第十三章结构弹性稳定
第十三章 结构弹性稳定
§13-1概述 第一类稳定问题(分支点失稳) 丌EI 临界荷载 不稳定平衡状态在任意 pP 不稳定平衡 P 完善体系 ↓↓+++↓+↓↓↓↓↓ m d7 两种平衡状态轴心受压和弯曲、压缩。-第一类稳定问题
§13-1 概述 一.第一类稳定问题(分支点失稳) l EI P 2 2 l EI Pcr = ---临界荷载 P Pcr 稳定平衡 P = Pcr 随遇平衡 P Pcr 不稳定平衡 q P P 不稳定平衡状态在任意 微小外界扰动下失去稳 定性称为失稳(屈曲). 两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。--- 第一类稳定问题 完善体系
二.第二类稳定问题(极值点失稳) 第二类稳定问题 非完善体系 三.分析方法 大挠度理论。 静力法 偏心受压有初曲率 小挠度理论。 能量法 四.稳定自由度 在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态所需的 独立几何参数的数目,称为稳定自由度。 ON EI=∞ EI=∞o 鑫1个自由度 2个自由度m无限自由度
二.第二类稳定问题(极值点失稳) 偏心受压 三.分析方法 大挠度理论。 第二类稳定问题 P P 有初曲率 小挠度理论。 静力法 能量法 四 .稳定自由度 在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态所需的 独立几何参数的数目,称为稳定自由度。 非完善体系 P EI = 1个自由度 P P EI = 2个自由度 无限自由度
§13-2.用静力法确定临界荷载 个自由度体系 ∑M4=0 EI=∞ ko·- Plain=0 小挠度、小位移情况下:Sm=9 荔m (- Plo=0 ≠0k-Pl=0 稳定方程(特征方程) 抗转弹簧 P=k/ 临界荷载
§13-2. 用静力法确定临界荷载 一.一个自由度体系 MA = 0 k − Plsin = 0 小挠度、小位移情况下： k P EI = l k 1 抗转弹簧 A sin = k (k − Pl) = 0 0 k − Pl = 0 ----稳定方程（特征方程） P k l cr / = ---临界荷载
二.N自由度体系 P (以2自由度体系为例) VI El=oo ∑MB=0+PO2-y)=0 ∑M4=0烛+:21-Pn=0 (kl-P)y+Py2=0 (2-P)1+kby2=0 kl-P P 稳定方程 1.618 2kI-P kl k(k-P)-P(2-p)=0 P2+3kP-k212=0 P.=0.382k--临界荷载 3± 2.618kl P kl 1.618失稳形式 2 0.382kl y
二.N自由度体系 MB = 0 ky1 l + P(y2 − y1 ) = 0 （以2自由度体系为例） k l(k l − P) − P(2lk − p) = 0 0 ----稳定方程 2 = − − kl P kl kl P P ---临界荷载 k l A P EI = l k 1 y 2 y 1 ky2 ky B MA = 0 ky2 l +ky1 2l −Py1 = 0 (kl−P)y1 + Py2 = 0 (2lk − P)y1 + kly2 = 0 3 0 2 2 2 P + klP − k l = = = k l k l P k l 0.382 2.618 2 3 5 P kl cr = 0.382 1.618 1 2 = − y y ---失稳形式 P 1 1.618
三.无限自由度体系 挠曲线近似微分方程为 Q Q Ely(x=M(x) El py+o(-x x M Ely(x=-Py+Q(-x) P 或y(x)+y=2(l-x) 得(A+2/=0 El E 令 2 B 0 E Acosn+ bsin n=0 y(x)+n'y=n=(l-x 通解为 V(x)=Acos nx+Bsin nx+=(x cos nl sin n0稳定方程 P 由边界条件 nl cosnl +sin nl=0 (0)=0,y(0)=0,y()=0 tann=nl
