经济数学基础综合练习及参考答案 第三部线性代数 一、单项选择题 1.设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵，则下列运算中()可以进行 A.AB B.ABT C.A+B D.BAT 2.设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( A.(AB)=ATBT B.(AB)T=BTAT C.(AB)=4-(BT) D.(AB)=A-(B-) 3.设A,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是( A.若AB=I,则必有A=I或B=I B.(AB)=ATBT C.秩(A+B)=秩(A)+秩(B) D.(AB)-=B-A- 4.设A,B均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是(). A.AB=B B.AB=BA C.AA=I D.A-=/ 5.设A是可逆矩阵，且A+AB=I,则A1=() A.B B.1+B C./+B D.(I-AB) 6.设A=(12),B=(-13),I是单位矩阵，则ATB-1=( ) 「-13 「-1-2 「-2-2 c.35J -23] A.-26 B.36J D. -25 7.设下面矩阵A,B,C能进行乘法运算，那么()成立. A.AB=AC,A≠0，则B=C B.AB=AC,A可逆，则B=C C.A可逆，则AB=BA D.AB=0,则有A=0,或B=0 8.设A是n阶可逆矩阵，k是不为0的常数，则(k4)1=() A.kA-1 1 B. A 1 C.-kA- D. A- 「12 0 -3 9.设A= 0 0-1 3 则(A)=( ) 24-1-3 A.4 B.3 C.2 D.1 「13 12 6 0 -1 31 4 10.设线性方程组AX=b的增广矩阵通过初等行变换化为 0 0 0 2 -1 0 0 00 0 则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 x1+x2=1 11.线性方程组 解的情况是( x1+x2=0 A.无解 B.只有0解 C.有唯一解 D.有无穷多解 「12 12.若线性方程组的增广矩阵为A 则当2=( )时线性方程组 210
1 经济数学基础综合练习及参考答案 第三部 线性代数 一、单项选择题 1．设 A 为 32 矩阵，B 为 23 矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A．AB B．ABT C．A+B D．BAT 2．设 A, B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A. T T T (AB) = A B B. T T T (AB) = B A C. T 1 1 T 1 ( ) ( ) − − − AB = A B D. T 1 1 1 T ( ) ( ) − − − AB = A B 3．设 A , B 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A. 若 AB = I，则必有 A = I 或 B = I B. T T T (AB) = A B C. 秩 (A + B) = 秩 (A) + 秩 (B) D. 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 4．设 A , B 均为 n 阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ ）． A． AB = B B． AB = BA C． AA = I D． A = I −1 5．设 A 是可逆矩阵，且 A + AB = I ，则 A − = 1 （ ）. A. B B. 1+ B C. I + B D. (I − AB) −1 6．设 A = (1 2)， B = (−1 3) ， I 是单位矩阵，则 A B − I T ＝（ ）． A． − − 2 6 1 3 B． − − 3 6 1 2 C． − − 3 5 2 2 D． − − 2 5 2 3 7．设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（ ）成立. A．AB = AC，A 0，则 B = C B．AB = AC，A 可逆，则 B = C C．A 可逆，则 AB = BA D．AB = 0，则有 A = 0，或 B = 0 8．设 A 是 n 阶可逆矩阵， k 是不为 0 的常数，则 (kA) − = 1 （ ）． A. kA−1 B. 1 1 k A n − C. − − kA 1 D. 1 1 k A − 9．设 − − − − = 2 4 1 3 0 0 1 3 1 2 0 3 A ，则 r(A) =（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 10．设线性方程组 AX = b 的增广矩阵通过初等行变换化为 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 3 1 4 1 3 1 2 6 ， 则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 11．线性方程组 + = + = 0 1 1 2 1 2 x x x x 解的情况是（ ）． A. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为 = 2 1 0 1 2 A ，则当 ＝（ ）时线性方程组
