投影变换教学目的要求：利用投影变换解决空间几何元素定位和度量问题，提高空间分析能力、思维能力和解决能力。介绍变换投影面法教学重点难点：掌握点的一次和二次换面方法。掌握“返回”的作图方法，即能由变换后的新投影返回原投影体系。学时：481概述投影变换的方法有：正投影变换：用改变几何元素与投影面体系的相对位置来达到投影变换的目的，其方法有两种：、变换投影面法（换面法）保持几何元素不动，建立新的执教投影面体系，使几何元素在新的投影面体系中处于有利于解体的位置，然后用正投影法得到新的投影，如图6-1a。二、旋转法保持原直角投影面体系不动，将空间几何元素绕某个投影轴旋转，使之与投影面处于有利于解题的位置，然后用正投影法将旋转后的几何元素投影到投影面上获得新的投影。如图6-1b。(a)(b)图6-1正投影变换三、斜投影变换：保持投影面和空间几何元素的位置不动，改变投射方向（即采用斜投影），使空间几何元素在投影面上获得新投影，如图6-2所示。(e图6-2斜投影变换本章主要介绍正投影变换中的换面法。s2变换投影面法（换面法）2.1换面法的基本概念新投影面的选择必须符合下列两个条件：如图6-3所示1）新投影面必须垂直一个原有的投影面：2）新投影面对空间的几何元素应处于有利解题的位置
投影变换 教学目的要求： 利用投影变换解决空间几何元素定位和度量问题，提高空间分析能力、思维能力和解决 能力。介绍变换投影面法 教学重点难点： 掌握点的一次和二次换面方法。掌握“返回”的作图方法，即能由变换后的新投影返回 原投影体系。 学 时：4 §1 概述 投影变换的方法有： 正投影变换：用改变几何元素与投影面体系的相对位置来达到投影变换的目的，其方法 有两种： 一、变换投影面法（换面法） 保持几何元素不动，建立新的执教投影面体系，使几何 元素在新的投影面体系中处于有利于解体的位置，然后用正投影法得到新的投影，如图 6-1a。 二、旋转法 保持原直角投影面体系不动，将空间几何元素绕某个投影轴旋转，使之与 投影面处于有利于解题的位置，然后用正投影法将旋转后的几何元素投影到投影面上获得新 的投影。如图 6-1b。 图 6-1 正投影变换 三、斜投影变换：保持投影面和空间几何元素的位置不动，改变投射方向（即采用斜投 影），使空间几何元素在投影面上获得新投影，如图 6-2 所示。 图 6-2 斜投影变换 本章主要介绍正投影变换中的换面法。 §2 变换投影面法（换面法） 2．1 换面法的基本概念 新投影面的选择必须符合下列两个条件：如图 6-3 所示 1）新投影面必须垂直一个原有的投影面； 2）新投影面对空间的几何元素应处于有利解题的位置
图6-3换面法基本概念2.2点的投影变换2.2.1点的一次变换换V面图6-4(a)、（b）分别为立体图和投影图XHHIXy(b)a图6-4点一次换面（换V面）作图步骤1、定出新投影轴0.X;2、过点a作aa10,Xi;3、取aiai=a“ax,ar即为所求的新投影。点的换面规律：1、点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴；2、点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到原投影轴的距离。2.2.2点的二次换面解题时，有时变换一次投影面不能满足解题要求，这时就需要变换二次甚至多次投影面。1、新投影体系的建立（图6-6a)先把V面换成平面V，V.V,H,得到新的中间新投影体系：XiV/H；再把H面换成平面H2，H2工V1，得到新投影体系：X2V/H2。TXaz1XH?AHx, VXa'(a)(b)图6-6点的一次换面2、新投影的作图方法（图6-6b）作图步骤：a）定出新投影轴O,Xr;b)根据点的投影规律，求出新投影ac)作新投影轴02X2；d)过ai作ala21O2X2,并取a2x2=aax1,得出a2,a2即为变换后的新投影。2.3直线的换面2.3.1直线换面的两个作图问题1、把一般位置直线变换为投影面的平行线（图6-7）
