直线、平面的相对位置关系教学目的要求：研究直线与平面以及平面与平面的相对位置关系在投影图中的投影特性和基本作图方法。包括：平行、相交和垂直。教学重点难点：相交关系的作图方法与步骤，及可见性的判断，线、面相对位置综合作图。学时：381平行关系1.1直线与平面平行几何条件：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面，反之亦然。投影：如果直线的投影与平面内任意一直线的同面投影平行，在空间则直线与平面平行。根据此定理，我们可以在投影图上判断直线与平面是否平行，并解决直线与平面平行的作图问题。作图：如图5-1所示，已知b'dI/ef'，bd//ef，且BD是ABC平面上的一直线，因此，直线BD//△ABC。图5-1例1：过点K作一水平线，使之平行于△ABC（图5-2）解：①在△ABC上作一水平线AD。（先作正面投影ad//X）②过K点作直线KL//AD。（kl//ad，k1//ad）直线KL即为所求。图5-2例2：过点K作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线AB解：由于铅垂面的H投影为一直线所以作铅垂面平行于直线AB，则Pa必平行于ab
直线、平面的相对位置关系 教学目的要求： 研究直线与平面以及平面与平面的相对位置关系在投影图中的投影特性和基本作图方 法。包括：平行、相交和垂直。 教学重点难点： 相交关系的作图方法与步骤，及可见性的判断，线、面相对位置综合作图。 学时：3 §1 平行关系 1．1 直线与平面平行 几何条件：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面， 反之亦然。 投影：如果直线的投影与平面内任意一直线的同面投影平行，在空间则直线与平面平行。 根据此定理，我们可以在投影图上判断直线与平面是否平行，并解决直线与平面平行的作图 问题。 作图： 如图 5-1 所示，已知 b’d’ ∥e’f’,bd∥ef,且 BD 是 ABC 平面上的一直线，因此， 直线 BD∥ΔABC。 图 5-1 例 1：过点 K 作一水平线，使之平行于ΔABC（图 5-2） 解：① 在ΔABC 上作一水平线 AD。（先作正面投影 aˊdˊ∥X） ② 过 K 点作直线 KL∥AD。（kl∥ad，kˊlˊ∥aˊdˊ）直线 KL 即为所求。 图 5-2 例 2：过点 K 作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线 AB 解：由于铅垂面的 H 投影为一直线， 所以作铅垂面平行于直线 AB，则 PH必平行于 ab
1）过k作Pn//ab，与X轴交于Px点。2）过Px点作Pv工X轴，则P平面即为所求。图 5-31.2平面与平面平行几何条件：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。投影：一个平面内任意两条直线的投影分别与另一个平面内两条相交直线的同面投影对应平行，则这两个平面平行。作图：由于AB//A,BI,BC//BCi,所以平面ABC//平面A,BCi，如图5-4所示图5-4两平行平面的同面迹线一定平行，反之，如果两平面的两对同面迹线分别相互平行，则不能确定两平面是相互平行的。在图5-5中两平面平行，在图5-6中两平面不平行。D图5-5PQvQr4QQaPrPeYH图 5-6S2相交关系求直线与平面的交点和两平面的交线是解决相交问题的基础。2.1利用积聚性求交点、交线2.1.1直线与平面相交一求交点当平面或直线的投影有积聚性时，根据交点的公有性，一个投影可直接确定，另一个投影可用在直线或平面上取点的方法求出
