工程流体力学
工程流体力学
第七章理想不可压缩流体的有 旋流动和无旋流动 本章内容:在许多工程实际问题中,流动参数 不仅在流动方向上发生变化,而且在垂直于流 动方向的横截面上也要发生变化。要研究些类 问题,就要用多维流的分析方法。本章主要讨 论理想流体多维流动的基本规律,为解决工程 实际中类似的问题提供理论依据,也为进一步 研究粘性流体多维流动奠定必要的基础
第七章 理想不可压缩流体的有 旋流动和无旋流动 本章内容：在许多工程实际问题中，流动参数 不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流 动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类 问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨 论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程 实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步 研究粘性流体多维流动奠定必要的基础
第一节流体流动的连续性方程 当把流体的流动看作是连续介质的流动,它必然遵守质量 守恒定律。对于一定的控制体,必须满足式(3-22)。它表 示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变 化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。 首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。 aa)d: D ar 2 G 图7-1微元六面体
第一节 流体流动的连续性方程 当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量 守恒定律。对于一定的控制体，必须满足式（3－22）。它表 示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变 化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。 首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。 图7-1 微元六面体
设该微元六面体中心点o(xyz)上流体质点的速度为 密度为P,于是和轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。 在方向上,单位时间通过EFGH面流入的流体质量为: dx idz 单位时间通过ABCD面流出的流体质量: dz (b) 则在疠向单位时间内通过微元体表面的净通量为(b)-(a),即 (ov ) axdydz c
设该微元六面体中心点O（x, y, z）上流体质点的速度为 、 、 ， 密度为 ，于是和 轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。 x v y v z v 在 方向上，单位时间通过 x EFGH面流入的流体质量为： ( ) dydz （a） dx v x vx x − 2 单位时间通过ABCD面流出的流体质量 ： ( ) dydz （b） dx v x vx x + 2 则在 方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b）-（a），即 ( v )dxdydz x x （c1） x x
同理可得和z方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为 (ov, kdxdyd= (c2) (ov dxdyd= (c3) 因此,单位时间流过微元体控制面的总净通量为: pd=(m)+0(m)+2(mn)b(e O CS 微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为: o小h d at (d) CV
同理可得 y 和 z 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为: ( v )dxdydz y y ( v )dxdydz z z （c2） （c3） 因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为: ( ) ( ) ( v ) dxdydz z v y v x vn dA x y z CS + + = （c） 微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为： dxdydz t dxdydz t dV t CV CV = = （d）
将式(c),(d)代入式(7-1),取dd则可得到流场中任一点 的连续性方程的一般表达式为: dp Ov.+ 0 (7-1) az 或 (ev) 0p=0 7-1a) 连续性方程表示了单位时而内理制你内流体质量的增量等于流体在控制 体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流 动 在定常流动中,由于C=0 0 (7-2) 对于不可压缩流体(ρ=常数) Ox O (7-3) 或 0 (7-3a
将式（c），（d）代入式（7-1），取 →0，则可得到流场中任一点 的连续性方程的一般表达式为: dxdydz ( ) ( ) ( ) = 0 + + + t v z v y v x x y z ( ) = 0 + t v 或 （7-1） （7-1a） 连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控制 体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流 动。 在定常流动中，由于 = 0 t ( ) ( ) ( ) = 0 + + x y z v z v y v x （7-2） 对于不可压缩流体（ =常数） = 0 + + z v y v x vx y z （7-3） 或 v = 0 （7-3a）