无解 A B.0 C.1 D.2 13.线性方程组AX=0只有零解，则AX=b(b≠0)(). A.有唯一解 B.可能无解 C.有无穷多解 D.无解 14.设线性方程组AX=b中，若4，b)=4,(4)=3,则该线性方程组() A.有唯一解B.无解 C.有非零解 D.有无穷多解 15.设线性方程组AX=b有唯一解，则相应的齐次方程组AX=O( A.无解 B.有非零解 C.只有零解 D.解不能确定 二、填空题 1.两个矩阵A,B既可相加又可相乘的充分必要条件是 2 T3 0 0 2.计算矩阵乘积1 0 0 3.若矩阵A=[-12],B=[2-3 1,则AB= 4.设A为m×n矩阵，B为s×t矩阵，若AB与B4都可进行运算，则m,n,S,t有关 系式 「1 0 2 5.设A= Q 0 3 当a= 时，A是对称矩阵 23 -1 「13 6. 当a」 时，矩阵A= 可逆 -1a 7.设A,B为两个己知矩阵，且I-B可逆，则方程A+BX=X的解X= 8.设A为n阶可逆矩阵，则r(A)= 「2-12 9.若矩阵A=40 2 则4)= 0-33 10.若(A,b)=4,(4)=3,则线性方程组AX=b 11.若线性方程组 x1-x2=0 有非零解，则入= x1+2x2=0 12. 设齐次线性方程组AnXx1=0,且秩(4)=r<n,则其一般解中的自由未知量 的个数等于 [1-12 37 13.齐次线性方程组AX=0的系数矩阵为A= 010-2则此方程组的一般 0 00 0 解为 14.线性方程组AX=b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为
2 无解． A． 1 2 B．0 C．1 D．2 13． 线性方程组 AX = 0 只有零解，则 AX = b (b 0) （ ）. A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解 14．设线性方程组 AX=b 中，若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ ）． A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解 15．设线性方程组 AX = b 有唯一解，则相应的齐次方程组 AX = O （ ）． A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定 二、填空题 1．两个矩阵 A , B 既可相加又可相乘的充分必要条件是 . 2．计算矩阵乘积 − 1 0 2 0 1 1 3 0 0 1 2 = ． 3．若矩阵 A = −1 2，B = 2 −3 1 ，则 A TB= ． 4．设 A 为 m n 矩阵， B 为 s t 矩阵，若 AB 与 BA 都可进行运算，则 m, n, s, t 有关 系式 ． 5．设 − = 2 3 1 0 3 1 0 2 A a ，当 a = 时， A 是对称矩阵. 6．当 a 时，矩阵 − = a A 1 1 3 可逆. 7．设 A , B 为两个已知矩阵，且 I − B 可逆，则方程 A + BX = X 的解 X = ． 8．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则 r (A)= ． 9．若矩阵 A = − − 0 3 3 4 0 2 2 1 2 ，则 r(A) = ． 10．若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组 AX = b ． 11．若线性方程组 + = − = 0 0 1 2 1 2 x x x x 有非零解，则 = ． 12．设齐次线性方程组 AmnXn1 = 0 ，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量 的个数等于 ． 13．齐次线性方程组 AX = 0 的系数矩阵为 − − = 0 0 0 0 0 1 0 2 1 1 2 3 A 则此方程组的一般 解为 . 14．线性方程组 AX = b 的增广矩阵 A 化成阶梯形矩阵后为
