经济数学微分学部分综合练习及答案 一、单项选择题 1.函数y= 的定义域是(). g(x+1) A.x>-1 B.x≠0 C.x>0 D.x>-1且x≠0 2.下列各函数对中，( )中的两个函数相等. A.f(x)=(x)2,g(x)=x B.f(x)=x-1 ,g(x)=x+1 x-1 C.y=Inx2,g(x)=2hnx D.f(x)=sin2x+cos2x,g(x)=1 3.设x)=,则ff(x》=(). 1 A.1 1 B. C.x D.x2 4.下列函数中为奇函数的是( ) A.y=x2-x B.y=e*+ex C.y=Ix-1 D.y=xsin x x+1 5.已知fx)=x-1,当( )时，f(x)为无穷小量 tanx A.x→0 B.x→1 C.x→-∞ D x->+0 6.当x→+∞时，下列变量为无穷小量的是() A. B.n(1+x) C.e D. x+1 sinx 7.函数f(x)= ,x+0 在x=0处连续，则k=(). k,x=0 A.-2 B.-1 C.1 D.2 ,曲线y=一在点(0,1)处的切线斜率为()
1 经济数学微分学部分综合练习及答案 一、单项选择题 1．函数 lg( +1) = x x y 的定义域是（ ）． A． x −1 B． x 0 C． x 0 D． x −1 且 x 0 2．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． A． 2 f (x) = ( x ) ， g(x) = x B． 1 1 ( ) 2 − − = x x f x ， g(x) = x + 1 C． 2 y = ln x ， g(x) = 2ln x D． f x x x 2 2 ( ) = sin + cos ， g(x) = 1 3．设 x f x 1 ( ) = ，则 f ( f (x)) = （ ）． A． x 1 B． 2 1 x C． x D． 2 x 4．下列函数中为奇函数的是（ ）． A． y = x − x 2 B． x x y − = e + e C． 1 1 ln + − = x x y D． y = x sin x 5．已知 1 tan ( ) = − x x f x ，当（ ）时， f (x) 为无穷小量. A. x → 0 B. x →1 C. x →− D. x → + 6．当 x → + 时，下列变量为无穷小量的是（ ） A． 1 2 x + x B．ln(1+ x) C． 2 1 e x − D． x sin x 7．函数 sin , 0 ( ) , 0 x x f x x k x = = 在 x = 0 处连续，则 k = ( )． A．-2 B．-1 C．1 D．2 8．曲线 1 1 + = x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）．
A C. 2(x+1)3 D. 1 2Vx+1) 9.曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程为( A.y=x B.y=2x C.y=1 D.y=-x 10.设y=lg2x,则dy=()· A. B.1dx C. In10 dx D. xIn10 11.下列函数在指定区间(-0，+o)上单调增加的是( ). A.sinx B.ex C.x2 D.3- 12.设需求量g对价格p的函数为g(p)=3-2√p,则需求弹性为Ep= ( E B C. 3-2Vp A. D.-3-22 3-2Vp 3-2Np 二、填空题 [x+2,-5≤x<0 1.函数f(x)= 的定义域是 x2-1,0≤x<2 2.函数f(x)=h(x+5)- 1一的定义域是 √2-x 3.若函数f(x+1)=x2+2x-5,则f(x)= 4.设f)=10+10,则函数的图形关于 对称. 2 5.已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,则当产量q=50时，该 产品的平均成本为 6.已知某商品的需求函数为g=180-4p,其中p为该商品的价格，则该商 品的收入函数R(g)= 7.lim x+sinx
2 A． 2 1 − B． 2 1 C． 3 2 ( 1) 1 x + D． 3 2 ( 1) 1 + − x 9．曲线 y = sin x 在点(0, 0)处的切线方程为（ ）． A. y = x B. y = 2x C. y = 2 1 x D. y = -x 10．设 y = lg2x ，则 d y = （ ）． A． 1 2 d x x B． 1 d x x ln10 C． ln10 x dx D． 1 d x x 11．下列函数在指定区间 (−,+) 上单调增加的是（ ）． A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x 12．设需求量 q 对价格 p 的函数为 q(p) = 3− 2 p ，则需求弹性为 Ep= （ ）． A． p 3 − 2 p B． − − p 3 2 p C．3 − 2 p p D．− 3− 2 p p 二、填空题 1．函数 − + − = 1, 0 2 2, 5 0 ( ) 2 x x x x f x 的定义域是 ． 2．函数 x f x x − = + − 2 1 ( ) ln( 5) 的定义域是 ． 3．若函数 ( 1) 2 5 2 f x + = x + x − ，则 f (x) = ． 4．设 2 10 10 ( ) x x f x − + = ，则函数的图形关于 对称． 5．已知生产某种产品的成本函数为 C(q) = 80 + 2q，则当产量 q = 50 时，该 产品的平均成本为 ． 6．已知某商品的需求函数为 q = 180 – 4p，其中 p 为该商品的价格，则该商 品的收入函数 R(q) = ． 7. = + → x x x x sin lim
