习题五 1.假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如 果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品 之前，己取出的废品只数的数学期望和方差。 解设X为己取出的废品只数，则X的分布为 X 0 1 P 8 28218 10 1091098 即 X 0 12 P 8 81 104545 所以 EY= 8.22 5459' EX2 844 45+45=15 DX=EY2-(EX)2=4-4-88 1581405 2.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停 止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元：发生一次故障仍可获利 5万元，发生两次故障所获利润零元：发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。 求1周内期望利润是多少？ 解设一周所获利润为T(万元)，则T的可能值为10,5,0，-2. 又设X为机器一周内发生故障的次数，则X~B(5,02),于是， P(T=10)=P(X=0)=(0.8)3=0.3277 ·55·
·55· 习 题 五 1．假设有 10 只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如 果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品 之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。 解 设 X 为已取出的废品只数，则 X 的分布为 0 1 2 8 2 8 2 1 8 10 10 9 10 9 8 X P 即 0 1 2 8 8 1 10 45 45 X P 所以 8 2 2 45 45 9 EX = + = ， 2 8 4 4 , 45 45 15 EX = + = 2 2 4 4 88 ( ) . 15 81 405 DX EX EX = − = − = 2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停 止工作，若 1 周 5 个工作日里无故障，可获利 10 万元；发生一次故障仍可获利 5 万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。 求 1 周内期望利润是多少？ 解 设一周所获利润为 T （万元），则 T 的可能值为 10, 5, 0, 2− . 又设 X 为机器一周内发生故障的次数，则 X B ~ (5, 0.2) ，于是， 5 P T P X ( 10) ( 0) (0.8) 0.3277 = = = = =
P(T=5)=P(X=1)=C0.2×(0.8)4=0.4096 类似地可求出T的分布为 T-20 5 10 P0.05790.20480.40960.3277 所以一周内的期望利润为 ET=-2×0.0579+5×0.4096+10×0.3277 =5.209(万元) 3.假设自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(4,1), 内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏 损，己知销售利润T(元)与零件的内径X有如下关系： -1若X12 问平均内径！取何值时，销售一个零件的平均利润最大 解ET=-1×P(X12) =-00-+20o02-0-0-0-50-02-1 =25Φ(12-4)-21Φ(10-4)-5 ET=-25012-)+21p10-四） du V2e2-25.12- -21.100- =e2e0 2 即 21_2-2-(10-1 =e 25 ·56·
·56· 1 4 5 P T P X C ( 5) ( 1) 0.2 (0.8) 0.4096 = = = = = 类似地可求出 T 的分布为 2 0 5 10 0.0579 0.2048 0.4096 0.3277 T P − 所以一周内的期望利润为 ET = − + + 2 0.0579 5 0.4096 10 0.3277 = 5.209 （万元） 3．假设自动线加工的某种零件的内径 X （毫米）服从正态分布 N( , 1) ， 内径小于 10 或大于 12 为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏 损，已知销售利润 T （元）与零件的内径 X 有如下关系： 1, 10, 20, 10 12, 5, 12. X T X X − = − 若 若 若 问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大. 解 ET P X P X P X = − + − 1 ( 10) 20 (10 12) 5 ( 12) 10 ( ) 20[ (12 ) (10 )] 5[1 (12 )] 1 − = − + − − − − − − = − − − − 25 (12 ) 21 (10 ) 5 25 (12 ) 21 (10 ) dET d = − − + − 2 2 (10 ) (12 ) 2 2 1 1 21 25 0 2 2 e e − − − − = − 即 1 2 2 [(12 ) (10 ) ] 2 21 25 e − − − − =
两边取对数得 2u-22=l 1 25 即 1 25 4=11-5lh 221 时，平均利润最大 4.从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事 相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的分布律、分布函数和数学期望. 解X~B3, .分布律为PX=k=Cr护 k=0,1,2,3 即 0 3 P 27 54 36 8 125 125 125 125 X的分布函数为 0 x<0, 27 0≤x<1 125 81 F(x)= 125 1≤x<2 117 2≤x<3. 125 1, x≥3 EX= 54,72,24_150_6 125125125125=5 5.设随机变量服从几何分布，其分布列为 PX=k)=(1-p)-p,0<p<1,k=1,2,… ·57·
