习题一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： (1)掷一颗骰子，记录出现的点数.A=‘出现奇数点'： (2)将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A=‘两次点数之和为10’，B=‘第 一次的点数，比第二次的点数大2'： (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5：从中同时 取出3只球，观察其结果，A=‘球的最小号码为1'： (4)将α，b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A=‘甲盒中至少有一球'： (5)记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A=‘通过汽车不足5台'， B=‘通过的汽车不少于3台’。 解(1)S={e,e2,e3,e4,e,e}其中e,=‘出现i点’i=1,2,…,6, A={e1,e3,e}。 (2)S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2)(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}: A={(4,6),(5,5),(6,4)}: B={(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}。 1
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A = ‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为 10’， B = ‘第 一次的点数，比第二次的点数大 2’； （3）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1,2,3,4,5；从中同时 取出 3 只球，观察其结果， A = ‘球的最小号码为 1’； （4）将 ab, 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A = ‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A = ‘通过汽车不足 5 台’， B = ‘通过的汽车不少于 3 台’。 解 （1） 1 2 3 4 5 6 S e e e e e e = { , , , , , } 其中 i e = ‘出现 i 点’ i =1, 2, ,6 ， 1 3 5 A e e e = { , , }。 （2） S ={ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }； A ={(4,6), (5,5), (6,4)} ； B ={(3,1), (4,2), (5,3), (6,4)}
(3)S={1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) (2,3,5)(2,4,5),(1,3,5)} A={1,2,3),(1,2,4),(1,2,5)2(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)} (4)S={(ab-,-）,(-,ab,-）(-,-,ab,(a,b,-）,(a,-,b),(b,a,-）, (b,-,a),(-,a,b,)(-,b,a)},其中‘-’表示空盒： A={(ab,-,-),(a,b,-）,(a,-,b),(b,a,-),(b,-,a)}。 (5)S={0,1,2,,A={0,1,2,3,4},B={3,4,}。 2.设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件： (1)仅A发生： (2)A,B,C中至少有两个发生： (3)A,B,C中不多于两个发生： (4)A,B,C中恰有两个发生： (5)A,B,C中至多有一个发生。 解 (1)ABC (2)ABU ACU BC ABCUABCUABCUABC: (3)AUBUC ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC: (4)ABCUABCUABC: (5)ABU ACUBC ABCUABCUABCUABC: 3.一个工人生产了三件产品，以A(i=1,2,3)表示第i件产品是正品，试 ·24
·2· （3） S ={(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,3,4), (1,4,5), (1,2,4), (1,2,5) (2,3,5), (2,4,5), (1,3,5)} A ={(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5)} （4） S ab ab ab a b a b b a = − − − − − − − − − {( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ,), ( , , )} b a a b b a − − − ，其中‘ − ’表示空盒； A ab a b a b b a b a = − − − − − − {( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )}。 （5） S A B = = = {0,1,2, }, {0,1,2,3,4}, {3,4, }。 2．设 A B C , , 是随机试验 E 的三个事件，试用 A B C , , 表示下列事件： （1）仅 A 发生； （2） A B C , , 中至少有两个发生； （3） A B C , , 中不多于两个发生； （4） A B C , , 中恰有两个发生； （5） A B C , , 中至多有一个发生。 解 （1） ABC （2） AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ； （3） A B C 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （4） ABC ABC ABC ； （5） AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ； 3．一个工人生产了三件产品，以 ( 1,2,3) A i i = 表示第 i 件产品是正品，试
用A表示下列事件：(1)没有一件产品是次品：(2)至少有一件产品是次品： (3)恰有一件产品是次品：(4)至少有两件产品不是次品。 (1444:(2)U:(3)444UAA4UA44: (4)AA2 JA4UA2A。 4.在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解设A=‘任取一电话号码后四个数字全不相同'，则 P0=、126 104250 =0.504 5.一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 (1)5只全是好的的概率： (2)5只中有两只坏的的概率。 解(1)设A=‘5只全是好的'，则 PA-g=062. (2)设B=‘5只中有两只坏的'，则 CC2=0.0354. P(B)= 6.袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求 (1)3个球的最小号码为5的概率： (2)3个球的最大号码为5的概率 解(1)设A=‘最小号码为5’，则 P(A)= C-1 12 (2)设B=‘最大号码为5’，则 ·3·