[1201 0 A→ 0 42-1 1 000 0 d+1 则当d 时，方程组AX=b有无穷多解. 15.若线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，则AX=0, 三、计算题 1 02] [2 11 1.设矩阵A= -1 4, B= -13, 求(2I-AT)B 3 1 1 0 「21 2] 「-61 「1 0 2 2. 设矩阵 B=0 -2 10, C=22 计算BAT+C 1 0 002 -42 -13 -6 -3 3.设矩阵A= 4 -2 求A 2 1 1 2 4. 设矩阵A=11 4 求逆矩阵A. 12 -1 0 T63 5. f1 设矩阵 1 -2 B= 2 0 1 计算(AB). 41 11 6.设矩阵A= -2 0 12 -3 计算(BA). 2 0 -2 -3] 7. 解矩阵方程 3 8. 解矩阵方程X 3 52 9. 设线性方程组 X1 +3=2 X1+2x2-x3=0 2x1+x2-ax3=b 讨论当α，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解 x1+2x3=-1 10.设线性方程组 一x1+x2一3x,=2,求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解 2x1-x2+5x3=0 的情况
3 + → − 1 1 0 0 0 0 0 0 4 2 1 1 2 0 1 d A 则当 d 时，方程组 AX = b 有无穷多解. 15．若线性方程组 AX = b (b 0) 有唯一解，则 AX = 0 . 三、计算题 1．设矩阵 = − 3 1 1 1 2 4 1 0 2 A ， = − 0 3 1 3 2 1 B ，求 (2I A )B T − ． 2．设矩阵 − = 1 2 0 1 0 2 A ， = 0 0 2 0 1 0 2 1 2 B ， − − = 4 2 2 2 6 1 C ，计算 BA + C T ． 3．设矩阵 A = − − − − − − 2 1 1 4 2 1 13 6 3 ，求 −1 A ． 4．设矩阵 A = 2 −1 0 1 1 4 0 1 2 ，求逆矩阵 −1 A ． 5．设矩阵 A = − − 1 2 0 1 0 2 ，B = 4 1 1 2 6 3 ，计算(AB) -1． 6．设矩阵 A = − 2 0 0 2 1 1 ，B = − − 0 1 2 1 2 3 ，计算(BA) -1． 7．解矩阵方程 − = − − 2 1 3 4 2 3 X ． 8．解矩阵方程 − = 2 0 1 1 3 5 1 2 X . 9．设线性方程组 + − = + − = + = x x ax b x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 0 2 讨论当 a，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. 10．设线性方程组 − + = − + − = + = − 2 5 0 3 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 3 x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解 的情况
11.求下列线性方程组的一般解： x +2x3-x4=0 -x1+x2-3x3+2x4=0 2x1-x2+5x3-3x4=0 12.求下列线性方程组的一般解： 2x1-5x2+2x3=-3 x1+2x2-x3=3 -2x1+14x2-6x3=12 13.设齐次线性方程组 x1-3x2+2x3=0 2x1-5x2+3x3=0 3x1-8x2+九x3=0 问)取何值时方程组有非零解，并求一般解， x1+x2+x3=1 14.当入取何值时， 线性方程组2x1+x2-4x3=元有解？并求一般解。 -x1 +5x3=1 15.己知线性方程组AX=b的增广矩阵经初等行变换化为 1-16-317 A→…→01-330 0000元-3 问入取何值时，方程组AX=b有解？当方程组有解时，求方程组AX=b的一般解 四、证明题 1.试证：设A,B,AB均为n阶对称矩阵，则AB=BA. 2.试证：设A是n阶矩阵，若A3=0,则(1-)-1=1+A+A2 3.已知矩阵A=(B+),且4=A,试证B是可逆矩阵，并求B. 4.设n阶矩阵A满足A2=I,AA=I,证明A是对称矩阵 5.设A,B均为n阶对称矩阵，则AB十BA也是对称矩阵. 试题答案 一、单项选择题 1.A2.B3.D4.D5.C6.D7.B8.C9.D10.A 11.A12.A13.B14.B15.C 二、填空题 1.A与B是同阶矩阵2.[4 4.m=t,n=s5.0 14
4 11．求下列线性方程组的一般解： − + − = − + − + = + − = 2 5 3 0 3 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解： − + − = + − = − + = − 2 14 6 12 2 3 2 5 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组 − + = − + = − + = 3 8 0 2 5 3 0 3 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 问取何值时方程组有非零解，并求一般解. 14．当 取何值时，线性方程组 − + = + − = + + = 5 1 2 4 1 1 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x 有解？