点、直线和平面的投影教学目的要求：1.点的投影及作图2.各种位置直线的投影，及两直线的相对位置，3.直角三角形法求直线的实长和倾角，直角定理4.各种位置平面的投影，平面上取点取线的作图教学重点难点：各种位置直线的投影1.2.各种位置平面的投影3.平面上取点取线的作图学时：381点的投影1.1点的三面投影本节教学目标：点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。难点：重影点的投影。引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。1.1.1三面投影的规律点的三面投影：水平投影Aa→正面投影a→侧面投影a"→W点的三面投影规律：a'aloxa'a"lozaax =a"az1.1.2点的投影与坐标的关系一、三投影面体系中点的投影Aa=a'ax=a"ay=高标（Z标）Aa=aax=a"az=纵标(Y标)Aa"=a'az=aay=横标(X标）V、H投影反映XV、W投影反映ZH、W投影反映Y1.点在三投影面体系中的投影空间点A的位置确定后，那么它的三面投影（a、a、a”）投影就确定了，反之如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。2.术语及规定习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示
点、直线和平面的投影 教学目的要求: 1. 点的投影及作图. 2. 各种位置直线的投影,及两直线的相对位置. 3. 直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理. 4. 各种位置平面的投影,平面上取点取线的作图. 教学重点难点: 1. 各种位置直线的投影. 2. 各种位置平面的投影. 3. 平面上取点取线的作图. 学 时: 3 § 1 点的投影 1.1 点的三面投影 本节教学目标： 点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。 重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。 难点：重影点的投影。 引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。 1.1.1 三面投影的规律 点的三面投影：水平投影 a → H 正面投影 a´ → V 侧面投影 a″ → W 点的三面投影规律： a′a ⊥ ox a′a″⊥ oz a aх =a″az 1.1.2 点的投影与坐标的关系 一、三投影面体系中点的投影 A a = a′ax = a″ay = 高标（Z 标） A a′= a ax = a″az = 纵标（Y 标） A a″= a′az = aay = 横标（X 标） V、H 投影反映 X V、W 投影反映 Z H、W 投影反映 Y 1.点在三投影面体系中的投影 空间点 A 的位置确定后，那么它的三面投影（ a、a′、 a″）投影就确定了，反之 如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。 2.术语及规定 习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示
3.投影性质点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影面的距离。二、特殊位置点的投影1.其他分角内的点两投影面体系一一四分角：三投影面体系一一八分角。2.其他情况投影面上的点的投影关系：投影轴上的点的投影关系1.2两点的相对位置和重影点1.2.1两点的相对位置根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。VXAYBB点在A点后方ZA>ZBB点在A点下方例：比较三棱锥四个顶点S、A、B、C的位置。比较：1.B、C与A同高，S点在其上方。2.A在S左方，C在S右方，B与S点X坐标相同。3.A、C在S后方，B点在S点前方。1.2.2重影点理论：当两点处在对某投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，这两点就称为对该投影面的重影点。A、B是对H面的重影点：C、D是对V面的重影点。可见性的判断：距投影面远的-点可见。举例说明：重影点中不可见的点，在作图时，可加括号表示其不可见。a(a')Xd0a(b)001.3各种位置点的投影1.3.1四个分角中的点