·3· 用 Ai 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品； （3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1） AAA 1 2 3 ；（2） A A A 1 2 3 ；（3） A A A A A A A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ； （4） A A A A A A 1 2 1 3 2 3 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设 A = ‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 4 10 4 126 ( ) 0.504 10 250 P P A = = = 5．一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只，求 （1）5 只全是好的的概率； （2）5 只中有两只坏的的概率。 解 （1）设 A = ‘5 只全是好的’，则 5 37 5 40 ( ) 0.662 C P A C = ； （2）设 B = ‘5 只中有两只坏的’，则 2 3 3 37 5 40 ( ) 0.0354 C C P B C = . 6．袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，求 （1）3 个球的最小号码为 5 的概率； （2）3 个球的最大号码为 5 的概率. 解 （1）设 A = ‘最小号码为 5’，则 2 5 3 10 1 ( ) 12 C P A C = = ； （2）设 B = ‘最大号码为 5’，则
C-1 P(B)=C 20 7.(1)教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率： (2)房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率 解(1)设A=‘他们的生日都不相同'，则 P(A)= P 365 (2)设B=‘至少有两个人的生日在同一个月'，则 (B)=CiC+CC+C+C4 124 96 或 PB)=I-PB=1-=41 12=96 8.设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星 期中的某两天，但不是都在同一天的概率 解设A=‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则 PA0-C2-2=001107 76 9.将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单 词SCIENCE的概率是多少？ 解，设A=‘恰好排成SCIENCE' 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法： 字母C在7个位置中占两个位置，共有C种占法，字母E在余下的5个位 置中占两个位置，共有C种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法 4·
·4· 2 4 3 10 1 ( ) 20 C P B C = = . 7．（1）教室里有 r 个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 （1）设 A = ‘他们的生日都不相同’，则 365 ( ) 365 r r P P A = ； （2）设 B = ‘至少有两个人的生日在同一个月’，则 2 1 2 2 2 3 2 1 4 12 11 4 12 4 12 12 4 41 ( ) 12 96 C C P C C C P C P B + + + = = ； 或 4 12 4 41 ( ) 1 ( ) 1 12 96 P P B P B = − = − = . 8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求 6 个人的生日都集中在一个星 期中的某两天，但不是都在同一天的概率. 解 设 A = ‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则 2 6 7 6 (2 2) ( ) 0.01107 7 C P A − = = . 9．将 C C E E I N S , , , , , , 等 7 个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单 词 SCIENCE 的概率是多少？ 解 1 设 A = ‘恰好排成 SCIENCE’ 将 7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法： 字母 C 在 7 个位置中占两个位置，共有 2 C7 种占法，字母 E 在余下的 5 个位 置中占两个位置，共有 2 C5 种占法，字母 I N C , , 剩下的 3 个位置上全排列的方法
共3！种，故基本事件总数为C2C·3!=1260,而A中的基本事件只有一个， 故 P(A)= 1 .1 C.C311260 解2七个字母中有两个E,两个C,把七个字母排成一排，称为不尽相异 元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n,个，第二种元素 有n2个…，第k种元素有n,个(n,+n2+…+n=n),将这n个元素排成一排 称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为 n! %ln,…n4 对于本题有 41 P0=71=11260, 2121 10.从0,1,2，…，9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事 件的概率：A=三个数字中不含0和5’，A,=‘三个数字中不含0或5’，A= ‘三个数字中含0但不含5’， 7 解 PA)=C」 C15 P4)-S C_C=4 151 或 P4)=1-P4)=1-C=14 C8151 ·5
·5· 共 3！种，故基本事件总数为 2 2 C C 7 5 = 3! 1260 ，而 A 中的基本事件只有一个， 故 2 2 7 5 1 1 ( ) 3! 1260 P A C C = = ； 解 2 七个字母中有两个 E ，两个 C ，把七个字母排成一排，称为不尽相异 元素的全排列。一般地，设有 n 个元素，其中第一种元素有 1 n 个，第二种元素 有 2 n 个…，第 k 种元素有 k n 个 1 2 ( ) n n n n + + + =k ，将这 n 个元素排成一排 称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为 1 2 ! ! ! ! k n n n n ， 对于本题有 1 4 1 ( ) 7! 7! 1260 2!2! P A = = = . 10．从 0,1,2, ,9 等 10 个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事 件的概率： A1 = ‘三个数字中不含 0 和 5’， A2 = ‘三个数字中不含 0 或 5’， A3 = ‘三个数字中含 0 但不含 5’. 解 3 8 1 3 10 7 ( ) 15 C P A C = = . 3 3 3 9 9 8 2 3 3 3 10 10 10 14 ( ) 15 C C C P A C C C = + − = ， 或 1 8 2 2 3 10 14 ( ) 1 ( ) 1 15 C P A P A C = − = − =