并求一般解. 15．已知线性方程组 AX = b 的增广矩阵经初等行变换化为 − − − − → → 0 0 0 0 3 0 1 3 3 0 1 1 6 3 1 A 问 取何值时，方程组 AX = b 有解？当方程组有解时，求方程组 AX = b 的一般解. 四、证明题 1．试证：设 A，B，AB 均为 n 阶对称矩阵，则 AB =BA． 2．试证：设 A 是 n 阶矩阵，若 3 A = 0，则 1 2 (I − A) = I + A+ A − ． 3．已知矩阵 ( ) 2 1 A = B + I ，且 A = A 2 ，试证 B 是可逆矩阵，并求 −1 B . 4. 设 n 阶矩阵 A 满足 A I 2 = ， T AA I = ，证明 A 是对称矩阵. 5．设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则 AB＋BA 也是对称矩阵． 试题答案 一、单项选择题 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9.D 10. A 11. A 12. A 13. B 14. B 15. C 二、填空题 1． A 与 B 是同阶矩阵 2．[4] 3． − − − 4 6 2 2 3 1 4．m = t , n = s 5．0
6.≠-37.(1-B)A8.n9.210.无解11.-1 12.n-r 13.5=-2x-x x2=2x4 (其中x3,x4是自由未知量) 14.-115.只有0解 三、计算题 [1 0 0 (1 0 27 0 1.解因为21-AT=2 1 0 -1 4 2 00 3 1 1 0 07 1 -13 1-3 02 0 0 2 1 002 2 1 2 1 -3]「2 17 1 -5 所以 (21-A)B= -1 a 3 0 -2 -4 3 「21 2]「1 17 「-61 2.解：BAT+C= 010 0 -2 L002]儿20」-42 6 01「-611 01 0 -2 2 2 = 20 40」 -4202 [-13-6-3100] [114107 3.解因为(AI)= -4-2-1010-→00101 2 211001 211001 [114 10 77 「1101-4-1 →00 1 0 1 2 →00101 0-1-7-20-130-10-27 「100-130 「100-1 3 0 →0-10-271→0102 -7-1 001012 001012 「-13 07 所以A1= 2 -7 -1 0 12」 「012100] 11 4 0107 4.解因为(4)=11 4010 → 01210 0 2-100010-3-80-21 5
5 6． −3 7． I B A 1 ( ) − − 8． n 9．2 10．无解 11．-1 12．n – r 13． = = − − 2 4 1 3 4 2 2 x x x x x (其中 3 4 x , x 是自由未知量) 14．−1 15．只有 0 解 三、计算题 1．解 因为 T 2I − A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 T 3 1 1 1 2 4 1 0 2 − − = 0 0 2 0 2 0 2 0 0 − − 2 4 1 0 2 1 1 1 3 = − − − − 2 4 1 0 0 1 1 1 3 所以 (2I A )B T − = − − − − 2 4 1 0 0 1 1 1 3 − 0 3 1 3 2 1 = − − − 0 11 0 3 1 5 2．解： BA + C T = 0 0 2 0 1 0 2 1 2 − 2 0 0 2 1 1 − − + 4 2 2 2 6 1 = − 4 0 0 2 6 0 − − + 4 2 2 2 6 1 = 0 2 2 0 0 1 3．解 因为 (A I )= − − − − − − 2 1 1 0 0 1 4 2 1 0 1 0 13 6 3 1 0 0 → 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 1 1 4 1 0 7 − − − − → 0 1 7 2 0 13 0 0 1 0 1 2 1 1 4 1 0 7 − − − − → 0 1 0 2 7 1 0 0 1 0 1 2 1 1 0 1 4 1 − − − → 0 0 1 0 1 2 0 1 0 2 7 1 1 0 0 1 3 0 − − − → 0 0 1 0 1 2 0 1 0 2 7 1 1 0 0 1 3 0 所以 A -1 = − − − 0 1 2 2 7 1 1 3 0 4．解 因为(A I ) = − − − → − 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 3 8 0 1 2 1 1 4 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 4 0 1 2