8.已知fx)=1-snx,当 时，f(x)为无穷小量. x2-1 9.己知f(x)= x-1 x≠1，若f)在(-0，+o0)内连续，则 a x=1 a= 10.曲线y=√F在点L1)处的切线斜率是 11.函数y=3x-1)2的驻点是 12.需求量g对价格p的函数为gp)=100xe兰，则需求弹性为E。=一 三、计算题 1.已知y=2-csx,求y). 2.已知f(x)=2sinx+lnx,求f'(x)· 3.已知y=cos2-snx2,求y'(x). 4.已知y=n3x+e-5x,求y'(x). 5.已知y=52osx,求y'(5): 6.设y=eos2r+x√x,求dy 7.设y=einr+cosx,求dy. 8.设y=tanx3+2-,求dy. 四、应用题 1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)=100+0.25x2+6x(万 元)， 求：(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本； (2)当产量x为多少时，平均成本最小？ 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元，对这种产品的市场需求规律为g=1000-10p(g为需求量，p为价格).试 求： (1)成本函数，收入函数： (2)产量为多少吨时利润最大？ 3
3 8．已知 x x f x sin ( ) = 1− ，当 时， f (x) 为无穷小量． 9. 已知 = − − = 1 1 1 1 ( ) 2 a x x x x f x ，若 f (x) 在 (−, + ) 内连续，则 a = . 10．曲线 y x = 在点 (1, 1) 处的切线斜率是 ． 11．函数 y = 3 x − 1 2 ( ) 的驻点是 . 12．需求量 q 对价格 p 的函数为 2 ( ) 100 e p q p − = ，则需求弹性为 Ep = ． 三、计算题 1．已知 y x x cos x = 2 − ，求 y (x) ． 2．已知 ( ) 2 sin ln x f x x x = + ，求 f (x) ． 3．已知 2 y cos2 sin x x = − ，求 y (x) ． 4．已知 x y x 3 5 ln e − = + ，求 y (x) ． 5．已知 x y 2cos = 5 ，求 ) 2 π y ( ； 6．设 y x x x = + cos 2 e ，求 dy 7．设 y x sin x 5 = e + cos ，求 dy ． 8．设 x y x − = tan + 2 3 ，求 dy ． 四、应用题 1．设生产某种产品 x 个单位时的成本函数为： C(x) 100 0.25x 6x 2 = + + （万 元）, 求：（1）当 x =10 时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量 x 为多少时，平均成本最小？ 2．某厂生产一批产品，其固定成本为 2000 元，每生产一吨产品的成本为 60 元，对这种产品的市场需求规律为 q = 1000 −10 p （ q 为需求量， p 为价格）．试 求： （1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？
3.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01g2(元)， 单位销售价格为p=14-0.01g（元/件)，试求： (1)产量为多少时可使利润达到最大？ (2)最大利润是多少？ 4.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)=0.5g2+36g+9800(元) 为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 5.已知某厂生产g件产品的成本为C(g)=250+20g+g(万元).问：要使 10 平均成本最少，应生产多少件产品？ 参考解答 一、单项选择题 1.D2.D 3.C4.C 5.A6.D7.C8.A9.A 10.B11.B12.B 二、填空题 1.[-5,2] 2.(-5,2)3.x2-64.y轴5.3.6 6.45g- 0.25g27.1 8.x→0 9.210.y①)=0.511.x= 12.-号 三、计算题 1.解：y)=(2-cosy=2*1n2--sinx-cosx 3 =2*In2+xsinx+cosx x2 1 2.解f"'(x)=2h2·sinx+2cosx+- 3.y'(x)=-sin 2*(2*)'-cosx2(x2)'=-2*sin 2*In 2-2xcosx2 4.解：yx)=3h2xhxy+e5(-5xy-3hx-5e 5.解：因为y'=(52cosx)/=52 cosx In5(2cosx)'=-2sinx52osrn5 所以 经=-2爱h5=-2h5 6.解：因为y=2e2x(←sim2x)+3x 2 所以 -2e(sm2+号h
