第十章矩阵位移法 第一节矩阵位移法的概念 与二节单元刚度矩阵 三节结构刚度矩阵 四节坐标转换矩阵 第五节非结点荷载的处理 第六节矩阵位移法的解题步骤 第上节结构分析的计算机方法简介 小结 返回
第 十 章 矩 阵 位 移 法 • 矩阵位移法的概念 • 单元刚度矩阵 • 结构刚度矩阵 • 坐标转换矩阵 • 非结点荷载的处理 • 矩阵位移法的解题步骤 • 结构分析的计算机方法简介 • 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 返回
第一节矩阵位移法的概念 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。 杆系结构的有限单元矩阵力法—柔度法 矩阵位移法刚度法(直接刚度法)* 矩阵位移法是以位移法为力学原理,应用矩阵理论,以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节:一是单元分析;一是整体分析。 在矩阵位移法中:单元分析的任务是建立单元刚度方程,形 成单元刚度矩阵讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式; 整体分析的任务是将单元及合成整体,由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵,建立整体结构的位移法基本方 程,从而求解。 直接由单元刚度矩阵导岀整体刚度矩阵的集成规则,是矩阵 位移法的核心内容。 返回下一张上一张小结
第一节 矩阵位移法的概念 • 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。 杆系结构的有限单元法 矩阵力法 矩阵位移法 ——柔度法 ｛ ——刚度法(直接刚度法)* 矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。 在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式； 整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。 返回 下一张 上一张 小结
以图示连续梁为例说明 矩阵位移法的概念。 M ·1单元分析 ①确定基本未知量,O2 ②划分单元杆;12杆,23杆 Ma ·③列各杄端转角位移方程 (b) M,=2i0 M I! v2 12 M23=3i26 Ma=3i.0 2 23 E El (2 ·2.整体分析 ·①建立位移法基本方程 4i M 2 (4+3i2 ∑ M,=0:M21+M22=M M2=(41+312)02 32M 41+3 ·②求杄端弯矩; (4xy+3t1) (d) 3绘M图 返回下一张上一张小结
• 以图示连续梁为例说明 矩阵位移法的概念。 0 3 4 2 32 23 2 2 21 1 2 12 2 = = = = M M i M i M i 12杆,23杆; 2 = 21 + 23 = 2 M 0 : M M M 2 1 2 2 M = (4i + 3i ) , 2 ３.绘M图。 •２．整体分析 • ①建立位移法基本方程； • • ②求杆端弯矩； •1.单元分析 • ①确定基本未知量， • ②划分单元杆； • ③列各杆端转角位移方程 返回 下一张 上一张 小结
17.1.2直接刚度法 对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知 ·数,并规定这些转角均以顺时针方向为正 17.1.3转角位移方程公 K11+K1262+K1363=M1 k21+K22+K23=M2 图7-2 K301+K322+K33=M3 式中:K(=123=123)称为结点刚度系数。它表示当6=1 时,在结点处并在θ方向上所需加的结点力矩总和。 返回下一张上一张小结
• 17.1.2 直接刚度法 • 对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知 • 数，并规定这些转角均以顺时针方向为正。 • 17.1.3 转角位移方程 • 式中：Kij（i=1,2,3;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当θj=1 时，在结点i处并在θi方向上所需加的结点力矩总和。 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 K K K M K K K M K K K M + + = + + = + + = 返回 下一张 上一张 小结
写成矩阵形式为: K1K2K136 K, K 21 22 2 MMM 31 32 简式为:[]}={M} ·式中:[K为结构总刚度矩阵 Q为结点转角列阵 M}为结点力矩列阵 返回下一张上一张小结
• 写成矩阵形式为： • 简式为： • 式中： [K]为结构总刚度矩阵 • {Q}为结点转角列阵 • {M}为结点力矩列阵 = 3 2 1 3 2 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 M M M K K K K K K K K K K= M 返回 下一张 上一张 小结
17.1.4形成单元刚度矩阵 ·例17-3:写出图示结构的杆端力矩 ·解:据转角方程可得 M1=41+2i02M M,=2i61+4i0 式中 E M 上式写成矩阵形式为 图7-3 返回下一张上一张小结