图 6-3 换面法基本概念 2．2 点的投影变换 2．2．1 点的一次变换 换 V 面 图 6-4(a)、（b）分别为立体图和投影图 ⚫ ⚫ VH X V1 H X1 a a ax ax1 ● a 1 a (b) 图 6-4 点一次换面（换 V 面） 作图步骤 1、定出新投影轴 O1X1; 2、过点 a 作 aaˊ⊥O1X1; 3、取 a1ˊax1=aˊax,a1ˊ即为所求的新投影。 点的换面规律： 1、点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴； 2、点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到原投影轴的距离。 2．2．2 点的二次换面 解题时，有时变换一次投影面不能满足解题要求，这时就需要变换二次甚至多次投影面。 1、新投影体系的建立(图 6-6a) 先把 V 面换成平面 V1，V1 V1H,得到新的中间新投影体系:X1 V1/H; 再把 H 面换成平面 H2, H2⊥V1,得到新投影体系：X2 V1/H2。 ax2 ⚫ a X VH ⚫ ⚫a2 X1 H V1 X2 V1 H2 X2 V1 H2 a1 ⚫ ax ax1 # # * * . . （a） (b) 图 6-6 点的二次换面 2、新投影的作图方法（图 6-6b）作图步骤： a) 定出新投影轴 O1X1; b) 根据点的投影规律，求出新投影 a1ˊ; c) 作新投影轴 O2X2; d) 过 a1ˊ作 a1ˊa2⊥O2X2,并取 a2x2=aax1,得出 a2,a2即为变换后的新投影。 2．3 直线的换面 2．3．1 直线换面的两个作图问题 1、把一般位置直线变换为投影面的平行线（图 6-7）
例：已知直线AB的两投影ab、ab，试求直线AB的实长和a角（图6-8）。解：直线AB为一般位置直线，欲求直线AB的实长和a角，应建立新的投影面体系，使直线AB成为新投影面Vi的平行线。作图步骤：1、作O,X,//ab：2、根据点的换面规律，求出新投影al、bi：3、求实长：aib即为直线AB的实长；4、求a角：aibi与OXi轴的夹角即为直线AB与H面的夹角a。HHb图6-7直线的一次换面图6-9换面法求实长和倾角O(a)(6)图6-8求直线的实长和a角图6-9是求直线的实长和对V面的倾角β。2、把投影面平行线变换为投影面垂直线主要解决于直线有关的度量问题（两直线间的距离）和定位问题（求线面交点）。例：已知正平线AB的两投影，试把它变为投影面垂直线（图6-10）。解：直线AB为正平线，应将AB变换为新投影面H的垂直线，因AB//V,而新投影面要垂直AB又必须垂直一个投影面，所以只能设置新投影面H工V，且H工AB即建立新投影体系V/ Hi。X"图6-10将正平线变为投影面垂直线作图步骤：1、作OX,tab：2、按点的换面规律，求出新投影au、b,(at、b,重合)。2.3.2直线的二次换面把一般位置直线变换成投影面的垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原来的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以必须经过两次换面。第一次，将一般位置直线变换为新投影体系中的投影面平行线：第二次，将投影面平行线变换成另一投影体系中的投影面垂直线。例：已知一般位置直线AB的两投影，试将其变换为新投影面的垂直线（图6-11)。解：要把一般位置直线变换成投影面的垂直线，必须经过两次换面。作图步骤：1、作0Xi//ab：2、求出新投影al、bi：3、作0zX21aibi：4、求出a2、b2(a2与b2重合)