3.投影性质 点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影 面的距离。 二、特殊位置点的投影 1.其他分角内的点 两投影面体系——四分角； 三投影面体系——八分角。 2.其他情况 投影面上的点的投影关系； 投影轴上的点的投影关系 1.2 两点的相对位置和重影点 1.2.1 两点的相对位置 根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。 XAYB B 点在 A 点后方 ZA>ZB B 点在 A 点下方 例：比较三棱锥四个顶点 S、A、B、C 的位置。 比较：1. B、C 与 A 同高，S 点在其上方。 2．A 在 S 左方，C 在 S 右方，B 与 S 点 X 坐标相同。 3．A、C 在 S 后方，B 点在 S 点前方。 1.2.2 重影点 理论：当两点处在对某投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影 重合，这两点就称为对该投影面的重影点。 A、B 是对 H 面的重影点；C、D 是对 V 面的重影点。可见性的判断：距投影面远的一 点可见。举例说明；重影点中不可见的点，在作图时，可加括号表示其不可见。 1.3 各种位置点的投影 1.3.1 四个分角中的点
A一一第一分角，a'a在X轴两侧。一第二分角，b'b在x轴同侧。B-C—一第三分角，c’c在X轴两侧。D-一第四分角，d"d在X轴同侧。我国采用第一分角，英、美等国采用第三角投影。BAP6XPaodoaS1.3.2特殊位置的点当空间点的Y、Z坐标有一个为零（点在投影面上），或者Y、Z坐标均为零（点在H面上。B在V面上。C-在投影轴上），则为特殊位置点。（两面投影）A一在OX轴上。6182直线的投影本节教学目标：空间不同位置直线的投影，点、线的从属关系，直线对投影面倾角及实长，两直线相对位置。重点：各种位置直线的投影特性，直线上的点的投影，两直线的相对位置。难点：两直线的相对位置。引入：在熟练掌握点的投影规律的基础上，可进一步掌握直线的投影特性和规律，以及空间点与直线、直线与直线的相对位置在投影图上的特点。空间任意直线与投影面相对位置关系有如下三种关系：（1）实形性：，投影反映实际长度：（2）积聚性：工，投影交于一点：（3）类似性：倾斜，与投影面有一个夹角
A——第一分角，a’a 在 X 轴两侧。 B——第二分角， b’b 在 X 轴同侧。 C——第三分角，c’c 在 X 轴两侧。 D——第四分角，d’d 在 X 轴同侧。 我国采用第一分角，英、美等国采用第三角投影。 1.3.2 特殊位置的点 当空间点的 Y、Z 坐标有一个为零（点在投影面上），或者 Y、Z 坐标均为零（点 在投影轴上），则为特殊位置点。（两面投影）A——在 H 面上。B——在 V 面上。C— —在 OX 轴上。 §2 直线的投影 本节教学目标： 空间不同位置直线的投影，点、线的从属关系，直线对投影面倾角及实长，两直线相对 位置。 重点：各种位置直线的投影特性，直线上的点的投影，两直线的相对位置。 难点：两直线的相对位置。 引入：在熟练掌握点的投影规律的基础上，可进一步掌握直线的投影特性和规律，以 及空间点与直线、直线与直线的相对位置在投影图上的特点。 空间任意直线与投影面相对位置关系有如下三种关系： （1）实形性：∥，投影反映实际长度； （2）积聚性：⊥，投影交于一点； （3）类似性：倾斜，与投影面有一个夹角
2.1各种位置直线的投影特性2.1.1一般位置直线：PYa三面投影均小于实长，且与投影轴倾斜。特性：1.各面投影的长度均小于实长。2.各面投影均不平行于投影轴。P39所示，一般位置直线与H、V、W面均倾斜，各夹角为α、β、;特征：（1）各面投影的长度均小于实际长度：（2）各面投影均不平行于投影轴：（3）三个投影均不反映α、β、的真实大小。投影特点：三个投影都具有收缩性2.1.2投影面平行线：平行于一个投影面的直线，包括水平线、正平线、侧平线。特性：1.在其所平行的投影面上的投影反映实长，例ab=AB。2.在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，例a’b”I/ox，a”b”l/oy3.反映实长的投影与投影轴的夹角，就是直线与相应投影面的夹角。例ab反映β、角的大小。特殊情况：直线在投影面上。特征：有两个投影在相应的投影轴上。水平线（//H）、正平线（I/V）、侧平线（//W）上述三类线，各自的特性需掌握。投影特点：一个真实性，两个收缩性2.1.3投影面垂直线：平行于两个投影面，垂直于第三个投影面。三种：铅垂线一垂直于H面正垂面一垂直于V面侧垂面一垂直于W面特性：1.在其所垂直的投影面上，投影为一点，有积聚性，例ab积聚为一点2.另两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。例：a”b工oxa”b”loya'b'=a"b”=AB实例：给出三棱锥的轴测图和投影图，判断其各棱线的位置。正垂线（IV）、铅垂线（IH）、侧垂线（IW）上述三类线，各自的特性需掌握。投影特点：一个积聚性，两个真实性