三.无限自由度体系 EIy (x) = M (x) 0 cos sin 0 0 1 1 0 − = nl nl n l M = − py + Q(l − x) EI P n = 2 P EI l x y x y 挠曲线近似微分方程为 Q P M Q EIy (x) = −Py + Q(l − x) 或 ( ) (l x) EI Q y EI P y x + = − 令 ( ) ( ) 2 2 l x P Q y x + n y = n − 通解为 ( ) cos sin (l x) P Q y x = A nx + B nx + − 由边界条件 y(0) = 0, y (0) = 0, y(l) = 0 得 + l = 0 P Q A − = 0 P Q BnAcosnl + Bsin nl = 0 稳定方程 −nl cosnl +sin nl = 0 tan nl = nl
y(nl)=nl, y(nl)=tan nl Q Q El x M 丌 3丌 5xin/ 2 得(A+2/=0 B 0 Acosn+ bsin n=0 经试算nl=4493 tan nl=4485 P cr=NEI cos nl sin n0稳定方程 4.493 nl cosnl +sin nl=0 )2EⅠ=20.19E/12 tann=nl
0 cos sin 0 0 1 1 0 − = nl nl n l P EI l x y x y Q P M Q 得 + l = 0 P Q A − = 0 P Q BnAcosnl + Bsin nl = 0 稳定方程 −nl cosnl +sin nl = 0 tan nl = nl nl y 2 2 3 2 5 y(nl) = nl y(nl) = tan nl 经试算 nl = 4.493 tan nl = 4.485 P n EI cr 2 = 2 2 ) 20.19 / 4.493 ( EI EI l l = =
§13-3.具有弹性支座压杆的稳定 BEl k EⅠ El 加m 3EI 练习:简化成具有弹簧支座的压杆 k EA=∞ 6El El El El
§13-3. 具有弹性支座压杆的稳定 l EI k 3 = P EI l EI k P k 1 练习:简化成具有弹簧支座的压杆 P EIl EI l EI P EI EI l EA = k P l EI k 6 = P EI k 3 3 l EI k =
挠曲线近似微分方程为 Ely(r=m(x) M=-py+o(-x) EI Ely(x=-Py+Q(-x) M ∑M4=0Q 令 El 稳定方程 y(x)+ny k/P 通解为 E· (kn/P+1)=0 V(x)=Acos nx+bsin nntp (1-x)Icon! sin nl 0 边界条件y(0)=0,y(0)=q,y()=0 tan/= E A+0=0 1+,,(m) Bn-(+1)q=0 解方程可得m的最小正根P=nE A cosnl+ bsin nl=0
EI k P l A y y x k Q P M EIy (x) = M (x) Q M = − py + Q(l − x) 挠曲线近似微分方程为 EIy (x) = −Py + Q(l − x) MA = 0 Ql = k EI P n = 2 令 ( ) ( ) 2 l x EI l k y x n y − + = 通解为 ( ) cos sin (l x) Pl k y x = A nx + B nx + − 边界条件 y(0) = 0, y (0) =, y(l) = 0 + = 0 P k A − ( +1) = 0 Pl k BnAcosnl + Bsin nl = 0 0 cos sin 0 0 ( / 1) 1 0 / − + = nl nl n k Pl k P 稳定方程 2 1 ( ) tan nl k l EI nl nl + = 解方程可得nl的最小正根 P n EI cr 2 =
若kn=0 tann=0 sin nl=o EI EI n=丌 M 丌2E 若k=∞ 稳定方程 N tann=nl k/P P=20.19E (kn/P+1)=0 cosnt sin n 0 tan nl E 1+,,(m) 解方程可得m的最小正根P=nE
EI k P l A y y x k Q P M Q 0 cos sin 0 0 ( / 1) 1 0 / − + = nl nl n k Pl k P 稳定方程 2 1 ( ) tan nl k l EI nl nl + = 解方程可得nl的最小正根 P n EI cr 2 = l EI P 2 2 l EI Pcr = nl = = 0 若 k tan nl = 0 sin nl = 0 若 k = tan nl = nl 2 P 20.19EI / l cr = P EI l