例：已知直线 AB 的两投影 ab、aˊbˊ,试求直线 AB 的实长和а角（图 6-8）。 解：直线 AB 为一般位置直线，欲求直线 AB 的实长和а角，应建立新的投影面体系，使直 线 AB 成为新投影面 V1的平行线。 作图步骤：1、作 O1X1∥ab；2、根据点的换面规律，求出新投影 a1ˊ、b1ˊ；3、求实 长：a1ˊb1ˊ即为直线 AB 的实长；4、求а角：a1ˊb1ˊ与 O1X1 轴的夹角即为直线 AB 与 H 面的夹角а。 图 6-7 直线的一次换面 图 6-9 换面法求实长和倾角 图 6-8 求直线的实长和а角 图 6-9 是求直线的实长和对 V 面的倾角β。 2、把投影面平行线变换为投影面垂直线 主要解决于直线有关的度量问题（两直线间的距离）和定位问题（求线面交点）。 例：已知正平线 AB 的两投影，试把它变为投影面垂直线（图 6-10）。 解：直线 AB 为正平线，应将 AB 变换为新投影面 H1的垂直线，因 AB∥V,而新投影面要 垂直 AB 又必须垂直一个投影面，所以只能设置新投影面 H1⊥V,且 H1⊥AB 即建立新投影体系 V/ H1。 图 6-10 将正平线变为投影面垂直线 作图步骤：1、作 O1X1⊥aˊbˊ；2、按点的换面规律，求出新投影 a1、b1(a1、b1重合)。 2．3．2 直线的二次换面 把一般位置直线变换成投影面的垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一 般位置直线的平面是一般位置平面，它与原来的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系， 所以必须经过两次换面。第一次，将一般位置直线变换为新投影体系中的投影面平行线；第 二次，将投影面平行线变换成另一投影体系中的投影面垂直线。 例：已知一般位置直线 AB 的两投影，试将其变换为新投影面的垂直线（图 6-11）。 解：要把一般位置直线变换成投影面的垂直线，必须经过两次换面。 作图步骤：1、作 O1X1∥ab；2、求出新投影 a1ˊ、b1ˊ；3、作 O2X2⊥a1ˊb1ˊ；4、求出 a2、b2(a2与 b2重合)
XV.az'(b2 ')VHX,H图6-11直线的二次换面2.4平面的换面2.4.1将一般位置平面变换为投影面垂直面空间分析：如果将平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面就变换成了新投影面的垂直面。投影作图：在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。例：已知一般位置平面ABC的两投影，试求该平面对H面的倾角a。（图6-12）解：欲求一般位置平面△ABC对H面的倾角a，应当保留H面，用V.面替换V面，建立V/H新投影体系，是平面成为新投影面V.的垂直面。XHHard0Sy图6-12求平面ABC的a角2.4.2把投影面垂直面变换为投影面平行面例：试求铅垂面△ABC的实形。（图6-13）欲求铅垂面△ABC的实形，应建立V/H新投影体系，并使V./△ABC，即把△ABC变换为V/H体系中V.的平行面。作图步骤：1）作oiXi/acb；2）求出新投影ab，c，：3）求实形：△a1bic即反映△ABC的实形。HIx.V图6-13求三角形实形6-14将正垂面变换成投影面的平行面2.5换面法的应用应用换面法解题时，首先分析已知条件和待求问题之间的相互关系，再分析空间几何元素与投影面处于何种相对位置时，解题最为简便，进而确定需几次换面及换面顺序。例1：试求平面ABC的实形和β角解：必须经过两次换面，先将它变换为新投影体系中的投影面垂直面，再将它变换为另一投影体系中的投影面平行面