1）过 k 作 PH∥ab,与 X 轴交于 PX点。 2）过 PX点作 PV⊥X 轴，则 P 平面即为所求。 图 5-3 1.2 平面与平面平行 几何条件：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平 面平行。 投影：一个平面内任意两条直线的投影分别与另一个平面内两条相交直线的同面投影对应平 行，则这两个平面平行。 作图：由于 AB∥A1B1,BC∥B1C1,所以平面 ABC∥平面 A1B1C1，如图 5-4 所示 图 5-4 两平行平面的同面迹线一定平行，反之，如果两平面的两对同面迹线分别相互平行，则 不能确定两平面是相互平行的。在图 5-5 中两平面平行，在图 5-6 中两平面不平行。 图 5-5 图 5-6 §2 相交关系 求直线与平面的交点和两平面的交线是解决相交问题的基础。 2．1 利用积聚性求交点、交线 2．1．1 直线与平面相交—求交点 当平面或直线的投影有积聚性时，根据交点的公有性，一个投影可直接确定，另一个投 影可用在直线或平面上取点的方法求出
例1：试求直线AB与平面P的交点（图5-7)作图步骤：（1）确定正面投影k。（2）求水平投影k。1PPL(a)(b)图5-7例2：试求直线EF与△ABC的交点（图5-8a）作图步骤：（1）过k在△abc上作辅助线ad。（2）作ad的正面投影ad。（3）求交点的正面投影k。（4）判断可见性。在投影图中，为了增强清晰性，将直线与平面重影部分判断可见性。规定：不可见部分画成虚线，可见部分画成实线，交点是直线投影虚实的分界点。图5-8a图5-8b2.1.2平面与平面相交一求交线当两平面之一投影有积聚性时，交线的两个投影有一个可直接确定，另一个投影可用在平面上作直线的方法求出。例：试求平面ABC与平面P的交线（图5-9a）解法一（图5-9b）作图步骤：（1）连接ac。（2）求出P与△abc的交线k1。（3）求交线的水平投影kl。PPvPr图 5-9解法二：
例 1：试求直线 AB 与平面 P 的交点（图 5-7） 作图步骤：（1）确定正面投影 kˊ。（2）求水平投影 k。 图 5-7 例 2：试求直线 EF 与△ABC 的交点（图 5-8a） 作图步骤：（1）过 k 在△abc 上作辅助线 ad。（2）作 ad 的正面投影 aˊdˊ。（3）求交 点的正面投影 kˊ。（4）判断可见性。 在投影图中，为了增强清晰性，将直线与平面重影部分判断可见性。规定：不可见部分 画成虚线，可见部分画成实线，交点是直线投影虚实的分界点。 图 5-8a 图 5-8b 2．1．2 平面与平面相交—求交线 当两平面之一投影有积聚性时，交线的两个投影有一个可直接确定，另一个投影可用在 平面上作直线的方法求出。 例：试求平面 ABC 与平面 P 的交线（图 5-9a） 解法一（图 5-9b） 作图步骤：（1）连接 aˊcˊ。（2）求出 PV与△aˊbˊcˊ的交线 kˊlˊ。（3）求交线的 水平投影 kl。 图 5-9 解法二：
分析：P平面是水平面，它与平面ABC的交线一定是水平线，BC也是平面ABC内的水平线，根据同一平面的水平线的投影相互平行的特性，既可求出交线的投影。作图步骤：1、求出Pv与ab的交点k。2、求出K的水平投影k。3、过k作kl/bc。4、求出1。KL即为所求。2.2用辅助面求交点、交线当直线、平面均为一般位置时，其交点、交线不能直接求出，必须通过辅助平面来求。2.2.1用辅助面求交点作图步骤（图5-10)1、过已知直线做一辅助平面，如平面P（为便于作图，常用特殊位置平面)：2、求出辅助平面与已知平面的辅助交线，如直线CD，3、求出辅助交线与已知直线的交点，如K点，即为所求交点。XXX图5-10例：试求直线AB与平面EFG的交点。（图5-1la）解：作图步骤1、过AB作铅垂面P（图5-11b）：2、求P与EFG的交线CD3、求CD与AB的交点（k,k），则K为直线AB与平面EFG的交点（图5-11c）；4、判别水平投影的可见性（图5-11d)；5、判别正面投影的可见性。图5-11a图5—11b图5-1lc图5—1ld2.2.2用辅助面法求交线作图步骤：（1）过AB作一正垂面P求出P与平面DEF的交线12，12与AB的交于K点则K点是一个公共点。（2）过直线AC作正垂面O.求出它与平面DEF的交线为34，34与AC交于点L则交线KL即为所求。求出交线后一定要判断可见性，交线时可见与不可见的分界线，交线一侧可见，另一侧必不可见，交线本身是可见的，用粗实线画出