·57· 两边取对数得 21 2 22 ln 25 − = 即 1 25 11 ln 2 21 = − . 时，平均利润最大. 4．从学校到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事 件是相互独立的，并且概率都是 2 5 ，设 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X 的分布律、分布函数和数学期望. 解 2 ~ (3, ) 5 X B ，分布律为 3 3 2 3 ( ) ( ) ( ) 0,1,2,3. 5 5 k k k P X k C k − = = = 即 0 1 2 3 27 54 36 8 125 125 125 125 X P X 的分布函数为 0 , 0, 27 , 0 1, 125 81 ( ) , 1 2, 125 117 , 2 3, 125 1 , 3. x x F x x x x = 54 72 24 150 6 125 125 125 125 5 EX = + + = = 5．设随机变量服从几何分布，其分布列为 1 ( ) (1 )k P X k p p − = = − ，0 1, 1, 2, = p k
求EX与DX :m-宫0-rp-p2=p宫-n空j 其中g=1-p 由函数的幂级数展开有 所以 以，a日 因为 -gw-空y-A 所以 DX=EX2-(EX)=2-2_1_ 是 解2EX=P+2pg+3pg2+…+pg+… =p1+2q+3q2++kg-+, 设 S=1+2q+3g2+…+kg-+… (1) 则 qS=q+2q2+3g3+…+kg+… (2) (1)-(2)得 ·58·
·58· 求 EX 与 DX 解 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) k k k k k k k k x q x q EX k p p p kq p x p x − − = = = = = = = − = = = 其中 q p = −1 由函数的幂级数展开有 0 1 1 k k x x = = − ， 所以 2 1 1 1 1 . 1 (1 ) x q x q EX p p x x p = = = − = = − − 因为 2 2 1 2 1 1 ( ) (1 ) k k k k x q x q x EX k pq p x x p x − = = = = = = = − 2 2 p p − = ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 ( ) . p q DX EX EX p p p − = − = − = 解 2 2 1 2 3 k EX P pq pq kpq − = + + + + + 2 1 (1 2 3 ), k p q q kq − = + + + + + 设 2 1 1 2 3 , k S q q kq − = + + + + + （1） 则 2 3 2 3 , k qS q q q kq = + + + + + （2） （1）–（2）得
0-g5=1+q*分++g+g 所以 1 从而，得 EX=pS=p.1=1 EX2=p+22pq+32pq2+...+npq+... =p(1+22q+32q+…+n2q-1+…epS1, gS1=q+2g2+32q3+…+n2q+…, (1-q)S,=1+3g+5q2+…+(2n-10g-+…≌S2, qgS2=q+3g2+5g3++(2n-1)g+…, 1-908,=1+2g+92++g1+=1+29=1+29, 1-q P 1 S2= 2q 于是 S,= =+29 PP P 所以 EX2=p( 1+29=1+29 D ·59·
·59· 2 1 1 (1 ) 1 1 k q S q q q q − − = + + + + + = − ， 所以 2 2 1 1 (1 ) S q p = = − ， 从而，得 2 1 1 EX pS p p p = = = . 2 2 2 2 2 1 2 3 n EX p pq pq n pq − = + + + + + 2 2 2 2 1 1 (1 2 3 ) n p q q n q pS − = + + + + + ， 2 2 2 3 2 1 2 3 , n qS q q q n q = + + + + + 2 1 1 2 (1 ) 1 3 5 (2 1) , n q S q q n q S − − = + + + + − + 2 3 2 3 5 (2 1) , n qS q q q n q = + + + + − + 2 1 2 2 2 (1 ) 1 2( ) 1 1 1 n q q q S q q q q p − − = + + + + + = + = + − ， 2 2 1 2q S p p = + ， 于是 2 1 2 3 S q 1 2 S p p p = = + ， 所以 2 2 3 2 1 2 1 2 ( ) q q EX p p p p p = + = +
故得X的方差为 Dx=EX2-(Ex2=1+29-1=9=1-卫 6.设随机变量X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差. 1)fx)=e4, (2)f(x)= 1-xl,Ixks1, 0,X>1 5xx-2, 0≤x≤2， (3)f(x)=1 0 其他： x,0≤x<1, (4)f(x)=2-x,1≤x≤2， 0,其他 解()EX-∫x·州=0，（因为被积函数为奇函数） Dr=Bx=eh=。f0h =-reg+2∫。e*k=2-eg+∫gea]=2 (2)Ex=∫xI-lxDd=0, Dr=x-r0-a=e-rh=a写--日 e=6r-2h-c-r+h ·60·