「102 -1 1 07 「10 02-1 1 012 0 0 0 1 04-2 1 00 -2 3 -2 1 00 -23-2 1 「100 2 -1 →010 -2 1 001-3/21 -1V2 「 2 -1 17 所以A= 4 -21 L-32 1-1V2 6 8 3 0-21 5.解因为AB -2 11 0 「-20-1 01 -1 10 2 1 121 所以(AB)1= I22 11-21 6.解 因为BA= 非 -5-310]「 (BA 14 -1-111 20 420i -6 3/ 1 所以 (BA)= -2 「-2-31 0] 7.解 因为 「111 3 401 3401 11111「1043 01-3-201-3-2 37 4」 -3- [4
6 − − − − → − − − → 3 2 1 4 2 1 2 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 3 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 1 2 1 0 2 − − − − → 3 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 所以 A -1= − − − − 3 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 5．解 因为 AB = − − 1 2 0 1 0 2 4 1 1 2 6 3 = − − 4 1 2 1 (AB I ) = − → − − 0 1 2 1 2 1 1 0 4 1 0 1 2 1 1 0 → − − − → 0 1 2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 1 所以 (AB) -1= 2 1 2 1 2 1 6．解 因为 BA= − − 0 1 2 1 2 3 − 2 0 0 2 1 1 = − − 4 2 5 3 (BA I )= − − → − − 4 2 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 5 3 1 0 − − − → 0 2 4 5 1 1 1 1 − − → 2 5 0 1 2 2 3 1 0 1 所以 (BA) -1= − − 2 5 2 2 3 1 7．解 因为 − − 3 4 0 1 2 3 1 0 → 3 4 0 1 1 1 1 1 − − → 0 1 3 2 1 1 1 1 − − → 0 1 3 2 1 0 4 3 即 − − = − − − 3 2 4 3 3 4 2 3 1 所以，X = − − − 2 1 3 2 4 3 = −1 2
8.解：因为 即 [ 「1012]「101 2 9.解因为 12-10→02-2-2 21-ab 01-a-2b-4 [101 2 →01-1 -1 0-a-1b-3 所以当a=-1且b≠3时，方程组无解： 当a≠-1时，方程组有唯一解： 当a=-1且b=3时，方程组有无穷多解 10.解因为 「10 2 -17 「102-1 A=-11 -3 2 0 1-1 1 2 -15 0-112 [102 -17 →01-11 000 3 所以(4)=2，A)=3. 又因为(4)≠(A),所以方程组无解。 11.解因为系数矩阵 [102 -17 「10 2-1 [102-1 A=-11-32 →01-1 01-1 2-15 -30-11-1 0000 x1=-2x3+x4 所以一般解为 (其中x3,x4是自由未知量) x2=3-x4 12.解因为增广矩阵 2 -5 -3 1 -137 [10-1/91 A= -1 3 -9 4 -9 01-4/91 -2 14 -612 0 18 -818 00 0 0
7 8．解：因为 3 5 0 1 1 2 1 0 − − → 0 1 3 1 1 2 1 0 − − → 0 1 3 1 1 0 5 2 即 − − = − 3 1 5 2 3 5 1 2 1 所以，X = 1 3 5 1 2 2 0 1 1 − − = − − − 3 1 5 2 2 0 1 1 = − − 10 4 8 3 9．解 因为 − − − → − − − − 0 1 2 4 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 1 2 1 0 1 0 1 2 a b a b − − − → − − 0 0 1 3 0 1 1 1 1 0 1 2 a b 所以当 a = −1 且 b 3 时，方程组无解； 当 a −1 时，方程组有唯一解； 当 a = −1 且 b = 3 时，方程组有无穷多解. 10．解 因为 − − − → − − − − = 0 1 1 2 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 5 0 1 1 3 2 1 0 2 1 A − − → 0 0 0 3 0 1 1 1 1 0 2 1 所以 r(A) = 2，r( A ) = 3. 又因为 r(A) r( A )，所以方程组无解. 11．