分析：P 平面是水平面，它与平面 ABC 的交线一定是水平线，BC 也是平面 ABC 内的 一水平线，根据同一平面的水平线的投影相互平行的特性，既可求出交线的投影。 作图步骤：1、求出 PV与 aˊbˊ的交点 kˊ。2、求出 K 的水平投影 k。3、过 k 作 kl∥bc。 4、求出 lˊ。KL 即为所求。 2．2 用辅助面求交点、交线 当直线、平面均为一般位置时，其交点、交线不能直接求出，必须通过辅助平面来求。 2．2．1 用辅助面求交点 作图步骤(图 5-10) 1、过已知直线做一辅助平面，如平面 P(为便于作图，常用特殊位置平面)； 2、求出辅助平面与已知平面的辅助交线，如直线 CD; 3、求出辅助交线与已知直线的交点，如 K 点，即为所求交点。 图 5-10 例：试求直线 AB 与平面 EFG 的交点。（图 5-11a） 解：作图步骤 1、过 AB 作铅垂面 P（图 5-11b）； 2、求 P 与 EFG 的交线 CD; 3、求 CD 与 AB 的交点（k,kˊ）,则 K 为直线 AB 与平面 EFG 的交点（图 5-11c）; 4、判别水平投影的可见性（图 5-11d）； 5、判别正面投影的可见性。 PH 图 5—11a 图 5—11b 图 5—11c 图 5—11d 2．2．2 用辅助面法求交线 作图步骤：（1）过 AB 作一正垂面 P,求出 P 与平面 DEF 的交线 12，12 与 AB 的交于 K 点,则 K 点是一个公共点。 （2）过直线 AC 作正垂面 Q,求出它与平面 DEF 的交线为 34，34 与 AC 交于点 L,则交 线 KL 即为所求。求出交线后一定要判断可见性，交线时可见与不可见的分界线，交线一侧 可见，另一侧必不可见，交线本身是可见的，用粗实线画出
图5-1283垂直关系3.1直线与平面垂直几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。投影：若一直线的水平投影一定垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。图5-13如图5-13所示，AB和AC分别是△ABC平面上的水平线和正平线，adabad1ac，则直线垂直于平面△ABC。例1：试求点K到△ABC平面的距离（图5-14a）解：求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定该点到垂足之间线段的实长。（图5-14b.5-14c）作图步骤：（1）在△ABC平面上任作一水平线BD和AE。（2）自K点向BD、AE引垂线，即作kllbd,k1，得垂线KL。（3）过KL作辅助面P,求出垂足F。（4）用ae直角三角形法求出实长Kif，则Kif即为所求。图5-14a图5-14b图5-14c3.2平面与平面垂直
图 5-12 §3 垂直关系 3．1 直线与平面垂直 几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。反之， 如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。 投影：若一直线的水平投影一定垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直 于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面， 则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平 线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。 图 5-13 如图 5-13 所示，AB 和 AC 分别是△ABC 平面上的水平线和正平线，ad⊥ab,aˊdˊ⊥ aˊcˊ,则直线垂直于平面△ABC。 例 1：试求点 K 到△ABC 平面的距离（图 5-14a） 解：求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定 该点到垂足之间线段的实长。（图 5-14b,5-14c） 作图步骤：（1）在△ABC 平面上任作一水平线 BD 和 AE。（2）自 K 点向 BD、AE 引 垂线，即作 kl⊥bd,kˊlˊ⊥aˊeˊ,得垂线 KL。（3）过 KL 作辅助面 P,求出垂足 F。（4）用 直角三角形法求出实长 K1f,则 K1f 即为所求。 图 5-14a 图 5-14b 图 5-14c 3．2 平面与平面垂直