2.1 各种位置直线的投影特性 2.1.1 一般位置直线： 三面投影均小于实长，且与投影轴倾斜。 特性：1.各面投影的长度均小于实长。2．各面投影均不平行于投影轴。 P39 所示，一般位置直线与 H、V、W 面均倾斜，各夹角为 α、β、γ； 特征：（1）各面投影的长度均小于实际长度；（2）各面投影均不平行于投影轴；（3） 三个投影均不反映 α、β、γ 的真实大小。 投影特点：三个投影都具有收缩性 2.1.2 投影面平行线： 平行于一个投影面的直线，包括水平线、正平线、侧平线。 特性：1.在其所平行的投影面上的投影反映实长，例 ab=AB。 2.在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，例 a’b’∥ox, a” b”∥oy 3.反映实长的投影与投影轴的夹角，就是直线与相应投影面的夹角。例 ab 反映β、γ角的大小。 特殊情况：直线在投影面上。特征：有两个投影在相应的投影轴上。 水平线（∥H）、正平线（∥V）、侧平线（∥W） 上述三类线，各自的特性需掌握。 投影特点：一个真实性，两个收缩性 2.1.3 投影面垂直线： 平行于两个投影面，垂直于第三个投影面。 三种：铅垂线—垂直于 H 面 正垂面—垂直于 V 面 侧垂面—垂直于 W 面 特性:1.在其所垂直的投影面上,投影为一点,有积聚性,例 ab 积聚为一点. 2.另两个投影垂直于相应的投影轴,且反映实长。例：a’b’⊥ox a”b” ⊥oy a’b’=a”b”=AB 实例：给出三棱锥的轴测图和投影图，判断其各棱线的位置。 正垂线（⊥V）、铅垂线（⊥H）、侧垂线（⊥W） 上述三类线，各自的特性需掌握。 投影特点：一个积聚性，两个真实性
正垂线侧垂线铅垂线c'(d') Z d"Z,Ze"(f")e'aaYwb6X4XXYwYHa(b)YHYH2.1.4.其他位置直线（需要注意其特征）（1）从属于投影面的直线（2）从属于投影轴的直线2.2求线段的实长和倾角方法：直角三角形法（求一般线的实长和倾角）IH原理：由轴测图中可知，当AC//ab时，则△ABC为直角△，AB为实长，且AC=ab，BC=Bb-Aa=△Z则可在投影图上作出。直角三角形各元素意义：斜边：线段实长直角边：一直角边为投影长另一边为到该投影面的坐标差。斜边与投影边的夹角：反映与该投影面的倾角。结论：1.直角三角形中已知四个元素中的任两个，则可作出直角△，从而求得另二个元素。2.直角△可用任一投影及坐标差作出，但其必须保持对应关系。工程上，利用直角三角形法求实长及直线与投影的夹角，需要具体画图才可以。作图方法：在两面投影图中，做直角三角形。2.3直线上的点2.3.1直线上的点点和直线的从属性是平行投影的不变性，即：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上，反之亦成立。据此可：1、求直线上点的其余投影。2、判断点是否在直线上，一般线一一看两投影即可，平行线一一应看直线所平行的那个投影面上的投影
2.1.4.其他位置直线（需要注意其特征） （1）从属于投影面的直线 （2）从属于投影轴的直线 2.2 求线段的实长和倾角 方法：直角三角形法（求一般线的实长和倾角） 原理：由轴测图中可知，当 AC∥ab 时，则△ABC 为直角△，AB 为实长，且 AC=ab,BC=Bb-Aa=△Z 则可在投影图上作出。 直角三角形各元素意义： 斜边：线段实长 直角边：一直角边为投影长 另一边为到该投影面的坐标差。 斜边与投影边的夹角：反映与该投影面的倾角。 结论： 1.直角三角形中已知四个元素中的任两个，则可作出直角△，从而求得 另二个元素。 2.直角△可用任一投影及坐标差作出，但其必须保持对应关系。 工程上，利用直角三角形法求实长及直线与投影的夹角，需要具体画图才可以。 作图方法：在两面投影图中，做直角三角形。 2.3 直线上的点 2.3.1 直线上的点 点和直线的从属性是平行投影的不变性,即:若点在直线上,则点的各个投影必在 直线的同面投影上,反之亦成立。 据此可：1、求直线上点的其余投影。2、判断点是否在直线上， 一般线——看两投影即可，平行线——应看直线所平行的那个投影面上的投影
若空间点属于直线，则（1）点在直线上，点的投影必在直线上：（2）点在直线上，点分线段之比投影前后不变。2.3.2点分线段成定比一条直线上任意三个点的简单比，是平行投影的不变量，即一直线上的两线段之比，等于其同面投影之比。b'kCLXXhaCIbBi据此可：1、在直线上求指定点，如在直线AB上取C使AC:CB=1:2。2、判断点是否在直线上。2.3.3直线的迹点直线与投影面的交点称为直线的迹点。M水平迹点N-一正面迹点S侧面迹点特性：1、迹点是直线上的点，迹点的投影必在直线的同面投影上。2、迹点是投影面上的点，故迹点的一个投影必在投影轴上。NAF因此：直线的投影和投影轴的交点就是直线相应迹点的一个投影，另一投影可根据直线上的点的投影规律作出。2.4两直线的相对位置三种：平行、相交、相错（位置关系：平行、相交、交叉）。2.4.1两直线平行理论：若空间两直线互相平行，则它们的各面投影也一定互相平行，反之亦然。应用：1、作一直线与已知直线平行。2、判断已知两直线是否平行：一般线：看两面投影平行线：a、看平行线在所平行的那个投影面上的投影是否平行。b、看两直线投影的走向是否一致，投影比是否相等
