分类规则和解决问题步骤是： （1）根据研究的需要确定同一分类标准；(2)恰当地对研究对象 进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从 属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等， 通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；(3)逐类逐级进行讨 论；(4)综合概括、归纳得出最后结论
分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适用于各种科学的研究：同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法《标准（2011版）》在总目标中要求学生能够运用数学的思维方式进行思考，数学思考的部分特征就包括有顺序地、有层次地全面地、有逻辑性地思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一股条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题
分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适用于各种科学 的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。 《标准(2011版)》在总目标中要求学生能够运用数学的思维 方式进行思考，数学思考的部分特征就包括有顺序地、有层次地、 全面地、有逻辑性地思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方 法。因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思 维品质的一种重要而有效的方法。无论是解决纯数学问题，还是 解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条 件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做 到全面地思考和解决问题
从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习既可以把握全局、、又能够由表及里、细致人微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论思想与集合思想也有上较密切的联系知识的分类无时不渗透着集合的思想，集合思想也离不开分类，一个元素是否属于一个集合，标准是明确的。另外，分类讨论思想还是率与统计知识的重要基础
从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习， 既可以把握全局、又能够由表及里、细致人微，有利于形成比较 系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论思想与集 合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思 想，集合思想也离不开分类，一个元素是否属于一个集合，标准 是明确的。另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础
例题2有甲，乙两个人去游玩，半路上都累了，恰好他们都知道会有三辆车经过他们这里。分别是上等车、中等车、下等车但他们门都没有见过这三种车。甲是一个急性子，他是第一辆车来了就上车之后就随车走了；乙是一个爱动脑筋的人，他是车来了就上之后观察车上的环境，之后下车，等第二辆车，再上车，如果第二辆车的环境好于第一辆，他就随车走，如果第二辆车的环境不如第一辆，他就等第三辆车来了再随车走请问：他们俩谁坐到上等车的可能性大？是多少？
• 例题2 有甲、乙两个人去游玩，半路上都累了，恰好他们都知 道会有三辆车经过他们这里。分别是上等车、中等车、下等车。 但他们都没有见过这三种车。甲是一个急性子， 他是第一辆车 来了就上车，之后就随车走了；乙是一个爱动脑筋的人，他是 车来了就上，之后观察车上的环境，之后下车，等第二辆车， 再上车，如果第二辆车的环境好于第一辆，他就随车走，如果 第二辆车的环境不如第一辆，他就等第三辆车来了再随车走。 请问：他们俩谁坐到上等车的可能性大？是多少？
一分类思想的应用分类思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面而言小学数学可以分为数与代数、图形与几何、统计与概率综合与实践四大领域。从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的认识范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整数和分数，整数又可以分为正整数、零和负整数，整数根据的整除性又可以分为偶数和奇数。正整数又可以分为1、素数和合数分类思想不但有利于理解各种知识及相互问的关系，还是解决问题时非常有效的方法.如小学生解决简单的羽）列组合问题时，不能利用加法和乘法原理，但是可以用分类讨论的方法、穷举法数形结合法等方法有效地解决
二、分类思想的应用 分类思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方 面而言，小学数学可以分为数与代数、图形与几何、统计与概率、 综合与实践四大领域。从比较具体的知识来说，几大领域的知识 又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学 数学数的认识范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整 数和分数，整数又可以分为正整数、零和负整数，整数根据它的 整除性又可以分为偶数和奇数。正整数又可以分为1、素数和合数。 分类思想不但有利于理解各种知识及相互问的关系，还是解决问 题时非常有效的方法．如小学生解决简单的羽)列组合问题时，不 能利用加法和乘法原理，但是可以用分类讨论的方法、穷举法、 数形结合法等方法有效地解决
小学数学中分类思想的应用如表2-2所示。表2-2思想方法知识点应用举例分类一年级下期物体的分类整理，渗透分类思想数可以分为正数、0、负数有理数可以分为整数和分数分数可以分为真数的认识分数和假分数整数的性质正数可以分为奇数和偶数正整数可以分为1、素数和合数平面图形中的多边形可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形、三角形按角可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三角形按边可以分为：不等边三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为等边三角形、腰与底边不相等的等腰三角形分类思想图形的认识四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和和两组对边都不平行的四边形统计数握的分类鉴理和描述排列组合分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础概室排列组合是格塞计算的基础先确定是几排树，再确定每排树的情况：两端都不载、一端裁一端不植树间题栽、两端都栽抽展原理构建抽展实际上是应用分类标准，把所有元素进行分类
小学数学中分类思想的应用如表2-2所示。 表2-2 思想方法 知识点 应用举例 分类思想 分类 一年级下册物体的分类整理，渗透分类思想 数的认识 数可以分为正数、0、负数有理数可以分为整数和分数分数可以分为真 分数和假分数 整数的性质 正数可以分为奇数和偶数正整数可以分为1、素数和合数 平面图形中的多边形可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形、 . 图形的认识 三角形按角可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三角形 按边可以分为：不等边三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以 分为等边三角形、腰与底边不相等的等腰三角形 四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和和两组对边都 不平行的四边形 统计 数据的分类整理和描述 排列组合 分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础 概率 排列组合是概率计算的基础 植树问题 先确定是几排树，再确定每排树的情况：两端都不栽、一端栽一端不 栽、两端都栽 抽屉原理 构建抽屉实际上是应用分类标准，把所有元素进行分类
。例题3用2、4、7三个数字，可以组成几个不同的三位数？
• 例题3 用2、4、7三个数字，可以组成几个不同的三位数？
例题4从1，2，3，4，5，6中选出三个不同的数，使它们的和为偶数，共有多少种不同的选法？
• 例题4 从1，2，3，4，5，6中选出三个不同的数，使它们的和 为偶数，共有多少种不同的选法？