几何条件：如果一直线垂直面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如果两平面互相垂直，则自第个平面个平面所作的垂线，一定在第点向第二H个平面上。（图5-15）图5-15图5-16例1：试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD（图5-16)解：作图步骤（1）从直线EF上的任意一点E向平面ABCD引垂线EH；（2）则平面FEH垂直于平面ABCD，即为所求。图5-173.3两一般位置平面垂直作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。例试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图5-18a）解：由于BC为一般位置直线，过点A与BC垂直相交的直线也是一般位置直线。所求直线必在过点A且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和点A的连线，即为所求（图5-18b）作图步骤（图5-18c）：1）过点A作水平线ADIBC.作正平线AEIBC：2）求直线BC与平面（AD、AE确定）的交点K(k,k）：3）连接A、K则AK(akak）,即为所求。(a)(b)(c)图5-18两一般位置直线互相垂直84点、线、面综合题及其解法
几何条件：如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之， 如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一 个平面上。（图 5-15） 图 5-15 图 5-16 例 1：试过直线 EF 作一平面垂直于平面 ABCD(图 5-16) 解：作图步骤（1）从直线 EF 上的任意一点 E 向平面 ABCD 引垂线 EH; （2）则平面 FEH 垂直于平面 ABCD,即为所求。 图 5-17 3.3 两一般位置平面垂直 作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上 的所有直线。 例 试过 A 点作一条直线，使其与直线 BC 垂直相交（图 5-18a） 解:由于 BC 为一般位置直线，过点 A 与 BC 垂直相交的直线也是一般位置直线。所求直 线必在过点 A 且与直线 BC 垂直的平面内，该平面与直线 BC 的交点和点 A 的连线，即为所求 （图 5-18b） 作图步骤 （图 5-18c）: 1）过点 A 作水平线 AD⊥BC,作正平线 AE⊥BC； 2）求直线 BC 与平面（AD、AE 确定）的交点 K(k,kˊ)； 3）连接 A、K,则 AK(ak,aˊkˊ),即为所求。 （a） (b) (c) 图 5-18 两一般位置直线互相垂直 §4 点、线、面综合题及其解法
点、线、面综合题是指在解题过程中需要运用前面点、线、面，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法。4.1解题的一般步骤1、分析题意。主要分析清楚已知条件和欲求结果，以及其应满足的条件。2、确定解题方法和步骤。这是解题的关键。3、投影作图。4.2解题方法4.2.1综合分析法此方法就是从已知条件出发，根据作图的要求条件，逐步推理最后得到索要的结果。整个过程都是“正”、“反”结合。这是画法几何的基本方法。例：试过点K作直线KL使其同时垂直于两相错直线AB、CD（图5-19a）。解：分析：由已知条件可知，所要求的直线KL，应满足三个条件：KL过点K，KL工AB及KLCD。因要求KL同时垂直于AB和CD,因此，KL一定垂直于AB和CD共同平行的平面P。为作图简便起见，可包含直线AB作一平行于CD的平面P。