若空间点属于直线，则（1）点在直线上，点的投影必在直线上；（2）点在直线上，点 分线段之比投影前后不变。 2.3.2 点分线段成定比 一条直线上任意三个点的简单比，是平行投影的不变量，即一直线上的两线段之 比，等于其同面投影之比。 据此可：1、在直线上求指定点，如在直线 AB 上取 C 使 A C:CB= 1:2。2、判断点 是否在直线上。 2.3.3 直线的迹点 直线与投影面的交点称为直线的迹点。M_水平迹点 N——正面迹点 S—— 侧面迹点 特性：1、迹点是直线上的点，迹点的投影必在直线的同面投影上。 2、迹点是投影面上的点，故迹点的一个投影必在投影轴上。 因此：直线的投影和投影轴的交点就是直线相应迹点的一个投影，另一投影可根 据直线上的点的投影规律作出。 2.4 两直线的相对位置 三种: 平行、相交、相错（位置关系：平行、相交、交叉）。 2.4.1 两直线平行 理论:若空间两直线互相平行,则它们的各面投影也一定互相平行,反之亦然。 应用：1、作一直线与已知直线平行。 2、判断已知两直线是否平行： 一般线：看两面投影 平行线：a、看平行线在所平行的那个投影面上的投影是否平行。 b、看两直线投影的走向是否一致，投影比是否相等
（1）平行投影特性空间两直线平行，则它们的各同面投影必定相互平行：反之，正确。（2）判定两直线是否平行若处于一般位置，则只需要观察两直线中的任意两组同面投影是否相互平行即可：若两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否平行才能确定：方法一：看走向是否一致：方法二：可以做两直线的侧面投影进行判定。2.4.2相交两直线理论：若空间两直线相交，则它们的各面投影也一定相交，且交点一定符合一个点的投影规律，反之亦然。应用：1、作线线相交。2、判断线线是否相交（交点符合点的投影规律）。（1）投影特性若空间两直线相交，则它们各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。反之，正确。（2）判定是否相交如果为一般直线，则只需要观察两直线中的任意两组同面投影是否相交，且交点符合点的投影规律即可判定；当有一条直线为投影面平行线，则需要观察两直线在该投影面上的投影是否相交，且交点符合点的投影规律才能判定。2.4.3交叉两直线（异面直线）若两直线既不平行，又不相交，则它们是交叉直线。投影：1、可一面或两面投影平行，但不可能三面投影都平行。2、一个、两个或三个同面投影相交，但交点不符合空间一个点的投影规律
（1）平行投影特性 空间两直线平行，则它们的各同面投影必定相互平行；反之，正确。 （2）判定两直线是否平行 若处于一般位置，则只需要观察两直线中的任意两组同面投影是否相互平行即可； 若两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是 否平行才能确定；方法一：看走向是否一致；方法二：可以做两直线的侧面投影进行判定。 2.4.2 相交两直线 理论：若空间两直线相交，则它们的各面投影也一定相交，且交点一定符合一个 点的投影规律，反之亦然。 应用：1、作线线相交。2、判断线线是否相交（交点符合点的投影规律）。 （1）投影特性 若空间两直线相交，则它们各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。反之，正 确。 （2）判定是否相交 如果为一般直线，则只需要观察两直线中的任意两组同面投影是否相交，且交点符合点 的投影规律即可判定； 当有一条直线为投影面平行线，则需要观察两直线在该投影面上的投影是否相交，且交 点符合点的投影规律才能判定。 2.4.3 交叉两直线（异面直线） 若两直线既不平行，又不相交，则它们是交叉直线。 投影：1、可一面或两面投影平行，但不可能三面投影都平行。 2、一个、两个或三个同面投影相交，但交点不符合空间一个点的投影规律
YH（1）投影特性若空间两直线交叉，则它们各同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。反之，亦然。（2）判定是否交叉空间交叉直线的投影的交点，实际上时空间两点的投影重合点，利用重影点和可见性，可以很方便判定二者的位置。2.5直角的投影理论：1.若直角的一边平行于某个投影面（另一边不垂直于该投影面），则此直角在该投影面上的投影仍为直角，称为直角投影定理。其逆定理亦成立。2.若直角的两边同时平行于某个投影面，则此直角在该投影面上的投影仍为直角。3.若两直角边均不平行于投影面时，其投影一定不是直角。应用：1、判断两直线是否垂直。下列直线互相垂直下列直线互相不垂直：