·60· 故得 X 的方差为 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( ) . q q p DX EX EX p p p p p − = − = + − = = 6．设随机变量 X 分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差. （1） 1 | | ( ) 2 x f x e− = ； （2） 1 | |, | | 1, ( ) 0 , | | 1; x x f x X − = （3） 15 2 2 ( 2) , 0 2, ( ) 16 0 , x x x f x − = 其他; （4） , 0 1, ( ) 2 , 1 2, 0 , . x x f x x x = − 其他 解 （1） 1 | | 0 2 x EX x e dx + − − = = ，（因为被积函数为奇函数） 2 2 | | 2 0 1 2 x x DX EX x e dx x e dx + + − − − = = = 2 0 0 2 x x x e xe dx + + − − = − + 0 0 2[ ] 2. x x xe e dx + + − − = − + = （2） 1 1 EX x x dx (1 | |) 0, − = − = 3 4 1 1 2 2 2 3 1 0 1 0 1 (1 | |) 2 ( ) 2[ ] 3 4 6 x x DX EX x x dx x x dx − = = − = − = − = . （3） 2 2 3 2 5 4 3 0 0 15 15 ( 2) ( 4 4 ) 16 16 EX x x dx x x x dx = − = − + 2 6 4 5 0 15 4 4 15 16 1 16 6 5 4 16 15 x x x = − + = =
sr=j说-r4号若智-号 所以 DX-E-(E- mn-e-分到 Bx=可0+2r-rh-=+号8--6-= 14 所以 Dr=14-1= 126 7.在习题三第4题中求E, 1+X 解因X的分布为 0 123 p 1 11 4 8 8 所以 E,1=1+1x1+1x11167 1+X224384896 8.设随机变量X的概率密度为 ax, 0<x<2, f(x)=cx+b, 2≤x≤4， 0, 其他. 包知EX=2,P0<X<3)=,求 (1)a,b,c的值 (2)随机变量Y=e的数学期望和方差. ·61·
·61· 2 2 6 5 4 0 15 ( 4 4 ) 16 EX x x x dx = − + 2 7 6 5 0 15 4 4 8 16 7 6 5 7 x x x = − + = ， 所以 2 2 8 1 ( ) 1 7 7 DX EX EX = − = − = . （4） 2 2 3 1 2 2 2 2 0 1 1 1 1 2 8 (2 ) 3 1 3 3 3 3 x EX x dx x x dx x = + − = + − = + − = , 1 2 2 3 2 3 0 1 1 2 1 14 (2 ) (8 1) (16 1) 4 3 4 12 EX x dx x x dx = + − = + − − − = , 所以 14 1 1 12 6 DX = − = . 7．在习题三第 4 题中求 1 1 E + X 解 因 X 的分布为 0 1 2 3 1 1 1 1 2 4 8 8 X P 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 67 1 2 2 4 3 8 4 8 96 E X = + + + = + . 8．设随机变量 X 的概率密度为 , 0 2, ( ) , 2 4, 0 , ax x f x cx b x = + 其他. 已知 3 2, (1 3) 4 EX P X = = ，求 （1） abc , , 的值 （2）随机变量 X Y e = 的数学期望和方差
解)1=∫f(xd=∫ad+∫（(cx+b)达 =号r++h=2a+2+e 2=∫fx)=∫。amdk+∫，(cr+bxd 8.56 c+6b, 33 }jia+∫ie+bh-a+3c+b, .5 解方程组 a+b+3c=2 8a+18b+56c=6 3a+2b+5c=2 得 b=1, 1 c=-4 (2)EY-E) Er=e)=ef=es+i+leh =e2-ie+e2-1 DY-EP-(ErY--. 9.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光：电梯于每个整点的第5分钟，25 分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处， 且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望. ·62
·62· 解 （1） 2 4 0 2 1 ( ) ( ) f x dx axdx cx b dx + − = = + + 2 4 4 2 2 0 2 2 2 2 6 , 2 2 a c = + + = + + x x bx a b c 2 4 2 0 2 2 ( ) ( ) xf x dx ax dx cx b xdx + − = = + + 8 56 6 3 3 = + + a c b ， 2 3 1 2 3 3 5 ( ) 4 2 2 = + + = + + axdx cx b dx a c b ， 解方程组 1 3 2 8 18 56 6 3 3 2 5 2 a b c a b c a b c + + = + + = + + = 得 1 4 a = ， b =1， 1 4 c = − . （2） 2 4 2 2 0 2 1 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) 4 4 4 X x x x EY E e e f x dx xe dx x e dx e + − = = = + − + = − ， 2 4 2 2 2 2 2 0 2 1 1 ( ) ( ) ( 1) 4 4 X x x x EY E e e f x dx xe dx x e dx + − = = = + − + 1 1 2 2 2 2 2 ( 1) [ ( 1) ] 4 4 = − + − e e e 2 2 2 2 2 1 ( ) ( 1) 4 DY EY EY e e = − = − . 