4 3．某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q) = 20+4q+0.01q 2（元）， 单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求： （1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？ 4．某厂每天生产某种产品 q 件的成本函数为 ( ) 0.5 36 9800 2 C q = q + q + （元）. 为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 5．已知某厂生产 q 件产品的成本为 C q q q ( ) = 250 + 20 + 10 2 （万元）．问：要使 平均成本最少，应生产多少件产品？ 参考解答 一、单项选择题 1．D 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．A 9．A 10．B 11．B 12．B 二、填空题 1．[-5，2] 2．(-5, 2 ) 3． 6 2 x − 4．y 轴 5．3.6 6．45q – 0.25q 2 7．1 8．x →0 9．2 10．y (1) 0.5 = 11．x = 1 12． 2 p − 三、计算题 1．解： 2 cos sin cos ( ) (2 ) 2 ln 2 x x x x x x y x x x − − = − = − 2 sin cos 2 ln 2 x x x x x + = + 2．解 x f x x x x x 1 ( ) = 2 ln 2 sin + 2 cos + 3．解 ( ) sin 2 (2 ) cos ( ) 2 2 y x = − − x x x x 2 2 sin 2 ln 2 2x cos x x x = − − 4．解： ( ) 3ln (ln ) e ( 5 ) 2 5 = + − − y x x x x x x x x 5 2 5e 3ln − = − 5．解：因为 (5 ) 5 ln 5(2cos ) 2sin 5 ln 5 2cos x 2cos x 2cos x y = = x = − x 所以 5 ln 5 2ln 5 2 π ) 2sin 2 π ( 2 π 2 cos y = − = − 6．解：因为 2 1 cos 2 2 3 y 2e ( sin 2x) x x = − + 所以 y x x x x ]d 2 3 d [2e ( sin 2 ) 2 1 cos 2 = − +
7.解：因为y'=eimr(sinx+5cos4x(cosx'=esin cosx-5cos4 xsin x 所以 dy =(esinx cosx-5cosxsin x)dx 8.解：因为y=1 cosx(x+2-2(x)=3x cosx-2 2 所以 =(3r cos In 2)dx 四、应用题 1.解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为： C(x)=100+0.25x2+6x C(a)=100 +0.25x+6,C'(x)=0.5x+6 所以，C10)=100+0.25×102+6×10=185 G00-+025xi0+6-185, C'(10)=0.5×10+6=11 (2)令C(m)=-100+025=0,得x=20(x=-20舍去) 因为x=20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当 x=20时，平均成本最小. 2.解(1)成本函数C(g)=60g+2000. 因为9=1000-10p,即p=100-g 109, 所以收入函数q)=p×g(100-109)9=100g-109, (2)因为利润函数L(9)=q)-C)=100q-109-60g+200) 1 =40g109-2000 1 且 L'(9)-40q109-2000)y=40-0.29 令L'(g)=0,即40-0.2q=0,得q=200,它是L()在其定义域内的唯一驻点. 所以，g=200是利润函数L(9)的最大值点，即当产量为200吨时利润最大. 3.解(1)由已知R=gp=g(14-0.01q)=14g-0.01g2