作图步骤（略去）6图5-19过点作同时垂直于两错直线的直线4.2.2轨迹相交法轨迹相交法是画法几何的常用方法，它适应于有两个或多个作图条件的问题，如果考虑每一个条件，都有无数个解答，并各自形成一个轨迹。这样所得各轨迹的交，即为所求的结果。例：已知一直角三角形ABC，其中AB为一直角边，另一直角边AC平行于平面R，且点C距V面20mm，试完成该三角形的两投影（图5-20a）。ba图5-20轨迹相交法解：分析：由已知条件可知，所要求的直角三角形的另一边AC应满足三个条件：AC1AB;AC//R;C点距V面2Omm。满足AC工AB的条件，AC的轨迹为过点A且垂直于直线AB的平面P(图5-20b)中的MAN平面)：满足AC//R面的条件，AC的轨迹为过点A且平行于平面R的平面Q.则点C必在两平面PP、Q的交线AL上。在根据点C距面V20mm的条件，在AL上确定点C,最后连接B、C，完成全图。作图步骤（略去）4.2.3辅助作图法这是解画法几何题经常使用的方法。通常辅助作图是在投影图上进行，但有时需要在投影图以外进行。例：试过A作直线AB，使其对H面的倾角α=30°，对V面的倾角β=45°，且实长=25mm（图5-21a）
点、线、面综合题是指在解题过程中需要运用前面点、线、面，特别是直线、平面相对 位置的基本概念和作图方法。 4.1 解题的一般步骤 1、分析题意。主要分析清楚已知条件和欲求结果，以及其应满足的条件。 2、确定解题方法和步骤。这是解题的关键。 3、投影作图。 4.2 解题方法 4.2.1 综合分析法 此方法就是从已知条件出发，根据作图的要求条件，逐步推理最后得到索要的结果。整 个过程都是“正”、“反”结合。这是画法几何的基本方法。 例:试过点 K 作直线 KL,使其同时垂直于两相错直线 AB、CD(图 5-19a)。 解:分析:由已知条件可知，所要求的直线 KL，应满足三个条件：KL 过点 K,KL⊥AB 及 KL⊥CD。因要求 KL 同时垂直于 AB 和 CD,因此，KL 一定垂直于 AB 和 CD 共同平行的平 面 P。为作图简便起见，可包含直线 AB 作一平行于 CD 的平面 P。 作图步骤（略去） a b 图 5-19 过点作同时垂直于两错直线的直线 4.2.2 轨迹相交法 轨迹相交法是画法几何的常用方法，它适应于有两个或多个作图条件的问题，如果考虑 每一个条件，都有无数个解答，并各自形成一个轨迹。这样所得各轨迹的交，即为所求的结 果。 例:已知一直角三角形 ABC，其中 AB 为一直角边，另一直角边 AC 平行于平面 R，且点 C 距 V 面 20mm，试完成该三角形的两投影（图 5-20a）。 a b 图 5-20 轨迹相交法 解:分析:由已知条件可知，所要求的直角三角形的另一边 AC 应满足三个条件：AC⊥ AB;AC∥R;C 点距 V 面 20mm。满足 AC⊥AB 的条件，AC 的轨迹为过点 A 且垂直于直线 AB 的平面 P(图 5-20b)中的 MAN 平面)；满足 AC∥R 面的条件，AC 的轨迹为过点 A 且平行于 平面 R 的平面 Q.则点 C 必在两平面 PP、Q 的交线 AL 上。在根据点 C 距面 V20mm 的条件， 在 AL 上确定点 C,最后连接 B、C，完成全图。 作图步骤（略去） 4.2.3 辅助作图法 这是解画法几何题经常使用的方法。通常辅助作图是在投影图上进行，但有时需要在 投影图以外进行。 例:试过 A 作直线 AB，使其对 H 面的倾角α=30°，对 V 面的倾角β=45°，且实长=25mm （图 5-21a） QV
解：由已知条件可知，所求直线AB应满足四个条件：AB过点A；α=30°；β=45°；L=25mm，可根据直角三角形法来求。作图步骤（图5-21b）（1）在正投影图以外画出辅助直角三角形，图解求出ab、△z和ab、△y：(2）根据直线AB的V投影长ab和两点A、B的高标差△z求得点B的V投影b；(3）根据b及两点A、B的纵标差（或AB的H投影长ab）求得b：-T（4）连接两点A、B.则直线AB即为所求。本题可有八解。b5-21辅助作图法解法二：5.直径任取b图5-21c图5-22变更问题法4.2.4变更问题法这种方法是将复杂的问题转换成较易解决的问题来解。例如，求两平面的夹角（图5-22），这时可以不直接求角，而是可以自平面外的任意一点K向两平面引垂线KM、KN，再求出KM、KN之间的夹角Φ，其补角即为要求的二面角α，这样就把求两平面夹角的空间问题变为平面问题。例：试求直线KL与△ABC平面的倾角（图5-23a）。解：如图5-24所示，求直线与平面P的夹角θ，可自直线上任意一点K向平面P作垂线KM，求出直线KL与垂线KM的夹角Φ，其余角就是直线KL与平面P的夹角。作图步骤（略）图5-23求直线与平面的倾角