（1）投影特性 若空间两直线交叉，则它们各同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交， 但其交点不符合点的投影规律。反之，亦然。 （2）判定是否交叉 空间交叉直线的投影的交点，实际上时空间两点的投影重合点，利用重影点和可见性， 可以很方便判定二者的位置。 2.5 直角的投影 理论：1.若直角的一边平行于某个投影面（另一边不垂直于该投影面），则此直 角在该投影面上的投影仍为直角，称为直角投影定理。其逆定理亦成立。 2.若直角的两边同时平行于某个投影面，则此直角在该投影面上的投影仍为直角。 3.若两直角边均不平行于投影面时，其投影一定不是直角。 应用：1、判断两直线是否垂直。下列直线互相垂直： 下列直线互相不垂直：
2、求点至平行线间的距离。83平面的投影本节教学目标：空间不同位置平面的投影，属于平面的点、线。重点：各种位置平面的投影特性，平面上的点的投影，两平面的相对位置。难点：两平面的相对位置，平面内点、直线的投影。引入：由点到线，由线到面，在熟练掌握点的投影规律，线的投影规律的基础上，可进一步熟悉掌握平面的投影特性和规律，以及空间平面内点、直线，平面与平面的相对位置在投影图上的特点。3.1平面的表示法3.1.1用几何元素表示平面五种方法：1、不在同一直线上的三个点。2、一直线和直线外一点。3、两相交直线。4、两平行直线。5、任意平面图形。在投影图上，可用上述任一组几何元素的投影来表示平面。3.1.2用平面的迹线表示平面迹线：平面与投影平面的交线。包括：水平迹线，PH。正面迹线，PV。侧面迹线，PW。ZP0PrY0Pr
2、求点至平行线间的距离。 §3 平面的投影 本节教学目标： 空间不同位置平面的投影，属于平面的点、线。 重点：各种位置平面的投影特性，平面上的点的投影，两平面的相对位置。 难点：两平面的相对位置，平面内点、直线的投影。 引入：由点到线，由线到面，在熟练掌握点的投影规律，线的投影规律的基础上，可进 一步熟悉掌握平面的投影特性和规律，以及空间平面内点、直线，平面与平面的相对位置在 投影图上的特点。 3.1 平面的表示法 3.1.1 用几何元素表示平面 五种方法：1、不在同一直线上的三个点。2、一直线和直线外一点。3、两相交 直线。4、两平行直线。5、任意平面图形。在投影图上，可用上述任一组几何元素的 投影来表示平面。 3.1.2 用平面的迹线表示平面 迹线：平面与投影平面的交线。包括：水平迹线，PH。正面迹线，PV。侧面迹线，PW
3.1.3平面迹线求法方法：求出平面上任意两直线的同面迹点，连成直线即可。因为平面上一切直线的迹点必在该平面的同面迹线上。3.2各种位置平面3.2.1一般位置平面定义：平面与三个投影面既不平行也不垂直，而是倾斜。特性：三个投影均不是实形，而具有类似性。2YE3.2.2投影面垂直面定义：只垂直于一个投影面的平面。分为：铅垂面、正垂面、侧垂面。特性：1、在其所垂直的投影面上投影有积聚性，为斜直线；直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角。（如铅垂面的β、角）2、另外两个投影不是实形，但有类似性。eXYR用迹线表示特殊位置面：铅垂面正垂面水平面正平面3.2.3投影面平行面定义：垂直于两个投影面，平行于第三个投影面。分为：水平面、正平面、侧平面。特性：1、在其所平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。2、另两个投影均为直线段，有积聚性，且平行于相应的投影轴
3.1.3 平面迹线求法 方法：求出平面上任意两直线的同面迹点，连成直线即可。因为平面上一切直线 的迹点必在该平面的同面迹线上。 3.2 各种位置平面 3.2.1 一般位置平面 定义：平面与三个投影面既不平行也不垂直，而是倾斜。 特性：三个投影均不是实形，而具有类似性。 3.2.2 投影面垂直面 定义:只垂直于一个投影面的平面。分为：铅垂面、正垂面、侧垂面。 特性：1、在其所垂直的投影面上投影有积聚性，为斜直线；直线与投影轴的夹 角反映该平面对相应投影面的倾角。（如铅垂面的β、γ角） 2、另外两个投影不是实形，但有类似性。 用迹线表示特殊位置面： 铅垂面 正垂面 水平面 正平面 3.2.3 投影面平行面 定义:垂直于两个投影面，平行于第三个投影面。分为：水平面、正平面、侧平 面。 特性：1、在其所平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。 2、另两个投影均为直线段，有积聚性，且平行于相应的投影轴