5 7．解：因为 e (sin ) 5cos (cos ) sin 4 y = x + x x x x x x x e cos 5cos sin sin 4 = − 所以 y x x x x x d (e cos 5cos sin )d sin 4 = − 8．解：因为 ( ) 2 ln 2( ) cos 1 3 2 3 = + − − x x x y x 2 ln 2 cos 3 2 3 2 x x x − = − 所以 x x x y x 2 ln 2)d cos 3 d ( 2 3 2 − = − 四、应用题 1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： C(x) 100 0.25x 6x 2 = + + 0.25 6 100 ( ) = + x + x C x ，C(x) = 0.5x + 6 所以， (10) 100 0.25 10 6 10 185 2 C = + + = 0.25 10 6 18.5 10 100 C(10) = + + = ， C(10) = 0.510 + 6 = 11 （2）令 0.25 0 100 ( ) 2 = − + = x C x ，得 x = 20 （ x = −20 舍去） 因为 x = 20 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当 x = 20 时，平均成本最小. 2．解 （1）成本函数 C(q) = 60 q +2000． 因为 q = 1000 −10 p ，即 p = 100 − q 1 10 ， 所以 收入函数 R(q) = p q =( 100 1 10 − q ) q =100 1 10 2 q − q ． （2）因为利润函数 L(q) = R(q)-C(q) =100 1 10 2 q − q -(60 q +2000) = 40 q - 1 10 2 q -2000 且 L(q) =(40 q - 1 10 2 q -2000 ) =40- 0.2 q 令 L(q) = 0，即 40- 0.2 q = 0，得 q = 200，它是 L(q) 在其定义域内的唯一驻点． 所以， q = 200 是利润函数 L(q) 的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大． 3．解 （1）由已知 2 R = qp = q(14 − 0.01q) =14q − 0.01q
利润函数L=R-C=14g-0.01g2-20-4q-0.01g2=10q-20-0.02g2 则L'=10-0.04g,令L'=10-0.04g=0,解出唯一驻点g=250 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， (2)最大利润为 L(250)=10×250-20-0.02×2502=2500-20-1250=1230(元) 4.解因为Cg)=Cg2=0.5g+36+9800 (g>0) Cg)=(0.5g+36+9800y=0.5-9800 g 令Cg)=0,即0.5-9800-0，得g=140,94=-140(舍去). 93 9,=140是C(g)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值， 所以q,=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天 产量应为140件.此时的平均成本为 c140)=0.5x140+36+9800=176 (元/件) 140 5.解因为Cg)=C2-250+20+9 gg 10 Cg-2g9+20+品y=-29d g2+0 令Cg0.即-9+-0，符q=50,=50(舍去)， 9,=50是C(q)在其定义域内的唯一驻点. 所以，9，=50是C(q)的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品. 6
6 利润函数 2 2 2 L = R −C =14q − 0.01q − 20 − 4q − 0.01q =10q − 20 − 0.02q 则 L = 10 − 0.04q ，令 L = 10 − 0.04q = 0 ，解出唯一驻点 q = 250 . 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达到最大， （2）最大利润为 (250) 10 250 20 0.02 250 2500 20 1250 1230 2 L = − − = − − = （元） 4．解 因为 ( ) 9800 ( ) 0.5 36 C q C q q q q = = + + ( 0) q 2 9800 9800 C q q ( ) (0.5 36 ) 0.5 q q = + + = − 令 C q ( ) 0 = ，即 0 5 9800 2 . − q =0，得 q1 =140，q2 = -140（舍去）. q1 =140 是 C(q) 在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以 q1 =140 是平均成本函数 C(q) 的最小值点，即为使平均成本最低，每天 产量应为 140 件. 此时的平均成本为 9800 (140) 0.5 140 36 176 140 C = + + = （元/件） 5．解 因为 C(q) = C q q ( ) = 250 20 q 10 q + + C(q)=( ) 250 20 q 10 q + + =− + 250 1 10 2 q 令 C(q) =0，即− + = 250 1 10 2 0 q ，得 1 q = 50，q2 =-50（舍去）， q1 =50 是 C(q) 在其定义域内的唯一驻点． 所以， q1 =50 是 C(q) 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产 50 件产品．