解:由已知条件可知，所求直线AB应满足四个条件：AB过点A;α=30°;β=45°;L=25mm, 可根据直角三角形法来求。 作图步骤（图 5-21b） (1) 在正投影图以外画出辅助直角三角形，图解求出 ab、Δz 和 aˊbˊ、Δy; (2) 根据直线 AB 的 V 投影长 aˊbˊ和两点 A、B 的高标差Δz 求得点 B 的 V 投影 bˊ； (3) 根据 bˊ及两点 A、B 的纵标差Δy（或 AB 的 H 投影长 ab）求得 bˊ； (4) 连接两点 A、B,则直线 AB 即为所求。本题可有八解。 a b 5-21 辅助作图法 直径任取 A B b 解法二： b 30° 45° a a ab ΔZ ΔY ab ΔZ ab X ΔZ 图 5-21c 图 5-22 变更问题法 4．2．4 变更问题法 这种方法是将复杂的问题转换成较易解决的问题来解。例如，求两平面的夹角θ（图 5-22），这时可以不直接求角θ，而是可以自平面外的任意一点 K 向两平面引垂线 KM、KN, 再求出 KM、KN 之间的夹角φ，其补角即为要求的二面角θ，这样就把求两平面夹角的空间 问题变为平面问题。 例:试求直线 KL 与ΔABC 平面的倾角θ（图 5-23a）。 解:如图 5-24 所示，求直线与平面 P 的夹角θ，可自直线上任意一点 K 向平面 P 作垂线 KM，求出直线 KL 与垂线 KM 的夹角φ，其余角就是直线 KL 与平面 P 的夹角θ。 作图步骤（略） a b 图 5-23 求直线与平面的倾角
图5-244.2.5反求法反求法就是解题时，有时从正面推导不易得到结果，而根据要求结果，先在图外作出其投影，加以分析而得到解题方法。例：已知等边△ABC的边AB的V投影abI/X轴，即AC边的H投影aC，试完成该△ABC的投影（图5-25a）。解：初看起来，根据已知条件不易入手。如果要作的是等边三角形，且一边AB是水平线，先在旁边画出这样的等边三角形的正投影图（图5-25c），就可以发现，其H投影一定是等腰三角形abc且ac=bc，而ab即△ABC边的实长。作图步骤（图5-25b）1、根据b‘b工X轴，及ac=bc作△abc,则△abc是所求的△ABC的H投影；2、由ab为边长的实长，及一边AC的投影长ac作直角三角形，求出A、C粮店的高标差△z;3、根据ccX轴及△z求出c，完成△abc，则△ABC即为所求的等边三角形。本题有四解。(b)(c)(a)图5-25反求法4.2.6投影变换法这也是解决画法几何问题常用的方法
图 5-24 4．2．5 反求法 反求法就是解题时，有时从正面推导不易得到结果，而根据要求结果，先在图外作出其 投影，加以分析而得到解题方法。 例:已知等边ΔABC 的边 AB 的 V 投影 aˊbˊ∥X 轴，即 AC 边的 H 投影 ac，试完成该Δ ABC 的投影（图 5-25a）。 解:初看起来，根据已知条件不易入手。如果要作的是等边三角形，且一边 AB 是水平线， 先在旁边画出这样的等边三角形的正投影图（图 5-25c），就可以发现，其 H 投影一定是等 腰三角形 abc 且 ac=bc,而 ab 即ΔABC 边的实长。 作图步骤（图 5-25b） 1、根据 bˊb⊥X 轴，及 ac=bc 作Δabc,则Δabc 是所求的ΔABC 的 H 投影； 2、由 ab 为边长的实长，及一边 AC 的投影长 ac 作直角三角形，求出 A、C 粮店的高 标差Δz; 3、根据 ccˊ⊥X 轴及Δz 求出 cˊ，完成Δaˊbˊcˊ,则ΔABC 即为所求的等边三角 形。 本题有四解。 （a） (b) (c) 图 5-25 反求法 4．2．6 投影变换法 这也是解决画法几何问题常用的方法