解 因为系数矩阵 − − − − → − − − − − = 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 5 3 1 1 3 2 1 0 2 1 A − − → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 1 所以一般解为 = − = − + 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x （其中 3 x ， 4 x 是自由未知量） 12．解 因为增广矩阵 − − − − → − − − − − = 0 18 8 18 0 9 4 9 1 2 1 3 2 14 6 12 1 2 1 3 2 5 2 3 A − − → 0 0 0 0 0 1 4 9 1 1 0 1 9 1
1 x1= 所以一般解为 (其中x,是自由未知量) =g+1 13.解 因为系数矩阵 [1-32 1-3 21 10 4= -53 01 -1 01 3 -82 01 1-6 001-5 所以当入=5时，方程组有非零解。且一般解为 X1=X3 (其中x,是自由未知量) x2=X3 14.解因为增广矩阵 「111 17 「11 11 A=2 1-4元 0 -1-61-2 L-1 051 0 162 [10-5 1 016 2 0 00 所以当入=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： x1=5x3-1 (x3是自由未知量) x2=-6x3+2 15.解：当九=3时，r(A)=r(A)=2,方程组有解. 「1-16-31] [103017 当元=3时，A→01-330 →01-330 00000 00000 x1=1-3x3 一般解为 其中x3,x4为自由未知量 x2=3x3-3x4 四、证明题 1.证因为AT=A,BT=B,(AB)T=AB 所以AB=(AB)T=BTAT=BA 2.证因为(I-A0I+A+A2) =1+A+A2-A-A2-A=1-A3=I 所以(I-A)-=I+A+A2 3.证因为-B+-8+28+,且4=4.即 4
8 所以一般解为 = + = + 1 9 4 1 9 1 2 3 1 3 x x x x （其中 3 x 是自由未知量） 13．解 因为系数矩阵 A = − − − → − − − 0 1 6 0 1 1 1 3 2 3 8 2 5 3 1 3 2 − − − → 0 0 5 0 1 1 1 0 1 所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为 = = 2 3 1 3 x x x x （其中 3 x 是自由未知量） 14．解 因为增广矩阵 → − − − − = − 0 1 6 2 0 1 6 2 1 1 1 1 1 0 5 1 2 1 4 1 1 1 1 A − − → 0 0 0 0 1 6 2 1 0 5 1 所以当 =0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： = − + = − 6 2 5 1 2 3 1 3 x x x x ( x3 是自由未知量〕 15．解：当 =3 时， r(A) = r(A) = 2 ，方程组有解. 当 =3 时， → − − − − → 0 0 0 0 0 0 1 3 3 0 1 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 3 0 1 1 6 3 1 A 一般解为 = − = − 2 3 4 1 3 3 3 1 3 x x x x x ， 其中 3 x , 4 x 为自由未知量. 四、证明题 1．证 因为 A T = A，B T = B，(AB) T = AB 所以 AB = (AB) T = B T A T = BA 2．证 因为 ( )( ) 2 I − A I + A+ A = 2 2 3 I + A+ A − A− A − A = 3 I − A = I 所以 1 2 (I − A) = I + A+ A − 3. 证 因为 ( 2 ) 4 1 ( ) 4 2 1 2 2 A = B + I = B + B + I ，且 A = A 2 ，即
4(B2+2B+D=3CB+D 得B2=I,所以B是可逆矩阵，且B-1=B 4.证因为 A=AI=AAAT=IAT=AT 所以A是对称矩阵. 5.证因为AT=A,BT=B,且 (AB+BA)=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT =BA+AB=AB+BA 所以AB十BA是对称矩阵
9 ( ) 2 1 ( 2 ) 4 1 2 B + B + I = B + I ， 得 B = I 2 ，所以 B 是可逆矩阵，且 B = B −1 . 4. 证 因为 A = AI = T T AAA = IA = T A 所以 A 是对称矩阵. 5．证 因为 A = A B = B T ， T ，且 T T T (AB + BA) = (AB) + (BA) T T T T = B A + A B = BA + AB = AB + BA 所以 AB＋BA 是对称矩阵．