P(4)= 7 30 11.将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A=‘每 堆各成一双’的概率 解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共，(2m)! (2n)月 2121…2!(2)” “每堆各成一双'共有！种情况，故 P(A)= 2".nl (2n川 12.设事件A与B互不相容，P(A)=0.4,P(B)=0.3,求P(AB)与 P(AUB) 解P(AB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)=0.3 因为A,B不相容，所以A一B,于是 P(AUB)=P(A)=0.6 13.若P(AB)=P(AB)且P(A)=P,求P(B) P(AB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB) 由P(AB)=P(AB)得 P(B)=1-P(A)=1-p 14.设事件A,B及AUB的概率分别为P,q,P,求P(AB)及P(AUB) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=p+g-r P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+1-P(B)-P(A)+P(AB) 6
·6· 2 8 3 3 10 7 ( ) 30 C P A C = = . 11．将 n 双大小各不相同的鞋子随机地分成 n 堆，每堆两只，求事件 A = ‘每 堆各成一双’的概率. 解 n 双鞋子随机地分成 n 堆属分组问题，不同的分法共 (2 )! (2 )! 2!2! 2! (2!)n n n = ‘每堆各成一双’共有 n! 种情况，故 2 ! ( ) (2 )! n n P A n = 12．设事件 A 与 B 互不相容， P A P B ( ) 0.4, ( ) 0.3 = = ，求 P AB ( ) 与 P A B ( ) 解 P AB P A B P A P B ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0.3 = − = − − = 因为 A B, 不相容，所以 A B ，于是 P A B P A ( ) ( ) 0.6 = = 13．若 P AB P AB ( ) ( ) = 且 P A P ( ) = ，求 P B( ) . 解 P AB P A B P A P B P AB ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) = − = − − + 由 P AB P AB ( ) ( ) = 得 P B P A p ( ) 1 ( ) 1 = − = − 14．设事件 A B, 及 A B 的概率分别为 pqr , , ，求 P AB ( ) 及 P A B ( ) 解 P AB P A P B P A B p q r ( ) ( ) ( ) ( ) = + − = + − P A B P A P B P AB P A P B P A P AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) = + − = + − − +
=1-q+p+q-r=1+p-r 15.设P(A)+P(B)=0.7,且A,B仅发生一个的概率为0.5，求A,B都发 生的概率。 解1由题意有 0.5=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) =P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB) =0.7-2P(AB), 所以 P(AB)=0.1. 解2A,B仅发生一个可表示为AUB-AB,故 0.5=P(AUB)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB), 所以 P(AB)=0.1. 16.设P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,P(B-A)=0.2,求P(AB)与P(AB). 解0.3=P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.7-P(AB), 所以 P(AB)=0.4, 故 P(AB)=0.6: 0.2=P(B)-P(AB)=P(B)-0.4. 7·
·7· = − + + − = + − 1 1 q p q r p r . 15．设 P A P B ( ) ( ) 0.7 + = ，且 A B, 仅发生一个的概率为 0.5，求 A B, 都发 生的概率。 解 1 由题意有 0.5 ( ) ( ) ( ) = + = + P AB AB P AB P AB = − + − P A P AB P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ) = − 0.7 2 ( ) P AB ， 所以 P AB ( ) 0.1 = . 解 2 A B, 仅发生一个可表示为 A B AB − ，故 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ), = − = + − P A B P AB P A P B P AB 所以 P AB ( ) 0.1 = . 16．设 P A P A B P B A ( ) 0.7, ( ) 0.3, ( ) 0.2 = − = − = ，求 P AB ( ) 与 P AB ( ) . 解 0.3 ( ) ( ) ( ) 0.7 ( ) = − = − = − P A B P A P AB P AB ， 所以 P AB ( ) 0.4 = ， 故 P AB ( ) 0.6 = ； 0.2 ( ) ( ) ( ) 0.4 = − = − P B P AB P B
所以 P(B)=0.6 P(AB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=0.1 17.设ABCC,试证明P(A)+P(B)-P(C)≤1 [证]因为ABCC,所以 P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)≥P(A)+P(B)-I 故 P(A)+P(B)-P(C)≤1 证毕 18.对任意三事件A,B,C,试证 P(AB)+P(AC)-P(BC)<P(A) [证]P(AB)+P(AC)-P(BC)≤P(AB)+P(AC)-P(ABC) =P(ABUAC)=P(A(BUC))<P(A) 证毕 19.设AB,C是三个事件，且P0=PB)=PC)=子PK4B)=PBC)=0, P(4C)=。,求A,B,C至少有一个发生的概率 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 因为0≤P(ABC)≤P(AB)=0,所以P(ABC)=0,于是 P(AUBUC)=3_1_s 488 20.随机地向半圆0<y<√2a-x2(a为正常数)内掷一点，点落在园 内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于 π/4的概率 8·