• 17.1.4 形成单元刚度矩阵 • 例17-3：写出图示结构的杆端力矩 • 解： 据转角方程可得： • • • 式中 • • 上式写成矩阵形式为 2 1 2 1 1 2 2 4 4 2 M i i M i i = + = + e e e e K i i i i M M [ ] { } 2 4 4 2 2 1 2 1 = = l EI i = 返回 下一张 上一张 小结
17.1.5形成总刚度矩阵 例7-4:写出图7-4所示结构的刚度矩阵 ·解:图示结构的刚度矩阵 K2)=K1 X8:=0 K1=k 13 K K,KK 23 32 33 X12=K1 0 KA=K 12 KK+K 21 22 22 K 23 0 K k2=E言6= 32 K 0 x3=&3 2i,4i,+4i,2 2 0 2 2 2 图17-4 返回下一张上一张小结
• 17.1.5 形成总刚度矩阵 • 例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵 • 解：图示结构的刚度矩阵： • 图17-4 = + = + = 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 0 2 4 2 4 4 2 4 2 0 0 0 i i i i i i i i K K K K K K K K K K K K K K K K K K 返回 下一张 上一张 小结
17.1.6引入支承条件,求结点位移 已知上例支承条件B0,连同已获得的K],以及各结点荷载 值(M1、M2、及M2=0)—起代入基本方程(76)式中,得 2 010 2i141+4122i2e2=1M 据矩阵运算的基本法则,则得 41+422221_JM 2 2 42O2 ·解得 M 2 2(4i1+3i2 返回下一张上一张小结
• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移 • 已知上例支承条件 =0，连同已获得的[K]，以及各结点荷载 值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得： • 据矩阵运算的基本法则，则得： • 解得： 1 = + 0 0 0 2 4 2 4 4 2 4 2 0 2 1 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 M M i i i i i i i i = + 2 4 0 4 4 2 2 3 2 2 2 1 2 2 M i i i i i + − + = 2(4 3 ) 4 3 1 2 2 1 2 2 3 2 i i M i i M 返回 下一张 上一张 小结
例75:求图75所示连续梁的的产 17.1.7求单元杆端力 的杆端力 ·解:由题可知杄1 2i, M M 4 2 2}=[ky 4i1+3i2 M 2i141(41+32 4i1M2 4i1+3i 杆 3i M M 2 3 4i,+3 4i1+3i M 2i 4 (4i1+3i2)×2 注:以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤, M 完全适用于其它类型结构。其中,K]的组成 b 是直接刚度法的核心部分。 图75 返回下一张上一张小结
• 17.1.7 求单元杆端力 • 例7-5：求图7-5所示连续梁 • 的杆端力 • 解： 由题可知 杆1 • 杆2 • 注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤, • 完全适用于其它类型结构。其中，[K]的组成 • 是直接刚度法的核心部分。 + + = + = = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 3 4 4 3 2 4 3 0 2 4 4 2 [ ] i i i M i i i M i i M i i i i K M M = + + − + = 0 4 3 3 (4 3 ) 2 4 3 2 4 4 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 i i i M i i M i i M i i i i M M 返回 下一张 上一张 小结
第二节单刚度矩阵 ·1721结构离散化 ·将杆系结构分离有限个单元杆一离散化。 ·原则:以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点,尽量 使相关结点,编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题, 非结点荷载需另外处理。 (8) 5 6 〔b) ·17.22单元杄端力和杆端位移表示方法 以为原点,从倒的方向为轴的正向,并以轴的正向逆时针 转90为轴的正向,这样的坐标系称为单元局部坐标系 单元杄端力和杄端位移符号的上方加一横“”,表示局部坐标 的意思。 返回一上一强结
• 第二节 单元刚度矩阵 • 17.2.1 结构离散化 • 将杆系结构分离有限个单元杆— 离散化。 • 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽量 使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题， 非结点荷载需另外处理。 • 图7-6 • 17.2.2 单元杆端力和杆端位移表示方法 • 以i为原点，从i到j的方向为 轴的正向，并以 轴的正向逆时针 转900为 轴的正向，这样的坐标系称为单元局部坐标系 单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横“—”，表示局部坐标 的意思。 − x − x − y 返回 下一张上一张 小结