在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 O +-(m1)+-(p)+(P2)=0 at r ar r06 (7-4) 对于不可压缩流体 Ov.10 Vr=o ar r aa (7-4a) 式中哟极径;沩极角。 球坐标系中的表示式为 2,1a(m,2),1a(msnO),1(m 2 rsin e 06 rsin 0 aB (7-5) aBx 小XCot6 2 Or r a8 rsin 0 aB (7-5a) 式中內径矩;为纬度;洇径度
在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 ： ( ) ( ) 0 1 ( ) 1 = + + + r z v z v r r v t r r (7-4) 对于不可压缩流体 0 1 + = + + r v z v v r r vr z r (7-4a) 式中 r 为极径； 为极角。 球坐标系中的表示式为: + + + ( sin ) sin 1 ( ) 1 2 2 v r r v r t r r 0 ( ) sin 1 = v r (7-5) 0 2 cot sin 1 1 + + = + + r v r v v r v r r vr r （7-5a） 式中 r 为径矩； 为纬度； 为径度。
【例7-1】已知不可压缩流体运动速度1在其两个轴方向的分量 为v2=2x2+yvc在+处,有二=0试求轴向的速度分量。 解】对不可压缩流体连续性方程为:v,,v az 将已知条件代入上式,有 4x+4y+ 0 4 x-4y 4(x+y)z+f( az 又由已知条件对任何x,y当时0。故有0 f(x,y)=0 (x+y)
【例7-1】已知不可压缩流体运动速度 在 ， 两个轴方向的分量 为 ， 。且在 处，有 。试求 轴方向的速度分量 。 【解】对不可压缩流体连续性方程为： = 0 + + z v y v x vx y z 将已知条件代入上式，有 4 4 = 0 + + z v x y z x y z vz = −4 − 4 v 4(x y)z f (x, y) z = − + + 又由已知条件对任何 ， ，当 时， 。故有 f (x, y) = 0 v x y z z = −4( + ) v x y v x y x = + 2 2 v y z y = + 2 2 z = 0 vz = 0 z z v x y z = 0 vz = 0
第二节流体微团的运动分析 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性,极易变形。因此 流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动,而 且还会发生变形运动。一般情况下,流体微团的运动可以分解 为移动,转动和变形运动。 av. a av dy av sz ax 2 ay 2 az 2 ax 2 ay 2 az 2 40-a y ar 2 ay 2 az 2 ax 2 ay 2 az 2 av &x av ay av az ax 2 ay 2 0 2 ax 2 ay 2 az 2 av ar av ay av Sz av ax av ay av &z ax 2 ay 2 az 2 ax 2 ay 2 az 图7-2流体微团运动速度分量
第二节 流体微团的运动分析 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此， 流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而 且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可以分解 为移动，转动和变形运动。 图7-2 流体微团运动速度分量 2 2 2 z z y v y x v x v v x x x x − + − 2 2 2 z z y v y x v x v v x x x x + + − 2 2 2 z z y v y x v x v v x x x x − − − 2 2 2 z z y v y x v x v v x x x x + − − 2 2 2 z z y v y x v x v v x x x x − + + 2 2 2 z z y v y x v x v v x x x x − − + 2 2 2 z z y v y x v x v v x x x x + − + 2 2 2 z z y v y x v x v v x x x x + + +
如图7-2所示,在流场中任取一平行六面体的流体微 团,以该流体微团的运动速度为讨论对象。已知t瞬时中 心点0(xyz)的速度"=+",+"k。在该流 体微团的八个顶点(x方向)的分速度,可以利用泰勒级数 展开式,并略去高于一阶的无穷小量,如图。 为了简化讨论,首先分析流体微团的平面运动。如图 7-3,t瞬时矩形ABCD所示(x-y平面),由于流体微团 各点的速度不同,在δt时间间隔中,经过平动、转动和 变形运动,微团的位置和形状都发生了变化
如图 7-2 所示，在流场中任取一平行六面体的流体微 团，以该流体微团的运动速度为讨论对象。已知 t 瞬时中 心点 O（x, y, z）的速度 v v i v j v k = x + y + z 。在该流 体微团的八个顶点(x 方向)的分速度，可以利用泰勒级数 展开式，并略去高于一阶的无穷小量，如图。 为了简化讨论，首先分析流体微团的平面运动。如图 7-3 ， t 瞬时矩形 ABCD 所示（x-y 平面），由于流体微团 各点的速度不同，在δt 时间间隔中，经过平动、转动和 变形运动，微团的位置和形状都发生了变化