·8· 所以 P B( ) 0.6 = P AB P A B P A P B P AB ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0.1 = − = − − + = 17．设 AB C ，试证明 P A P B P C ( ) ( ) ( ) 1 + − [证] 因为 AB C ，所以 P C P AB P A P B P A B P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = + − + − 故 P A P B P C ( ) ( ) ( ) 1 + − . 证毕. 18．对任意三事件 A B C , , ，试证 P AB P AC P BC P A ( ) ( ) ( ) ( ) + − . [证] P AB P AC P BC P AB P AC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − = P AB AC ( ) = P A B C P A { ( )} ( ) . 证毕. 19．设 A B C , , 是三个事件，且 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 4 P A P B P C P AB P BC = = = = = ， 1 ( ) 8 P AC = ，求 A B C , , 至少有一个发生的概率。 解 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + 因为 0 ( ) ( ) 0 = P ABC P AB ，所以 P ABC ( ) 0 = ，于是 3 1 5 ( ) 4 8 8 P A B C = − = 20．随机地向半圆 2 0 2 − y ax x （ a 为正常数）内掷一点，点落在园 内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 /4 的概率
解：半圆域如图 设A=‘原点与该点连线与x轴夹角小于π/4， 由几何概率的定义 1 1 的面积 πa2+a2 P(A)= 41 2 1.1 半园的面积 1 2π -πa 21.把长为α的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率 解1设A=‘三段可构成三角形'，又三段的长分别为x,y,一x一y, 则dz x+z>y y+z>x 不等式确定S的子域A,所以 A的面积1 P(A)= S的面积4 22.随机地取两个正数x和y,这两个数中的每一个都不超过1，试求x与 y之和不超过1，积不小于0.09的概率 ·9·
·9· 解：半圆域如图 设 A = ‘原点与该点连线与 x 轴夹角小于 /4 ’ 由几何概率的定义 2 2 2 1 1 4 2 ( ) 1 2 a a A P A a + = = 的面积 半园的面积 1 1 2 = + 21．把长为 a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 解 1 设 A = ‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为 x y a x y , , − − ， 则 0 , 0 , 0 + x a y a x y a ，不等式构成平面域 S . A 发生 0 , 0 , 2 2 2 a a a + x y x y a 不等式确定 S 的子域 A ，所以 1 ( ) 4 A P A = = 的面积 S的面积 解 2 设三段长分别为 x y z , , ，则 0 , 0 , 0 x a y a z a 且 x y z a + + = ，不等式确定了三维空间上的有界平面域 S . A 发生 + x y z x z y + y z x + 不等式确定 S 的子域 A ，所以 1 ( ) 4 A P A = = 的面积 S的面积 . 22．随机地取两个正数 x 和 y ，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x 与 y 之和不超过 1，积不小于 0.09 的概率. 0 y x y x a /4 x S 0 a/2 a/2 a a A x z y A
解0≤x≤1,0≤y≤1，不等式确定平面域S A=‘x+y≤1，y≥0.09’则A发生的 充要条件为0≤x+y≤1,1≥y≥0.09不 等式确定了S的子域A,故 0.1 0.9 A的面积 P(A)= S的面积 =0.4-0.18n3=0.2 23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离a(a>0)的一些平行线，向平面 上随机地投掷一根长1(l<α)的针，求针与任一平行线相交的概率. 解设A=‘针与某平行线相交'，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。 0为针与平行线的夹角，则 0<x<2,0<0<π，不等式确定了平面上 的一个区域S A发生台x≤二sinp,不等式确定S的子域A x= -sin 2 故 a 习题二 1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件， ·10·
·10· 解 0 1, 0 1 x y ，不等式确定平面域 S . A = ‘ x y xy + 1, 0.09 ’则 A 发生的 充要条件为 0 1, 1 0.09 + x y xy 不 等式确定了 S 的子域 A ，故 0.9 0.1 0.9 ( ) (1 ) A P A x dx x = = − − 的面积 S的面积 = − = 0.4 0.18ln3 0.2 23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离 a a( 0) 的一些平行线，向平面 上随机地投掷一根长 l l a ( ) 的针，求针与任一平行线相交的概率. 解 设 A = ‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设 x 为针的中点到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角，则 0 , 0 2 a x ，不等式确定了平面上 的一个区域 S . A 发生 sin 2 L x ，不等式确定 S 的子域 A 故 0 1 2 ( ) sin 2 2 L L P A d a a = = 习 题 二 1．假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%，10%，从中任取一件， a y a y 2 a x y 0 y A S sin 2 l x = 1 y y 1 y 0 0.1 0.9 y A S y