a1 ● b1 ● a b a b X VH a b a b a b a b X VH X1 H V1 V1 H2 X2 V1 H2 X2 a2 (b2 ) ⚫ a2 (b2 ) ⚫ 图 6-11 直线的二次换面 2.4 平面的换面 2．4．1 将一般位置平面变换为投影面垂直面 空间分析：如果将平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面就变换成了 新投影面的垂直面。 投影作图：在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则 该平面变成新投影面的垂直面。 例：已知一般位置平面 ABC 的两投影，试求该平面对 H 面的倾角α。（图 6-12） 解：欲求一般位置平面△ＡＢＣ对 H 面的倾角α，应当保留 H 面，用Ｖ1面替换 V 面， 建立 V1/H 新投影体系，是平面成为新投影面 V1的垂直面。 H α X V1 1 d c ● 1 a1（ ● d1） . a a c c b X V H d 图 6-12 求平面 ABC 的α角 2.4.2 把投影面垂直面变换为投影面平行面 例：试求铅垂面△ＡＢＣ的实形。（图 6-13） 欲求铅垂面△ＡＢＣ的实形，应建立Ｖ1/Ｈ新投影体系，并使Ｖ1∥△ＡＢＣ，即把△Ａ ＢＣ变换为 V1/H 体系中 V1的平行面。 作图步骤：1）作Ｏ1Ｘ1∥ａｃｂ；2）求出新投影ａ1ˊｂ1ˊｃ1ˊ；3）求实形：△ａ1 ˊｂ1ˊｃ1ˊ即反映△ＡＢＣ的实形。 图 6-13 求三角形实形 6-14 将正垂面变换成投影面的平行面 2．5 换面法的应用 应用换面法解题时，首先分析已知条件和待求问题之间的相互关系，再分析空间几何元 素与投影面处于何种相对位置时，解题最为简便，进而确定需几次换面及换面顺序。 例 1：试求平面 ABC 的实形和β角 解：必须经过两次换面，先将它变换为新投影体系中的投影面垂直面，再将它变换为另 一投影体系中的投影面平行面
换面顺序：V/H-V/H-+V/H2H图6-15求平面△ABC的实形和β角例2求两相错直线间的最短距离。解：分析欲求两相错直线间公垂线MN的实长，应将MN变换为新投影体系中的投影面平行线。有两种解题方法：（1)相错直线之一作另一直线的平行平面，则线面间的距离即为两直线之间的距离如图6-17a(2)将直线AB或CD变换为新投影体系中的投影面垂直线：图6-17b1）直线AB经过两次投影变换，变成Vi/H2体系中的投影面垂直线a2、b2。2）求距离MN的实长。由点a2（b，）向c2dz作垂线n2m2，mznz反映AB、CD两直线间距离的实长，mnl//0zX2。3）求MN的原投影mn和mn44e:kHXh图6-17求两相错直线的最短距离例3：求平面ABC和ABD的夹角。（图6-18）解：两平面的夹角以其二面角度量，而二面角所在平面与该两平面垂直，亦即与该两平面的交线垂直。为求出该二面角，需将两平面变换成投影面垂直面，即把两平面的交线变换成投影面垂直线。作图步骤：(1)把两平面的交线AB经两次变换成Vi/H2体系中的垂直线，求得a2（b2），随之求得C2、d20
换面顺序 ：V/H→V1/H→V1/H2 图 6-15 求平面△ＡＢＣ的实形和β角例 2 求两相错直线间的 最短距离。 解：分析欲求两相错直线间公垂线 MN 的实长，应将 MN 变换为新投影体系中的投影面平 行线。有两种解题方法： (1)相错直线之一作另一直线的平行平面 ，则线面间的距离即为两直线之间的距离如图 6-17a (2)将直线 AB 或 CD 变换为新投影体系中的投影面垂直线 ：图 6-17b 1）直线 AB 经过两次投影变换，变成Ｖ1/Ｈ2体系中的投影面垂直线ａ2、ｂ2。2）求距 离 MN 的实长。 由点ａ2（ｂ2）向ｃ2ｄ2作垂线ｎ2ｍ2，ｍ2ｎ2反映 AB、CD 两直线间距离的实长，ｍ1’ｎ1’ ∥Ｏ2Ｘ2。3）求 MN 的原投影ｍｎ和ｍ′ｎ′ a b 图 6-17 求两相错直线的最短距离 例 3:求平面 ABC 和 ABD 的夹角。(图 6-18) 解:两平面的夹角以其二面角度量，而二面角所在平面与该两平面垂直，亦即与该两平 面的交线垂直。为求出该二面角，需将两平面变换成投影面垂直面，即把两平面的交线变换 成投影面垂直线。 作图步骤： (1)把两平面的交线 AB 经两次变换成Ｖ1/Ｈ2 体系中的垂直线，求得ａ2（ｂ2），随之求 得ｃ2、ｄ2
（2）求夹角0：Z0=/c2a2（b）d2。(a)(b)图6-18求两平面的夹角
（2）求夹角θ：∠θ＝∠ｃ2ａ2（ｂ）ｄ2。 图 6-18 求两平面的夹角