9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟，25 分钟和 55 分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处， 且 X 在 [0, 60] 上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望
解设候梯时间为T,则 5-X, X≤5， 25-X, 555 r=-Ae(=-se/oh=。gt0 =6-8达+∫25-x达+(5-s+∫65-h [12.5+200+450+37.5]=11.67. 60 10.设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量， 而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一个整数，商店每销售一单位商品可获 利500元：若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元：若供不应求， 则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值 不少于9280元，试确定最小进货量。 解设商店获得的利润为T,进货量为y,则 「500y+(X-y)×300,y<X≤30， T=g(X)= 500X-(y-X)×100,10≤X<y 300X+200y,y<X≤30， 600X-100y,10≤X≤y, 由题意 9280≤ET=∫g(x)fx)d =2i(6o0x-100k+j,c0x+20yh =-7.5y2+350y+5250, ·63·
·63· 解 设候梯时间为 T ，则 5 , 5, 25 , 5 25, ( ) 55 , 25 55 60 5, 55. X X X X T g X X X X X − − = = − − + 60 0 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) 60 ET E g X g x f x dx g x dx + − = = = 5 25 55 60 0 5 25 55 1 (5 ) (25 ) (55 ) (65 ) 60 x dx x dx x dx x dx = − + − + − + − 1 [12.5 200 450 37.5] 11.67 60 = + + + = . 10．设某种商品每周的需求量 X 是服从区间 [10, 30] 上均匀分布的随机变量， 而经销商店进货量为区间 [10, 30] 中的某一个整数，商店每销售一单位商品可获 利 500 元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损 100 元；若供不应求， 则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利 300 元，为使商店所获利润期望值 不少于 9280 元，试确定最小进货量。 解 设商店获得的利润为 T ，进货量为 y ，则 500 ( ) 300, 30, ( ) 500 ( ) 100, 10 . y X y y X T g X X y X X y + − = = − − 300 200 , 30, 600 100 , 10 , X y y X X y X y + = − 由题意 9280 ( ) ( ) ET g x f x dx + − = 30 10 1 (600 100 ) (300 200 ) 20 y y x y dx x y dx = − + + 2 = − + + 7.5 350 5250, y y
即 7.5y2-350y+4030≤0. 解不等式得 2 20片≤y≤26， 即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位. 11.设X与Y同分布，且X的概率密度为 38 , 0a吲和事件B=仪>a吲鞋立，且P4UB时=}，求 常数a: (2)求E1 。 解PX>o=r=g8-a 3-PiAU B)=P(4)+P(B)-P(AB) -8-]-8-P, 2 8 64 即有方程 (8-a)2-16(8-a3)+48=0, 即 [(8-a)-12][(8-a)-4]=0, 可见 8-m3=12或8-a3=4, ·64·
·64· 即 2 7.5 350 4030 0 y y −+ . 解不等式得 2 20 26 3 y ， 即使利润的期望值不少于 9280 元的最少进货量为 21 个单位. 11．设 X 与 Y 同分布，且 X 的概率密度为 3 2 , 0 2, ( ) 8 0 , . x x f x = 其他 （1）已知事件 A X a = { } 和事件 B Y a = { } 独立，且 3 { } 4 P A B = ，求 常数 a ； （2）求 2 1 E X 。 解 （1） 2 3 1 2 3 ( ) [8 ] a 8 8 P X a x dx a = = − 3 { } ( ) ( ) ( ) 4 = = + − P A B P A P B P AB 2 1 3 3 2 [8 ] [8 ] 8 64 = − − − a a ， 即有方程 3 2 3 (8 ) 16(8 ) 48 0, − − − + = a a 即 3 3 [(8 ) 12][(8 ) 4] 0 − − − − = a a ， 可见 3 8 12 − = a 或 3 8 4 − = a